在完全抵押证券市场中基准定价的一般框架

通过Maruyama-Girsanov定理，我们可以检查关系dwt（i）nt=dWQ（i）t+ZTntσ（i）c（t，s）dsdt（3.16）保持不变，这将给出所需的结果。3.3沃德货币融资利差的动态期限结构建模的剩余重要指标是货币融资利差的动态，y（i，j）。要了解观测到的跨期基础与当前资金差价之间的直接关系，请参见[11]。通过对实际市场数据的分析，发现融资利差y（i，j）是货币基础形成的主要原因。定义3.2。时间t与到期日t的即时远期融资利差≥ tof货币（j）相对于货币（i）定义为b yy（i，j）（t，t）：=-Tln Y（i，j）（t，t）（3.17）其中（i，j）（t，t）：=ET（i）the-RTty（i，j）（s）dsi。（3.18）让我们用σ（i，j）表示远期融资利差y（i，j）的波动过程：Ohm ×R+×R+→ 其中{σ（i，j）y（t，s），t∈ [0，s]}对于每一个s都是F-适应的≥ 0.提案3.3。在第3.1节和第3.3节给出的设置下，正向融资利差的无套利动态{y（i，j）（t，s），t∈ [0，s]}对于每个s≥ 0是被赋予的（i，j）（t，s）=σ（i，j）y（t，s）·Zstσ（i，j）y（t，u）du+σ（i，j）y（t，s）·Zstσ（i）c（t，u）du+σ（i）c（t，s）·Zstσ（i，j）y（t，u）dudt+σ（i，j）y（t，s）·dWQ（i）t（3.19），其中y（i，j）（t，t）=y（i，j）（t）。注意，在等式（6.31）中，因此在[13]的（6.39）中，漂移项的第三分量σ（i）c（t，s）·Rstσ（i，j）y（t，u）du缺失，应按照本命题进行修正。证据定义（i，j）（t，t）：=等式（i）-RTt（c（i）（s）+y（i，j）（s））dsi（3.20）和相应的远期利率{ey（i，j）（t，t），t∈ [0，T]}asey（i，j）（T，T）=-特尔尼（i，j）（t，t）。

（3.21）请注意它们（i，j）（t，t）=-TlneY（i，j）（t，t）=eY（i，j）（t，t）等式-RTt（c（i）（s）+y（i，j）（s））ds（c（i）（T）+y（i，j）（T））i（3.22），因此使用ey（i，j）（T，T）=1这一事实，我们通过传递到极限T来获得↓ t、 ey（i，j）（t，t）=c（i）（t）+y（i，j）（t）。（3.23）使用上述结果和以下事实：-Rt（c（i）（s）+y（i，j）（s））dseY（i，j）（t，t），t∈ [0，T]o（3.24）是每T的Q（i）-鞅≥ 0，一个获得，代表t∈ [0，s]每s≥ 0，th atdey（i，j）（t，s）=eσ（i，j）（t，s）·Zsteσ（i，j）（t，u）dudt+eσ（i，j）（t，s）·dWQ（i）t（3.25）ey（i，j）（t，t）=c（i）（t）+y（i，j）（t）（3.26）来自命题3.1中完全相同的论点。这里，eσ（i，j）：Ohm ×R+×R+→ Rd对应于一些波动过程，和{eσ（i，j）（t，s），t∈ [0，s]}是F适应的。现在，让我们将ey（i，j）分解为两部分asey（i，j）（t，s）=c（i）（t，s）+y（i，j）（t，s）。（3.27）从远期抵押品利率的定义中，我们可以看到第二个组成部分满足性xp-ZTty（i，j）（t，s）ds= Y（i，j）（T）（3.28），这与定义3.2一致。我们可以使用适当的调整漂移过程{u（i，j）（t，s），将融资利差的一般动力学写成asdy（i，j）（t，s）=u（i，j）（t，s）dt+σ（i，j）y（t，s）·dWQ（i）t（3.29）∈ [0，s]}。然后，通过构造，我们必须有σ（i，j）（t，s）=σ（i）c（t，s）+σ（i，j）y（t，s）。（3.30）取差异dy（i，j）（t，s）=dey（i，j）（t，s）- dc（i）（t，s），一个得到u（i，j）（t，s）=σ（i，j）y（t，s）·Zstσ（i，j）y（t，u）+σ（i）c（t，u）du+σ（i）c（t，s）·Zstσ（i，j）y（t，u）du（3.31）≥ 0.这会得到期望的结果。3.4即期汇率的动态现在，期限结构模型的最后一部分是即期汇率的动态- r（j）t=c（i）t- c（j）t+y（i，j）t（3.32）很容易看出，相关的动力学由df（i，j）x（t）/f（i，j）x（t）给出=c（i）t- c（j）t+y（i，j）tdt+σ（i，j）X（t）·dWQ（i）t。

