具有一般因素的长期风险敏感投资组合

（4.37）接下来，对于任何x∈ Rk，h∈ U、 f∈ Cω（Rk）和A∈ B（Rk），ω（x）≤ R和kfkω-span≤ M、 利用Schwarz不等式，我们得到了Q（x，f，h）（A）=E{G（x，W）∈A} eγ[F（x，h，W）+γ| F（G（x，W））]E[Eγ[F（x，h，W）+γ| F（G（x，W））]=E{G（x，W）∈A} eγ[F（x，h，W）+γ| F（G（x，W））]E[Eγ[F（x，h，W）+γ|F（G（x，W））]E[E-γ[F（x，h，W）+|γ| F（G（x，W））]]E[E-γ[F（x，h，W）+γ| F（G（x，W））]≥E{G（x，W）∈A} eγ[F（x，h，W）+γ| F（G（x，W））]e-γ[F（x，h，W）+γ| F（G（x，W））]E[Eγ[F（x，h，W）+γ|F（G（x，W））]E[E-γ[F（x，h，W）+γ| F（G（x，W））]≥E{G（x，W）∈A}e2[（Mb）-γb）ω（x）+M]E[eMa（W）-γa（W）]≥E{G（x，W）∈A}e2[（Mb）-γb）R+M]E[eMa（W）-γa（W）]。（4.38）长期风险敏感投资组合，一般因素18结合（4.37）和（4.38），我们得到{G（xn，W）∈Acn}→ 0和E{G（yn，W）∈安}→ 0.另一方面，从（A.5）开始，对于任何n∈ N和（xn，yn）∈ CR，我们到了{G（xn，W）∈Acn}+ E{G（yn，W）∈安}≥ cν（Acn）+cν（An）=c>0，其中c和ν满足（2.6），对于CR。这会导致矛盾，并由此得出案例b）的证明。我们现在准备证明（4.29）。实际上，结合（4.33）和（4.35），我们得出结论，对于agiven M>0，φ∈ （b，1），αφ>0和R∈ R满足（4.30），选择β<1和L就足够了∈ （0,1），使得β<2- 辅助（x，y）∈CRkHf，gx，ykvarφR+2αφ，L>max（φ，sup（x，y）∈CRkHf，gx，ykvar+β（φR+2αφ），2+β（2αφ+φR）2+βR）。（4.39）这是（4.29）的证明。现在我们准备证明定理4.3。理论证明4。3.让γ<0。结合引理4.4、引理4.5和引理4.6，我们知道对于任何固定的M，都存在β（M）∈ （0,1）和L（M）∈ （0，1），使得tγf（x）- Tγg（x）- （Tγf（y）- Tγg（y））2+β（M）ω（x）+β（M）ω（y）≤kf- gkβ（M），ω-spankHf，gx，ykβ（M），ω-var2+β（M）ω（x）+β（M）ω（y）≤ L（M）kf- gkβ（M），ω-span，对于任何f，g∈ Cω（Rk）和x，y∈ kfkω-span≤ M和kgkω-span≤ M.因此，对于任何固定的M，都存在β（M）∈ （0,1）和L（M）∈ （0，1），使得kTγf- Tγgkβ（M），ω-span≤ L（M）kf- gkβ（M），ω-span，只要kfkω-span≤ M和kgkω-span≤ M

