在完全抵押证券市场中基准定价的一般框架

在这个市场上，人们可以对期限结构相同但以外币（j）为抵押的国内零息债券进行传统交易：eY（i，j）（t，Tq（t）），·eY（i，j）（t，TN）*) , （6.15）假设具有共同股息收益率y（j）=r（j）- c（j）。最短债券满意度（i，j）（t，Tq（t））=exp-ZTq（t）t（r（i）（s）- y（j）（s））ds= 经验-ZTq（t）t（c（i）（s）+y（i，j）（s））ds（6.16）式中y（i，j）=y（i）- y（j）和FTq（t）-1-可测量。让我们用货币（j）asC（i，j）（t）=exp定义一个新的抵押品账户q（t）-1Xm=0δm（c（i）m（Tm）+y（i，j）m（Tm））eY（i，j）（t，Tq（t））。（6.17）带y（i，j）m（t）=-δmlnY（i，j）（t，Tm+1）Y（i，j）（t，Tm）！（6.18）Y（i，j）（t，Tm）：=eY（i，j）（t，Tm）/D（i）（t，Tm）。（6.19）很明显，Y（i，j）（t，Tq（t））是FTq（t）-1-可测量。根据与第6.1条中完全相同的论点，要求（j）-抵押（i）-计价资产除以C（i，j）的每一个价格过程都是Q（i）B-鞅，从而保证没有套利。6.2离散化抵押品利率的动力学我们想推导{c（i）m}m的动力学∈{0，··，N*-1} 在Q（i）B下，布朗体系中的动力学通常可以用dc（i）m（t）=α（i）m（t）dt+σ（i）m（t）·dWQ（i）Bt（6.20）来表示∈ {0，··，N*- 1}. 这里，α（i）m：Ohm ×[0，Tm]→ R和σ（i）m：Ohm ×[0，Tm]→ R areF适应过程。我们定义c（i）m（t）=c（i）m（Tm）表示t≥ Tm。提议6.2。抵押品远期利率的无套利动态由DC（i）n（t）给出=σ（i）n（t）·N-1Xm=q（t）δmσ（i）m（t）+δn |σ（i）n（t）|dt+σ（i）n（t）·t的dWQ（i）Bt（6.21）∈ [0，Tn]每n∈ {0，··，N*- 1}.证据在没有套利的情况下，D（i）（t，Tn）C（i）（t），t∈ [0，Tn]（6.22）必须是每n的Q（i）B-鞅∈ {0，··，N*}.

不难确定在每一个Ti，i∈ 通过使用表达式D（i）（t，Tn）=D（i）（t，Tq（t））n-1Ym=q（t）D（i）（t，Tm+1）D（i）（t，Tm）=D（i）（t，Tq（t））exp-N-1Xm=q（t）δmc（i）m（t）, （6.23）和（6.10）。因此，要求rex（i）n（t）：=exp就足够了-N-1Xm=q（t）δmc（i）m（t）（6.24）是每个区间内的Q（i）B-鞅（Tq（t）-1，Tq（t））。在给定区间内应用It^o-公式得到dx（i）n（t）=X（i）n（t）-N-1Xm=q（t）δmdc（i）m（t）+n-1Xm，m′=q（t）δmδm′dhc（i）m，c（i）m′it= X（i）n（t）-N-1Xm=q（t）δmα（i）m（t）+N-1Xm=q（t）δmσ（i）m（t）dt-X（i）n（t）n-1Xm=q（t）δmσ（i）m（t）·dWQ（i）Bt.（6.25）这意味着-1Xm=q（t）δmα（i）m（t）=N-1Xm=q（t）δmσ（i）m（t）. （6.26）由于这种关系每n∈ {0，··，N*- 1} ，通过取差，我们得到δnα（i）n（t）=nXm=q（t）δmσ（i）m（t）-N-1Xm=q（t）δmσ（i）m（t）=δn |σ（i）n（t）|+δnσ（i）n（t）·N-1Xm=q（t）δmσ（i）m（t）（6.27）因此α（i）n（t）=δn |σ（i）n（t）|+σ（i）n（t）·N-1Xm=q（t）δmσ（i）m（t）. （6.28）一旦我们定义了上述α（i）nas，就可以递归地验证关系（6.26）永远满足y n。这证明了命题。6.3伦敦银行同业拆借利率-OIS抵押贷款利差动态伦敦银行同业拆借利率-OIS抵押贷款利差B（i）（Tn）-1，Tn）本身只是一个指数，而不是一项可交易资产。然而，抵押远期合约当然是可交易的，henceEQ（i）b-RTntc（i）（s）dsB（i）（Tn）-1，Tn）i=D（i）（t，Tn）B（i）（t；Tn-1，Tn），t∈ [0，Tn-1] （6.29）是“股息y（i）”y ielding资产的价格过程。让我们把一般动力学写成asdB（i）（t；Tn）-1，Tn）：=B（i）（t；Tn-1，Tn）b（i）n（t）dt+σ（i）b，n（t）·dWQ（i）Bt, （6.30）使用一些适当的F适应过程b（i）n：Ohm×[0，Tn-1] → R和σ（i）B，n：Ohm×[0，Tn-1] →第6.3条提案。

