利率模型的计算谱方法

类似地，应用高斯求积方法所需的ξ和权重的N=p实现集也会发生同样的情况。关于过程模拟和相关计算，会出现不同的情况。实际上，我们必须处理{M（ξj）}Nj=1类型的数据，这对模型参数的变化是敏感的。这就是为什么在我们的流程图中分别使用黄色和黄色强调了这种差异。蓝色，长方形，分别表示反直线计算。该模型与计算相关联。备注1。让我们把注意力集中在基本随机变量上。还有其他可能性，例如我们可以取ξ~ U（0，1），ξ~ exp（1）等，然而高斯选择似乎是最自然的选择，因为维纳增量也作为高斯变量分布。特别是在我们的计算中，我们考虑ξ~ N（0，1/2），其中方差值的规定是由于软件限制。特别是，我们使用了Scilab工具箱，它提供了一个强大的环境来实现PCE分解，也为用户提供了一个非常灵活有效的工具，用于PCE方法本身涉及的具体计算，特别是通过利用Scilab工具箱，Hermite多项式需要这样的输入随机变量才能满足（5），有关更多详细信息，请参见[32,33]。备注2。通过检测基本随机变量ξ的大小L的唯一样本{ξL}Ll=1，实现Y（p）的PCE的大小L抽样，然后我们使用等式（10），对每个实现，命名为Y（p）L=pXi=0ciψi（ξL），L=1。

因此，collectionnY（p）loLl=1是所需的PCE采样。3多项式混沌展开与随机微分方程让我们考虑一个随机过程{Xt}t≥0满足以下条件：SDEdXt=r（Xt）dt+σ（Xt）dWt，（11）其中Wt:={Wt}t∈[0，T]是过滤概率空间上的R值布朗运动(Ohm, ∑∑t，P），{∑t}t∈[0，T]是由Wt生成的过滤。我们的目标是在给定的正和有限时间T，即代表当时过程的随机变量，写出过程XT的PCE近似值，解（11）。在不丧失普遍性的情况下，在下面的内容中，我们考虑等式（11）的一维版本，因此XT是一个标量实值随机变量。特别是，我们将重点关注三种可以用公式（11）描述的特定模型，即几何布朗运动（gBm）、Vasicek模型和CIR利率模型。由于在上述每个模型中，随机变量具有有限的方差，因此存在一个合适的概率空间(Ohm, ∑T，P），其中XT定义明确，因此∈ L(Ohm, ∑T，P）。因此，如果函数M的定义为XT=M（ξ），则PCE方法适用于基本变量ξ的适当选择，如第。2.1.3.1 SDE和PCENumerical方法的常用数值方法用于近似等式（1）的解，通常利用维纳过程的独立增量。例如，通过考虑Euler-Maruyama方案，参见[17，第10.2节]，对于每个k={0，…，L- 1} ，我们有Xtk+1=Xtk+r（tk，Xtk）tk+σ（tk，Xtk）ptkN（0，1），其中{tk}Lk=0，L∈ N是一组递增的时间步长0=t<t，热释光-1<tL=T，Xis是开始时间T=0时的过程值，而tk=tk+1-蒂克。

为了缩短符号，让我们定义Xk:=Xtk，对于每个时间步，时间T处（11）的解如下xt=XL=XL-1Yk=01+r（tk，Xtk）tk+σ（tk，Xtk）ptk√2ξk, （12） 或等价于yxt=M（ξ）ξ=（ξ，…，ξL-1） ，其中{ξk}L-1k=0是上述一组i.i.d.高斯随机变量，均值为零，方差等于1/2，即它们是独立的N（0，1/2）。因此，我们可以应用CE分解，有关多元分解的更多详细信息，请参见[19，第3.2节]。我们想强调的是，即使我们考虑Euler-Maruyama方案，之前的方法也可以用于考虑基于布朗运动独立增量的任何其他方法，例如Milstein方法，参见[17，第10.2节，第10.3节]。让我们回忆一下，为了得到可靠的结果，L必须足够大，通常L=100，这意味着计算成本很高，因为当涉及超过20个输入时，NISP方法的复杂性会显著增加。后一个问题被称为维数灾难，参见[20]。3.2 SDE的解泛函[34]中发展的理论给出了将自治SDE的解表示为布朗运动泛函的条件。