这就是定理4的证明。3.推论4.7。对于给定的γ<0，存在β：R+→ （0,1）和L:R+→ （0,1），因此对于任何γ∈ [γ，0]，算符Tγ是一个局部收缩wrt.β和L，即对于任何γ∈ [γ，0]，我们得到kTγf- Tγfkβ（M），ω-span≤ L（M）kf- fkβ（M），ω-span，对于f，f∈ Cω（Rk），使得kfkω-span≤ M和kfkω-span≤ M.具有一般因素的长期风险敏感投资组合。推论的证明。7是定理4.3证明的直接结果。为了提高透明度，让我们简要地解释一下证据的概念。为了清楚起见，让我们假设M>0，并考虑L（M）∈ （0,1）和β（M）∈ (0, 1). 设αφ>0，使γ满足（4.28），即αφ≥e2M（φ- b） MbrE[e4（Mb-γb）（φ-b） a（W）]qE[e2[Ma（W）-γa（W）]E[eMa（W）-γa（W）]，设R为（4.30）满足γ。那么，对于任何γ∈ [γ，0]我们得到αφ≥e2M（φ- b） MbrE[e4（Mb-γb）（φ-b） a（W）]qE[e2[Ma（W）-γa（W）]E[eMa（W）-γa（W）]。因此，对于任何γ，选择αφ和R将保证（4.28）和（4.30）∈ [γ，0）。接下来，我们知道β（M）和L（M）的选择方式是（4.39）满足γ，即β<2- 辅助（x，y）∈CRkHf，gx，ykvarφR+2αφ，L>max（φ，sup（x，y）∈CRkHf，gx，ykvar+β（φR+2αφ），2+β（2αφ+φR）2+βR）。因此，我们可以找到一个常数a∈ （0，2）使得sup（x，y）∈CRkHf、gx、ykvar≤ 对于任何γ∈ [γ，0）。要做到这一点，只需注意到（4.38）中引入的Q（x，f，h）的下界实际上是在减少wrt.γ。利用定理4.3，即算子Tγ的收缩性质，我们可以解贝尔曼方程（4.3）和（4.1）。命题4.8。在假设（A.1）-（A.5）下，存在γ<0，因此对于任何γ∈（γ，0），存在唯一的（直到一个加性常数）uγ∈ Cω（Rk）和λγ∈ R、 托贝尔曼方程（4.3）的解。证据设x′γ<0，M:=u（a（W））- uγ(-a（W））+b。

我们知道这一点∈ 我们得到kRγ0kω-span≤ M、 askRγ0kω-span≤ 你好∈Rk（γ（a（W）+bω（x））- uγ(-a（W）- bω（y））2+ω（x）+ω（y）≤ 你好∈Rku（a（W））- uγ(-a（W））+bω（x）+bω（y）2+ω（x）+ω（y）≤ u（a（W））- uγ(-a（W））+b.具有一般因子20的长期风险敏感投资组合对于算子T′γ和M，让β（M）和L（M）表示定理4中相应的常数。3.为了简单起见，我们将写β和L，而不是β（M）和L（M）。设γ：=max{γ，-|β(1 - L）|}（4.40）注意到γ∈ (-1,0）并使用推论4。7.任何情况下∈ （γ，0），我们知道kTγf- Tγfkβ，ω-span≤ Lkf- fkβ，ω-span，（4.41）表示f，f∈ Cω（Rk），使得kfkω-span≤ M和kfkω-span≤ M.As |γ|<β（1）- 五十） ，可以很容易地证明，对于任何n∈ N我们得到kTnγ0kω-span≤ 实际上，使用（4.41），我们得到kTγ0kω-span=|γ| kRγ0kω-span≤ |γ| M≤ M、 kTγ0kω-span≤ kTγ0- Tγ0kβ，ω-span+kTγ0kβ，ω-span≤ kTγ0kβ，ω-span（L+1）≤|γ|1 - LkRγ0kβ，ω-span≤|γ|β(1 - 五十） kRγ0kω-span≤ M、 kTγ0kω-span≤ kTγ0- Tγ0kβ，ω-span+kTγ0- Tγ0kβ，ω-span+kTγ0kβ，ω-span≤ kTγ0kβ，ω-span（L+L+1）≤|γ|1 - LkRγ0kβ，ω-span≤|γ|β(1 - 五十） kRγ0kω-span≤ M≤ . . .kTnγ0kω-span≤ kTγ0kβ，ω-span（Ln-1+ . . . + L+1）≤|γ|β(1 - L）kRγ0kω-span≤ M.利用Banach的不动点定理（参见[17，附录A]），我们知道，在具有ω-跨度范数的Cω（Rk）中存在Tγ的一个不动点。利用ktnγ0kωspan这一事实≤ M代表任何n∈ N和Tγ的局部收缩性质我们得出结论，存在唯一的uγ∈ Cω（Rk）（达到一个加性常数），使得kTγuγ- uγkβ，ω-span=0。因此，对于固定的∈ Rk，常数λγ：=Tγuγ（a）-uγ（a）γ和uγ∈ Cω（Rk）是贝尔曼方程（4.3）的解。因此，常数λγ：=Rγvγ（0）- vγ（0）和vγ∈ Cω（Rk）是Bellman方程（4.1）的解。在本节的最后，让我们展示一个推论，这将在以后有所帮助。要做到这一点，让我们∈ RK和定义uγ（x）：=uγ（x）- x的uγ（a）∈ Rk。推论4.9。

