百慕大期权的模拟

这种计分法的变化让人想起Jamshidian[9]版本的双美式期权估值。我们可以类似地将停止向g（t，Xt）转化为（t，Xt）- ν（t，Xt）+~n（0，X），式中，ν是其中的某个函数，例如，欧式期权的值。在下面的例子中，我们计算了各种衍生产品价格的模拟上限和下限。在本文中，我们还报告了欧洲等效导数的模拟值。当然，这应该总是比百慕大选择便宜。在一些地方，这种自然的不平等似乎被少量的破坏了。这在一定程度上是因为模拟方法固有的标准误差（在表中每个条目后的括号中报告），但也因为欧洲价格是根据到期时期权实际价值的平均值计算的，而下限是基于到期时期权的离散值，而这两个值并不相同。无论如何，即使存在差异，差异也很小。总计算时间报告为lso；通常，计算的主要部分是对偶上界的计算。有时，传递矩阵的初始计算相当耗时，但通常小于上限。3.1分钟。在本例中，状态变量为Xt≡ xt，贴现对数价格的向量，以及用于在时间t停止的反向函数（t，xt）=柯-rt- exp（min1≤我≤dXit）+. （3.6）本例在[14]中进行了研究，表1的MC价格列中的数据取自该论文；对于d=30，60[14]中未给出任何值。标题为European的一栏是欧式期权的模拟值，不允许提前行使。

低和高列是通过模拟方法获得的样本。标准误差在平均值后括号内报告。请注意，在所有情况下，下限都不如欧洲价格的下限好。这可能部分是由于仓位的有限大小以及由此产生的误差，但它表明，这种简单的方法对于提取持有人期权的早期行使价值是值得注意的。尽管如此，所有d值的界限都相当接近，甚至对于更大的d值也是相当好的，时间2 24.78（0.07）24.74（0.07）35.74（0.07）35.74（0.07）35.74（0.07）36.28 36.81（0.35）36.28（0.35）36.28（0.35）36.81（0.35）36.28（0.35）36.81（0.35）28（0.81）36（0）81（0.35）22（0）20）20（0.19）11 11 11 11 11.42（0.42）19（0（0.35）19）19（0.42（0（0.35）19）19（0（0）19（0（0（0）19）19（0.35）19）19）19（0（0（0（0（0（0）19）38（0 0.35）19）19）19（0（0（0（0（0）19）38（0（0（0）19）19）19）19）19 00 18.6415 52.13（0.04）52.06（0.04）52.14 52.62（0.23）0.93 26.3830 57.82（0.03）57.66（0.03）-58.21（0.17）0.66 61.2060 62.28（0.02）62.18（0.03）-62.57（0.16）0.47 183.49表1：最低卖出价格。d资产是独立的，Si（0）=100。其他参数为K=100，r=0.06，T=0.5，σii=0.6。模拟的参数为Nbins=200、Nblock=200、NT=40、Nprimal=50000、Ndual=400、Nsub=60.3.2最大调用。与min put一样，状态变量为Xt≡ xt，折扣原木价格的向量，但此时在时间t停止的奖励函数将求（t，xt）=exp（max1≤我≤dXit）- 柯-rt+. （3.7）为了使问题变得有趣，将假定资产以恒定利率支付股息。Broadie&Glasserman[6]对这个例子进行了研究，并在其他许多研究中用作测试例子，包括[7]、[8]、[1]、[10]。

请注意，这一次我们得到的下限明显大于欧洲价格，因此持有人可以使用简单的马尔科夫强制启发法提取一些早期行使价值。在预印本版本中，表2中给出的示例据说给出了3、6、9等距d锻炼机会的常见到期时间T=3的结果，但公布的版本给出了相同的数值，即到期时间为3、6、9年的年终锻炼机会。我们的数字显示，事实上，所解决的问题在预印本中正确陈述，而在出版版本中错误陈述。与min-put示例相比，边界不太接近，但这是一个更难处理的选项；5-6%的误差需要改进，但已经提供了可用的信息。（0.06）15.11（0.11）35（0.11）35.695（0.11）35.695 35.5 35.8（0.14）35.695 35.8（0.14）5.15（0.14）5.39（0.14）5.15（0.14）35（35）35（35）35（35）35（35）35（35）35（5）6（0.14）5）5（5）5）4.39（4）4）4.494 4 4 4.499 9（4）14 14（4）14（4.9）14 14（4）14（4.499）14 14（4）14（0（0）14（0）14（0）14（0（0）14（0）14（0（0）14（0（0）14（0）5）14（0）5）5）14（0（0（0）5）5）5）14（0（0）5）5）17 8.35110 32.64（0.09）35.03（0.09）36.479 37.2 4（0.13）5.948.3090 14.57（0.06）16.05（0.07）16.659 16.93（0.09）5.20 11.779 100 23.05（0.08）25.14（0.08）26.158 26.8 8 8（0.11）6.47 12.08110 32.61（0.09）35.23（0.09）36.782 37.57（0.12）6.23 11.83表2：5个具有共同波动率σ=0.2且到期日=3的独立资产的最大看涨价格。有m=3,6,9个锻炼机会，有时iT/m，i=0，m、 其他参数为K=100，r=0.05，δ=0.1。模拟参数为Nbins=500、Nblock=100、Nprimal=50000、Ndual=4000、Nsub=150。3.3篮下推杆。这是在科瓦洛夫、莱恩茨基和马尔科齐[11]中研究的一个例子，随后在金等人[10]中进行了研究。

