利率模型的计算谱方法

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英文标题：
《A computational spectral approach to interest rate models》
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作者：
Luca Di Persio and Michele Bonollo and Gregorio Pellegrini
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The Polynomial Chaos Expansion (PCE) technique recovers a finite second order random variable exploiting suitable linear combinations of orthogonal polynomials which are functions of a given stochas- tic quantity {\\xi}, hence acting as a kind of random basis. The PCE methodology has been developed as a mathematically rigorous Uncertainty Quantification (UQ) method which aims at providing reliable numerical estimates for some uncertain physical quantities defining the dynamic of certain engineering models and their related simulations. In the present paper we exploit the PCE approach to analyze some equity and interest rate models considering, without loss of generality, the one dimensional case. In particular we will take into account those models which are based on the Geometric Brownian Motion (gBm), e.g. the Vasicek model, the CIR model, etc. We also provide several numerical applications and results which are discussed for a set of volatility values. The latter allows us to test the PCE technique on a quite large set of different scenarios, hence providing a rather complete and detailed investigation on PCE-approximation\'s features and properties, such as the convergence of statistics, distribution and quantiles. Moreover we give results concerning both an efficiency and an accuracy study of our approach by comparing our outputs with the ones obtained adopting the Monte Carlo approach in its standard form as well as in its enhanced version.
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中文摘要：
多项式混沌展开（PCE）技术利用正交多项式的适当线性组合来恢复有限的二阶随机变量，这些正交多项式是给定随机量{\\xi}的函数，因此充当一种随机基。PCE方法是一种数学上严格的不确定性量化（UQ）方法，其目的是为定义某些工程模型及其相关模拟动态的一些不确定物理量提供可靠的数值估计。在本文中，我们利用PCE方法来分析一些考虑了一维情况的权益和利率模型，但没有失去一般性。特别是，我们将考虑那些基于几何布朗运动（gBm）的模型，例如Vasicek模型、CIR模型等。我们还提供了一些数值应用和结果，讨论了一组波动率值。后者使我们能够在大量不同的场景中测试PCE技术，从而对PCE近似的特征和属性，如统计、分布和分位数的收敛性，提供了一个相当完整和详细的研究。此外，我们还通过将我们的结果与采用蒙特卡罗方法的标准形式和增强形式得到的结果进行比较，给出了我们的方法的效率和准确性研究的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_computational_spectral_approach_to_interest_rate_models.pdf (1.6 MB)

2022-5-9 02:44:42 上传

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关键词：模型的计算 利率模型 Mathematical Quantitative Applications

利率模型的计算谱方法维罗纳大学计算机科学系斯鲁卡·迪佩尔西奥·格雷戈里奥·佩莱格里尼（Sluca Di Persio Gregorio Pellegrini）意大利卢卡州维罗纳市斯特拉达·勒·格拉齐15号，37134。dipersio@univr.itgregorio.pellegrini@univr。意大利米兰米歇尔博诺洛亚松有限公司和意大利米歇尔卢卡圣弗朗切斯科广场IMT卢卡19号55100。bonollo@imtlucca.itOctober关键词和短语：多项式混沌展开、正交多项式、谱方法、计算技术、非侵入谱投影、蒙特卡罗方法、模拟、随机微分方程、利率模型、Vasicek模型、CIR模型、股票价格、股票、估计。摘要多项式混沌展开（PCE）技术利用正交多项式的适当线性组合来恢复有限的二阶随机变量，这些正交多项式是给定随机量ξ的函数，因此充当一种随机基。PCE方法是一种数学上严格的不确定性量化（UQ）方法，旨在为某些不确定物理量提供可靠的数值估计，以确定某些工程模型及其相关模拟的动态。在本文中，我们利用PCE方法来分析一些权益和利率模型，考虑到一维情况，而不丧失一般性。特别是，我们将考虑基于几何布朗运动（gBm）的模型，例如Vasicek模型、Chir模型等。我们还提供了一些数值应用和结果，讨论了一组波动值。

