完全不完全市场中的超级复制

因此，P（D）=P（ξ=1）=1/2，6y.Dolinsky和A.Neufeld条件支持支持支持P（S |[T/2，T]| D）只包含一个函数f:[T/2，T]→ R由f定义≡ 这与CFS的财产相矛盾。即使我们坚持严格的正波动率，我们仍然可以构造类似的例子，产生原子鞅，这样，在正概率下，条件支持集supp（S |[T/2，T]|[S |[0，T/2]）是一个有限集。这显然是对CFS财产的侵犯。因此，在不增加额外假设的情况下（理解这些假设是什么是一个有趣的问题），完全不完全性通常并不意味着CFS属性。在本节的结尾，我们举几个完全不完全市场的例子。例2.5。随机波动模型。一、赫斯顿（1993）模型：dSt=St（rtdt）+√UtdWSt）dUt=κ（θ- Ut）dt+ξ√UtdWUt，其中{WSt}Tt=0和{WUt}Tt=0是两个具有常数相关ρ的布朗运动∈ (-1, 1). 此外，κ、θ、ξ>0是满足2κθ>ξ的常数。最后一个条件保证U是严格正的。因此，应用It^o的νt公式：=√Utand使用WS=W和WU=ρW+p1的关系- ρ^W，我们得到了ν是（2.4）的解，a（t，x）=κθx- 十、-ξ8x，b（t，x）≡ξp1- ρ和c（t，x）≡ξρ.二、Hull–White（1987）型号：dSt=St（rtdt+√UtdWSt）dUt=Ut（κdt+θdWUt），其中{WSt}Tt=0和{WUt}Tt=0是两个具有常数相关ρ的布朗运动∈ (-1，1）和κ，θ∈ R是常数。显然，ν：=√美国满足提案2.3（第一部分）的假设。三、 斯科特（1987）模型：dSt=St（rdt+λeUtdWSt）dUt=-κUtdt+θdWUt，其中{WSt}Tt=0和{WUt}Tt=0是两个具有常数相关ρ的布朗运动∈ (-1，1）和λ，κ，θ>0是常数。通过应用它的ν：=λeU的^o公式，该模型可以被视为赫斯顿模型。例2.6。

粗略波动率模型。考虑一个模型，其中对数波动率是一个分数奥恩斯坦-乌伦贝克过程（见Gatherel、Jaisson和Rosenbaum（2014））。形式上，波动过程由νt=νeκUt给出，其中κ>0是一个常数，Ut=e-λtRteλudBHu。这里，BH={BHt}Tt=0是一个带有赫斯特参数H的分数布朗运动∈ （0,1）且λ>0是常数。上述积分由partsZteλudBHu=eλtBHt积分确定- λZtBHueλudu。设{Ft}Tt=0是由W和ν生成的过滤的通常增强。假设我们有表示BH=ρBH，1+p1- ρBH，其中ρ∈(-1，1）是常数，而BH，1，BH，2是独立的分数布朗运动。完全不完全市场7此外，假设伯克希尔哈撒韦1已适应W产生的过滤。那么这里的νt=ν（1）tν（2）tw这里的ν（1）t=νexpκρe-λtZteλudBH，1u,ν（2）t=expκp1- ρe-λtZteλudBH，2u.由Guasoni、Rasonyi和Schachermayer（2008年，命题4.2）提出，分数布朗运动具有CFS性质。这与Pakkanen（2010，Theorem3.3）一起给出了lnν（2）具有CFS性质。因此，由于命题2.3中第二个陈述的假设成立，市场是完全不完整的。3.半静态Hedging在本节中，我们讨论欧洲期权的超级复制。由于欧式期权的行使时间是固定的（与博弈期权相比），那么对于确定的利率，可以对资产价格和欧式期权的支付进行贴现。因此，在这种情况下，我们可以在不失去普遍性的情况下直接假设利率为r≡ 0.对于随机利率，根据贴现资产价格对欧洲期权的贴现支付进行冲销并不总是可能的，即使可能，新的支付函数也会失去其连续性。因此，在随机利率的情况下，假设r≡ 这不是自然现象。

