套利定价模型中的期望效用最大化

设knbe使得φl（n）=0表示l≥ 千牛。我们可能会也将要讨论所有n.首先让我们考虑一下supn | |φ（n）的情况||l= ∞.通过提取一个子序列（我们继续用n表示），我们可以并将假定| |φ（n）||l→ ∞, N→ ∞. 定义φi（n）：=φi（n）/| |φ（n）||l对于所有的n，i.显然，~φ（n）∈ E和Lim infn→∞V（△φ（n））=lim infn→∞V（φ（n））kφ（n）kl≥ 0 a.s.（7）设M:=pP∞i=1bi。我们显然有| P∞i=1|φi（n）bi |≤ M代表所有n，自φ（n）k起l= 1.因此，沿着子序列（仍由n表示），一个∞Xi=1φi（n）bi→ d、 n→ ∞有一段时间∈ R.我们现在区分两个子类别。子情形1：当χn:=max{| |φi（n）|，i=1，…，kn}→ 0，n→ ∞. 固定η，δ>0。假设3.5意味着，对于一些N=N（δ），我们有E[εi{|εi|≥N} 【参考译文】尽管我≥ 1.选择n，使η/χn≥ N.注意var（Pkni=1φi（N）εi）=1和knxi=1E[~φi（N）εi{|φi（N）εi|≥η}] ≤knXi=1E[)φi（n）εi{χn|εi|≥η}] ≤ δknXi=1φi（n）=δ。由于这适用于任意η，δ，我们得出结论，林德伯格条件适用于和V（)φ（n）），n≥ 1，所以中心极限定理（参见[4]第9章）适用。它遵循这个定律（V（～φ（n）））→ N(-d、 1）弱为n→ ∞.特别是，P（V（～φ（n））<0）→ 对于某些f>0的情况，与（7）直接矛盾。所以子类1实际上从未出现过。子类2：当c>0和1时≤ l（n）≤ 请确认| |φl（n）（n）|≥ c、 对于所有n.集Ji:=εi- 比，我≥ 1.注意Xi6=l（n）~φi（n）bi≤ k~φ（n）klkbkl≤ M、 根据马尔可夫不等式，对于每一个H>0，PXi6=l（n）~φi（n）Ji>H≤Pi6=l（n）~φi（n）bi+ EPi6=l（n）~φi（n）εiH≤M+Pi6=l（n）~φi（n）H≤M+1H→ 0，（8）作为H→ ∞, 在n中是均匀的，尤其是P（Pi6=l（n）~φi（n）Ji≤ H）≥ 所有n的1/2保持，一些H>0足够大。然而，假设3.5意味着存在q>0这样的p（εl（n）<-（H+M+1）/c）≥ q、 P（εl（n）>（H+M+1）/c）≥ q2都适用于所有n。注意|)φl（n）（n）bl（n）|≤ M

因此我们得到了p（V（∧φ（n））≤ -1) ≥ P■φl（n）（n）Jl（n）≤ -H- 1，Xi6=l（n）~φi（n）Ji≤ H≥ q/2，通过εl（n）与εi的独立性，i6=l（n），与（7）的另一个矛盾。这意味着子类2也不会出现。现在我们来讨论一下supn | |φ（n）||l< ∞. 然后有一个子序列，它在空间上弱收敛l根据应用于l, φ（n）（我们继续表示φ（n））的凸组合满足φ（n）- φ*Kl=∞Xi=1（φi（n）- φ*（一）→ 0，n→ ∞为了一些*∈ A=l. 因此，通过系统εi的正交性，i≥ 1英寸长，E（V（φ（n））- V（φ）*))→ 0，n→ ∞.由于Lconvergence意味着概率收敛，我们得到V（φ）*) = X.如果φ*i=0，然后X=0，我们就完蛋了。否则就会有我≥ 比如说，用φ*l> 0（案例φ*l<0（如下所示）。我们将证明这是不可能发生的。事实上，如（8）所示，PXi6=lφ*iJi>H≤M+Pi6=l（φ*i） H≤M+1H<1/2时，H为零。ThenP（V（φ）*) ≤ -1) ≥ Pφ*lJl≤ -H- 1，Xi6=lφ*i（n）Ji≤ H> 0，根据独立性和假设3.5，与v（φ*) = 十、≥ 0.备注3.8。如果sage定理是一个重要的自由条件。应该可以。使用数理经济学的术语，后一个条件意味着给定市场的总夏普比率是有限的。然而，对我们来说，定理3.7的有用性来自2：它提供了∈ M具有强附加性质（有界P-密度）。例3.9。我们不知道假设3.5是否可以被削弱。然而，对于定理3.7的有效性，εnar的一些附加假设是必要的，如下例所示。对于所有n，设bn=0≥ 设εn，n≥ 2.独立于法律εn=n+nq1+n-N-N= 1.-n、 Pεn=-n+nq1+n-N-N=n、 为了所有人≥ 2.对于所有n，可以检查Eεn=0和Eεn=1≥ 2.

