百慕大期权的模拟

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英文标题：
《Bermudan options by simulation》
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作者：
L. C. G. Rogers
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The aim of this study is to devise numerical methods for dealing with very high-dimensional Bermudan-style derivatives. For such problems, we quickly see that we can at best hope for price bounds, and we can only use a simulation approach. We use the approach of Barraquand & Martineau which proposes that the reward process should be treated as if it were Markovian, and then uses this to generate a stopping rule and hence a lower bound on the price. Using the dual approach introduced by Rogers, and Haugh & Kogan, this approximate Markov process leads us to hedging strategies, and upper bounds on the price. The methodology is generic, and is illustrated on eight examples of varying levels of difficulty. Run times are largely insensitive to dimension.
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中文摘要：
本研究的目的是设计数值方法来处理非常高维的百慕大式导数。对于这样的问题，我们很快就会发现，我们最多只能指望价格界限，我们只能使用模拟方法。我们使用Barraquand&Martineau的方法，该方法建议将奖励过程视为马尔可夫过程，然后使用该方法生成停止规则，从而得出价格的下限。利用罗杰斯和豪夫&科根提出的对偶方法，这个近似马尔可夫过程引导我们得出套期保值策略和价格上界。该方法是通用的，并在八个不同难度的例子中进行了说明。运行时对维度基本不敏感。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Bermudan_options_by_simulation.pdf (225.32 KB)

2022-5-9 02:37:27 上传

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关键词：百慕大期权 百慕大 Quantitative Applications Computation

百慕大模拟期权。C.G.罗杰斯2016年1月6日摘要本研究的目的是设计数值方法来处理非常高维的百慕大式导数。对于这样的问题，我们很快就会发现，我们不能对价格界限抱有最大希望，我们只能使用模拟方法。我们使用Barraquand&Martineau[2]的方法，该方法提出，奖励过程应被视为马尔可夫过程，然后使用它生成停止规则，从而得到价格的下限。利用罗杰斯[14]和豪格&科根[8]提出的对偶方法，这个近似马尔可夫过程引导我们得出套期保值策略和价格上界。该方法是通用的，并在十八个不同难度的示例中进行了说明。运行时间在很大程度上与维度无关。1导言。一般的最优停车问题可以表示为findingsup0≤τ≤TE[Zτ]（1.1）如果终止时间T是固定的正实数，则过程Z是一个给定的过程，适用于某些过滤（Ft）T≥0，τ被限制为（Ft）-停止时间。本文假设奖励过程Z的形式为zt=g（t，Xt），（1.2），其中X是马尔可夫过程，g是时间和Xt的可测函数。对于本文主要关注的内容——百慕大选择的分析——这个公式已经足够普遍。以下大部分内容在更广泛的范围内有效，但有时我们应参考与典型金融环境相关的房地产；目的是提供界限，我们需要背景来评估这些界限的有效性。当然，众所周知，如何解决吉文比（1.1）、（1.2）形式的最优停车问题；我们定义了价值函数v*（t，x）=支持≤τ≤TE[g（τ，Xτ）|Xt=X]（1.3）和第五次发现*通过动态规划。当这可以做到时，这就是我们所能要求的一切。

然而，明确可解的例子是罕见的，我们很快就必须超越它们。例如，标准百慕大看跌期权，其中g（t，x）=e-rt（K）- exp（x））+（1.4）过程x是布朗运动，是一个著名的例子，其中没有已知的封闭形式的解。在过去的25年里，这已经启动了许多研究，并设计了非常有效的数值模式。但是如果我们有相关布朗运动的向量Xt=（Xt，…，Xdt），奖励函数是g（t，x）=e呢-rt（K）- exp（minixi））+，（1.5）所谓的minput？如果我们寻找值函数，我们必须从数值上确定一些d变量的函数。标准的贝尔曼方程方法要求我们粗略地计算*t（·）≡ 五、*（t，·）asV*t（x）=max{g（t，x），E[V*t+1（Xt+1）|Xt=x]}；（1.6）但是如果d是大的（比如说F），V是怎样的*要存储t+1吗？如何计算或近似（1.6）的预期值？人们对这些问题思考得越多，就越清楚地认识到，计算值函数的近似值只能在不太高的维度上工作，并且很可能严重依赖于所研究问题的结构。换句话说，任何试图识别valuefunction的方法的适用性都会受到限制。因此，我们必须满足于更少；但少一点可能就足够了。如果我们计算了valuefunction，我们会利用它做什么？我们将用它来定义最优控制：在每个时间t，我们将看到系统的状态Xt=x，如果V*t（x）>g（t，x）我们将继续，否则我们将停止。我们将使用它来确定在时间0时支付或索取衍生工具的公平价格。我们会用它来解导数，一旦它被解了。