然而，为了使事情更简单，我们在本节中假设≡ 0.用C[0，T]表示所有连续函数的空间f:[0，T]→ R具有统一的拓扑结构。考虑一个路径依赖的欧式期权，其payo off X=H（S），其中H:C[0，T]→ R是一个有界且一致连续的函数。我们假设有N≥ 0个静态位置，可在零时间以给定价格购买。形式上，静态头寸的收益由xi=hi（s）给出，其中h。。。，hN:C[0，T]→ R是有界且一致连续的。静态位置xi的价格用Pi表示。因此，初始股价和价格P。。。，在选项h中。。。，H是市场上可用的数据。首先，考虑投资者有概率信念的情况，由给定的过滤概率空间建模(Ohm, F、 {Ft}Tt=0，P）之前介绍过。在此设置中，套期保值策略是一对π=（c，γ），其中c=（c，…，cN）×RN+1和γ={γt}Tt=0是一个逐步可测量的过程，其中rtγtνtStdt<∞ P-a.s.，使得随机积分rγdS从下面一致有界。到期日对应的投资组合价值由zπT=c+NXi=1cihi（S）+ZTγudSu给出。套期保值策略的初始成本π为（3.1）C（π）=C+NXi=1ciPi。策略π是一种超级复制策略ifZπT≥ H（S）P-a.S.8 Y.Dolinsky和a.Neufeld然后，超级复制价格由VPH确定，。。。，hN（H）=inf{C（π）：π是一种超级复制策略。接下来，考虑这样一种情况：投资者没有概率信念，只有作为信息提供的市场数据。这种投资者是通过稳健对冲方法建模的。设{St}Tt=0是空间C[0，T]上的正则过程，即St（ω）=ω（T），ω∈ C[0，T]。考虑相应的规范过滤ft=σ{Su:u≤ t} 。

用M表示C[0，T]上的所有概率测度Q的集合，使得在Q下，过程{St}Tt=0是一个严格正的局部鞅（关于其自然过滤）和S=SQ-a.S。在鲁棒设置中，对冲策略是一对π=（C，γ），其中C∈ RN+1和γ={γt}Tt=0是一个具有左连续路径的有界变化的自适应过程（w.r.t.标准过滤），使得过程rγdS从下方均匀有界，这里我们定义了γudSu:=γTST- γS-ZTStdγt最后一个积分使用标准Stieltjes积分。到期日T的相应投资组合价值与之前一样由zπT（S）=c+NXi=1cihi（S）+ZTγudSu给出。此外，与之前一样，对冲策略的成本π由（3.1）给出。Therobust super–复制价格由VH确定，。。。，hN（H）=inf{C（π）：π使得ZπT（S）≥ H（S）S严格正，S=S}。以下定理表明，如果金融市场完全不完整，则相应的超级复制价格与无模型设置中的价格相同。也就是说，对于完全不完全市场，概率模型的知识不会降低超级复制的价格。定理3.1。假设{St}Tt=0给出的金融市场是完全不完整的。然后VPh，。。。，hN（H）=Vh，。。。，hN（H）。（可能是-∞).证据显然，VPh，。。。，hN（H）≤ 嗯，。。。，所以我们需要建立不等式VPh，。。。，hN（H）≥ 嗯，。。。，hN（H）。对于可测函数^H:C[0，T]→ R分别用VP（^H）和V（^H）、经典（即w.R.t.概率置信P）和N=0情况下索赔^H（S）的稳健超复制价格表示。