LIBOR-OIS远期利差的无套利动态为givenbydB（i）（t；Tn）-1，Tn）=B（i）（t；Tn-1，Tn）σ（i）B，n（t）·N-1Xm=q（t）δmσ（i）m（t）dt+σ（i）B，n（t）·dWQ（i）Bt（6.31）对于t∈ [0，Tn-1] 每∈ {0，··，N*} .证据在没有套利的情况下，D（i）（t，Tn）B（i）（t；Tn）-1，Tn）C（i）（t），t∈ [0，Tn-1] （6.32）必须是Q（i）B套利。这相当于要求进程x（i）B，n（t）：=exp-N-1Xm=q（t）δmc（i）m（t）B（i）（t；Tn）-1，Tn）（6.33）是每个区间内的Q（i）B-鞅（Tq（t）-1，Tq（t）），因为（6.32）在y节点Ti，i上是连续的∈ {0，··，n- 1}.It^o公式在给定区间内的应用及命题6.2 Yieldx（i）B，n（t）=X（i）B，n（t）的结果b（i）n（t）- σ（i）B，n（t）·N-1Xm=q（t）δmσ（i）m（t）dt+X（i）B，n（t）σ（i）B，n（t）-N-1Xm=q（t）δmσ（i）m（t）· 这意味着B（i）n（t）=σ（i）B，n（t）·N-1Xm=q（t）δmσ（i）m（t）, （6.35）这证明了这个命题。6.4货币融资利差的动态在上一节中，融资标的本身不可直接交易，但以外币为抵押的零息债券是可交易资产。亨西（i，j）（t，Tn）=EQ（i）Bhe-RTnt（c（i）（s）+y（i，j）（s））dsi=D（i）（t，Tn）y（i，j）（t，Tn），t∈ [0，Tn]（6.36）同样的结果可以从测量改变技术和{B（i）（t；Tn）这一事实中得到-1，Tn），t∈ [0，Tn-1] 是一个鞅，在前向测度T（i）n下，是一个可交易资产的价格过程。一个重要的事实是，该资产有一个分割收益流（j）=y（i）- y（i，j）。（6.37）根据第6.1节中的讨论，我们必须用（6.17）的C（i，j）（t）来贴现它，以引入鞅条件。让我们把y（i，j）mas的动力学写如下：dy（i，j）m（t）=α（i，j）m（t）dt+σ（i，j）y，m（t）·dWQ（i）Bt（6.38），其中α（i，j）m：Ohm ×[0，Tm]→ R和σ（i，j）m：Ohm ×[0，Tm]→ RDF是适应过程。提议6.4。