后者使我们能够在一组相当大的差异样本上测试PCE技术，从而对PCE近似的特征和性质，如统计、分布和分位数的收敛性，提供了一个相当完整和详细的研究。此外，我们还通过将我们的结果与采用蒙特卡罗方法在其标准形式及其增强版本中获得的结果进行比较，给出了我们的方法的效率和准确性研究的结果。本文提出了一种多项式混沌展开（PCE）方法来求解以下随机微分方程（SDE）dXt=r（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt（1），其中Xis是未知随机过程Xt的初值，项r（t，Xt）分别为：。σ（t，Xt）表示漂移，分别为。这一过程的波动性是一个标准的布朗运动，我们将其视为某个特定的有限时间T>0，并将其作为参考，同时考虑一些基础资产的财务设置，如到期时间。

根据[17，第4.5节]，如果系数r（t，x）和σ（t，x）足够光滑，那么我们就有（1）的解的存在性和唯一性。从数值的角度来看，在对一大类SDE的解进行数值近似的最流行且最简单的方法中，有所谓的蒙特卡罗（MC）方法，其主要基于（1）中布朗运动独立增量的伪随机抽样，参见，例如，[17，第9章]，[21，第3章]和其中的参考文献。PCE技术基于一种完全不同的方法，即它通过概率空间的多项式基来表示解，其中（1）的解在特定时间T被定义，更多细节参见，例如[20，第3章]。严格来说，PCE通过函数的线性组合来恢复随机变量，这些函数的中心是已知的随机变量，称为芽或基本变量。有几种方法可用于计算这些系数。特别是，我们选择了非侵入性光谱投影（NISP）方法，该方法采用了一组确定性实现，有关更多详细信息，请参见[20，第3章]。此外，Doss在[34]中发展的理论允许我们应用NISP，避免NISP方法中不可行的数值问题，从而得到（1）的数值解。最初，多项式混沌思想是由诺伯特·维纳（Norbert Wiener）在其1938年的论文[30]中提出的，他在论文中应用了他的广义谐波分析，例如[31]。然后，P.D.Spanos和R.G.Ghanem在[22，第2.4节，第3.3.6小节]中将PCE方法与有限元方法相结合，以计算存在不确定参数时的偏微分方程解。之后，后一种方法被应用于多个框架中，例如。

关于概率化学反应的模拟，见[3]，关于随机最优轨迹的生成，见[4]，关于灵敏度分析，见[5]，为了确定具体的数值方法，见[6]，以及关于工程和计算流体动力学（CFD）中出现的一系列相当大的问题，见[20，第6章]，[7，8]和其中的参考文献。我们的分析集中在三个著名的一维SDE上，其解分别与几何布朗运动权益模型有关，见[10，第11章，第3节]，与瓦西塞克模型有关，见[11]，与考克斯，英格索尔，罗斯（CIR）利率模型有关，见[12]。我们还参考[13，第3章，第3.2.3节]，了解上述模型的更多细节和参考资料。为了与已经获得的结果进行详尽的比较，例如，通过使用蒙特卡罗方法，针对一组三种不同的波动率值，即σ={15%，25%，30%}，对每个引用的财务模型进行了PCE近似。此外，我们还分析了均值和方差对分析值的收敛性，以及CE近似的分布和两个分位数，为PCE机器提供了广泛的测试平台。为了展示PCE方法的优势，我们将PCE实施的结果与使用标准蒙特卡罗（MC）和准蒙特卡罗（QMC）技术获得的结果进行了比较。前者基于伪随机抽样，其收敛性基本上依赖于大数定律和中心极限定理。