在P位置4的假设和符号下。8函数（γ，0） γ 7→λγ和（γ，0） γ 7→ 每x的uγ（x）∈ 它们是连续的。证据很明显，当uγ是（4.3）的解时，\'uγ也是（4.3）的解。由（4.41）和命题4。8我们得到了k’uγkω-span≤ M和| Tmγ0（x）- \'uγ（x）- Tmγ0（a）|≤ M（L（M））M（2+β（M）ω（x）+β（M）ω（a））（4.42）长期风险敏感投资组合，任何x的一般因子为21∈ （γ，0）的紧致子区间的Rk和γ。根据命题4。每个m和Fixedx 2个∈ 映射γ→ Tmγ0（x）和γ→ Tmγ0（a）是连续的。所以当γn→ γ<0我们有，使用（4.42），uγn（x）- \'uγ（x）|≤ |Tmγn0（x）- Tmγ0（x）|+|Tmγn0（a）- Tmγ0（a）|+2M（L（M））M（2+β（M）ω（x）+β（M）ω（a））=an，M+bn，M+cm。（4.43）对于给定的，我们可以选择m，使cm≤ . 然后让n→ ∞ 对于固定的m，我们得到了映射γ的连续性→ uγ（x）。遵循命题4的证明。2我们还可以证明映射γ→ Tγ′uγ（x）是连续的。因此，映射λ→ λγ=Tγ′uγ（x）-\'uγ（x）γ是连续的，这就完成了证明。5最优策略在假设和命题符号下，很容易检查。我们得到vγ（x）=uγ（x）γ和λγ是Bellman方程（4.1）的解。最后，我们可以将贝尔曼方程（4.1）和（4.3）与初始问题（2.8）联系起来。提议5.1。在（A.1）-（A.5）下，存在γ<0，因此对于任何γ∈ （γ，0），我们得到λγ≥ 嘘∈Aγ（VH），即问题（2.8）中的最佳值不超过贝尔曼方程（4.1）的解。此外，如果假设（A.4）从上面有界，我们得到（2.8）中的最优值等于λγ，最优策略由贝尔曼方程（4.1）的选择器确定。证据这一证明可以被视为经典验证定理与风险敏感控制理论的一个变体（参见[16，定理2.1]）。

设γ由（4.40）和γ给出∈ （γ，0），设uγ和λγ表示Bellman方程（4.3）的解。首先，我们需要证明λγ是任何γ的上界∈ （γ，0），即对于任何适应策略H=（Ht）t∈T、 我们得到了≥ lim inft→∞γt-1Xi=0F（Xt，Ht，Wt）！。（5.1）对于我来说∈ T和p>1，使得γ>pγ，使用（4.3），我们有euγp（Xi）≤ E[euγp（Xi+1）+γpF（Xi，Hi，Wi）-λγpγp | Fi]。因此，利用塔的性质，我们得到λγpγp≤ E[euγp（Xt）-uγp（X）+γpPt-1i=0F（Xi，Hi，Wi）]长期风险敏感投资组合，对于任何t∈ 等价地，对于vγ（x）=uγ（x）γ，我们得到λγp≥γ-铂-1Xi=0F（Xi，Hi，Wi）+vγp（Xt）- vγp（X）！。在上面的不等式中，很难摆脱v的极限（注意，对于有界vit的情况很简单）。利用霍尔德不等式，我们知道对于q=p/（p- 1） 我们得到λγp≥t“γt-1Xi=0F（Xi，Hi，Wi）！+uqγvγp（Xt）- vγp（X）#因此（对于任何p>1），因为vγp（Xt）-vγp（X）≤ M（2+ω（Xt）+ω（X））和limt→∞tuqγ（ω（Xt））=0我们有λγp≥ lim inft→∞γt-1Xi=0F（Xi，Hi，Wi）！。利用γ的连续性→ λγ（见推论4.9），我们有这个跛行→1λγp=λγ，显示（5.1）。其次，我们展示了贝尔曼方程（4.1）定义的策略的最优性，当ain（A.4）从上到下以A为界时。