设ε是任意的，独立于εn，n≥ 2平均值和单位方差为零。定义φi（k）：=1,2≤ 我≤ k、 φi（k）：=0，i>k，i=1，Bor-el-cantellimma表明，对于a.e.ω∈ Ohm 存在m=m（ω），使得εi（ω）≥ 1/（2i）代表我≥ 这意味着v（φ（k））（ω）=kXi=2εi（ω）→ ∞a、 当k→ ∞, i、 e.这一系列策略产生了一个渐进的免费午餐，即使bn=0对所有n都成立。因此，其含义为4。=> 1.（我们在第4节中的论点）在刚才的例子中失败。用K表示K的闭包，以便在概率上收敛。我们现在利用定理3.7的论点来证明以下自然但远不是显而易见的结果。定义K:={V（φ）：φ∈ A} 。引理3.10。假设3.5和P∞i=1bi<∞,K=K.（9）证明。注意，E A每一天∈ A、 V（φ（n））→ V（φ）在陆地上的概率也是如此，w he reφ（n）∈ E等于φi（n）=φi，i≤ n、 φi（n）=0，i>n。因此，证明Kis在概率上是闭合的就足够了。设φ（n）∈ A应为V（φ（n））→ 几乎可以肯定的是，一些（无数值）随机变量X为n→ ∞. 我们可以并将假定φ（n）∈ E、 n∈ N.如果我们有supn | |φ（N）||l= ∞ 然后，重复定理3.7（子类1和子类2）的论点，我们得到了V（∧φ（n））→ 0 a.s.和Lim infn→∞P（V（)φ（n））<0）≥ 对于一些f>0的情况，两者都成立：a矛盾。因此supn | |φ（n）||l< ∞ 我们不能找到，就像定理3.7的证明一样，φ*∈ 带V（φ）的A*) = 十、例3.11。通过εi的正交性，i≥ 1在Lit中很明显，thatKis在L中是封闭的。然而，这并不支持随后证明最优策略存在的论点，我们需要更强大的概率封闭性。后一个属性很容易失败：考虑一下例子3中描述的模型。9和策略序列λi（k）：=1/ln（k），2≤ 我≤ k、 λi（k）：=0，i>k，i=1。由Borel Cantelli le mma为a.e。

ω、 只有这些函数的许多项ki=1εi（ω），k≥ 1与kxi=1i+iq1+i的差异-我-后者是ln（k）阶渐近的。由此得出V（λ（k））→ 1a。s、 作为k→ ∞ X（ω）：=1，ω∈ Ohm 不在K中，因为它与Hilbert spa ce L中的所有εi正交。很容易看出，对于相同的序列εi，i≥ 1，即使对于任意序列bi，i≥ 1.令人满意∞i=1|bi|<∞: 的确，X∈K在e之前，但var（X）=0，而var（V（φ））在每个φ中为6=0∈ A不等于0，因此Kis的概率不闭合。很高兴知道假设3.5在理论4中是如何被削弱的。7.如果Kb不以概率闭合，似乎很难证明在第4节的设置中存在优化器。因此，刚刚概述的Counter示例表明，需要对εi进行一些额外的假设（即独立性、零均值和单位方差本身不起作用）。4效用最大化我们用效用函数u:r约束投资者→ R.我们假设在剩余部分中，u是凹的且不递减。凹度表示风险厌恶，非递减属性意味着投资者更喜欢更多的钱而不是更少的钱。我们将使用以下简单引理。引理4.1。如果u不是常数，则存在c，c>0，使得u（x）≤-c | x |+c代表所有x≤ 0.证明。就像我们拥有你一样(-∞) = -∞ 在这种情况下，有x*≤ 使得u（x），x≤ 十、*+ 1是严格递增函数，u（x*) < 0.用d表示*:=u′（x）*-) > 0它的左手边导数，we haveu（x）≤ u（x）*) + （十）- 十、*)D*, 十、≤ 十、*.另一方面，u（x）≤ |u（0）|≤ -D*|x |+d*|十、*| + |u（0）|代表x*≤ 十、≤ 0.设置c:=d*C:=d*|十、*| + |u（0）|，声明如下。为了x∈ R、 我们表示x+：=max{0，x}，x-:= 麦克斯{-x、 0}。备注4.2。