在下面的内容中，让我们考虑一个自治随机微分方程（11），通过假设漂移和波动率是Lipschitz实值函数，解过程{Xt}t≥0of（11）可以表示为xt=H（Dt，Wt），t∈ [0，T]，（13），其中wt表示时间T和H:R×R的标准维纳过程→ R是一个合适的函数，比如(H（x，y）y=σ（H（x，y））H（x，0）=x，（14）对于每个固定的x∈ R.Dt}t≥0in（13）是一个连续的过程，适用于布朗运动的过滤，几乎所有ω∈ Ohm˙D（ω）=expn-RWt（ω）σ（H（D（ω），Wt（ω）））ou（H（D（ω），Wt（ω）））-σ（H（D（ω），Wt（ω）））σ（H（D（ω），Wt（ω）））, t>0D（ω）=X，t=0，（15）因此{Dt}t≥0通过上述确定性ODE以路径方式确定。此外，D（ω）对时间t的依赖被跳过，以缩短符号。有关这些函数属性的更多详细信息，请参见[34]。后一种方法适用于PCE近似法，因为它将SDE（11）的解定义为维纳过程的函数，见（13）。特别是，我们可以开发以下基本上基于DOS分析的一般路线图，以应用PCE近似值：o给定SDE（11），通过求解（14）来检测解决方案函数H根据韦纳过程的定义~ N（0，t），t∈ [0，T]，因此Wt=√2tξ，其中基本随机变量ξ为N（0，1/2），见第。2.利用这种特征，积分微分方程（15），其中布朗运动表示为上述，随机过程{Dt}t≥0是根据ξ确定的路径最后，通过（13），当T>0时，求解过程计算为XT=H（DT，WT）。上述步骤允许用基本随机变量ξ来表示XT，提供了对XT的一个方便定义，请参见第节。

2.值得一提的是，对于所考虑的每一个数值应用，前面的步骤将在下文中进行详细讨论，即对于每一个与股权的特定动力学相关的函数解H（Dt，Wt），分别是：。在利率模型中，我们已经考虑了。4.几何布朗运动的PCE近似在下文中，我们分析几何布朗运动，定义为以下随机微分方程的解Dst=rStdt+σStdWt，（16）其中r，σ∈ R+和WT是通常的维纳过程。特别是让我们把注意力集中在ST上，因为T>0。PCE方法基于合适工艺M的定义。让我们考虑（16）并应用第节中描述的方法。3.2，其中时间T的溶液定义为T=H（DT，WT）。（17） 因为σ（y）=σy，通过（14），H:R×R→ R由h（x，y）=xeσy（18）给出。此外，随机变量dt通过积分（15）到时间T来确定。因此对于几乎所有ω∈ Ohm, 我们有（˙D（ω）=exp- σWt（ω）rH（D（ω），Wt（ω））-σH（D（ω），Wt（ω））t>0D（ω）=St=0，（19），其中˙D（ω）表示每个固定样本事件ω相对于Dt（ω）时间的导数∈ Ohm.我们想说明的是，为了缩短旋转时间，省略了前面等式中对时间t的依赖关系。莫尔威特酒店~ N（0，t），t∈ [0，T]，（20）允许设置Wt=√2tξ，通过将其插入（19），时间DT的解可以表示为函数，取决于输入随机变量ξ，即DT=M（ξ，Θ）。我们注意到，如果使用gBm模型来描述利率列表的行为，例如考虑股票市场的利率，则固定时间T的相关输出，即。

ST不仅取决于ξ，还取决于由Θ=（r，σ）收集的其他参数∈ R、 这是它的动力学特征。通过4阶自适应龙格库塔法（RK4）数值计算时间T（19）的解，其中绝对公差分别为。相对公差分别设置为1e-7。1e-5；如需更多详细信息，请参见[36，第II.1节，第II.4节]。因此，通过（17），我们得到M（ξ，Θ）：=ST=DTeσWT=M（ξ，Θ）eσ√2Tξ。（21）为了缩短符号，省略了对Θ的依赖。回到ST的分析，我们应用NISP方法，利用公式（10），以获得截断后的PCE（p）T=pXj=0ciψi（ξ），特别是让我们设置{ST，j}Nj=1={M（ξj）}Nj=1，其中N=p，作为对{ξj}Nj=1的过程（21）的评估，由（10）中所述的高斯求积公式定义。后面的实现分两步确定：o属于{ξj}Nj=1的每个高斯求积节点可以解释为合适ωj的图像∈ Ohm 通过ξ。因此，对{ω，…，ωN}中的每条路径积分（19） Ohm 我们实现了DT的一组实现，假设{M（ξj）}Nj=1。值得一提的是，我们正在整合非独立的颂歌通过（21）我们通过{M（ξj）}Nj=1by{eσ）的逐点乘法得到所需的集合{ST，j}Nj=1b√2·Tξj}Nj=14.1数值应用：计算概述在下文中，我们给出了SDE（16）解的PCE近似值，对于所涉及参数的一些特定值，见表1。参数Str值3%100 1表1:gBmIn的参数为了使讨论尽可能完整，我们的方法在一组波动率值σ=n15%、25%、30%o上进行了测试。