远期融资利差的无套利动态由dy（i，j）n（t）=（σ（i，j）y，n（t）给出·N-1Xm=q（t）δm[σ（i，j）y，m（t）+σ（i）m（t）]+ σ（i）n（t）·N-1Xm=q（t）δmσ（i，j）y，m（t）+δn |σ（i，j）y，n（t）|+δn（σ（i，j）y，n（t）·σ（i）n（t）））dt+σ（i，j）y，n（t）·dWQ（i）Bt（6.39）t∈ [0，Tn]每n∈ {0，··，N*- 1}.证据无套利要求（i，j）（t，Tn）C（i，j）（t），t∈ [0，Tn]（6.40）是每n的Q（i）B-鞅∈ {0，··，N*}. 如前所述，可以检查比率（6.40）在每个Ti，i是连续的∈ {0，··，n}。因此，对于每n，该条件相当于要求∈ {0，··，N*},X（i，j）n（t）：=exp-N-1Xm=q（t）δmey（i，j）m（t）（6.41）在每个区间（Tq（t）内是Q（i）B-鞅-1，Tq（t））。这里，我们用putey（i，j）m（t）：=c（i）m（t）+y（i，j）m（t）（6.42）表示符号的简单性。通过遵循命题6.2中给出的相同论点，ey（i，j）n的无套利动力学∈ {0，··，N*- 1} 是给字节（i，j）n（t）=eσ（i，j）n（t）·N-1Xm=q（t）δmeσ（i，j）m（t）+δn | eσ（i，j）n|dt+eσ（i，j）n（t）·dWQ（i）Bt（6.43）和一些适当的F适应过程eσ（i，j）m：Ohm ×[0，Tm]→ R，m∈ {0，··，N*- 1}.因此，通过关系dy（i，j）n（t）=dey（i，j）n（t）- dc（i）n（t），漂移项由α（i，j）n（t）=eσ（i，j）n（t）获得·N-1Xm=q（t）δmeσ（i，j）m（t）+δn | eσ（i，j）n|-σ（i）n（t）·N-1Xm=q（t）δmσ（i）m（t）-δn |σ（i）n（t）|。（6.44）根据ey（i，j）的定义，我们每∈ {0，··，N*- 1} ，eσ（i，j）m（t）=σ（i）m（t）+σ（i，j）y，m（t），（6.45），因此α（i，j）n（t）=σ（i，j）y，n（t）·N-1Xm=q（t）δm[σ（i，j）y，m（t）+σ（i）m（t）]+ σ（i）n（t）·N-1Xm=q（t）δmσ（i，j）y，m（t）+δn |σ（i，j）y，n（t）|+δn（σ（i，j）y，n（t）·σ（i）n（t））（6.46），证明了该权利要求。值得注意的是，尽管融资利差的动力学相当复杂，但其结构与远期风险率模型完全相同[21]。

因此，如果已经实施了违约强度的期限结构模型，那么针对随机资金分布对其进行修改对从业者来说应该不难。6.5汇率的动态最后，让我们考虑一下汇率的动态和相关的度量变化。即期外汇汇率{f（i，j）x（t）}t≥0本身是不可交易的，但外币是可交易的。我们可以定义Q（i）带Q（j）BbydQ（j）BdQ（i）B之间的测量变化Ft=B（j）（t）f（i，j）x（t）B（i）（t）f（i，j）x（0）（6.47），因为在没有套利的情况下，右边应该是正的Q（i）B鞅。这一事实立即告诉我们6.5号提案。外币（j）相对于本币（i）的外汇兑换率的无套利动态由df（i，j）x（t）/f（i，j）x（t）给出=r（i）（t）- r（j）（t）dt+σ（i，j）X（t）·dWQ（i）Bt=c（i）（t）- c（j）（t）+y（i，j）（t）dt+σ（i，j）X（t）·dWQ（i）Bt（6.48），具有适当的波动过程σ（i，j）X：Ohm ×[0，TN*] → Rd是F适应的。通过对最短键的非随机性假设，我们可以很容易地确定关系dq（j）BdQ（i）BFt=C（j，k）（t）f（i，j）x（t）C（i，k）（t）f（i，j）x（0）（6.49）适用于任意货币（k）。有趣的是，我们必须使用共同的抵押品货币来确定衡量标准的变化。这是由于存在融资利差{y（i，j）}，这是市场中观察到的非零交叉货币基础的直接结果[11]。通过安排右手侧并使用定义（5.2），可以看到f（i，j）x（t，Tq（t）；（k） ）t∈ [Tq（t）-1，Tq（t）]（6.50）是一个Q（i）B-鞅，与附带电流（k）无关。此外，其波动性必须与即期汇率的波动性相同，以便其给出相同的氡-尼科迪密度。这给出了以下结果：命题6.6。

