具有一般因素的长期风险敏感投资组合

让f∈ Cω（Rk）。对于任何x∈ Rk，我们得到| f（x）|≤ kfkω（1+ω（x）），这反过来意味着f（x）- f（y）2+ω（x）+ω（y）≤kfkω[2+ω（x）+ω（y）]2+ω（x）+ω（y）=kfkω，x，y∈ Rk。因此，对于任何c∈ R我们得到kfkω-span=kf+ckω-span≤ kf+ckω。（3.4）现在让我们证明另一个不平等。注意，我们可以用a·f代替f，对于一些a>0的情况，kfkω-span=0的证明是微不足道的，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设kfkω-span=1。通过k·kω-span的定义和kfkω-span=1的事实，我们得到f（x）- [f（y）+1+ω（y）]≤ 1+ω（x），对于任何x，y∈ Rk。因此，c:=- 英菲∈Rk{f（y）+1+ω（y）}∈ R和任何x∈ Rk，我们得到f（x）+c=supy∈Rk[f（x）- f（y）- 1.- ω（y）]≤ 1+ω（x）。（3.5）另一方面，对于任何x∈ Rk，我们得到f（x）+c=supy∈Rk[f（x）- f（y）- 1.- ω（y）]≥ f（x）- f（x）- 1.- ω（x）=-（1+ω（x））。（3.6）一般因子为8的长期风险敏感投资组合，结合（3.5）和（3.6），我们得到kf+ckω≤ 1.这与（3.4）一起，得出了4）的证明∈ Cω（Rk）并设C∈ R.重复并稍微修改4）的证明，很容易检查kf+ckω=kf+ckω=kfkω-span。（3.7）如果c∈ [c，c]，然后存在α∈ [0,1]使得c=αc+（1- α） 因此，使用（3.4）和（3.7），我们得到kfkω-span≤ kf+ckω≤ α+ω1- α） kf+ckω=kfkω-span。另一方面，我们知道如果kf+ckω=kfkω-span，那么对于任何x∈ 我们得到了什么-kfkω-span≤f（x）+c1+ω（x）≤ kfkω-span。因此，对于任何x∈ 我们有-f（x）- （1+ω（x））kf kω-span≤ C≤ -f（x）+（1+ω（x））kfkω-span，因此c≤ C≤ c、 这就完成了证明的第一部分。

现在让我们证明存在（至少一个）c∈ [c，c]，令人满意（3.3）。给定f∈ Cω（Rk），对于任何C∈ R我们呼吸+（c）：=supz∈Rkf（z）+c1+ω（z）和a-（c） ：=- infz∈Rkf（z）+c1+ω（z）。很容易注意到，a+（·）是有限的、连续的、非递减的，而a-（·）是有限的、连续的、不增加的。此外，a+（c）→ ∞, 作为c→ ∞, 还有-（c）→ ∞, 作为c→ -∞. 因此，存在c∈ R、 使得a+（c）=a-（c） 。此外，对于任何c≥ cwe getkf+ckω=max（a+（c），a-（c） )≥ a+（c）=最大值（a+（c），a-（c） ）=kf+ckω，而对于c≤ cw getkf+ckω=max（a+（c），a-（c） )≥ A.-（c） =最大值（a+（c），a-（c） ）=kf+ckω。因此，a+（c）=a-（c） =kf+ckω=infc∈Rkf+ckω=kfkω-span。（3.8）根据5）证明的第一部分，我们知道∈ [c，c]。如果cis等于cor c，则屋顶完成。相反，让我们假设c6∈ {c，c}。利用a+（·）的单调性，我们得到了a+（c）≤ a+（c）通过（3.8）使用kf+ckω=kf+ckω=kf+ckω=kf+ckω=max（a+（c），a-（c） ，我们得到a+（c）=a+（c）。因此，a+（·）在[c，c]上必须是常数，而作为一个凸非减缩映射，它在[c，c]上实际上是常数(-∞, c] 。使用类似的论点，我们得到-（·）作为非递增凸映射，在[c]上必须是常数，∞]. 因此，这两种方法都可以满足（3.3），从而得出结论。具有一般因素的长期风险敏感投资组合9备注3.3。我们可能得到c6=c，让f（x）=0表示| x |≤ 1和f（x）=| x-x |代表|x |≥ 1.然后，对于ω（x）=|x |，很容易检查kfkω-span=1，c=-1和c=1。此外，我们可以考虑加权f的中心常数，即常数，使得从0到supx的距离∈Rkf（x）+c1+ω（x）等于从0到infx的距离∈Rkf（x）+c1+ω（x）。