当u（0）=0时，引理4.1得出，对于任何x≤ 0，| x |≤U-（x） c+Cc。在投资者的效用函数从上到下是有界的情况下，我们首先断言最优投资的存在性。证据将基于EOREM 3.7。提案4.3。假设Q的存在∈ M带dQ/dP∈ L∞. 乐土：R→ R从上面被限制。然后是X∈Ksuch thatEu（X）=supφ∈AEu（V（φ）），（10）其中K表示Kw关于概率收敛的闭包。证据注意，u在上面有界，Eu（V（φ））对所有φ都有意义∈ A.设φ（n）是一个序列，使得supφ∈AEu（V（φ））=limn→∞Eu（V（φ（n））和Eu（V（φ（n））>-∞ 对于所有n.那么，s inc e u有界于上面，supnEu-（V（φ（n））<∞. constant u的情况是微不足道的，或者说是不重要的-（φ（n））<∞保持，由艾玛4.1。然后也是supnEQV-（φ（n））<∞. 它来自引理3。4对于所有n，EQV（φ（n））=0，因此，supnEQ|V（φ（n））|<∞.根据L（Q）中应用的Koml’os定理（见[24]），V（φ（n））的凸x组合几乎肯定会收敛到某个随机变量x。因为它是凸的，X∈ K.通过u的凹性和（相反）法图引理，Eu（X）≥ 画→∞Eu（V（φ（n）））。推论4.4。让假设3.5生效并假设∞i=1bi<∞. 乐土：R→ R从上面被限制。然后是前总统*∈ A这样的eu（V（φ）*)) = supφ∈AEu（V（φ））。（11） 证据。这些假设暗示了Q的存在∈ M带dQ/dP∈ L∞, 根据定理3.7。集合Kis由引理3.10封闭，因此有φ*∈ 这样的X=V（φ*).推论4.5。假设假设3.5生效∞i=1bi<∞ Eu（V（φ））对所有φ都是有限的∈ A.此外，设u严格递增，并与有界u′连续可微。如果（11）成立，则存在SQ∈ M使得dqdp=u′（P∞i=1φ*i（εi）- bi）Eu′（P∞i=1φ*i（εi）- bi）。证据修好我∈ N让φ*如（11）所示，选择最佳策略。

考虑函数g（x）：=Eu（xJl+Pi6=lφ*iJi），x∈ R、 式中Ji=εi- 比，我≥ 1.显然，g在x=φ时达到最大值*l、 根据中值定理，对于每个φ∈ 兰德h∈ (-我们有U[φ+h]Jl+Xi6=lφ*伊吉- UφJl+Xi6=lφ*伊吉= u′ξ（h）Jl+Xi6=lφ*伊吉对于φ和φ+h之间的随机变量ξ（h），我们让h→ 由于u′是有界的，勒贝格定理暗示g′（φ）存在并等于E[u′（φJl+Pi6=lφ）*iJi）Jl]。因此0=g′（φ*l） =Eu′φ*lJl+Xi6=lφ*伊吉Jl.对于每一个l，我们得到Q∈ 我注意到u严格递增，因此所有x的u′（x）>0。备注4.6。Co rollary 4.5的构建在众多资产的背景下是标准的，见[7]。我们现在不一定是在上面。在这个设置中，优化域将是a′（u）：={φ∈ 答：欧盟-（V（φ））<∞}所以期望值Eu（V（φ））对所有φ都有意义∈ A′（u）。注意a′（u）从来都不是空的，φi=0，i≥ 1在其中。下一个结果是本文的主要定理。定理4.7。让假设3.5生效，并假设∞Xi=1bi<∞. （12） 设u为常数C≥ 0，u（x）≤ C（xα+1），x≥ 0.（13）带0≤ α < 1. 然后存在φ*∈ A′（u）使得eu（V（φ*)) = supφ∈A′（u）Eu（V（φ））<∞. （14） 备注4.8。现有文献中唯一与我们密切相关的文献是[9]和[26]，当投资者的预期效用在一组“广义投资组合”的连续时间大型金融市场中最大化时。第一篇论文是关于最大化终端效用的，而第二篇论文是关于消费效用的，允许随机效用函数和精确时钟。注意，在这些论文中，效用函数u定义在正轴R+上，而这里我们考虑u:R→ R允许分析与损失相关的风险。