让我们来看看γ∈ （γ，0），设M>0，使得kvγkω≤ M.对于由Bellman方程（4.3）确定的策略^H，利用μγ的单调性，我们得到λγ=tμγt-1Xi=0F（Xi，^Hi，Wi）+vγ（Xt）- vγ（X）！≤γt-1Xi=0F（Xi，^Hi，Wi）+M（ω（Xt）+1）- vγ（X）！≤γt-1Xi=0F（Xi，^Hi，Wi）+MtXi=1bi-1a（重量-i） +btω（X）+1！- vγ（X）！≤γt-1Xi=0F（Xi，^Hi，Wi）+M~a1-b+ω（X）+1- vγ（X）t→ ∞ 我们得到（考虑（5.1））λγ=lim inft→∞tμγ（t-1Xi=0F（Xi，Hi，Wi）），这就完成了证明的第二部分。6.示例性动态在本小节中，让我们给出一些动态示例，这些示例中的假设（A.1）-（A.5）都已完成。具有一般因素的长期风险敏感投资组合23例6.1。在这个例子中，我们将设置ω≡ 0（相当于，有人可能会说ω是有界的），并表明我们的框架涵盖了经典情况下的一大类动力学。第一个例子取自[25]。我们假设时间T=R+是连续的，但我们只能在离散时间n中重塑我们的投资组合∈ N.为了N∈ N和（z=1，…，k+m），假设wzn表示wz（t）的轨迹- wz（n）（n）≤ T≤ n+1），其中{wz（t）}k+mz=1是独立的布朗运动（产生过滤）。假设风险集合和因子的动力学由xjn=bj（Xn）给出-1） +k+mXz=1δjz[wz（n）- wz（n）- 1） ]n∈ N、 dSitSit=ai（Xn）dt+k+mXz=1σizdwz（t），t∈ [n，n+1），其中对于（i=1，…，m），（j=1，…，k）和（z=1，…，k+m）：ai，bi:Rk→ R是可测有界函数，Bi是连续的，δjz∈ R、 σiz∈ R和秩（（σiz）z=1，。。。，k+m）=k。hi（t）表示在t时投资于第i个风险资产的资本部分，letU={（h，…，hm）∈ [0,1]m:mXi=1hi=1}。此外，设Hin=hi（n）。

利用伊藤引理（详见[25]），我们得到了形式为F（Xn，Hn，Wn）=mXi=1Zn+1nai（Xn）hi（s）ds的函数F-k+mXz=1Zn+1nmXi=1hi（s）σizds+Zn+1nmXi=1hi（s）k+mXz=1σizdwz（s）。我们可以检查假设（A.1）–（A.4）在这个框架中是否成立，对于ω≡ 参见[25]，其中直接证明了第4节中所有命题的事实等价物。为了清楚起见，让我们展示（A.4）中函数F的上界的存在性。我们得到f（Xn，Hn，Wn）=lnVn+1Vn=lnmXi=1HinSin+1Sin=lnmXi=1hinei（Xn）+Pk+mz=1σiz[wz（n+1）-wz（n）]≤ sup1≤我≤Mai（Xn）+k+mXz=1σiz[wz（n+1）- wz（n）]≤ kaksup+kσksupmax1≤Z≤k+m[wz（n+1）- wz（n）]，其中kaksup=sup1≤我≤msupx∈Rk | ai（x）|和kσksup=sup1≤我≤msup1≤Z≤k+m |σiz |。因此，is足以设置任何b≥ 0安达（w）=kaksup+kσksupmax1≤Z≤k+m | wz（n+1）- wz（n）|（w）。具有一般因素的长期风险敏感投资组合24注意，很容易检查a是否满足（2.4），对于高斯X，我们得到e | X|∈ L.此外，（2.2）源于b的有界性，（2.6）源于σ的非退化性和b的有界性，事实上，对于所有x，我们可以找到一个常数c∈ Rk。在本例中，Bellman方程（4.1）的解是有界的，因此我们在命题5.1中得出λγ是最佳值，无需额外假设。例6.2。现在我们来概括前面的例子。也就是说，letG（x，W）=B（x）+C（W），其中B:Rk→ kB（x）k≤ A+bkxk，b<1，C:Rk+m→ Rkis从公式c（Wn）=min（k+mXz=1δjz[wz（n）的上方起界- wz（n）- 1） ]，K），K>0。然后Xn=B（Xn-1） +C（Wn），dSitSit=ai（Xn）dt+k+mXz=1σizdwz（t），t∈ [n，n+1），其中我们假设kaikω<∞. 选择ω（x）=a+bkxk可以检查所有假设（a.1）-（a.5）以及ain（a.4）的有界性是否满足。特别是，假设（a.5）在x中一致满足∈ 由于G（x，W）和C（Wn）的形式，RK是紧致集的一部分。例6.3。