特别是，k·kω-展半形式可以被认为是中心函数的k·kω范数，这为命题3中的4）提供了一些见解。2.命题3。2意味着对于任何大于0的β≥ 0，f:Rk→ R和ω′由ω′（x）=βω（x）+c定义，我们得到kfkω<∞ <==> kfkω′<∞, （3.9），这反过来意味着Cω（Rk）=Cω′（Rk）。此外，如果函数族是一致有界的wrt。ω-span范数，则为统一边界wrt。ω′-span范数。接下来，对于任何β>0，两个概率度量qan和Qon（Rk，B（Rk））以及相应的签名度量H=Q- Q、 设kHkβ，ω-var表示其加权总变化范数，由kHkβ，ω-var=ZRk给出1+βω（z）|H |（dz）=sup k：k k kβ，ω≤1ZRk|（z）H（dz），其中| H |表示H的总变化量，即| H |=1AH- 1AcH，A是测度H的正集（例如使用Hahn-Jordan分解获得）。特别是ω≡ 0），让KHKVARDE注意标准总变化范数[18]，即kHkvar:=ZRk | H |（dz）=2 supA∈B（Rk）| Q（A）- Q（A）|.4贝尔曼方程使用表示法（2.9），不难看出对应于（2.8）的贝尔曼方程的形式为v（x）+λ=suph∈Uμγ（F（x，h，W）+v（G（x，W）），（4.1），其中λ∈ R、 五∈ Cω（Rk），x∈ Rk与ω：Rk→ [0, ∞) 是（a.4）中的权重函数，对应的Bellman运算符rγf（x）：=suph∈Uμγ（F（x，h，W）+F（G（x，W）），F∈ Cω（Rk），（4.2）满足某些收缩特性。具有一般因子10的长期风险敏感投资组合为了计算方便，让我们引入相关的贝尔曼方程u（x）+λγ=γsuph∈Uμγ（F（x，h，W）+U（G（x，W））γ）=infh∈Uln E[EγF（x，h，W）+u（G（x，W））]=Tγu（x），（4.3），其中u（x）=γv（x），其中相应的Bellman算子的形式为TγF（x）：=γRγF（x）γ=infh∈ulne[EγF（x，h，W）+F（G（x，W））]，F∈ Cω（Rk）。（4.4）备注4.1。Bellman方程（4.3）严格连接到为相应γ（cf。

[9] 以及其中的参考资料）。在经典情况下（即使用遍历性条件和span范数或消失折扣法）存在MPE解的有效一般条件可在[8,19,17,16]中找到。关于更一般的条件（使用分裂马尔可夫技术或Doeblin条件获得），参见例[9,5]。还使用风险度量的稳健表示（即。-[12]，我们可以注意到方程（4.1）对应于遍历成本随机动态博弈的艾萨克斯方程（参见[16,11]及其参考文献）。提议4.2。设γ<0。在假设（A.1）-（A.4）下，算子Rγ和Tγ将集合Cω（Rk）转化为自身和f∈ Cω（Rk）映射(-∞, 0）×Rk （γ，x）7→ Tγf（x）是连续的。证据我们将只展示Rγ的证明，因为Tγ的证明是类似的。让f∈ Cω（Rk）和γ<0。我们知道存在M>1，所以对于所有x∈ Rk，我们得到| f（x）|≤ M（ω（x）+1）。首先，让我们证明kRγfkω是有限的。