在完全抵押证券市场中基准定价的一般框架

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英文标题：
《A General Framework for the Benchmark pricing in a Fully Collateralized
  Market》
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作者：
Masaaki Fujii, Akihiko Takahashi
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Collateralization with daily margining has become a new standard in the post-crisis market. Although there appeared vast literature on a so-called multi-curve framework, a complete picture of a multi-currency setup with cross-currency basis can be rarely found since our initial attempts. This work gives its extension regarding a general framework of interest rates in a fully collateralized market. It gives a new formulation of the currency funding spread which is better suited for the general dependence. In the last half, it develops a discretization of the HJM framework with a fixed tenor structure, which makes it implementable as a traditional Market Model.
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中文摘要：
在后危机时期的市场中，每日保证金抵押已成为一种新的标准。虽然出现了大量关于所谓的多曲线框架的文献，但自我们最初尝试以来，很少能找到一个完整的跨货币基础的多货币体系。这项工作扩展了完全抵押市场中利率的一般框架。它给出了一个新的货币融资利差公式，该公式更适合一般依赖性。在上半年，它开发了一个具有固定期限结构的HJM框架的离散化，这使得它可以作为一个传统的市场模型来实现。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_General_Framework_for_the_Benchmark_pricing_in_a_Fully_Collateralized_Market.pdf (259.31 KB)

2022-5-9 02:46:37 上传

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关键词：抵押证券 证券市场 Quantitative Applications QUANTITATIV

完全抵押市场基准定价的一般框架*Fujii Masaaki+，高桥明彦2015年9月7日摘要每日保证金抵押已成为后危机市场的新标准。虽然在所谓的多曲线框架上出现了大量的红色文字，但自我们最初尝试以来，很少能找到一个完整的跨货币基础的多货币体系。这项工作扩展了完全抵押市场中利率的一般框架。它给出了一个新的货币资金利差公式，更适合于一般依赖。在上半年，它开发了HJM框架的离散化，具有固定的期限结构，这使得它可以作为传统的市场模型实施。关键词：掉期、抵押品、衍生品、伦敦银行同业拆借利率、货币、OIS、基差、HJM、CSA*这项研究得到了CARF（金融高级研究中心）和JSPS KAKENHI（授权号25380389）的支持。作者不对因使用本研究中的任何内容而造成的任何损失和/或损害承担任何责任。最初，它被命名为“更新的抵押货币选择”。+东京大学经济学院：mfujii@e.u-东京。ac.jp——东京大学经济学院：akihikot@e.u-东京。ac.jp，通讯作者1简介自2008年金融危机以来，衍生工具建模领域经历了根本性的变化。一方面，对交易对手信用风险的评估已成为所有类型金融合同不可避免的因素。这是相当自然的一系列重大cr编辑事件，当时最负盛名的投资银行之一莱曼兄弟（Lehmanbrothers）倒闭就是一个很好的例子。另一方面，框架的清洁或基准定价也发生了显著变化。

在这方面，各种基差的激增（危机前几乎可以忽略不计）以及对抵押品成本的认识起到了核心作用。在一些最初试图解释抵押效应的尝试之后，如Fujii、Shimada和Takahashi（2010a）[8]、Bianchetti（2010）[1]和Piterberg（2010）[18]，出现了大量文献来构建动态多曲线框架，如Mercurio（2009）[17]、Fujii、Shimada和Takahashi（2011）[10]、Cr epey、Grbac和Nguyen（2012）[5]、Filipovi\'c和Trolle（2013）[7]、Grbac，Papapantoleon、Schoenmakers和Skovmond（2014）[14]，以及bo okBianchetti和Morini（编辑）（2013）[2]最近发表的一篇文章。参见Brigo、Morini and Pllavicini（2013）[4]、Cr\'epey和Bielecki（2014）[6]以及其中与CVA和FVA密切相关的参考文献。[10]首次开发了多货币体系中的期限结构模型，该模型以非零交叉货币为基础，其中LIBOR-OIS利差是随机的，但货币资金分布是确定性的。在Fujii、Shimada和Takahashi（2010b）[9]和Fujii和Takahashi（2011）[11]的连续Heath Jarrow Morton（Heath、Jarrow和Morton，1992[15]）框架中，融资利差是随机的。本文是我们之前工作的修订版和扩展版，介绍了完全抵押市场中基准定价的一般框架。货币融资利差的动态公式已从原来的公式[9,11]更改，这将更有助于在共同利率和融资利差之间存在非零相关性的情况下实施。