（3.33）式中σ（i，j）X：Ohm ×R→ RDI是一种适用于即期外汇波动的适当流程。不同货币的两个货币市场指标之间的拉登-尼科德姆密度由dQ（j）dQ（i）给出t=β（j）（t）f（i，j）x（t）β（i）（t）f（i，j）x（0）=β（j）c（t）f（i，j）x（t）β（i）c（t）β（i，j）y（t）f（i，j）x（0）（3.34），其中β（i，j）y（t）=eRty（i，j）sds。因为我们有关系dWQ（j）t=dWQ（i）t- σ（i，j）X（t）dt，（3.35）很容易改变货币度量。例如，我们可以检查远期抵押利率的动态（j）是否变为dc（j）（t，s）=σ（j）c（t，s）·Zstσ（j）c（t，u）du- σ（i，j）X（t）dt+σ（j）c（t，s）·dWQ（i）t（3.36）在货币市场的货币度量（i）下。3.5动力学概述从第3.1节到第3.4节，我们推导了HJM框架中所有相关过程的动力学。为了方便读者，让我们总结一下随机微分方程（SDE）的合成系统。

这里，我们将货币（i）设置为基础货币。基本货币的汇率DC（i）（t，s）=σ（i）c（t，s）·Zstσ（i）c（t，u）dudt+σ（i）c（t，s）·dWQ（i）t（3.37）dB（i）（t；Tn）-1，Tn）B（i）（t；Tn-1，Tn）=σ（i）B（t；Tn-1，Tn）·ZTntσ（i）c（t，s）dsdt+σ（i）B（t；Tn）-1.Tn）·dWQ（i）t（3.38）与基础货币有关的融资方案DY（i，j）（t，s）=σ（i，j）y（t，s）·Zstσ（i，j）y（t，u）+σ（i）c（t，u）杜+σ（i）c（t，s）·Zstσ（i，j）y（t，u）dudt+σ（i，j）y（t，s）·dWQ（i）t（3.39）外汇汇率df（i，j）x（t）/f（i，j）x（t）=c（i）t- c（j）t+y（i，j）tdt+σ（i，j）X（t）·dWQ（i）t（3.40）外币汇率dc（j）（t，s）=σ（j）c（t，s）·Zstσ（j）c（t，u）du- σ（i，j）X（t）dt+σ（j）c（t，s）·dWQ（i）t（3.41）dB（j）（t；Tn）-1，Tn）B（j）（t；Tn-1，Tn）=σ（j）B（t；Tn-1，Tn）·ZTntσ（i）c（t，s）ds- σ（i，j）X（t）dt+σ（i）B（t；Tn）-1，Tn）·dWQ（i）t（3.42）与外币有关的融资方案DY（j，k）（t，s）=σ（j，k）y（t，s）·Zstσ（j，k）y（t，u）+σ（j）c（t，u）杜- σ（i，j）X（t）+σ（j）c（t，s）·Zstσ（j，k）y（t，u）dudt+σ（j，k）y（t，s）·dWQ（i）t（3.43）4关于[9,11]中公式的一些评论在我们之前的工作中，我们定义了资金分布的瞬时远期利率（i，j）（t，s）ds=EQ（i）-RTty（i，j）（s）dsi（4.1）或等效的y（i，j）（t，t）=-Tln等式（i）-RTty（i，j）（s）dsi。（4.2）注意定义3.2中相关度量的差异。在上述定义中，融资利差的动态实际上更简单：dy（i，j）（t，s）=σ（i，j）y（t，s）·Zstσ（i，j）y（t，u）dudt+σ（i，j）y（t，s）·dWQ（i）t.（4.3）然而，由于抵押利率和融资利差之间存在非零相关性，上述公式使得校准程序变得相当复杂。假设有一种货币——（j）以货币（i）为抵押的零息债券。这是外币抵押合同定价的重要组成部分。