利用γ是单调的和平移变量的事实，以及（A.4），对于任何x∈ Rk，我们得到γf（x）≤ μγ（a（W）+bω（x）+M（ω（G（x，W））+1））≤ μγ（a（W）+bω（x）+Ma（W）+Mbω（x）+M）=（b+Mb）ω（x）+μγ（a（W）+Ma（W））+M以及rγf（x）≥ -（b+Mb）ω（x）+γ(-a（W）- 文学硕士（女））- 因此，注意到Rγf∈ ω′（x）=（b+Mb）ω（x）+|μγ（a（W）+ma（W））|+|μγ的Cω′（Rk）(-a（W）- Ma（W））|+M，并使用（3.9），我们得出结论，kRγfkω是有限的。其次，让我们证明映射(-∞, 0）×Rk （γ，x）7→ Rγf（x）是连续的。设{（γn，xn，hn）}n∈Nbe一个序列，使得γn<0 xn∈ Rk，hn∈ U和（γn，xn，hn）→ （γ，x，h），其中γ<0，x∈ RK和h∈ U

n.F（x.A，x.F）和x.F（x.A，x.F）和x.F（x.n，x.e）我们知道。-→ eγ[F（x，h，W）+F（G（x，W））]。一般因子为11的长期风险敏感投资组合由于权重函数ω是连续的且具有固定值，我们知道y:=supn∈Nω（xn）<∞.此外，使用（A.4），我们得到0≤ eγn[F（xn，hn，W）+F（G（xn，W））]≤ eγ[a（W）+Ma（W）+（b+Mb）y+M]与γ，使得对于任何n，我们都有γn≤ γ. 注意到eγ[a（W）+Ma（W）+（b+Mb）y+M]∈ 五十、 根据支配收敛定理，E[Eγn[F（xn，hn，W）+F（G（xn，W））]→ E[Eγ[F（x，h，W）+F（G（x，W））]，因此*γn（F（xn，hn，W）+F（G（xn，W）））→ μγ（F（x，h，W）+F（G（x，W）））。设hγz:=arg maxh∈Uμγ（F（z，h，W）+F（G（z，W）），对于任何z∈ U（注意U是紧凑的）。由于函数（γ，x，h）的连续性7→ μγ（F（x，h，W）+F（G（x，W）），我们也知道μγn（F（xn，hγnxn，W）+F（G（xn，W）））→ μγ（F（x，hγx，W）+F（G（x，W）），这意味着（γ，x）的连续性→ Rγf（x）。我们现在准备好阐述本文的主要结果。定理4.3。设γ<0。在假设（A.1）-（A.5）下，对于非常小的β>0，算子Tγ是k·kβω-span下的局部收缩，即存在函数β：R+→ （0,1）和L:R+→ （0，1）使得kTγf- Tγfkβ（M），ω-span≤ L（M）kf- fkβ（M），ω-span，对于f，f∈ Cω（Rk），使得kfkω-span≤ M和kfkω-span≤ M.理论的证明4。3将被分成三个引理，我们现在将对它们进行公式化和证明。在此之前，让我们介绍一些有用的符号。让(Ohm, F、 P）是对应于随机变量W的概率空间。

无论如何∈ Cω（Rk），x∈ RK和h∈ 我们将使用以下符号h（x，f）：=γarg maxh∈Uuγ（F（x，h，W）+γF（G（x，W））=arg minh∈ulne[EγF（x，h，W）+F（G（x，W）），（4.5）Q（x，F，h）：=γarg minQ∈MhEQ[F（x，h，W）+γF（G（x，W））]-γH[QkP]i=arg maxQ∈MhEQ[γF（x，h，W）+F（G（x，W））]- H[QkP]i，（4.6）具有一般因子的长期风险敏感投资组合，其中M:=M(Ohm, F） 表示上所有概率测度的集合(Ohm, F） H[QkP]是qwrt的相对熵。P、 i.e.H[QkP]：=（EQ[lndQdP]如果Q<< P+∞ 否则（4.5）和（4.6）中定义的对象可能不是唯一的，因为arg min（或arg max）可能定义一个集合，而不是单个元素。然而，由于符号的轻微滥用，我们使用（4.5）的任何固定最大化子，并假设hx，f∈ 为了得到测量Q（x，f，h）的唯一表示，我们使用了所谓的埃舍尔变换[13]。在我们写出q（x，f，h）的显式形式之前，让我们给出一个更具体的注释。度量Q（x，f，h）对应于熵效用γ的鲁棒（对偶）表示中的最小化场景。