具有一般因素的长期风险敏感投资组合

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英文标题：
《Long run risk sensitive portfolio with general factors》
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作者：
Marcin Pitera and {\\L}ukasz Stettner
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In the paper portfolio optimization over long run risk sensitive criterion is considered. It is assumed that economic factors which stimulate asset prices are ergodic but non necessarily uniformly ergodic. Solution to suitable Bellman equation using local span contraction with weighted norms is shown. The form of optimal strategy is presented and examples of market models satisfying imposed assumptions are shown.
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中文摘要：
本文研究了长期风险敏感准则下的投资组合优化问题。假设刺激资产价格的经济因素是遍历的，但不一定是一致遍历的。文中给出了用加权范数的局部跨度收缩法求解合适的Bellman方程的方法。给出了最优策略的形式，并给出了满足强加假设的市场模型的例子。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Long_run_risk_sensitive_portfolio_with_general_factors.pdf (305.79 KB)

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关键词：投资组合 Quantitative Optimization Mathematical Applications

具有一般因素的长期风险敏感投资组合Marcin Piteraaa和Lukasz Stettnerbf首次发行日期：2015年8月21日此版本：2018年6月13日摘要：本文考虑了基于长期风险敏感准则的投资组合优化。假设刺激资产价格的经济因素是遍历的，但不一定是一致遍历的。本文给出了用带加权范数的局部收缩法求解合适的Bellman方程的方法。给出了最优策略的形式，并给出了满足强加假设的市场模型的例子。关键词：风险敏感投资组合、贝尔曼方程、加权跨度范数、风险度量SC2010:93E20、91G10、91G801简介在投资组合管理的理论研究中使用了许多随机控制方法（参考文献[23]）。其中，风险敏感控制是最受认可的控制之一。对于有限时间范围内，任何投资组合价值过程V和风险规避参数γ<0，风险敏感标准（RSC）函数由以下公式给出：=lim inft→∞tγlne[Vγt]。（1.1）与通常基于预期效用准则的标准理论方法相比，在投资组合管理中使用该目标函数具有许多优势。当我们试图计算现实证券市场模型的最佳交易策略时，让我们来讨论与模型参数估计相关的困难或出现的可追踪困难[4]。

对于RSC，应用γ=0附近的泰勒展开，我们得到γ（V）=lim inft→∞波兰克拉科夫贾吉耶隆大学数学学院[ln-Vt]+γV-ar（ln-Vt）+O（γ，t）i，（1.2），电子邮件：marcin。pitera@im.uj.edu.pl.bInstitute of Mathematics，波兰科学院，华沙，波兰，电子邮件：l。stettner@impan.pl，由NCN资助的研究，2012年12月7日B/ST1/03298。具有一般因子2的长期风险敏感投资组合，这表明该图可以被视为绩效的衡量标准，因为它用渐近方差乘以风险规避参数γ<0来惩罚预期增长率。当然，这只适用于最后一项（即O（γ，t）/t）消失的问题，当t变为完整时。然而，正如[4，第5节]中所解释的，这一假设满足了许多标准动力学，因此（1.2）提出了产生这类地图的动机。我们参考[4]进一步讨论RSC的经济性质。在[1,14]之后，我们想强调一个事实，即RSC可能被视为一种风险，不符合报酬标准。事实上，RSC可以被视为一个可接受性指数[6,2]，该图量化了投资组合增长与相关风险之间的权衡。正如我们将在本文中展示的，风险和绩效测量理论中的许多方法可以直接应用于RSC。从另一个角度来看，RSC是许多与（受控）马尔可夫决策过程相关的优化控制问题的一个很好的目标函数，无论是在有限的时间范围内还是在有限的时间范围内（参见[18,17,8,5]和其中的参考文献）。具体而言，与投资组合优化的关系如[3]所示，其中RSC应用于有限时间范围内的连续时间，并考虑了梅顿跨期资本资产定价模型的一个版本[21]。