状态变量同样是d折扣原木价格的向量，这一次最高奖励函数是g（t，Xt）=柯-rt- D-1dXi=1exp（Xit）+. （3.8）所有股票从100开始，行权为K=100，无风险利率为0.03，到期isT=0.25，单个资产的波动率均为0.2，但这一次资产不应是独立的；所有资产之间存在恒定的相关性ρ=0.5。Kovalovet等人使用数值偏微分方程方法，Jin等人使用模拟方法，而Bothapproach似乎比我们在这里使用的方法给出了更好的精度。然而，正如我们很快就会看到的那样，精度上的差异实际上并不相关。我们在表3中报告了结果。假设波动率参数σ等于20%，计算这些值。但我们确定吗？在任何应用中，波动率（假定为常数）都必须满足[11]中各种参数的规定在内部不一致，且与[10]中引用的参数不一致。为了使报告的价格正确，我们发现使用的参数值必须是我们所述的参数值。（0.01）3.13（0.02）3.14（0.01）3.14 3.25（0.01）3.19（0.01）3.59 41.893 2.89（0.01）3.59（0.01）2.89（0.01）2.893（0.01）2.89（0.01）3（0.01）2（0）1）2.893（0.893.893（0）89（0.89）3（0（0.89）3）3（0（0（0.01）3）3（0（0（0.01）9）3（0（0（0.01）9）9）3（0（0（0（0.01）9）9）3（0（0（0（0（0.01）9）9）9）9）9）9）9）9）3.893.893（0（0（0（0（0（0（0（0 0（0 2.60（0.01）-2.70（0.01）3.56 99.03表3：篮式推杆。所有资产从100开始，K=100，T=0.25，r=0.03。所有资产的波动率为20%，资产之间的相关性为0.5。

其他参数包括Nbins=500、Nblock=200、NT=40、Nprimal=50000、Ndual=1000、Nsub=160。估计；我们真的确定波动率不是19%吗？还是21%？我们真的确定在期权到期之前波动率将保持在20%不变吗？假设我们重复表3中波动率参数值的计算，并查看价格结果的范围。结果记录在表4中，我们看到的是，三个σ值的计算结果之间没有重叠。换句话说，由我们的模拟范围产生的价格不确定性与由输入参数值的不确定性产生的价格不确定性具有可比性。d低（19%）高（19%）低（20%）高（20%）低（21%）高（21%）2.98 3.07 3.13 3.25 3.28 3.423 2.76 2.87 2.93 3.04 3.09 3.204 2.68 2.79 2.81 2.94 2.97 3.105 2.61 2.72 2.75 2.87 2.93 3.046 2.58 2.68 2.73 2.83 2.86 2.97表4：篮子推杆。表3中的参数，除波动性参数外，其值分别为19%、20%、21%。3.4固定走向百慕大亚洲看涨期权。在这个例子中，有一个单一的资产S，在时间τisg（τ，Xτ）=e时停止的奖励-rτ（Aτ）- K） +，（3.9），其中我们定义了平均价格AT=Rt-δSudut+δ。（3.10）这里，δ>0是防止剧烈振荡所需的一些初始窗口。还有一些初始锁定时间t*≥ 0，在此期间，期权的行使被禁止。问题的状态变量是Xt=[St，At，t]。数值结果如表5所示。界限之间的差距是相当可变的。事实上，我们使用了不同的数字（银行账户、股票和鞅等）。