由df（i，j）x（t，Tq（t）给出了前一种货币（j）与以一种货币（k）为抵押的本国货币（i）的滚动汇率的无套利动态；（k） ）=f（i，j）x（t，Tq（t）；（k） σ（i，j）X（t）·dWQ（i）Bt，（6.51），在每个展期日期f（i，j）X（Tn，Tn+1；（k））=f（i，j）X（Tn，Tn；（k））eY（j，k）（Tn，Tn+1）eY（i，k）（Tn，Tn+1）每n∈ {0，··，N*- 1}. σ（i，j）X：Ohm ×[0，TN*] → RDI是一个与即期汇率（6.48）相等的F适应波动过程。注意f（i，j）x（t，t；（k））=f（i，j）x（t）。下面的推论通过Girsanov-Maruyama定理的标准应用是显而易见的。推论6.1。测度Q（j）Bis下的布朗运动与Q（i）BbyWQ（j）Bt=WQ（i）Bt下的布朗运动有关-Ztσ（i，j）X（s）ds。（6.52）6.6股权动态如果试图直接模拟即期股权动态，则需要模拟无风险利率r或抵押品账户y隐含的股息收益率，两者都不容易观察到。避免这一问题的最佳方法是使用均衡远期价格。让我们考虑股票{S（i）t}t的价格过程≥0以货币（i）为单位。我们不会问股权是否有股息支付。让我们用相同的货币（i）asS（i）（t，Tn）：S（i）（t，Tn）=等式（i）b表示到期日为Tn的权益的前文合同价格-RTntc（i）（s）dsS（i）（Tn）iD（i）（t，Tn），t∈ [0，Tn]。（6.53）然后，通过与命题6.3完全相同的推理，我们得到：命题6.7。

股票远期价格的无套利动态由比亚迪（i）（t，Tn）=S（i）（t，Tn）给出σS（i），n（t）·N-1Xm=q（t）δmσ（i）m（t）dt+σS（i），n（t）·dWQ（i）Bt（6.54）对于t∈ [0，Tn]，n∈ {0，··，N*- 1} 通过适当的F-适应波动过程σS（i），n：Ohm ×[0，Tn]→ 同样的技术可以应用于任意资产或指数，只要存在相应的远期市场。6.7动态总结为了便于参考，我们总结了多货币设置中各种利率的动态，基本货币如下（i）。对于实际实现，必须确定维度“d”的大小，并尽可能准确地重现观测到的底层之间的相关性。

对于这些观点，我们推荐Rebonato（2004）[19]），其中包含许多有价值的实施见解，尤其是第19章和第20章。基本货币DC（i）n（t）的费率=σ（i）n（t）·N-1Xm=q（t）δmσ（i）m（t）+δn |σ（i）n（t）|dt+σ（i）n（t）·dWQ（i）Bt（6.55）dB（i）（t；Tn-1，Tn）B（i）（t；Tn-1，Tn）=σ（i）B，n（t）·N-1Xm=q（t）δmσ（i）m（t）dt+σ（i）B，n（t）·dWQ（i）Bt（6.56）关于基本货币dy（i，j）n（t）=（σ（i，j）y，n（t）的融资方案·N-1Xm=q（t）δm[σ（i，j）y，m（t）+σ（i）m（t）]+ σ（i）n（t）·N-1Xm=q（t）δmσ（i，j）y，m（t）+δn |σ（i，j）y，n（t）|+δn（σ（i，j）y，n（t）·σ（i）n（t）））dt+σ（i，j）y，n（t）·dWQ（i）Bt（6.57）汇率df（i，j）x（t）/f（i，j）x（t）=c（i）t- c（j）t+y（i，j）tdt+σ（i，j）X（t）·dWQ（i）t（6.58）外币汇率dc（j）n（t）=σ（j）n（t）·N-1Xm=q（t）δmσ（j）m（t）- σ（i，j）X（t）+δn |σ（j）n（t）|dt+σ（j）n（t）·dWQ（i）BtdB（j）（t；Tn）-1，Tn）B（j）（t；Tn-1，Tn）=σ（j）B，n（t）·N-1Xm=q（t）δmσ（j）m（t）- σ（i，j）X（t）dt+σ（j）B，n（t）·dWQ（i）Bt（6.59）关于外币的融资方案dy（j，k）n（t）=（σ（j，k）y，n（t）·N-1Xm=q（t）δm[σ（j，k）y，m（t）+σ（j）m（t）]- σ（i，j）X（t）+ σ（j）n（t）·N-1Xm=q（t）δmσ（j，k）y，m（t）+δn |σ（j，k）y，n（t）|+δn（σ（j，k）y，n（t）·σ（j）n（t）））dt+σ（j，k）y，n（t）·dWQ（i）Bt（6.60）7关于无风险货币市场账户的评论从第3节和第6节的结果可以清楚地看出，在完全抵押的市场中，人们不需要提及无风险利率和相关的货币市场账户。事实上，用户可以选择某种货币（i）作为基础货币，并将其抵押品账户C（i）视为唯一的无风险（默认）银行账户。它使sy（i）=0，但完全不改变前面章节中给出的动力学。然而，由于存在非零交叉货币基础，这要求对外币的其他抵押品利率进行不对称处理，不能将其视为传统的无风险利率。