本文的观点是，对百慕大港口的分析要求如下：o无论何时，无论处于何种状态，我们都能够决定是否停止每一次，我们都能够为下一个时期提出对冲建议我们能够随时为衍生产品的价格提供合理的接近范围。对于一个Ber mudan选项，它只有有限多个可能的执行次数，优化是一个离散的时间序列，尽管我们通常认为基础过程的时间是连续运行的。如果我们只能从数值上解决单资产问题，那么我们当然只能从数值上解决d资产问题。对价值函数的精确了解可以实现所有这些目标，但我们能在不知道价值函数或价值函数近似的情况下实现这些目标吗？这张纸上的信息是可以做到的。我们提出了一种处理百慕大期权的方法，其性质如下：o关于马尔可夫过程所需的唯一信息是模拟过程astep的能力；o该方法是通用的——使用相同的代码对所有示例进行计算，只改变马尔可夫过程X和停止报酬的规格计算成本在很大程度上对尺寸不敏感，因此写在数百个底图上的导数只需更改代码中的尺寸参数即可解决，并且只需稍长的时间即可运行价格的上下限通常相差5-10%（有时更高，有时更低）获得的停止规则和套期保值规则非常容易计算和实施计算时间取决于问题，但通常需要几十秒。其主张是，这里提供的方法是处理任何百慕大选择的有效通用方法。

事实上，所使用的组件已经以一种或另一种形式为人所知，这里添加的是它们的明智组合，以及对待回答问题的重新定义。航路点如下：o任何数值方案都必须是有限的计算，因此马尔可夫过程必须是有限的一组值；o潜在马尔可夫过程X的有限强制必须根据停止奖励进行调整——使用Barraquand&Martineau[2]的方法有限强制使用[14]、[8]、[1]的双重方法生成一个停止规则和一个套期保值规则，然后无法通过模拟进行评估。问题的特定结构可能会建议改进性能的变体，但在所研究的示例中，简单变体的任何改进都不大。2.一般方法。一般情况下，马尔可夫过程X在状态空间X中取值，停止奖励函数g和有限集T [0，T]的大小为NTof可能的停止时间。我们总是假设t 0和t在t中。我们的目的是将这个问题与（离散时间）马尔科夫过程的o pt ima l stopping问题与有限状态空间联系起来，这种方法只是对Barraquand&Martineau[2]方法的一种解释。定义2.1。X的（实值）马尔可夫强制由一个可测函数T×X 7表示→ R、 n t×n b n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n- 1） 边的矩阵y和an（NT- 1） ×Nbins×nbinsp阵列具有以下特性：1。每个t∈ T、 η（1）T<y（1）T<η（2）T<y（2）T<y（Nbins）-1） t<η（Nbins）t；2.每个t∈ T{T}，P（T，·，·，·）是一个n-Nbins×n-转移矩阵。我们可以近似实值过程g（t，Xt），t∈ T、 通过使用二元边矩阵y为每个T定义R的划分∈ T:J（1）T=(-∞, y（1）t]。