假设假设（A.1）和（A.2）成立，对于任何t∈ T、 式中ξ是一个可测向量函数。此外，集合U的形式为{（h，…，hm）∈ [0,1]m:Pmi=1hi≤ 1}. 然后我们可以明确定义F，asF（Xn，Hn，Wn）=lnmXi=1Hinξi（Xn，Wn）+（1-mXi=1Hin）！。为了得到假设（A.3）和（A.4），我们需要对W和ξi施加额外的假设。特别是，我们可以通过设置Win=wi（n+1）来考虑示例6.1的离散化版本- wi（n）和ξi（Xn，Wn）=expnai（Xn）-k+mXz=1σiz+k+mXz=1σizWjno。（6.1）参见[26]了解一般情况，参见[10]了解（6.1）成立时的情况。具有一般因素的长期风险敏感投资组合25参考文献[1]T.R.Bielecki，I.Cialenco和M.Pitera，离散时间动态极限增长指数，arXiv预印本arXiv:1312.1006（2013）。[2] T.R.Bielecki，I.Cialenco和Z.Zhang，《动态一致可接受性指数及其在金融中的应用》，数学金融24（2014），第3411-441号。[3] T.R.Bielecki和S.R.Pliska，风险敏感动态资产管理，应用。数学擎天柱。39（1999），第337-360号。[4] ，投资组合管理风险敏感标准的经济性质，《会计与金融评论2》（2003），第3-17页。[5] R.Cavazos Cadena和D.Hern’andez Hern’andez，《有限控制马尔可夫链中最优风险敏感性平均成本的表征》，《应用概率年鉴》15（2005），第1A期，175-212页。[6] A.S.Cherny和D.B.Madan，《绩效评估的新措施》，《金融研究回顾》第22期（2009），第7期，2571–2606页。[7] P.Dai Pra，L.Meneghini和W.J.Runggaldier，《随机控制和动态地图之间的联系》，控制数学，信号和系统9（1996），第4期，303–326。[8] G.B.Di Masi和L。

Stettner，《离散时间马尔可夫过程的风险敏感控制与内部控制》，暹罗控制与优化杂志38（1999），第1期，第61-78页。[9] ，关于加法和乘法（受控）泊松方程，班纳赫中心出版物72（2006），57。[10] ，关于风险中性和风险敏感投资组合优化的评论，从随机演算到数学金融，斯普林格，2006年，第211-226页。[11] W.H.Fleming和D.Hern\'andez Hern\'andez，《有限地平线I上有限状态机的风险敏感控制》，暹罗控制与优化杂志35（1997），第5期，1790-1810年。[12] H.F¨ollmer和A.Schied，《随机金融：离散时间导论》，《数学中的德格鲁伊特研究》，2002年第27期。[13] H.U.Gerber，《数学风险理论导论》，第8卷，SS Huebner保险教育基金会，宾夕法尼亚大学费城分校沃顿商学院，1979年。[14] S.G–ulten和A.Ruszczy\'nski，具有高阶条件风险度量的两阶段投资组合优化，Ann。奥普。第229（2015）号决议，第1409-427号。[15] M.Haier和J.C.Mattingly，关于马尔可夫链的Harris遍历定理，Seminaron随机分析，随机场和应用VI，Springer，2011，第109-117页。[16] D.Hern’andez Hern’andez和S.I.Marcus，《可数状态空间中马尔可夫过程的风险敏感控制》，《系统与控制通讯》29（1996），第3期，第147-155页。[17] O.Hern’andez Lerma，《自适应马尔可夫控制过程》，斯普林格，1989年。[18] O.Hern’andez Lerma和J.B.Lasserre，《离散时间马尔可夫控制过程》，斯普林格，1996年。[19] I.Kontoyiannis和S.P.Meyn，几何遍历马尔科夫过程的谱理论和极限定理，应用概率年鉴（2003），304-362。具有一般因素的长期风险敏感投资组合26[20]M.Kupper和W。

Schachermayer，法律不变时间一致性函数的表示结果，数学和金融经济学2（2009），第3期，189-210。[21]R.C.默顿，跨期资本资产定价模型，计量经济学：计量经济学社会杂志（1973），867-887。[22]H.Nagai，一般因子模型风险敏感投资组合优化问题的最优策略，暹罗J.控制优化。41（2003），第6号，1779-1800。[23]J.-L.Prigent，《投资组合优化与绩效分析》，华润出版社，2007年。[24]沈耀荣，W.斯坦纳特和K.奥伯迈尔，风险敏感马尔可夫控制过程，暹罗控制与优化杂志51（2013），第5期，第3652-3672页。[25]L.Stettner，《风险敏感投资组合优化》，运筹学数学方法50（1999），第3463-474号。[26]，对偶和风险敏感投资组合优化，当代数学351（2004），333-348。