后者使用低离散度序列来模拟过程，理论上基于Koksma Hlawka不等式，参见[9]，该不等式为涉及QMC方法的计算提供了误差范围，参见[21，第5章]。我们想强调的是，前两种情况，即gBm模型和Vasicek模型，是有意义的，因为它们对相关SDE有一个解析解，因此我们对应用于它们的PCE方法的收敛性进行了严格研究。在CIR的情况下，由于我们没有分析解，PCE技术的应用也允许我们对相关近似解的收敛性进行一些考虑。本文的组织结构如下：第一节在一般情况下描述了PCE方法，第二节讨论了NISP方法。第3节指出了如何应用PCE，通过使用求解（1）的常用数值方法来分解所考虑的SDE的解，以及如何在PCE近似设置中应用DOSS理论。在第4、5、6节中，我们从Doss理论的角度考虑了CE技术的数值应用，以分别近似gBm股票模型、Vasicek模型和CIR模型的解。在第7节中，我们从准确性和计算时间成本的角度概述了每种模型的PCE结果。1多项式混沌展开集(Ohm, ∑，P）是概率空间，其中Ohm 是基本事件的集合，∑是Ohm P是∑的概率测度。让我们考虑标量实值随机变量L的希尔伯特空间(Ohm, ∑，P），其泛型元素是定义在(Ohm, ∑，P），这样e[X]=ZOhmX（ω）dP（ω）<+∞ .注意，对于Lebesgue空间，元素X∈ L(Ohm, ∑，P）是等价的随机变量类。

注意，我(Ohm, ∑，P）是一个Hilbert空间，其标量积e[XY]=hX，Y iP=ZOhmX（ω）Y（ω）dP（ω），beingkXkL(Ohm,∑，P）=E[X]=ZOhmX（ω）dP（ω），通常的范数。要缩短符号kXkP：=kXkL(Ohm,∑，P），相关的收敛性通常被称为均方收敛或强收敛。在L(Ohm, ∑，P）有一类基本随机变量，用于将感兴趣的量Y（例如感兴趣的随机变量）分解为泛函的条目，即时间T时SDE的解。我们注意到并非所有函数ξ：Ohm → D可用于执行此类合成，因为它们必须满足以下两个性质，例如[19，第3节]·ξ具有所有阶的有限原始矩·分布函数Fξ（x）：=P（ξ≤ x） 基本随机变量中的一个是连续的，fξ是它的概率密度函数（pdf）。由于布朗运动的增量是独立的且正态分布的，从现在开始，让我们考虑基本随机变量ξ~ N（0，1/2）。后一种选择见第2.1节备注1。2.1 L中的元素(Ohm, ∑，P）可以分为两组：在第一组中，我们有基本的随机变量，让我们用ξ表示它们，控制分解，为简单起见，让我们称之为集ξ，而第二组由泛型元素组成，比如说Y，我们想用第一组元素（称为SetY）分解。让我们用σ（ξ）表示由基本随机变量ξ生成的σ-代数，因此σ（ξ） Σ. 如果我们想用ξ对随机变量Y进行多项式分解，那么Y必须至少相对于σ-代数σ（ξ）是可测的。利用Doob-Dynkin引理，例如[23，引理1.13]，我们通过检测Borel可测函数g:R，得到Y是σ（ξ）-可测的→ R、 使得Y=g（ξ）。

接下来，在不丧失一般性的情况下，我们限制自己考虑L中的分解(Ohm, σ（ξ），P），此外，基本随机变量ξ决定了正交多项式的类{ψi（ξ）}i∈Nit通常被称为广义多项式混沌（gPC）基。我们强调，它们的正交性是通过图像空间（D，B（D））中由ξ诱导的测度来检测的，其中B（D）表示D的borelσ-代数，特别是对于每个i，j∈ N、 我们有hψi，ψjiP=ZOhmψi（ξ（ω））ψj（ξ（ω））dP（ω）=ZOhmψi（x）ψj（x）fξ（x）dx。（2） 自ξ~ N（0，1/2），相关集{ψi（x）}i∈Nis由整条实线上定义的厄米多项式族表示，即D=R，以及ψ（x）=1ψ（x）=2xψ（x）=4x- 2.（3） 图1：高达5次的埃尔米特多项式图1提供了前六个正交多项式的图形，通过将每个ψiin（3）按其在L中的范数进行缩放来实现(Ohm, σ（ξ），P），即，我∈ N、 ψiis除以kψikP：=√二、后一个多项式构成了L中的一个极大系统(Ohm, σ（ξ），P），因此每个有限的二阶随机变量Y可以近似为followsY（P）=pXi=0ciψi（ξ），（4），以获得依赖于随机变量Y的合适系数ci。我们将公式（4）称为Y的p阶截断PCE。利用以前的定义，采取∈ {0，…，p}，并考虑多项式{ψi（ξ）}i的正交性∈N、 我们有ci=kψikPhY，ψiiP=kψikPhg，ψiiP，（5），并且，由于Y=g（ξ），我们也得到了hy，ψiP=hg，ψiP=ZOhmg（ξ（ω））ψi（ξ（ω））dP（ω）=ZRg（x）ψi（x）fξ（x）dx，（6）此外，Y（p）在均方意义上收敛于Y，参见例如[19，第3.1节]。PCE近似（4）在L中的收敛速度(Ohm, σ（ξ），P）范数与分解系数的大小密切相关。