该债券的现值为（i）-RTt（c（i）（s）+y（i，j）（s））dsi。（4.4）由于非零相关性，上述数量取决于两种远期利率的动态，无法区分这两种影响。另一方面，在第3.3节提出的公式中，上述量由D（i）（t，t）Y（i，j）（t，t）给出，无需任何独立假设（见等式（2.11）和（3.18））。此外，如果这类产品的市场报价可用，那么可以很容易地获得Y（i，j）的清晰信息，这直接给出了通过差异进行融资利差的初始条件。5有抵押的FX5。1.外汇远期抵押首先考虑货币（i）和（j）之间的外汇远期抵押合同，其中货币（j）的单位金额将在到期时以货币（i）的单位金额交换。K的金额固定在交易开始时间t。假设合同以货币（k）为完全抵押。在这里，使该交易所在t时刻的当前值为0的K的量称为远期外汇汇率。K量的盈亏平衡条件由keq（i）给出-RTt（c（i）s+y（i，k）s）dsi=f（i，j）x（t）EQ（j）the-RTt（c（j）s+y（j，k）s）dsi。（5.1）此处，左侧代表第二次抵押时以货币（K）支付的K单位货币金额（i）的价值。在右边，单位货币（j）的价值用货币（i）乘以即期汇率表示。通过求解K的方程，我们得到远期外汇as（见定义（3.20））f（i，j）x（t；t，（k））=f（i，j）x（t）eY（j，k）（t，t）eY（i，k）（t，t）（5.2），其中最后一个参数（k）表示用作抵押品的货币。一般来说，远期FX之间的货币三角形关系只适用于共同的抵押品货币：f（i，j）x（t，t；（k））×f（j，l）x（t，t；（k））=f（i，l）x（t，t；（k））。

（5.3）假设同一份合同是以（i）或（j）为抵押货币签订的，这在市场上看起来更自然。在这种情况下，我们在远期外汇价值和远期融资利差之间有一对一的关系。例如，如果货币（i）用作抵押品，我们有f（i，j）x（t；t，（i））=f（i，j）x（t）D（j）（t，t）D（i）（t，t）Y（j，i）（t，t）。（5.4）因此，如果我们可以观察市场上不同期限的远期外汇，我们可以引导{y（j，i）（t，·）}的远期曲线，因为我们已经从每个市场知道D（i）和D（j）。当按货币（j）进行抵押时，我们可以用相同的参数提取{y（i，j）（t，·）}。当抵押品货币为（i）时，可以很容易地证明f（i，j）x（t）EQ（j）的-RTt（c（j）s+y（j，i）s）dsi=EQ（i）the-RTtc（i）sdsf（i，j）x（T）i（5.5），使用氡Nikodym密度（3.34）。因此，我们从等式（5.4）中看到f（i，j）x（t；t，（i））=ET（i）thf（i，j）x（t）i（5.6）。因此，根据相关的远期措施T（i），以本国货币（i）为抵押的远期外汇为阿马丁格尔。在更一般的情况下，我们有表达式f（i，j）x（t；t，（k））=ET（i，k）thf（i，j）x（t）i（5.7），其中新的正向度量由dt（i，k）dQ（i）定义t=eY（i，k）（t，t）β（i）c（t）β（i，k）y（t）eY（i，k）（0，t），（5.8）和{f（i，j）x（t；t，（k）），t∈ [0，T]}是一个T（i，k）-鞅。我们可以看到，eY（i，k）（t，t），以货币（k）为抵押的azero息票债券（i）的价格与远期度量t（i，k）的数值相关联。5.2外汇期权为了完整性，我们对外汇抵押欧洲期权进行了简要说明。让我们考虑一个在f（i，j）x上的T-到期欧洲看涨期权，其行使K以敏锐度（K）为抵押。选项isP Vt的当前值=等式（i）tE-RTt（c（i）s+y（i，k）s）dsf（i，j）x（T）- K+, （5.9）其中X+表示最大值（X，0）。