事实上（参见[7]），对于anyZ∈ L(Ohm, F、 P），使得γZeγZ∈ L(Ohm, F、 P），我们得到μγ（Z）=infQ∈MhEQZ-γH[QkP]i.（4.7）表示Z=F（x，H，W）+γF（G（x，W））是这样的∈ L(Ohm, F、 P），注意到kfkω<∞ 并使用（A.4）。那么，威格茨∈ L(Ohm, F、 P）和e2γZ∈ L(Ohm, F、 P），再加上对于任何γ<0的情况，我们得到|γZeγZ |≤ 1{γZ≤0}|γZ |+1{γZ>0}| e2γZ |，证明结束。然后，如[7，命题2.3]所示，我们可以通过Z的埃舍尔变换确定（4.6）的极小值，即由Q（x，f，h）（dw）=eγf（x，h，w）+f（G（x，w））P（dw[eγf（x，h，w）+f（G（x，w））给出的度量Q（x，f，h）（dw））。（4.8）我们还将通过Q（x，f，h）（A）=E定义Rk上的度量值Q（x，f，h）{G（x，W）∈A} eγF（x，h，W）+F（G（x，W））E[EγF（x，h，W）+F（G（x，W））]，A∈ B（Rk）。

（4.9）最后，对于任何f，g∈ Cω（Rk）和x，y∈ 我们将写下：Q（x，f，h（x，g））-Q（y，g，h（y，f））。（4.10）我们现在准备好介绍Lemma4。引理4.5和引理4.6。具有一般因素的长期风险敏感投资组合13引理4.4。设γ<0。在假设（A.1）-（A.4）下，我们得到γf（x）- Tγg（x）- （Tγf（y）- Tγg（y））≤ kf- gkβ，ω-spankHf，gx，ykβ，ω-var，（4.11）对于任何f，g∈ Cω（Rk），x，y∈ Rk和β>0。证据让f，g∈ Cω（Rk），x，y∈ 然后让β>0。利用（4.5）我们得到了γf（x）=γsuph∈Uμγ（F（x，h，W）+γF（G（x，W）））≤ γμγ（F（x，h（x，g，W）+γF（g（x，W））=supQ∈M（P）hEQ[γF（x，h（x，g），W）+F（g（x，W））]- H[QkP]i=EQ（x，f，H（x，g））γF（x，h（x，g），W）+F（g（x，W））- H[Q（x，f，H（x，g））kP]（4.12）现在，使用（4.6）我们得到γg（x）=γsuph∈U（F（x，h，W）+γg（g（x，W））=γ（F（x，h（x，g），W）+γg（g（x，W））=supQ∈M（P）hEQ[γF（x，h（x，g），W）+g（g（x，W））]- H[QkP]i≥ 等式（x，f，h（x，g））γF（x，h（x，g），W）+g（g（x，W））- H[Q（x，f，H（x，g））kP]（4.13）结合（4.12）和（4.13）我们得到γf（x）- Tγg（x）≤ 等式（x，f，h（x，g））[f（g（x，W））- g（g（x，W））]≤ZRk[f（z）- g（z）]Q（x，f，h（x，g））（dz）。（4.14）在（4.14）中用g切换f，并对y进行类似的计算∈ Rk，我们得到γg（y）- Tγf（y）≤ZRk[g（z）- f（z）]Q（y，g，h（y，f））（dz）（4.15）将（4.14）与（4.15）相结合，并使用回忆符号（4.10），我们得到γf（x）- Tγg（x）- （Tγf（y）- Tγg（y））≤ZRkf（z）- g（z）Hf，gx，y（dz）。（4.16）我们知道，对于任何c∈ R、 我们得到了ZRKf（z）- g（z）Hf，gx，y（dz）=ZRkf（z）- g（z）+c1+βω（z）（1+βω（z））Hf，gx，y（dz）。具有一般因素的长期风险敏感投资组合 Rk表示符号测度Hf，gx，y（例如使用Hahn Jordandecomposition获得）和任何c的正集∈ R leta+（c）：=supz∈Rkf（z）- g（z）+c1+βω（z）和a-（c） ：=- infz∈Rkf（z）- g（z）+c1+βω（z）。那么，对于任何c∈ R、 我们得到了ZRKf（z）- g（z）Hf，gx，y（dz）≤ a+（c）ZA（1+βω（z））Hf，gx，y（dz）- A.-（c） ZAc（1+βω（z））Hf，gx，y（dz）。