[25]对离散时间市场模型进行了类似研究。正因为如此，我们决定以这样一种方式展示我们的结果，它们可能对风险分析专家，尤其是研究动态增长指数的专家，以及风险敏感控制马尔可夫决策过程的专家都很感兴趣。有许多复杂的方法可以保证与RSC相关的Bellman方程解的存在。更不用说消失折扣法[16]或定点法[8]。保证解存在的假设通常与所考虑过程的遍历性质有关[8,19,17,16]。最新的结果与局部Doeblin条件[5]和马尔可夫分裂技术[9]有关。RSC的理论也严格连接到乘性泊松方程[9]和三次成本随机动态博弈的Issacs方程（参见[16,11,7]和其中的参考文献）。在本文中，我们推广了[25]的结果，即我们考虑具有更一般经济因素的市场模型，这些因素不一定是一致遍历的，因此研究贝尔曼方程时，我们必须使用合适的权函数。本文[3]研究了Black-Scholes市场的此类更一般的经济因素，然后在[22]中继续研究了连续时间一般扩散模型。在本文中，我们研究离散时间模型，并试图将[15]中的风险中性结果推广到[24]中的风险敏感性投资组合。本文的主要创新之处在于，我们使用加权跨度范数压缩方法，得到了适用于Bellman方程的解的存在性。因此，我们的论文可以应用于比[25]更一般的市场动力学。

此外，我们还利用Bellman方程的无界解解决了一个风险敏感控制问题。本文的组织结构如下。第二部分是一般设置。我们在这里陈述了我们研究的所有假设分数（例如动力学、控制等）。接下来，在第3节中，我们回顾了加权范数和跨度范数的一些基本符号。在第4节中，我们给出了本文的主要结果，即我们陈述了Bellman方程，并说明了何时可以求解它。在第5节中，我们展示了如何长期运行风险敏感投资组合，一般因素3将贝尔曼方程与初始投资问题联系起来。特别地，我们讨论了在给定贝尔曼方程解的情况下，如何构造最优策略以及何时可行。最后，第6章我们展示了典型的动态，这可能符合我们的模型。2.预备课程(Ohm, F、 {Ft}t∈T、 P）是一个离散时间过滤概率空间，其中T=N，Fis平凡，f=St∈TFt。此外，设L:=L(Ohm, F、 P）表示所有（a.s.识别）F-可测量随机变量的空间。我们假设市场由m个风险资产（如股票、债券、衍生证券）和k个经济因素（如通货膨胀率、短期利率、分割收益率）组成。m风险资产的价格将用Si=（Sit）t表示∈t（i=1，…，m）和k经济因素水平将用Xj=（Xjt）t表示∈t对于（j=1，…，k）。为了简单起见，我们将写S:=（St）t∈Tand X:=（Xt）t∈T、 其中St=（St，…，Smt）和Xt=（Xt，…，Xkt）。我们将使用A来表示所有U值适应过程的集合，其中U是Rm的一个紧子集。A的元素将对应于所有可接受的投资组合策略H:=（Ht）t∈T、 其中Ht=（Ht，…，Hmt）和Hi=（Hit）T∈这是投资于第i项风险资产的资本的一部分（因为i=1，…，m）。

此外，我们将使用符号VH=（VHt）t∈t表示与策略H相对应的投资组合价值过程。在本文中，我们将做出以下假设：（A.1）过滤{Ft}t∈Twill可以由k+m随机过程序列生成，用wi=（Wit）t表示∈t对于（i=1，…，k+m）。此外，Wt=（Wt，…，Wk+mt）将独立于Ftand Law（Wt+1）=Law（Wt），即W:=（Wt）t∈斜纹形成一系列i.i.d.随机向量。（A.2）因子过程X将是马尔可夫过程，并将接受以下表示：X∈ Rk，Xt+1=G（Xt，Wt）：=（G（Xt，Wt），Gk（Xt，Wt）），其中Gi:Rk×Rk+m→ RK是一个Borel可测函数，相对于第一个变量是连续的（对于i=1。

