百慕大期权的模拟

如果我们使ρS=0，并使平均回归参数βr，βξ非常大，我们就可以回到例子3.1，3.2中研究的独立资产，恒定波动率和利率的情况。所以我们应该看到同样的答案；我们做到了——这个计算得出的范围是[39.06,40.65]，这与我们在表1中发现的相同，在抽样误差范围内。接下来，我们可以看到当我们保持波动率和利率不变，但允许ρSto变化时会发生什么；结果见表9。我们看到的是，虽然相关关系不太远离零，但对价格没有明显影响，但资产之间的相关性上升，最小看跌期权的价格下降。这是意料之中的；相关性越高，资产就越相似，因此在任何时候，价格的分散性都会越小，所以最小值会越高。（0.11）38.81（0.07）39.90（0.18）39.90（0.16）2.85（0.16）19.37.7 7 7.5（0.16）7.7 7 7.7 7 7.7 7）7.7 7.7 7 7.7 7）7.7 7 7.7）7.7.7 7 7.5（0.7）7 7.7 7.7 7.7 7 7 7.7 7 7.7 7.7 7 7.7 7.7 7 7.7.7.7 7 7 7.7.7 7.7 7.7.5 5 5 5（0）8 8 8 8 8 8 8 8（0.5（0 7）7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7）5 5 5 8 8 8 8 8 8 8 8（0 7）7 7 7 7 7 7 7 7.5 8 8 8（0 7 7 7 7 7 7 7）7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 33.00（0.08）34.15（0.20）2.40 20.12表9：最小看跌期权的价格ρSvaries。波动率为常数，σ=0.6，利率为常数，r=0.06。其他参数为Nbins=200、Nblock=50、NT=40、Nprimal=50000、Ndual=4000、Nsub=50。现在，我们放松了恒定利率的假设，让利率演变为Black Kara sinski规范（3.17），定义ρ的默认值为0.3，并考虑无风险利率不同初始值的影响。我们将波动率保持在默认值0.6。结果见表10。

随着初始利率的上升，最低看跌期权的价格也会下降，这一点可以从对停止奖励的更强贴现中看出；即使考虑到我们只能获得价格的一个整数，初始利率的变化影响也是可以察觉的。在波动率保持不变的情况下，我们已经看到了改变初始利率的效果，我们下一步将利率保持在其默认值r=0.06，并允许波动率达到表中r=0的行，通过取对数r=-15.6.低-高差距（%）时间0。00 40.61（0.12）40.45（0.07）41.54（0.18）2.26 19.640.025 39.34（0.12）39.27（0.07）40.16（0.18）2.03 19.580.06 37.76（0.12）37.50（0.07）38.70（0.17）2.42 20.040.10 35.88（0.12）35.86（0.07）36.99（0.17）2.99 19.68表10：最小看跌期权的价格。Vola-tility在¨σ=0.6时保持不变，各组间的相关性为ρS=0.3。参数为ρr=0.3、`r=0.06、βr=0.02、σr=0.12。其他参数包括Nbins=200、Nblock=50、NT=40、Nprimal=50000、Ndual=4000、Nsub=50。要随机。表11显示了不同初始波动率水平的影响，其中假设初始波动率在所有资产中都是常见的。我们再次看到初始波动对最小看跌期权价格的影响；正如人们所预料的那样，价格会随着初始波动性的增加而上涨。σ欧洲低高差距（%）时间0。（0.10）26（0.10）26（0.10）26（0.10）26（0.10）26（0.10）26（0.10）26（0.10）26.66（0.06）27（0.6）27（0.12）27（0.12）2（0.12）2（0.12）27（0.12）27（0）27（0）ZF（0（0.12））27（0）27（0）27（0（0.12）ZF）2）2）2（0（0（0（0）2）2）2）2（0（0（0）2）2）2）2（0（0（0.12）2）2）7（0（0（0）2）2）2）7（0（0（0（0）2）2）2）2）2）2）2）2）2（0（0（0（0（0（0）2）2）2）2）2）2））2.97 20.10表11：最小看跌期权的价格随σ变化。利息在r=0.06时保持不变，集合之间的相关性为ρS=0.3。

参数为ρξ=0.3，对于所有i，βξ=4.5，σξ=0.3。其他参数包括Nbins=200、Nblock=50、NT=40、Nprimal=50000、Ndual=4000、Nsub=50。最后的研究考虑了波动率和利率都是随机的完整模型。论文中有太多的参数需要探索，因此我们满足于将参数固定在其默认值，并改变初始无风险率和初始可用性。结果见表12。同样，比较静力学表现为一种预期，改变初始值的影响的大小足以清楚地显示出来，即使考虑到我们只对价格有界限这一事实。4结论与讨论。本文的目的是看看我们能够在多大程度上解决百慕大期权定价的高维问题。一旦我们承认，对于这样的问题，我们不可能知道值函数，我们就会意识到，事实上，各种方法都是低-高差距（%）时间0。（0.11）35.69（0.11）19（0.06）26.69（0.06）26.730.2 26.85（0.10）26.69（0.06）26.69（0.06）26.69（0.06）26.69（0.06）27.69（0.06）27（26）26.69（0.06）27（27）27.61（27）27）27.61（0）27（0）27（0）27）27）27）27.61（0）27（0）27）27）27（0）27）27.61（0）27）27（0）27）27（0）27）27.61（0）27）27（0）27）27）27.61（0）27（0）27（0）27）27）27）27（0）27（0）27）27（0）27）27）27）27.61（0）27（0）27（0）27）27）27（（0.17）2.49 20.00表12：最小看跌期权的价格为σ和rvary。参数ar eρS=ρξ=ρr=0.3，\'r=0.06，βξ=4.5，σξ=0.3，βr=0.02，σr=0.12。其他参数areNbins=200，Nblock=50，NT=40，Nprimal=50000，Ndual=4000，Nsub=50。在许多情况下，可以将过去20年左右发展起来的方法结合起来提供实际解决方案。