（4.17）来自命题3。2.我们知道存在c∈ R、 这样a+（c）=a-（c） =kf- gkβ，ω-span。因此，从（4.17）我们得到了ZRKf（z）- g（z）Hf，gx，y（dz）≤ kf- gkβ，ω-spankHf，gx，ykβ，ω-var，（4.18）与（4.16）一起得出（4.11）的证明。引理4.5。设γ<0。在假设（A.1）-（A.4）下，对于任何固定的M>0和φ∈ （b，1），存在αφ>0，如khf，gx，ykβ，ω-var≤ 对于任意x，y，kHf，gx，ykvar+β（φω（x）+φω（y）+2αφ），（4.19）∈ RK和f，g∈ 满足kfkω-span的Cω（Rk）≤ M和kgkω-span≤ M.证明。对于任何x，y∈ RK和f，g∈ Cω（Rk）我们得到khf，gx，ykβ，ω-var=ZRk1+βω（z）|Hf，gx，y |（dz）=ZRk |Hf，gx，y |（dz）+βZRkω（z）|Hf，gx，y |（dz）≤ kHf、gx、ykvar+βZRkω（z）`Q（x，f，h（x，g））（dz）+ZRkω（z）`Q（y，g，h（y，f））（dz）.因此，为了证明（4.19），有必要证明对于任何固定的M>0和φ∈ （b，1），存在αφ>0，使得zrkω（z）`Q（x，f，h）（dz）≤ φω（x）+αφ（4.20）对于任何h∈ U、 x∈ RK和f∈ 满足kfkω-span的Cω（Rk）≤ M.设M>0和φ∈ （b，1）。利用（4.8）和（4.9），我们得到（4.20）等价于h（ω（G（x，W））- φω（x）eγF（x，h，W）+F（G（x，W））i≤ αφEheγF（x，h，W）+F（G（x，W））i.一般因子为15的长期风险敏感投资组合为简单起见，设Z:=γF（x，h，W）+F（G（x，W））。这足以证明这一点A（ω（G（x，W））- φω（x））eZ≤αφE简单,其中A={ω（G（x，W））- φω（x）>αφ}，作为不等式eAc（ω（G（x，W））- φω（x））eZ≤αφE简单这是微不足道的。利用Schwarz不等式，我们得到1≤ E[E]-Z] E[eZ]，所以这就足够证明了A（ω（G（x，W））- φω（x））eZEE-Z≤αφ（4.21）乘以（4.21）的两边2（Mb）-γb）（φ-b） ，使用y<Ey表示任何y>0的事实，以及Inequality2Mb（φ-b） <2（Mb）-γb）（φ-b） ，来证明（4.20），这足以证明e2（Mb）-γb）（φ-b） （ω（G（x，W））-φω（x））eZEE-Z≤αφMb（φ- b） 。

（4.22）使用（A.4）和Schwarz不等式e2（Mb）-γb）（φ-b） （ω（G（x，W））-φω（x））eZ≤ Ee2（Mb）-γb）（φ-b） [a（W）-(φ-b） ω（x）]eZ≤ E-2（Mb）-γb）ω（x）Ee2（Mb）-γb）（φ-b） a（W）eZ≤ E-2（Mb）-γb）ω（x）rE[e4（Mb）-γb）（φ-b） a（W）]qE[e2Z]，所以这就足以证明这一点，而不是（4.22）-2（Mb）-γb）ω（x）rE[e4（Mb）-γb）（φ-b） a（W）]qE[e2Z]EE-Z≤αφMb（φ- b） 。让我们来证明。由于（A.4），我们知道是[e4（Mb-γb）（φ-b） a（W）]∞. （4.24）另一方面，从kfkω-span≤ M、 我们知道存在一个∈ R使得kf+akω≤ 因此，回顾Z=γF（x，h，W）+F（G（x，W）），利用指数函数的单调性和（A.4），我们得到qE[e2Z]=qE[e2[γF（x，h，W）+（F（G（x，W））+A）-a] ]≤量化宽松[e2][-γa（W）-γbω（x）+M（a（W）+bω（x）+1）-a] ]=e（Mb-γb）ω（x）+M-aqE[e2[Ma（W）-γa（W）]，（4.25）E[E-Z] =E[E-[γF（x，h，W）+（F（G（x，W））+a）-a] ]≤ E[E]-γa（W）-γbω（x）+M（a（W）+bω（x）+1）+a]=e（Mb-γb）ω（x）+M+aE[eMa（W）-γa（W）]。