用Q表示所有概率测度的集合 P使得{Wt}Tt=0是关于Q和过滤{Ft}Tt=0的布朗运动。对于任意对冲策略，Q=（c）∈ Q、 随机积分ZtγudSu=ZtγuνuSudWu，t∈ [0，T]是一个从下方有界的局部鞅，因此是一个上鞅。因此，从引理8.1和H（S）-PNi=1cihi（S）是一个有界且连续不完全的市场函数，我们得到Vph，。。。，hN（H）=inf（c，…，cN）∈注册护士NXi=1ciPi+VPH-NXi=1cihi≥ inf（c，…，cN）∈注册护士NXi=1ciPi+supQ∈QEQ[H（S）-NXi=1cihi（S）]≥ inf（c，…，cN）∈注册护士NXi=1ciPi+supQ∈MEQ[H（S）-NXi=1cihi（S）].将Hou和Ob l\'oj（2015，定理3.2）应用于有界且一致连续的权利要求H（S）-PNi=1cihi，我们得到inf（c，…，cN）∈注册护士NXi=1ciPi+supQ∈MEQ[H（S）-NXi=1cihi（S）]= inf（c，…，cN）∈注册护士NXi=1ciPi+VH-NXi=1cihi= 嗯，。。。，hN（H），结果如下。接下来，我们证明了概率模型存在一个最优的超复制策略，即一个成本最小的策略。为此，我们需要一个排除套利机会的额外假设，即，假设VPh，。。。，hN（H）=Vh，。。。，hN（H）=-∞. 因此，正如Hou和Ob l\'oj（2015）（见假设3.7和备注3.8）所述，我们假设如下。假设3.2。ε>0，对于任何（y，…，yN）∈QNi=1[Pi-ε、 Pi+ε]我们可以找到一个概率测度Q∈ M的等式[hi（S）]=yi，i=1。。。，N定理3.3。考虑过滤概率空间上的超级复制问题(Ohm, F、 {Ft}Tt=0，P）如上所述。如果假设3.2成立，那么存在一个超级复制投资组合策略^π，使得C（^π）=VPh，。。。，hN（H）。证据设π（n）=（c（n），γ（n）），n≥ 1、为哪一个limn制定一系列超级复制策略→∞C（π（n））=VPh，。。。，hN（H）。显然VPh，。。。，hN（H）≤ ||H||∞.

因此，在不损失一般性的情况下，我们假设对于任何n，C（π（n））<|H||∞+ 1.让我们证明序列c（n）∈ RN+1，n∈ N、 是有界的。选择n∈ N.我们从假设3.2中得出，存在一个概率测度Q∈ 对于任何i=1，N，等式[hi（S）]=（Pi- ε如果c（n）i≥ 如果c（n）i<0，则为0Pi+ε。引理8.1意味着存在一个概率测度Q∈ Q使eq[hi（S）]<Pi- ε/2如果c（n）i≥ 当c（n）i<0时，0和EQ[hi（S）]>Pi+ε/2。因此，10y.Dolinsky和A.neufeld利用Q下每一个γ（n）dS的上鞅性质，我们得到了| | H||∞+ 1.≥ C（π（n））（3.2）≥ c（n）+EQ[NXi=1c（n）ihi（S）]+εNXi=1 | c（n）i|≥ 等式[H（S）-ZTγ（n）tdSt]+εNXi=1 | c（n）i|≥ -||H||∞+εNXi=1 | c（n）i |。从（3.2）中，我们得出| c（n）i |≤2（1+2 | | H）||∞)ε表示所有n∈ N、 i=1，N此外，通过再次应用（3.2），我们得到c（n）一致有界（in n）。我们根据需要得出了c（n）的一致有界性。因此，存在一个子序列（为了简单起见，我们仍然用n表示它），使得limn→∞c（n）=^c=（^c，…，^cN）。接下来，我们应用Koml’os定理。设置Zn=RTγ（n）tdSt，n∈ N.克利里兹≥ H（S）- C-PNi=1cihi（S），因此序列Zn，n∈ N、 是从下面统一起来的。因此，由Delbaen和Schachermayer（1994，引理A1.1）我们得到了序列^Zn的存在性∈ conv（锌，锌+1，…），N∈ N、 使^Zn，N∈ N、 收敛a.s.用^Z表示极限。利用一个事实，即由局部鞅的随机积分控制的随机变量集是Fatou闭的，见Delbaen和Schachermayer（2006，备注9.4.3），我们可以找到一个交易策略^γ={^γt}Tt=0，使得RT^γudSu，t∈ [0，T]是从下方和RT^γtdSt的统一边界≥^Z.最后，我们认为^π：=（^c，^γ）是一种非最优的超复制策略。