完全考虑到马尔可夫问题，这里研究的方法的关键要素是：o假设停止奖励过程Z本身是马尔可夫的，通过将Z离散为一组适当选择的有限值，我们通过模拟（这是Barraquand&Martineau[2]的方法）来估计这种有限状态马尔可夫链的转移概率通过动态规划解决该有限状态马尔可夫链的最优停止问题使用该解决方案生成一个停车规则，其性能通过模拟进行评估使用问题值的双重表征（参见[14]、[8]、[1]）来发现边缘鞅。这种方法是一种非常通用的方法，它给出的价格上下限通常相当接近，但更重要的是，它为ctio n提供了有效的配方。人们常说，银行对衍生品收取的价格更多地与对冲该衍生品的成本有关，而不是与某个模型得出的任何数字有关；我们在这里倡导的方法将其付诸实施。事实上，每次我们提出的分析都会告诉卖方应该使用什么样的对冲——他所要做的就是在下一个时间步对冲近似值。这个近似值是下一步停止奖励的简单函数。同样，我们使用的方法为期权的买家提供了一个简洁的解决方案；每次，他都会计算立即映射的值，当且仅当该值处于某个有限的区间并集时，他才会停止。这种方法在我们所研究的许多例子中都非常成功，提供的边界通常在彼此的5%以内。

由于这种误差存在于输入参数的估计中，或者假设这些参数是恒定的，因此将边界变得更紧实际上没有什么好处。我们希望有一些方法（如果它们不能精确地得到衍生价格）能够给出相隔1个基点的边界。这是一个行业标准。。。但它从何而来？一家银行真的在乎他们对衍生产品价格的计算结果是100美元1美分吗？当然不是！1bp标准实际上来自于对冲期权的欲望；因此，我们希望对标的物的价格进行±1%的估值，然后确定价格的变化，以便进行增量对冲，此时1bp的精确度是相关要求。但这里的方法通过完全不同的路线为我们提供了对冲策略——没有增量对冲，只有来自双重方法的对冲！此外，从模拟方法中获得1bp a的准确度已经过于乐观了。那么，当上界和下界进一步缩小时，会发生什么情况，比如固定删除线的亚洲期权？这在概念上没有问题；下限是买方客观上认为期权的价值所在，上限是卖方客观上希望自己对冲衍生工具的成本所在，但如果双方接受合同，并在其投资组合的其他地方承担风险，则任何一方都可能超出下限——这是衍生工具市场最基本的原因。在一个出价低于要价的市场里，没有什么困难或矛盾——这是正常的！如果我们发现边界相距很远，并且我们觉得将边界拉近很重要，我们能做什么？这种方法存在四个错误：1。

假设奖励过程Z是实值马尔可夫过程；2.将Z值离散化到箱子中，并从模拟中导出转换的误差；3.评估停车策略时的模拟误差；4.套期保值策略评估中的模拟误差。我们可以通过进行更多的模拟来减少最后两个错误，第二个错误也可以通过采取更多的箱子和进行更多的模拟来解决，但第一个错误是固有的，除了以某种方式改变问题，我们无法减少它。Fixed strikeBermudan Asian选项很好地说明了这一点，因为正如我们在例3.4中所讨论的，这个特定问题的状态变量实际上必须是二维向量（St，At），并且我们的计算表明，我们可以通过查看a本身得到一个很好的近似值。现在，我们当然可以利用这个问题的特殊特征来设计一个特定于问题的解决方案（Longsta ff&Schwartz[12]和Rogers&Shi[15]中的有限差分计算就是例子），但这与本文介绍的方法的一般性相矛盾。

如果我们想继续使用这种方法，我们可以尝试对二元过程（St，At）的值进行分类，这在概念上与标量值奖励过程的分类没有区别，但我们可以预期，从二维基础过程中可以预期的更粗分类将引发第二类错误。总之，本文探讨的方法是完全通用的——相同的代码只用于马尔可夫过程和奖励函数的变化始终给出界限，该界限通常在估计或有问题的建模假设引入的误差范围内，并且始终在OTC产品要求的利润率范围内对尺寸非常不敏感给出简单明确的锻炼策略和对冲策略只需要能够模拟潜在马尔可夫过程的一个步骤。这项研究的方法有助于获得过去二十年的早期发现。虽然现在宣布高维的百慕大选择是一个已解决的问题可能还为时过早，但我们所看到的是，有一种普遍的方法被证明至少是这个问题的一个良好开端，即使对于一个特定的问题，我们可能想更深入地挖掘。一旦我们把问题放在估计误差和模型不确定性的背景下，在任何情况下深入挖掘似乎都毫无意义。参考文献[1]安徒生和布罗迪。多维美式期权定价的原对偶模拟算法。《管理科学》，50:1222-12342004。[2] J.巴拉根德和D.马蒂诺。高维多变量美国证券的数值估值。《金融与定量分析杂志》，30（3）：383-4051995。[3] F.布莱克和P.卡拉辛斯基。

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