因为我们可以重写它asP Vt=D（i）（t，t）Y（i，k）（t，t）ET（i，k）tf（i，j）x（T；T，（k））- K+（5.10）在测量t（i，k）下，了解fx（t；t，（k））的动力学就足够了。通过对（5.2）应用it^o公式，我们得到了df（i，j）x（t；t，（k））/f（i，j）x（t；t，（k））=nσ（i，j）x（t）+（i，k）（t，t）- Γ（j，k）（t，t）o·dWT（i，k）t（5.11），其中WT（i，k）是d维t（i，k）-布朗运动。这里，对于m={i，j}，我们定义了Γ（m，k）（t，t）=ZTtσ（m）c（t，s）+σ（m，k）y（t，s）ds。（5.12）因此，当抵押品和融资利差波动率都是确定性的（以下简称高斯HJM）时，我们可以使用Black的公式。虽然除了这种特殊情况，没有封闭形式的解，但渐近展开技术可以应用于导出解析近似解。参见Takahashi（2015）[22]和其中的参考文献。6.采用固定期限结构的实施由于维度有限，不可能直接对拟议的HJM框架进行数值实施。一个显而易见的解决方案是按照BGM（或LIBOR市场）模型[3]的思想，通过离散化来降低其维度。例如，可以将Mercurio[17]（2009）视为早期尝试。近年来，许多研究人员遵循同样的路线，或采用了一种有效的可处理性模型。然而，只有在我们之前的工作[10、9、11]中给出的连续HJM框架中，才发现了一幅完整的图景，其中包括解释跨货币基础所必需的多种货币和货币融资计划。在本文的剩余部分，我们将给出一个完整的HJM框架的可直接实现的离散化，包括多种货币和相关的资金分布。由于数值模拟的能力有限，使用日跨度计算隔夜利率似乎很困难。

当使用更稀疏的时间划分时，考虑到OIS的每日复合性质，似乎更有用的是定义一个具有有限累计期的连续复合未来利率。它看起来也适用于融资利差的建模，因为它是每天支付给抵押品持有人的股息收益率。此外，与传统的类似BGM的离散化相比，它与HJM f框架具有更强的相似性。由于这种相似性，我们可以使用一个连续的HJM框架，它允许更简洁的处理，用于对具有固定基调结构的已实现模型进行分析研究。6.1设置我们在一个过滤的能力空间中工作(Ohm, F、 F，P）满足通常条件，其中，假设Fis是由d维布朗运动产生的增强过滤。假设它支持模型中出现的每个随机变量。我们将时间间隔划分为0=T<T<T<·T<·TN*（6.1）和δi:=Ti+1- Ti，TN在哪里*是固定的时间范围。我们还定义（t）：=Minn；Tn≥ 到（6.2），因此我们总是有Tq（t）-1<t≤ Tq（t）。我们假设，对于每种货币，传统的无风险零息债券和抵押零息债券在任何时候都是可连续交易的∈ [0，TN*]. 它们的价格过程被假定为严格正的，用P（i）（t，Tq（t）），··，P（i）（t，TN）表示*) （6.3）和D（i）（t，Tq（t）），·D（i）（t，TN）*) （6.4）对于每种货币，根据Schl–ogl[20]的思想，对于每种货币（i），我们假设最短债券P（i）（t，Tq（t））D（i）（t，Tq（t））的价格为FTq（t）-1-可测量且绝对连续的勒贝格测量。