，J（N）t=（y（N）-1） t，∞) （2.1）然后是bin值的ma trixη，以确定近似过程yt=NXk=1η（k）tI{g（t，Xt）∈J（k）t}。（2.2）就当前目的而言，我们将g视为停止奖励定义（1.2）中出现的函数。这个过程只会产生很多值，但通常不会是马尔可夫过程。然而，Barraquand-Martineau方法的基本思想是，我们假设它是，转移概率由数组P给出。然后，我们解决了这个马尔可夫强制的最优停止问题，并使用找到的解决方案为X.2.1的实现提出了练习和混合策略。对于实现，我们假设状态过程X在某些（子）欧几里德空间Rd中取值。该空间的维数d是不受限制的，并且可以相当大。数值实现包括四个阶段：1。使用模拟进行初始化，计算转换矩阵数组P和bin edgesand值；2.计算（假定马尔可夫）过程Y的值和最优停止规则；3.当应用于停止流程X时，通过评估步骤2中停止规则的性能来确定下限；4.当应用于实际过程X时，通过评估步骤2得出的套期保值规则来确定上限。我们现在依次给出这些阶段的更多细节。初始化。F ir st选择一些Nbinsof bin，以及每个“半bin”中的一些NBLOCK点，以便在to tal中模拟Nsim=2NblockNbinssample路径。模拟将填充一个NT×d×Nsimaray，但由于该过程是马尔可夫过程，我们可以通过只携带当前值来节省空间，而d×Nsimaray会被新计算的值覆盖。假设时间ti的值为d×nsimary x∈ T

我们现在使用马尔可夫过程的模拟将这些值向前推进到下一次ti+1，创建一个d×Nsimarray x′。接下来，将函数g应用于给定的j≡ g（ti，x[：，j]），y′j≡ g（ti+1，x′[：，j]）（j=1，…，Nsim）。如果我们定义y（1）<y（2）<。y（Nsim）为样本（yj），按递增顺序，我们将时间t的边定义为值y（2kNblock），k=1，恩宾斯- 1，时间t的bin值为y（（2k-1） n块），k=1，恩宾斯。我们同样计算ti+1时的bin值和边缘。现在，对于每个模拟路径j，我们可以看到该路径在时间ti中的哪个箱子，以及在时间ti+1时该路径进入的哪个箱子；计算从bin移动的路径数l 在时间ti中，在时间ti+1中，我们得到了转移概率P[i]的估计值，l, m] 。值得一提的是，这一步与巴尔·阿坎德和马蒂诺的做法略有不同；我们让dat a告诉我们箱子边应该在哪里，Barraquand&Martineau在进行任何模拟之前设置箱子边，作为先验的建模选择。Bo uchard&Warin[4]中给出了模拟数据用于确定近似程序的类似用法。计算价值函数和最优停止规则。现在，我们已经建立了一个马尔可夫链代理，它根据存储在P中的转移概率在离散时间从一个箱子转移到另一个箱子，V值的计算和停止规则S是通过动态规划实现的。arr-ays V和S都是NT×nbin；其中的值为0或1，其中S[i，k]=1表示，如果在时间上，Y-值与Python表示法不一致，我们用z[i，j]表示数组z的（i，j）元素，用z[：，j]表示z的jth列，我们应该停止。我们隐式地假设y值是不同的。

对于（比如）putoption，这显然不会发生，但我们通过替换奖励max{0，K来实现这一点-S} 通过奖励max{ε（K-S） ，（K）-S） 对于一些小ε。与其他错误相比，犯下的错误将很小。同样，我们也不会像我们应该做的那样，费心在y（j）的值之间定位bin边。在箱子k中，计算V和S所需的时间可以忽略不计。作为一种显著的便利，f∈ 当t=ti时，我们将写出V（t，y）=V[i，k]，S（t，y）=S[i，k]（2.3）∈ T和y∈ J（k）t，时间ti的第k个箱子。下限。计算出的停止规则S现在用于为期权的价值提供较低的边界。我们只需模拟过程X的大量路径，对于每个路径，我们第一次停止t，因为S（ti，g（ti，Xti））=1。对于每条路径，这会给出惊人的值，下限只是所有路径的平均值。上限。为了推导一个上界，我们需要回顾[14]，[8]中关于对偶方法的一些结果，其中表明最优停止问题的值（1.1）具有替代特征SUP0≤τ≤TE[Zτ]=minM∈我[sup0]≤T≤T（Zt- Mt）]，（2.4）作为最小值，在空间中Mof鞅在0处消失。对anyM的解读∈ Mas对冲鞅在[14]中有解释；这是本文采用的方法的一个重要部分，因为近似套期保值是通过对偶方法中的“好”鞅实现的，而不是通过增量套期保值。因此，我们不必高精度地评估期权价格；要求高精度定价的主要驱动因素是执行增量对冲，但目前的方法完全绕过了所有此类考虑。