（4.26）具有一般因素的长期风险敏感投资组合16使用（4.25）、（4.26）和（2.4）我们得到-2（Mb）-γb）ω（x）qE[e2Z]EE-Z= e2MqE[e2[Ma（W）-γa（W）]E[eMa（W）-γa（W）]∞. （4.27）结合（4.27）和（4.24），我们得到（4.23）将持续足够大的时间。换句话说，选择αφ是不够的，比如e2m（φ- b） MbrE[e4（Mb-γb）（φ-b） a（W）]qE[e2[Ma（W）-γa（W）]E[eMa（W）-γa（W）]≤ αφ. （4.28）这是（4.20）的证明。引理4.6。设γ<0。在假设（A.1）-（A.5）下，对于任何固定的M>0，φ∈ （b，1）和αφ>0时，存在β∈ （0,1）和L∈ （0，1）使得khf，gx，ykvar+β（φω（x）+φω（y）+2αφ）≤ L（2+βω（x）+βω（y）），（4.29）对于任何x，y∈ RK和f，g∈ 满足kfkω-span的Cω（Rk）≤ M和kgkω-span≤ M.证明。让我们fix M>0，φ∈ （b，1）和αφ>0。让R∈ R应使R>2αφ1- φ.

（4.30）我们将考虑两种情况：（a）ω（x）+ω（y）>R，（b）ω（x）+ω（y）≤ R、 发现β<1和L∈ （0，1）使得（4.29）在{ω（x）+ω（y）>R}和{ω（x）+ω（y）上都满足≤ R} 。案例a）注意到kHf、gx、ykvar≤ 2.找到β<1和L就足够了∈ （0，1）使得2+β（φω（x）+φω（y）+2αφ）≤ L（2+βω（x）+βω（y）），（4.31）对于任何x，y∈ Rk，使得ω（x）+ω（y）>R。我们将证明，在这种情况下，对于任何β<1，我们可以找到L∈ （0,1）使（4.31）成立。让β<1。我们知道（4.31）等于2+2βαφ≤ 2L+β（L- φ） （ω（x）+ω（y））。假设L>φ。然后，有充分的证据表明2+2βαφ≤ 2L+β（L- φ） R，相当于2+β（2αφ+φR）2+βR≤ L.（4.32）因此，使用（4.30），选择任何小于1的L就足够了∈最大值φ、 2+β（2αφ+φR）2+βR, 1.. （4.33）具有一般因素的长期风险敏感投资组合17例b）Let CR:={（x，y）∈ Rk×Rk：ω（x）+ω（y）≤ R} 。这足以证明存在β∈ （0,1）和L∈ （0，1）对于任何（x，y）∈ 克兰德f，g∈ 满足kfkω-span的Cω（Rk）≤ M和kgkω-span≤ M、 我们得到khf，gx，ykvar+β（φR+2αφ）<2L。事实上，这足以证明SUP（x，y）∈CRkHf、gx、ykvar<2。（4.34）事实上，选择任何β<1，使β<2就足够了- 辅助（x，y）∈CRkHf，gx，ykvarφR+2αφ，考虑anyL∈辅助（x，y）∈CRkHf，gx，ykvar+β（φR+2αφ），1！。（4.35）相反，让我们假设（4.34）是错误的。然后，存在一个序列（xn，yn，fn，gn，An）n∈N、 对于（xn，yn）∈ CR，fn，gn∈ Cω（Rk）和An∈ B（Rk），使得kfnkω-span≤ M、 kgnkω-span≤M和hfn，gnxn，yn（An）=Q（xn，gn，h（xn，fn））（An）-Q（yn，fn，h（yn，gn））（An）→ 1.（4.36）由于（4.36）我们知道“Q（xn，gn，h（xn，fn））（Acn）→ 0和Q（yn，fn，h（yn，gn））（An）→ 0