特别是，在本文的后半部分，我们提供了一个完整的离散化HJM框架，用于随机抵押品利率、伦敦银行同业拆借利率、外汇汇率货币融资利差和具有固定期限结构的股票，这很容易作为传统市场模型实施（Brace、Gatarek和Musiela，1997[3]）。我们不重复曲线引导程序的细节。事实上，在之前的论文[8,11,13]中给出的方法可以在没有重大变化的情况下应用。2完全抵押市场中的定价让我们从[8,13]的回顾开始。我们做出了以下假设，这些假设在基准定价中已经很流行：1。现金完全抵押（零门槛）。2.抵押品以零最低转让金额持续调整。这意味着，按市值计价为负数的一方向交易对手提供等量的现金抵押品，这一过程将持续进行，直到合同到期。事实上，每日追加保证金通知正变得越来越流行，这至少是大多数主要经纪交易商和中央交易对手的市场标准。这一观察结果使我们能够将上述假设视为现实的合理代表。有人可能会认为，在上述假设下，不存在交易对手风险。然而，事实上，如果交易对手违约时标的资产和/或抵押物价值突然飙升，情况并非总是如此。这就是所谓的“差距风险”。如果是这种情况，剩余风险应作为信用风险评估调整（CVA）的一部分考虑在内。在本文中，我们假设不存在交易对手风险，并将重点放在清洁基准定价上。

对于感兴趣的读者，我们参考[4,6]以及Fujiian和Takahashi（2013a）[12]来处理非零信用和资金风险的更一般的情况。让我们提到本文的长期假设：假设在本文中，我们假设适当的正则性条件在任何需要时都是满足的。特别地，假设每个局部鞅都是真鞅。我们考虑一种衍生品，其在时间T的支付由h（i）（T）以货币（i）给出。我们假设货币（j）被用作合同的抵押品。让我们介绍一个重要的sp读取过程：y（j）（t）=r（j）（t）- c（j）（t），（2.1），其中r（j）和c（j）分别表示货币（j）的无风险利率和抵押品利率。市场上的一种常见做法是将c（j）设定为隔夜（ON）汇率（j）。从经济学角度来看，利差y（j）可以从抵押品接收者的角度解释为现金（j）抵押品账户的股息收益率。另一方面，从抵押付款人的角度来看，它可以被视为抵押融资成本。当然，风险投资的回报或外部市场的借贷成本可能与无风险利率有很大不同。然而，如果想要直接处理这些影响，就需要对相关风险进行明确的建模。在这里，我们使用无风险利率作为对冲这些风险后的净回报/成本，这可以在简单的信贷模型中进行调整（见[4]第9.4.1节中给出的参数）。正如我们将看到的，最终公式不需要了解无风险利率，因此不需要对其进行估计，这对实际实施至关重要。现在，我们来解释定价公式的推导。

如果我们用h（i）（t）表示时间t时衍生工具的现值（以货币（i）表示），则从交易对手处过账的货币（j）的抵押品金额由h（i）（t）f（i，j）x（t）表示，（2.2），其中f（i，j）x（t）是时间t时的外汇汇率，代表货币（j）单位的价格（以货币（i）表示）。当h（i）（t）为负值时，应解释为投资者向交易对手提供抵押品。这些考虑因素导致以下计算抵押衍生价格，h（i）（t）=等式（i）-RTtr（i）（s）dsh（i）（T）i+f（i，j）x（T）EQ（j）T“ZTte-Rstr（j）（u）duy（j）（s）h（i）（s）f（i，j）x（s）！ds#（2.3）式中，等式（i）t[·]是货币（i）的风险中性度量下的时间t条件预期，其中货币（i）β（i）·=expZ·r（i）sds（2.4）用作数字。此处，（2.3）中的第二行表示抵押品账户的有效分割收益，或向交易对手过账抵押品的成本。你可以看到第二个条款根据合同的价值适当地改变了它的签署。第7节还将对无风险利率进行经济讨论。通过使用氡Nikodym密度dQ（i）dQ（j）改变测量值t=β（i）tf（i，j）x（0）β（j）tf（i，j）x（t）（2.5）我们可以显示（i）（t）=EQ（i）tE-RTtr（i）（s）dsh（i）（T）+ZTte-Rstr（i）（u）duy（j）（s）h（i）（s）ds. （2.6）因此，很容易在进程X={Xt；t处检查th≥ 0}X（t）：=e-Rtr（i）（s）dsh（i）（t）+中兴通讯-Rsr（i）（u）duy（j）（s）h（i）（s）ds（2.7）在适当的可积条件下是Q（i）-鞅。这告诉我们期权价格的过程可以写成dh（i）（t）=r（i）（t）- y（j）（t）h（i）（t）dt+dM（t）（2.8）与一些Q（i）-鞅M。它可以表示为一个线性后向s-to微分方程：h（i）（t）=h（i）（t）-ZTtr（i）（s）- y（j）（s）h（i）（s）ds-ZTtdM(s)。