事实上，本文介绍的整个方法适用于任何马尔可夫过程X，包括有限状态马尔可夫链，对于该过程，增量对冲的概念与整数参数的区别一样没有意义。当M是Nell包络过程的主要部分时，右侧的最小值达到：见[14]。在此设置中，Snell信封过程只是valuefunction V*（t，Xt）沿着路径计算，所以选择的鞅差序列将是m*ti+1- M*ti=V*（ti+1，Xti+1）- E[V]*（ti+1，Xti+1）| Fti]。（2.5）当然，我们不知道V*, 但我们已经计算并在数组V中存储了一些与V的近似值*, 所以一个自然的近似值是M*将通过采用鞅差序列MTI+1来发现- Mti=V（ti+1，Yti+1）- E[V（ti+1，Yti+1）|Fti]，（2.6），其中Y在（2.2）中定义。这基本上就是安徒生和布罗迪[1]的方法。唯一的问题是我们如何评估（2.6）右侧的条件期望。函数V（ti+1，·）是一个简单的函数，只取Nbins值，但如果我们模拟了一个样本路径，我们看到Xti=x，我们如何计算（或近似）E[V（ti+1，Yti+1）|Xti=x]？所采用的方法是从Xti=x开始对Xti+1的某些NSUBV值进行拟合。通常认为进行MSUBIMulation是个坏主意，因为这通常会花费很多时间，可能不是很准确，但在这种应用中，该方法是有效的，因为Yti+1是calar。这一点的重要性在于，我们的子模拟不需要搜索出一些高维空间，它们只需要搜索出真实的线；在实践中，如果收益g是连续的，且时间步长不太大，则g（ti+1，Xti+1）的大多数值将相当接近g（ti，Xti），因此将产生相对较少的子模拟。

在后面报告的示例中，我们只使用了一些子模拟，通常在4000条模拟路径上；每一个研究的例子都报告了全部细节。这解释了我们如何从arr ay V构造候选对冲鞅。在金融环境中，我们希望能够用交易数据集来表达这样的鞅；这可以通过计算近似值产生的马丁酒差异的三角洲对冲来实现，但由于这是具体的应用，我们不想详细说明如何实现。所提供的方法仅仅表明了用于对冲的鞅t obe，而不是如何从市场化资产中合成。3个例子。这里我们给出了一系列例子来说明这种方法，有些是文献中熟悉的，有些则不是。在下面的例子中，我们将考虑一个对数布朗资产的d向量，其价格在时间t演变为dsit=SitdXj=1σijdWjt+uidt, （3.1）其中W是d维布朗运动，σi和ui是可预见的过程，其为假定常数，例3.8除外。我们写∑|≡ σσT，（3.2）正有限对称矩阵。由于重点是衍生品定价，我们将假设我们正在使用风险中性度量，这相当于条件ui=r-∑| ii，（3.3），其中r是无风险利率，假设为常数，示例（3.8）除外。在大多数例子中，模拟折扣原木价格是很方便的≡ -Ztrsds+log-Sit=XjσijWjt-∑iit+log-Si。（3.4）变体。如果N是正鞅，N=1，则SUP0≤τ≤TEg（τ，Xτ）= sup0≤τ≤TENτg（τ，Xτ）Nτ= sup0≤τ≤TENTg（τ，Xτ）Nτ= sup0≤τ≤T~Eg（τ，Xτ）Nτ,式中dPdP=NT。（3.5）如果鞅N可以表示为Nt=ψ（t，Xt），那么我们可以在新的度量P中使用新的奖励g（t，x）=g（t，x）/ψ（t，x），有时这样做可能很方便。