显然，C（π）=limn→∞C（πn）=VPh，。。。，hN（H）。此外，很容易看出RT^γtdSt≥^Z≥ H（S）-^c-PNi=1^cihi（S）a.S.，结果如下。备注3.4。先验地，我们似乎使用了比假设3.2更弱的假设。实际上，我们只使用ε>0的存在，使得对于任何（j，…，jN）∈ {-存在一个概率测度Qj，。。。，jN∈ 我是为了什么，。。。，jN[hi（S）]=Pi+εji，i=1。。。，N然而，通过对这些概率测度进行凸组合，我们发现较弱的条件实际上等价于假设3.2。备注3.5。让我们注意一下，对于无模型套期保值，华硕是否存在成本最低的复制策略是一个悬而未决的问题。备注3.6。通常，常见的静态头寸是看涨期权。然而，由于看跌期权与看涨期权的平价，我们可以用看跌期权和henceh等替代看涨期权。。。，Hn可以假设为有界的。一个自然的问题是，如果H是无界的，例如如果H（S）=max0，该怎么办≤T≤这是一个回望选项。在这种情况下，我们可以证明，如果h。。。，HNA是有界的，那么对于完全不完整的市场，超级复制是完整的。也就是说，如果静态位置是有界的，我们就不能超级复制回望选项。因此，为了有一个合理的超级复制价格，我们需要假设其中一个HI也是无界的。例如，我们可以选择功率选项hi（S）=SpT，p>1。在这种情况下，定理3.1更加不完备，尤其需要一些一致的可积条件。因此，定理3.1是否可以推广到无界情形的问题仍然悬而未决。在游戏的第四部分中，我们使用了期权。以（2.1）-（2.2）给出的金融市场为例。

我们假设定义2.1保持不变，即市场完全不完整。考虑一个到期日为T且支付金额为byYt=f（St）和Xt=f（St），T的博弈期权∈ [0，T]，其中f，f:R+→ R+是f的连续函数≤ f、 此外，我们假设存在L>1，因此对于所有x，y>0（4.1）|fi（x）- fi（y）|≤ L | x- y|1+fi（x）x+fi（y）y, i=1,2。条件（4.1）弱于假设Lipschitz连续性，并允许考虑电力期权（除看涨期权和看跌期权外）。我们从（4.1）推导出，对于任何x>0fi2L2L- 1x≤ 2.L2L- 1x+1+L2L- 1.fi（x）, i=1,2。对于^fi（x）：=max（x，fi（x）），i=1，2，我们得到^fi2L2L- 1x≤ 2.L2L- 1+1+L2L- 1.^fi（x）=8L- 22L- 1^fi（x）和so^fi（x）≤ max0≤Y≤1^fi（y）8L-22L-1.n2L2L-1.N-1.≤ 十、≤2L2L-1.n、 n∈ N.我们得出结论，对于任何x>0（4.2）的fi（x），存在L，N>1≤^fi（x）≤L（1+xN），i=1,2。接下来，我们介绍套期保值的概念。回想一下St=StBt，t∈ [0，T]，折扣股票价格，由（2.1）–（2.2）决定，具有动态dSt=νTStdWt。初始资本为z的自融资投资组合是一对π=（z，γ），其中{γt}Tt=0是一个逐步可测量的过程，满足γtνt＠Stdt<∞ a、 相应的投资组合值由（4.3）Zπt=Bt给出zB+Ztγud~Su= 英国电信zB+Ztγu~SuνudWu, T∈ [0，T]。与通常的博弈期权一样，套期保值策略包括一个自我融资的投资组合和一个取消时间。因此，从形式上讲，套期保值策略是一对（π，σ），因此π是一个自我融资的投资组合，σ≤ T是一个停止时间。