（16） 有一个解析解，这样的解将构成我们的基准，特别是在T时，我们haveST=Se（r-σ） T+σWT，（22），其均值和方差分别为e[ST]=SerT，Var[ST]=Se2rTeσT- 1..然后让我们计算均值和方差的绝对误差，即（p） 卑鄙的=E[ST]- EhS（p）Ti,（p） 瓦尔=Var[ST]- 瓦拉斯（p）蒂,还考虑了相对误差的绝对值。由于对数刻度，我们查看溶质值，突出显示相关顺序，而不是其数值。因此（p）均值=（p） 平均值[ST]，RE（p）V AR=（p） V ARVar[ST]，我们注意到，这样的数据是针对一组递增的度数p={1，2，…，15}计算的。对于上述度数集，以及波动率σ的每个值，我们将计算PCE近似值S（p）T的两个分位数^Qγ，其中γ=99%和γ=99.9%，并写出它们的分析值。回顾Qγ的标准统计量是第γ个样本分位数，即S（p）T抽样的第（K+1）个实现，按升序排序，使得K≤ [γM]，其中M是采样的大小，[·]表示括号内实数的整数部分。在我们的分析中，我们采用了S（p）T的拉丁超立方体抽样（LHS），如[24,25]和[26]进一步参考，大小为M=5000。因此，K99%=4951，而K99%。9%=4996，参见[27]了解更多细节，我们计算^Qγ与分析值Qγ的绝对误差。特别是，我们的目标是计算^Qγ相对于分析值的绝对误差，即Qγ=expR-σT+σ√Tzγ,式中，Zγ表示零均值和酉方差的正态随机变量的分位数。

因此，误差定义为：γ=^Qγ- Qγ,作为最后一次比较，让我们通过应用上述采样分位数估算Qγ，其中γ=99%，γ=99.9%，其中分析溶液的标准蒙特卡罗采样STto（22）。这种计算的精度由估计平均值的标准误差来表示，即对于一组{QMCγ（l）}Ll=1的l=200分位数的独立估计值，其算术平均值为{QMCγ=（1/l）·PLl=1QMCγ（l），我们检测其标准误差Seqmcγ=^σ√五十、 其中，估计方差为^σ=L- 1LXl=1QMCγ（l）-\'-QMCγ,备注3。我们想强调的是，选择分位数的基本估计量，即样本分位数，是因为我们将注意力集中在方法的有效性上，而不是考虑估计的准确性，以及在获得的数据之间提供公平的比较。然而，专门的文献提供了通常更准确的其他技术，如[38]中介绍的两相分位数估计器、L-估计器或d Harrel-Davis（HD）估计器，有关更多详细信息，请参见[39]。4.2σ=15%在本节中，我们设置σ=15%，其他参数如表1所示。首先，让我们在图2、图3和表2中显示平均值的绝对和相对误差，以及。gBm的PCE近似值的方差。图2:T=1时gBm的平均值（左）和方差（右）的绝对误差的符号尺度图，对于一组度p={1,2，…，15}，其参数为r=3%，σ=15%，起始值S=100。图3:T=1时，通过PCE计算的gBm平均值（左）和方差（右）相对误差绝对值的符号尺度图，对于一组度p={1,2，…，其参数为r=3%，σ=15%，起始值S=100。

, 15}.英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语3664e-08 4.3925e-07 9.0896e-109.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9 9.9.6.6电子-8.9 9 9.9 9.9 9.9 9.9 9.9 9.9.9 9.9 9.9 9 9.9 9 9.9 9.9.9.9.9.9电子-8.9.9 9.9 9 9 9.9 9.9 9 9 9 9 9 9 9.9.9 9 9.9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9电子----9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.3925e-07 9.0895e-10 1.8179e-0915 9.3664e-08 4.3925e-07 9.0895e-10 1.8179e-09表2：绝对和时间T=1时gBm的PCE近似值的平均值和方差的相对误差，其参数为r=3%，σ=15%，起始值S=100，平均值和方差误差都是平稳的，尽管增加度p的预期光谱收敛。这可能是由误差的存在引起的，而不是由PCE方法引起的，这破坏了S（p）T的预期光谱收敛性。只有两种可能的原因：用（17）解析逼近解St，以及{M（ξj）}Nj=1的数值计算产生的误差，见等式。（21），用于（10）。让我们把注意力集中在后者上：如图4、图5和表3所示，通过提高用于计算{M（ξj）}Nj=1的精度，误差减小。这是通过设置绝对公差来实现的。相对公差，RK4法，用于计算（19），在1e-15，分别。1e-10。因此，计算系数所需的近似值会影响PCE误差。无花果。

4我们可以看到PCE近似误差的光谱收敛性，平均值为4次，分别为。方差高达6度。