（2.9）因此，我们有以下定理：定理2.1。假设h（i）（T）是衍生工具在时间T以货币（i）表示的支付，并且货币（j）被用作合同的抵押品。然后，在时间t，h（i）（t）的导数的值由h（i）（t）=等式（i）给出-RTtr（一）（s）ds埃尔蒂（j）（s）dsh（i）（T）i（2.10）=等式（i）的-RTtc（i）（s）ds-RTty（i，j）（s）dsh（i）（T）i=D（i）（T，T）ET（i）the-RTty（i，j）（s）dsh（i）（T）i，（2.11）其中（i，j）（s）=y（i）（s）- y（j）（s）（2.12），其中y（i）（s）=r（i）（s）- c（i）（s）和y（j）（s）=r（j）（s）- c（j）（s）。在这里，我们定义了货币（i）asD（i）（t，t）=等式（i）的单边零息债券-RTtc（i）（s）dsi。（2.13）我们还定义了货币（i）的“远期抵押措施”T（i），其中T（i）T[·]表示时间T条件预期。这里，D（i）（t，t）用作其数值，相关的氡Nikodym密度由dt（i）dQ（i）确定t=D（i）（t，t）β（i）c（t）D（i）（0，t）（2.14），其中β（i）c（t）：=expZtc（i）sds. （2.15）请注意，抵押零息债券实际上是一种“股息收益”资产，来源于抵押账户产生的现金流。这使得D（i）（t，t）/β（i）（t）不适合定义远期指标。事实上，它不是一个Q（i）-鞅，除非必须补偿股息率y（i）。这种调整使氡浓度的表达由β（i）变为β（i）。有关抵押市场中无套利条件的更多讨论，请参见第6节，因为每个合同都有一个共同的股息收益率y。由于y（i）和y（j）分别表示货币（i）和（j）的抵押融资成本，y（i，j）代表两种货币之间融资成本的差异。

作为定理的推论，我们有h（i）（t）=等式（i）-RTtc（i）（s）dsh（i）（T）i=D（i）（T，T）ET（i）T[h（i）（T）]（2.16）当支付和抵押均以共同货币（i）完成时。定理2.1提供了包括外币抵押品在内的完全抵押情况下的通用定价公式。这一结果将在本文中反复使用，作为理论讨论的基础。我们希望强调正确理解抵押利率出现在贴现中的原因的重要性。众所周知，资产的“有效”贴现率与股息率y的关系式为（r- y） ，或无风险利率和分割收益率的差异。在完全抵押的情况下，我们可以解释抵押账户y=r的回报率（可能为负）- c作为股息率，这导致tor- （r）- c） =c作为贴现率。这些论据可以很容易地扩展到外国抵押货币的情况。现在，很明显，只有当抵押利率“c”由本国货币的隔夜利率给出时，才能调整所谓的“OIS贴现”。例如，假设有一笔交易，合同协议中规定的已过账抵押品的抵押品利率或“费用”由伦敦银行同业拆借利率给出，则无论与无风险利率有多大差异，都应使用伦敦银行同业拆借利率作为合同的贴现率。3 Heath Jarrow-Morton框架在抵押品化下，我们将讨论如何使用Heath Jarrow-Morton框架为相关数量提供无套利动态。