套期保值策略（π，σ）是超级的——如果对任何t∈ [0，T]（4.4）ZπT∧σ≥ f（Sσ）Iσ<t+f（St）It≤σa.s.投资组合价值过程{Zπt}Tt=0是连续的，因此，如果（4.4）对anyt成立∈ [0，T]，然后T∈ [0，T]，ZπT∧σ≥ f（Sσ）Iσ<t+f（St）It≤σ= 1.12如果Y.Dolinsky和A.NeufeldA套期保值策略（π，σ）的形式为（4.5）γ，则称其为平凡策略≡ γ、 σ=inf{t:St/∈ D}∧ 太棒了 R是一个区间（不一定是有限的）。定义超级复制价格v=inf{Zπ：对冲策略（π，σ）超级复制期权}。另外，setV=inf{Zπ：平凡对冲策略（π，σ）超级复制期权}。显然，投资者可以在σ=0时取消，因此V≤ 五、≤ f（S）。引入所有连续函数的集合H：（0，∞) → R使得f≤H≤ fand h在h<f的每个区间都是凹的。我们从Ekstr¨omand Villeneuve（2006，引理2.4）推断，h中存在一个最小的元素，它等于（x）：=infh∈Hh（x）。在本节中，我们将假设以下内容。假设4.1。至少保持以下条件之一。i、 利率为零，即r≡ 0.ii。对于初始股价，我们假设如果g（S）<f（S），那么g（S）- s+g（S）≥ 0，在哪里+g（S）是S上的右导数（之所以存在，是因为g在S的一个高边上是凹的）。在第4.1小节中，我们详细分析了假设4.1中的第二个条件。特别是，我们将看到它对大多数常见的支付函数都是满意的。接下来，对于任何x∈ R+介绍开放式intervalKx=sup{z≤ x:g（z）=f（z）}，inf{z≥ x:g（z）=f（z）}通常，空集上的上确界和内确界等于-∞ 和∞, 分别地确定停止时间^σ=inf{t:St6∈ KS}∧ T、 其中，如果集合k为空，则设置^σ=0（其中（a，a）：= 康斯坦塔∈ R） 。以下定理是本节的主要结果。

它说，在完全不完备的市场中，一个博弈期权的超级复制价格是一个微不足道的超级复制对冲策略的最便宜成本，可以明确计算。定理4.2。上面介绍的游戏选项的超级复制价格是V=V=g（S）。此外，通过^γ定义买入持有组合策略^π=（g（S），γ）≡+如果g（S）<f（S），则为0。那么（π，σ）是最便宜的套利策略，它是期权的超级复制。完全不完整的市场证明。作为V≥ 定理4.2将遵循不等式（4.6）V≥ （π，σ）是一种超级复制策略。不等式（4.6）是困难的部分，将在第6节中得到证明。（π，σ）是一种超复制策略的事实更简单，我们在这里提供了它的证明。首先，如果g（S）=f（S），那么这个语句是微不足道的。因此，假设g（S）<f（S）。让我们∈ [0，T]。观察事件^σ<t时，g（S^σ）=f（S^σ）。根据假设4.1，ifBt∧ ^σB>1然后g（S）-s+g（S）≥ 0.这与g在区间KSyieldsZ^πt中是凹的这一事实一起∧^σ=Bt∧^σBg（S）- s+g（S）+ +g（S）街∧^σ(4.7)≥ g（S）++g（S）（圣∧^σ- （S）≥ g（圣∧^σ) ≥ f（S^σ）I^σ<t+f（St）It≤^σ.备注4.3。让我们注意到（4.7）在路径上是正确的，因此hedgingstrategy（π，σ）是无模型意义上的超级复制策略。因此，根据定理4.2，我们得出结论，对于完全不完全市场，超级复制价格与无模型超级复制价格一致。备注4.4。在例4.7中，我们将看到，如果没有假设4.1的第二部分，对冲（^π，^σ）可能不是超级复制的，因此定理4.2可能不成立。4.1. 例子。在本小节中，我们给出了几个应用程序示例。在扇形和扇形都是凸的情况下，我们可以计算g（S）和+g（S）明确。