，k）。（A.3）对于任何H∈ A、 我们将假设投资组合动态的形式为vh=V，lnVHt+1VHt=F（Xt，Ht，Wt），（2.1）表示t∈ T、 其中V>0，F:Rk×U×Rk+m→ R是一个Borel可测函数，与前两个变量有关。（A.4）我们将假设对于任何t∈ T、 x∈ Rk，h∈ 我们有ω（G（x，w））≤ a（w）+bω（x），（2.2）|F（x，h，w）|≤ a（w）+bω（x），（2.3）具有Borel可测函数a，a:Rk+m的一般因子4的长期风险敏感投资组合→ R+，常数b∈ （0,1），b>0与连续可测函数ω：Rk→ [0, ∞), 我们称之为重量函数。此外，我们假设对于任何γ∈ R、 γ（a（W））∈ R和γ（a（W））∈ R、 （2.4）式中：→R是熵效用度量，即|γ（X）：=（γlne[exp（γX）]如果γ6=0，e[X]如果γ=0。（2.5）（A.5）对于任何R>0，都存在常数c>0和概率测度ν，例如infx∈CRP[G（x，W）∈ A]≥ cν（A），A∈ B（Rk），（2.6）式中CR={x∈ Rk：ω（x）≤ R} 。假设（A.1）和（A.2）分别是概率空间和非因子过程的经典条件。假设（A.3）是技术性的——它允许通过日志回报而不是价值过程对投资组合进行建模（有关更多详细信息，请参见示例6.1或[25]）。假设（A.4）具有财务解释。（2.2）和（2.3）中引入的状态空间约束带表示，在我们的模型中，我们只允许相对于状态空间的ω-增长（即与ω的增长成比例的增长）。特别是，不等式（2.2）可能被视为施加在X上的几何漂移条件的一种形式（参见[15]）。另一方面，假设（2.4）允许我们控制噪声部分的熵。在更为概率的情况下，它等价于a（W）和a（W）的矩母函数存在的说法。

特别是，我们可以说，时间t的单周期对数收益率的效用（或风险）由γ（或-对于任何简单交易（在任何固定状态下），μγ）必须是有限的，事实上，它的范围是±a（Wt）加上一些常数（取决于状态）。请注意，这一假设很弱，且由标准模型完全满足，标准模型将对数收益描述为形式为F（x，h，Wt）=a（x，h，Wt）+k+mXi=1b（x，h）的过程，其中Wt是具有多维正态分布的随机向量，函数a和b满足ω-增长约束。然后，可以使用随机变量smin（Wt，…，Wk+mt）和max（Wt，…，Wk+mt）构造函数a。假设（A.5）是（局部）二值化性质。结合几何漂移条件，我们可以利用X的遍历性质（参见[15]）。请注意，设置ω≡ 对于任何R>0，我们得到C=Rk。因此，在这种特殊情况下，（A.5）成为一个全局Doeblin条件，相当于过程X的一致遍历性。另一方面，如果ω是长期运行的风险敏感投资组合，且一般因子5无界且任意R>0的CRis紧，则（2.6）与（局部）混合条件直接相关，即对于任意固定的紧子集K（Rk），我们有超能力了∈克苏帕∈B（Rk）|P[G（x，W）∈ A]- P[G（y，W）∈ A] |<1。（2.7）本文的主要目标是优化（1.1）中给出的风险敏感成本标准，即|γ（V）=lim inft→∞tγln E[Vγt]，其中γ<0是一个固定的风险规避参数，V是投资组合价值过程。换句话说，给定集合A和VHH的动力学∈ A、 我们想解决最优随机控制问题∈Aγ（VH）。