这个例子对任何一个维度来说都是非常有用的，但是这个结果对任何一个维度来说都是非常重要的。我们不能期望一个停止规则只关注Atto做得很好，因为必须考虑sto的当前值；如果STI足够高，g（t，Xt）的值实际上在增加，所以我们肯定不会在这个时候停止。但是，一个只考虑ATC的规则不会理解这一点。（0.008）0.949（0.035）7.568（0.035）7.568（0.035）7.568（0.035）7.568（0.035）7.889 8 8.048（0.116）8（0.116）8（0.116）8（0.116）8）7.889 8 8 8 8.048（8）8（0.18）8（0）8）8（0.116）8）8（0（0）8）8（0（0.116）8）8）8（0（0）8）8（0（0）8）8（0.18）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8（0.116）8 8 8 8 8 8 8 8（0.116）8）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8（0（0）8 8 8 8 3 22.94（0.18）7.58 30.0180 1.098（0.009）1.088（0.013）1.108 1.160（0.036）5.36 29.3990 3.557 (0.017) 3.578 (0.024) 3.710 3.759 (0.080) 4.82 29.40100 100 8.133 ( 0.025) 8.14 8 (0.036) 8.658 8.905 (0.127) 8.50 29.40110 14.73 (0.04) 13.92 (0.05) 15.717 16.39 (0.17) 10.12 29.62120 22.09 (0.05) 21.88 (0.07) 23.811 24.46 (0.21) 9.67 27.3280 1.260 (0.011) 1.233 (0.015) 1.288 1.337 (0.048) 5.75 30.3290 3.911 (0.023) 3.978 (0.033) 4.136 4.506 (0.107) 11.72 27.19110 100 8.885 （0.029）8.37 8（0.040）9.821 10.822（0.133）17.90 29.64110 15.53（0.04）15.61（0.05）17.399 18.40（0.16）15.14 29.69120 23.02（0.05）23.36（0.07）25.453 26.42（0.20）10.92 26.94表5：百慕大亚洲固定罢工电话。参数为σ=0.2，K=100，t*= 0.25，δ=0.25，T=2。其他参数包括Nbins=500、Nblock=100、NT=40、Nprimal=50000、Ndual=4000、Nsub=125.3.5浮动罢工百慕大亚洲呼叫。这个故事与第3.4节非常相似，只是奖励是g（τ，Xτ）=e-rτ（Aτ）- Sτ）+（3.11）用于在时间τ停止。

这个例子实际上比固定打击容易得多，因为At/STI过程已经是一个马尔可夫过程。Scaling表示，我们只需要在保持固定状态的同时改变，这就是我们所做的。表6给出了当我们fix A=100时获得的结果。再一次，这两个界限之间的差距在使用上是很接近的，并且下限与欧洲值非常接近，所以这里的近似停止规则给出了一个非常实质性的改进。在80.3.98（0.04）10.62（0.03）10.81（0.07）1.77 8.8890 3.936（0.041）8.8890 3.936（0.041）8.8890 3.936（0.041）8.8890 3.936（0.041）3.936（0.041）0（0.041）8.347（0（0.031）8（0.041）8（0.041）8（0.031）8（0.031）8（0.031）8（0（0.032）8）8（0）8（0（0.032）8（0.032）8）8（0）8（0（0.032）8（0（0.032）8）8（0（0）8）8（0.031）8（0（0（0）8（0）8（0.031）浮动罢工百慕大亚洲电话。参数为σ=0.2，A=100，t*= 0.25，δ=0.25，T=2。这些计算是在贴现资产价格的计分表中进行的。其他参数包括Nbins=200、Nblock=100、NT=40、Nprimal=50000、Ndual=4000、Nsub=50。3.6固定窗口回望选项。这个例子说明了该方法处理高维问题的能力。在这里，我们假设股票价格是someh>0的倍数，并且在τ=kh时停止会产生回报（τ，Xτ）=supk-A.≤J≤kSjh，（3.12），其中a是某个正整数。这一次，状态变量X必须记录价格的最后一次波动，因为sup和inf在一个固定窗口中被接管。结果如表7所示。请注意，对于本例，边界非常接近，随着回望参数a的升高，边界变得稍微不好。同样值得注意的是，随着我们增加lookback参数，运行时间几乎没有变化；所以在表格的最后一行，状态变量是25维的。