这是Fujii，Shimada and Takahashi（2011）[10]和Fujii and Takahashi（2011）[11]的广义版本，也提供了更严格的论点。3.1病房抵押率的动态我们在过滤概率空间中工作(Ohm, 英尺，F（：=（英尺）t≥0），P），其中F是由d维布朗运动W生成的增强过滤。我们假设市场是完整的，度量Q（i）等于P。我们使用简单的符号Et[·]而不是Et[·| Ft]，因为F是唯一相关的过滤。首先，我们考虑远期抵押利率的动态，由C（i）（t，t）=-Tln D（i）（t，t）（3.1）或等效的tlyd（i）（t，t）=exp-ZTtc（i）（t，s）ds. （3.2）因为它可以写成asc（i）（t，t）=D（i）（t，t）等式（i）-RTtc（i）（s）dsc（i）（T）i（3.3）通过极限T可以看到c（i）（T，T）=c（i）（T）↓ t、 假设在度量Q（i）下的远期抵押利率的动力学是给定的，其中WQ（i）是一个d维Q（i）-布朗运动，α（i）：Ohm ×R+×R+→ R和σ（i）c：Ohm ×R+×R+→ rds和α（·，s）、σ（i）c（·，s）都是每个s的F-适应过程≥ 在这里，我们使用了缩写σ（i）c（t，s）·dWQ（i）t:=dXk=1σ（i）c（t，s）kdWQ（i）k（t）（3.5）来减轻符号的重量。提议3.1。根据第3.1节中的设置，共同远期利率的无套利动态{c（i）（t，s），t∈ [0，s]}对于每个s≥ 0由dc（i）（t，s）=σ（i）c（t，s）给出·Zstσ（i）c（t，u）dudt+σ（i）c（t，s）·dWQ（i）t（3.6）c（i）（t，t）=c（i）（t）。（3.7）证据。It^o公式的简单应用（i）（t，t）/D（i）（t，t）=c（i）（t）-ZTtα（i）（t，s）ds+ZTtσ（i）c（t，s）dsdt-ZTtσ（i）c（t，s）ds· dWQ（i）t.（3.8）根据定理2.1中零息债券D（i）的定义，{D（i）（t，t）/β（i）c（t），t∈[0，T]}必须是Q（i）-鞅。

这要求D（i）的漂移等于c（i），从而产生α（i）（t，s）=σ（i）c（t，s）·Zstσ（i）c（t，u）du. （3.9）这会产生预期的结果。3.2伦敦银行同业拆借利率-OIS价差的动态我们表示固定在Tn的货币（i）的伦敦银行同业拆借利率-1在Tnas L（i）（Tn）到期-1，Tn）。我们没有直接建模L（i），而是考虑LIBOR-OIS利差的动态，这是由B（i）（Tn）定义的-1，Tn）=L（i）（Tn-1，Tn）-δ（i）nD（i）（Tn）-1，Tn）- 1.（3.10）式中δ（i）n表示[Tn]期间L（i）的日计数分数-1，Tn]。很明显，L（i）（Tn-1，Tn）和B（i）（Tn）-1，Tn）是FTn-1可测量。定义3.1。该期间的远期伦敦银行同业拆借利率-OIS利差[Tn]-1，Tn]由B（i）（t；Tn）定义-1，Tn）：=ET（i）nthB（i）（Tn）-1，Tn）i=ET（i）nthL（i）（Tn）-1.Tn）i-δ（i）nD（i）（t，Tn）-1） D（i）（t，Tn）- 1.（3.11）与之前一样，这里给出了正向测量的氡Nikodym密度bydT（i）ndQ（i）t=D（i）（t，Tn）β（i）c（t）D（i）（0，Tn）。（3.12）让我们表示B（i）（·；Tn）的波动过程-1，Tn）通过适当的适应过程σ（i）B（·；Tn）-1，Tn）：Ohm ×R+→ 第3.2条提案。根据第3.1节和第3.2节给出的设置，LIBOR-OIS利差的无套利动态{B（i）（t；Tn）-1，Tn），t∈ [0，Tn-1] }对于EVERY 0≤ Tn-1.<Tnis givenbydB（i）（t；Tn-1，Tn）B（i）（t；Tn-1，Tn）=σ（i）B（t；Tn-1，Tn）·ZTntσ（i）c（t，s）dsdt+σ（i）B（t；Tn）-1，Tn）·带b（i）（0；Tn）的dWQ（i）t（3.13）-1，Tn）=ET（i）nhL（i）（Tn）-1.Tn）i-δ（i）nD（i）（0，Tn）-1） D（i）（0，Tn）- 1.（3.14）证据。根据构造，B（i）（·；Tn）-1，Tn）是前向测度T（i）n下的鞅。因此，一般来说，人们可以将其动力学写为db（i）（T；Tn）-1，Tn）/B（i）（t；Tn-1，Tn）=σ（i）B（t；Tn-1，Tn）·dWT（i）nt（3.15），其中WT（i）nt是d维的T（i）n布朗运动。