（2.8）对于任何H，使用熵表示法（详见[1]）和（2.1）∈ A、 我们得到γ（VH）=lim inft→∞uγlnVHtVHt=lim inft→∞γ（Pt）-1i=0F（Xi，Hi，Wi））t，（2.9），其中μγ是（2.5）给出的熵效用度量。请注意，（2.9）中的第一个等式为RSC提供了另一种财务解释。VHtallow的对数变换使我们能够测量时间t的累积增长（对数回报），而mapγ则用于评估其（熵）效用。然后，我们将结果除以t，使其在时间上正常化，并使用lim inf来测量（aworst案例稳健版）价值过程的长期效率（参见[1]）。在上述假设下，从（2.9）不难看出，问题（2.8）的最佳值将是有限的，这实际上是命题2.1的陈述。提议2.1。设γ<0。在假设（A.1）-（A.4）下，我们得到-∞ < 嘘∈A.γ（VH）<∞.证据将（A.3）和（A.4）用于任何H∈ A和t∈ T、 我们得到了-1Xi=0F（Xi，Hi，Wi）≤T-1Xi=0a（Wi）+bω（Xi）≤T-1Xi=0a（Wi）+bbiω（X）+i-1Xj=0bja（Wi-j）≤b1- bω（X）+t-1Xi=0a（Wi）+b1- 文学士（威斯康星州）.以一般因子6为熵效用测度的长期风险敏感投资组合γ对于任意两个独立的随机变量是单调的、平移不变的、可加的，对于任意t∈ T、 我们得到了-1Xi=0F（Xi，你好，Wi）！≤b1- bω（X）+t-1Xi=0μγa（Wi）+b1- 文学士（威斯康星州）=b1- bω（X）+tμγa（W）+b1- 文学士（西）.因此，对于任何H，使用（2.9）和（2.4）∈ A、 我们得到γ（VH）=lim inft→∞uγPt-1i=0F（Xi，Hi，Wi）T≤ uγa（W）+b1- 文学士（西）< ∞.另一个不等式的证明是类似的。3加权范数假设（A.4）我们引入了可测连续函数ω：Rk→ [0, ∞), 我们称之为权重函数。下面[15]让我们回顾一下关于这些函数的基本符号。

我们将用Cω（Rk）表示所有连续可测函数f:Rk的集合→ R、 使得f的ω-范数有界，即kfkω：=supx∈Rk|f（x）|1+ω（x）<∞.接下来，我们定义f的ω-跨度半形式∈ Cω（Rk）bykfkω-span:=supx，y∈Rkf（x）- f（y）2+ω（x）+ω（y）。备注3.1。函数f:Rk的经典跨度范数→ R（参见[18]及其参考文献）通常定义为kfkspan=supxf（x）-infyf（y）。注意，在我们的框架中，使用ω≡ 0，我们得到kfkω-span=supxf（x）-infxf（x）=kfkspan。此外，对于任何有界权函数ω，我们知道k·kω与k·kω-s是等价的。对于任何β>0的情况，我们还将定义kfkβ给出的加权（半）范数，ω：=supx∈Rk | f（x）| 1+βω（x），kfkβ，ω-span:=supx，y∈Rkf（x）- f（y）2+βω（x）+βω（y）。请注意，对于任何β>0和c≥ 0，函数ω′：Rk→ [0, ∞), ω′（x）=βω（x）+cis也是一个权函数。现在让我们回顾一下加权范数和相关跨度范数的一些基本性质。具有一般因素的长期风险敏感投资组合7提案3.2。设ω：Rk→ [0, ∞) 这是一个权重函数。然后1）对于任何大于0的β，范数k·kω和k·kβ，ω是等价的。2） 对于任何大于0的β，亚型k·kω-Span和k·kβ，ω-Span是等价的。3） 对于任何0<β<1和f∈ Cω（Rk），我们得到kfkω-span≤ kfkβ，ω-span。4） 对于任何f∈ 我们得到infc∈Rkf+ckω=kfkω-span。5） 让f∈ Cω（Rk）和C∈ R.那么kf+ckω=kfkω-span当且仅当c∈ [c，c]，其中c=- infx∈Rk{f（x）+（1+ω（x））kfkω-span}，（3.1）c=- 好的∈Rk{f（x）- （1+ω（x））kfkω-span}。（3.2）此外，还存在c∈ {c，c}，这样kf+ckω=supx∈Rkf（x）+c1+ω（x）=- infx∈Rkf（x）+c1+ω（x）。（3.3）证据。性质1）、2）和3）的证明很简单，因此此处省略。4） 该证明基于[15，引理2.1]，并被召回以确保完整性。