运行时间变化如此之小并不令人惊讶，因为增加a对模拟负载没有影响；每一个时期，我们都会模拟一个新的值，唯一不同的是，我们存储了过去更多或更少的值。3.7固定窗口范围选项。该示例类似于第3.6节中的固定窗口回望选项，除了在时间τ=kh isg（τ，Xτ）=supk时停止-A.≤J≤kSjh- infk-A.≤J≤kSjh，（3.13）a（天）欧洲低-高差距（%）时间5103.50（0.02）117.67（0.01）118.51（0.03）0.7193.0010 105.96（0.03）124.71（0.02）126.46（0.05）1.3888.6515 107.80（0.04）129.24（0.03）131.86（0.06）1.98 91.3420 109.38（0.05）132.62（0.03）135.74（0.07）2.30 96.79（0.6825.79（0.01）135（0.07）0.01）0.07（0.07）固定窗口回望表138（0.05）0.07。参数为T=1，σ=0.5，r=0.05，S=100，时间间隔被划分为500个相等（半天）的时间步。计算以贴现资产价格为基准。其他参数wereNbins=250，Nblock=60，NT=500，Nprimal=50000，Ndual=4000，Nsub=25。其中a是一个正整数。结果见表8。上界和下界之间的差距高于回望示例中以百分比表示的差距，但算术差距大致相当，运行时间相似。a（天）欧洲低-高差距（%）时间59.94（0.03）23.97（0.02）25.35（0.04）5.43 31.5610 16.77（0.05）33.31（0.03）36.63（0.07）9.05 35.8515 21.94（0.06）39.56（0.03）44.63（0.09）11.36 38.0520 26.25（0.07）44（0.04）51.00（0.11）13.01 42.2825 30.04（0.08）48（0.04）48（0.04）表14:14（0.04）固定式选择离子窗。参数为T=1，σ=0.5，r=0.05，S=100，时间间隔被划分为250个相等的时间步。这些计算是以贴现资产价格为基准进行的。

其他参数包括Nbins=200、Nblock=50、NT=250、Nprimal=50000、Ndual=4000、Nsub=25.3.8分钟随机波动和利率看跌期权。在这个例子中，我们考虑一种情况，其中t是d>1的资产，具有随机波动性和利率。文献中的许多地方都有这样的模型，例如梅德韦杰夫和斯盖莱[13]，博亚琴科和列文多斯基[5]，金等人[10]。资产和波动率的Hestondynamics在理论工作中很受欢迎，但波动率对水平的依赖性是否采用Heston模型中假设的平方根形式还很不清楚；考克斯-英格索尔-罗斯利率模型正确地描述了低利率时利率的波动性，这一点更不具有说服力。由于这是一项模拟研究，我们无需选择理论上易于处理的模型，因此我们可以使一些建模假设更好地匹配观察到的行为。因此，我们的故事支持市场存在布朗运动，而这就是它的原价≡ log Sitevolve asdxit=σit{ρSdWMt+ρ′SdWS，it}+（rt-（σit））dt（3.14），其中r是无风险利率过程，ρS∈ （0，1）是原木价格与市场布朗运动的相关性。该过程是一个与WM无关的d维布朗运动。（3.14）中出现的波动过程σ用常数σi表示为σit=’σiexp（ξit）（3.15）和一个过程ξ，这是一个演变为asdξt=-βξξtdt+σξ（ρξdWMt+ρ′ξdWξt）。

（3.16）最后，我们的利率过程r模型只是一个黑色的卡拉辛斯基模型：我们有rt=\'r exp（zt），其中dzt=-βrdt+σr（ρrdWMt+ρ′rdWrt）（3.17）对于某些常数βr>0、σr>0和ρr，通常假设为正，因为我们预计随着市场上涨，利率也应该上升。总之，这是一个简单但庞大的模型；即使假设（正如我们在这里所做的）相关性在股票中是常见的，参数向量也是θ=（ρS，ρξ，ρr，（\'σi），\'r，βξ，σξ，βr，σr）。（3.18）这些参数的合理值是什么？对于利率的演变，我们应该以Black&Ka rasinski[3]为指导，取‘r=0.06，σr=0.12，βr=0.02，ρr=0.3。股票之间的相关性是可变的，但通常在0.25-0.60之间；我们应该取ρS=0.3。为简单起见，我们假设所有股票都有共同的波动率¨σi=0.6。波动率的波动约为百分之十，因此通过与OU过程的标准偏差进行比较，我们施加σξp2βξ=0.1。（3.19）可驯服性在任何情况下都是虚幻的；我们认为一个模型是可处理的，如果有一个封闭形式的解决方案，为数不多的衍生价格，忽略了这一事实，即大多数衍生价格没有封闭形式的解决方案。当ρ是相关系数时，我们使用ρ′来表示P1- ρ.我们将βξ设为4.5，因此波动率的平均回复时间为三个月，从（3.19）可以得出σξ=0.3。最后，我们取ρξ=0.3。在接下来的讨论中，我们将重点讨论d=5的情况，即：有五项资产。我们还将限制对最小看跌期权的关注，以K=100为打击目标，所有资产从100开始。我们还应假设到期时间T=0.5。这将使我们能够研究r和σ的不同初始值以及各种参数的影响。