此外，现在已经很清楚，当局可以强迫共同利率为负值，例如在最近的一个市场中观察到的情况。考虑到存在不受银行监管且不必将其合同合并的公司，将隔夜利率视为无风险并不总是合理的。即使是那些被迫为合同提供抵押的人，也更自然地认为抵押协议具有一定的分割收益率，这使得隔夜利率有效负向。在我们的设置中，不存在使抵押品利率为负值的问题，因为股息收益率过程{y（i）}没有先验限制。鉴于这些观察结果，我们选择将无风险货币市场账户与抵押品账户分开使用。我们框架的最大假设是，每个市场参与者都有一个共同的“无风险”货币市场账户。每个金融公司都希望反映自己的融资/投资条件，而不是一个共同的“无风险”利率，这是完全合理的，但这将不可避免地产生依赖于公司的衍生品价格[6]。因此，我们认为，FVA应与我们在本文中描述的基准定价分开对待公司的特定影响。8结论本文是之前工作[10,9,11]的延伸，并对完全抵押市场中利率建模的一般框架提供了更详细的解释。特别是，我们给出了一个新的融资利差动态公式，它更适合于与抵押品利率存在非零相关性的情况。

我们还展示了在多货币体系下具有固定期限结构的离散化HJM模型的全貌，该模型无套利，易于实施，并且能够考虑随机跨货币基础。参考文献[1]比安切蒂，M（2010）两条曲线，一个价格，风险杂志，8月号，74-80。[2] 比安切蒂，M和M莫里尼（编辑）（2013），金融危机后的利率建模，风险书，伦敦。[3] Brace，A，D Gatarek和M Musiela（1997），利率动态的市场模型，1997，数学。《金融》，第7（2）页，127-155页。[4] Brigo，D，M Morini and A Pallav icini（2013年），交易对手信用风险，抵押和融资，西苏塞克斯威利。[5] Cr\'epey，S，Z Grbac和H Nguyen（2012），银行间风险的多曲线HJM模型，金融经济数学，6155-190。[6] Cr\'epey，S，T Bielecki与D Brigo（2014）的介绍性对话，《反党派和资金》，华润出版社，纽约。[7] 菲利波维奇、D和A特罗尔（2013），银行间风险的期限结构，金融经济学杂志，109707-733。[8] Fujii，M，Y Shimada and d A Takahashi（2010a），《关于有无抵押品的多重WAP曲线构造的说明》，FSA研究综述，第6卷，第139-157页。[9] Fujii，M，Y Shimada和A Takahashi（2010b），抵押品过账和抵押品货币选择，SSRN:1601866提供。[10] Fujii，M，Y Shimada and A Takahash i（2011），存在抵押品和多种货币的动态基差利率市场模型，Wilmottmagzine，第54期：61-73。[11] Fujii，M和A Takahashi（2011），《抵押货币的选择》，风险杂志，1月号，第120-125页。[12] Fujii，M和A Takahashi（2013a），不对称和非完美融资下的衍生品定价，和CVA，数量金融，第卷。