事实上，根据帕塞瓦尔人的身份，我们有kP=+∞Xi=0cikψikP，此外，利用L中Hermite多项式的正交性(Ohm, σ（ξ），P），式中给出了（4）的范数：Y（p）P=pXi=0cikψikP，然后，利用Hilbert空间中正交投影的基本性质，参见[35，定理4.11]，我们可以将均方误差估计为：Y- Y（N）P=kY kP-Y（N）P=+∞Xi=N+1cikψikP，（7）因此系数决定收敛速度。我们想强调的是，Y（p）的PCE使用等式（4）中出现的系数近似于Y统计，例如，前两个中心力矩由Ehy（p）i=c，（8）VarhY（p）i=pXi=1cikψikP确定。（9） 2非介入式谱投影让我们考虑一个函数M的情况，它控制着我们要研究的量的动态。Weassume表示，M的特征是根据输入ξ的随机输出Y，输入ξ本身就是一个随机变量。我们的目标是描述Y的行为依赖于ξ的变化，以及关于函数M的作用-事实上，我们将得到的结果可以很容易地推广到更大的维度。在我们的设置中，我将成为描述特定利率模型的SDE的功能解决方案，见下文第节。4，5，6为了进一步的细节，我们还允许输出Y依赖于一组参数，让我们称之为一组Θ∈ Rn和n≥ 2.描述利率动态，即y=M（ξ，Θ）。为了缩短符号，定义中省略了参数Θ。我们的目标是利用所谓的非侵入性光谱投影（NISP）方法获得输出的截断PCE，考虑到基本随机变量ξ继承了前一节中的所有假设。

因此，我们有以下光谱投影（p）=pXi=0ciψi（ξ），其中系数定义如（5）所示。我们记得，例如[20，第3.3节]，NISP方法通过高斯求积公式计算（5）中的标量积，我∈ {0，…，p}，我们有下面的Gauss-Hermite类型结果≈kψikPNXj=1M（ξj）ψi（ξj）wj，（10）其中{ξj}Nj=1，{wj}Nj=1是一维高斯积分规则的正交节点和权重。此外（10）要求在输入随机变量ξ的明确实现集上对过程M进行评估。通过NISP的定义，Y（p）实现了关于Y=M（ξ）的谱收敛，以增加阶数p，参见例如[20，附录B]。我们注意到，正交点N的数量与截断的次数p没有先验联系。相反，系数Ci的精度与N有关，因此，文献中使用的一个合理且标准的选择，我们将在下文中使用，就是取N=p，因为多项式至少涉及p度。此外，在下文中，我们将{ξj}Nj=1称为正交节点，以及基本随机变量的一组独立实现。2.1 NISP计算流程图为了更好地解释NISP方法，让我们利用以下流程图基本随机变量ξ来描述它~ N（0，1/2）高斯求积公式采样{ξj}Nj=1正交节点权重{wj}Nj=1在{ξj}Nj=1的过程M（ξ）的模拟计算系数计算公式（10）截断PCE Y（p）统计的后处理分析：平均值，方差采样量我们想强调的是，构成L(Ohm, σ（ξ），P）是在给定基本随机变量ξ后，在我们要分解的特定模型上独立计算的。