然后，我们可以通过以下方式定义相关的短期利率过程（r（i），c（i））：-ZTq（t）tr（i）（s）ds= P（i）（t，Tq（t））（6.5）exp-ZTq（t）tc（i）（s）ds= D（i）（t，Tq（t））（6.6）每t∈ [0，TN*], 和（r（i），c（i））是FTq（t）-1.可测量的过程。我们表示（i）（t）：=r（i）（t）- c（i）（t），t∈ [0，TN*] （6.7）对应于货币相关的股息收益率—（i）抵押产品。让我们首先定义一个给定货币的离散银行账户（i）：B（i）（t）：=expq（t）-1Xm=0δmf（i）m（Tm）P（i）（t，Tq（t））。（6.8）这里，f（i）m（t）：=-δmlnP（i）（t，Tm+1）P（i）（t，Tm）！，T∈ [0，Tm]（6.9）是在[Tm，Tm+1]期间的时间t的远期利率，具有连续的复合利率。如果存在一个度量Q（i）与Psuch等价，那么很容易证明市场是无套利的，即每一个（无股息支付的）以货币计价的资产p价格（i）被B（i）贴现为Q（i）B鞅。备注：我们创建了连续货币市场账户β（i）（t）=expRtr（i）（s）ds使用（6.5）中定义的速率过程。那么，与β（i）相关的新度量Q（i）作为基准，实际上等于Q（i），因为两个基准都有有限的变化。尽管上述计价资产在概念上是有用的，但在抵押市场中它仍然是完全隐含的。在存在抵押的情况下，基本面资产是股息收益资产。让我们通过C（i）（t）定义一个独立的抵押品账户：=expq（t）-1Xm=0δmc（i）m（Tm）D（i）（t，Tq（t）），（6.10），其中c（i）m（t）：=-δmlnD（i）（t，Tm+1）D（i）（t，Tm）！，T∈ [0，Tm]（6.11）是相应的抵押品远期利率。现在，让我们选择一个特定的基电流，并省略其规格（i）。

以包含m个非股息支付资产和n个y收益抵押资产的市场为例。让我们用{Si（t），t来表示它们的价格过程∈ [0，TN*]} 和{Uj（t），t∈ [0，TN*]} 因为∈ {1，··，m}和j∈ {1，···，n}。提议6.1。如果{Si（t）/B（t），t∈ [0，TN*]}1.≤我≤mand{Uj（t）/C（t），t∈ [0，TN*]}1.≤J≤所有的QB鞅都是。如果我们采用一个简单的速率约定，我们将得到一个传统的BGM模型。证据让我们用{（πi（t），ηi（t）），t来表示自融资交易策略∈ [0，TN*]},我∈ {1，···，m}，j∈ {1，···，n}。相关的财富过程{V（t），t∈ [0，TN*]} 给定的是π（t）·dS（t）+η（t）·dU（t）+y（t）（η（t）·U（t））dt+及物动词- π（t）·S（t）- η（t）·U（t）dB（t）B（t）。（6.12）请注意，对担保零息债券的投资需要对其股息进行持续的再投资，这最终导致了相同的表达式。在没有套利的情况下，只要证明{V（t）/B（t），t∈ [0，TN*]} 是aQB鞅。播种很容易V（t）B（t）=dV（t）B（t）-V（t）B（t）dB（t）=πt·dS（t）B（t）-S（t）B（t）dB（t）+C（t）B（t）η（t）·dU（t）C（t）-U（t）C（t）dC（t）+η（t）·U（t）B（t）dC（t）C（t）+y（t）dt-dB（t）B（t）. （6.13）最后一项消失后，得到一个V（t）B（t）= π（t）·dS（t）B（t）+C（t）B（t）η（t）·dU（t）C（t）（6.14）这证明了预期的结果。上述结果表明，通过将y C（i）-折扣价格过程设定为Q（i）B-鞅，可以保证在以本币（i）为抵押的市场中不存在套利。这些论点很容易推广到存在外币抵押产品的情况（j）。