参见最近的[32]关于u:R连续时间大型市场的一些进展→ R.“广义投资组合”是指在适当的拓扑结构（Emery拓扑结构）下，市场细分中投资组合价值过程的终结过程。这意味着，一个广义投资组合的价值可以通过许多资产的投资机会价值以任意精度近似。这样的选择是合理的，而且通过[6]的例子，可能是不可避免的。然而，我们希望看到一般化的投资组合表现为对许多资产的投资，并明确说明每项资产的头寸大小。上述定理4.7发现了A类（u）中的优化器，其元素在众多资产的投资组合中具有明显的解释力。为了使我们的观点更清晰，让εibe表示一个任意的随机变量序列，片刻。概率K的闭包在这种情况下没有内在特征，即对于某些X∈K我们可以找到φ（n）∈ E使得v（φ（n））→ 几乎可以肯定，但要确定是否存在X=P的序列φ并不容易∞i=1φi（εi）- bi）。例3.9表明，即使在独立εi的情况下，这个问题也可能出现。然而，在套利定价模型的特定设置和规定假设3.5的情况下，k的这种表征成为可能。我们还参考了最近的小规模配套论文[31]，其中（5）被简化为一个简单的无套利条件，代价是要求εi的一致指数可积性，而不是（6）。备注4.9。关于连续时间半鞅模式ls中u的标准假设是合理的渐近弹性，se e[39]。在离散时间市场中，这种情况可以稍微减弱[34]。在目前的情况下，甚至更少（即，（13）以上）的支持。

我们不能允许（13）中的α=1，因为定理4.7的结论显然适用于线性u。定理4.7的证明。该论点基于一个递归过程，以命题4.3和推论4.5为出发点。假设这个理论。对于大约1>αn，已经建立了7≥ 0时，我们使用同伦4.5得到M的一个元素，这反过来有助于建立定理4.7，对于某些αn+1>αn.作为αn→ 1，n→ ∞ 将保持不变，我们最终将得到所有α<1的定理4.7。修正0<<1，让我们定义（x）：=x- 1，x<0，u（x）：=-1（1+x），x≥ 0.这是一个凹且连续可微的函数，其推论为4。4和4.5显然适用，因此我们得到Q∈ M带dQ/dP∈ L∞和dP/dQ∈L2/（1+）sinceP∞i=1φ*i（εi）- bi）∈ 土地1/u′（x）=（1+x）+1/代表x≥ 0.自2/（1+）→ 2 as→ 0，我们可以得出结论，对于p:=2，有Q=Q（）∈ M带dQ/dP∈ L∞和dP/dQ∈ Lp-，每个。现在让我们假设，对于n≥ 1，pn≥ 2对于任何0<<1，存在Qn=Qn（）∈ M带dQn/dP∈ L∞和dP/dQn∈ Lpn-. 我们继续证明，这意味着对于任何满足α<pn/（pn+1）的凹的、不减损的u（13），存在一个优化子。修正Q∈ M.通过给u加一个常数，我们可以并且将假定u（0）=0。添加一个常量pre可以证明（13）的有效性（可能带有不同的C），并且也不会影响a′（u）。常数u的情况是独立的，否则我们可以假设引理4.1的结论成立。设φ（k）∈ A′（u），k∈ N使eu（V（φ（k））→ supφ∈A′（u）Eu（V（φ）），k→ ∞.以下估算是受[33]中引理3.13的启发。假设dQ/dP在上面有界，每个φ的等式（V（φ））=0∈ 一个由外稃3。4.对任何人来说都是如此∈ 应用H¨older不等式和备注4.2，我们得到了A′（u），Eu+（V（φ））≤ C+CE[V+（φ）α]≤ C+C（EQV+（φ））α=C+C（EQV-(φ))α≤ C+C（电动汽车）-(φ))α≤ C（欧盟）-（V（φ）））α+C（15），常数C:=C[E（dP/dQ）α/（1）-α)]1-α、 C:=C（ess。

sup dQ/dP）α，C:=max{C+CCα/Cα，C/Cα}，其中C，C来自引理4.1，我们使用了（x+y）α的事实≤ xα+yα，x，y≥ 0.注意α/（1）- α） <pnso one c an choose Q:=Qnsuch the c<∞ 以及dQn/dP∈ L∞亨切克，C<∞ 等等。我们甚至可以假设E（dP/dQ）θ/（1）-θ)< ∞ 对于某些α<θ<1。如果我们有supkEQ（[V（φ（k））]+）=∞ 然后，通过（15），（沿着由k表示的子序列）Eu-（V（φ（k）））→ ∞, K→ ∞ 将保持，henceEu（V（φ（k））=Eu+（V（φ（k）））- 欧盟-（V（φ（k）））≤ C（欧盟）-（V（φ（k）））α+C- 欧盟-（V（φ（k）），倾向于-∞ 作为k→ ∞, 矛盾。因此，supkEQ | V（φ（k））|=2 supkEQ（[V（φ（k））]+）<∞ Koml’os定理暗示了满足V（φ（k））的φ（k）（仍用φ（k）表示）的凸组合的存在性→ 对于一些随机变量X，通过K的凸性和闭性（见引理3.10），我们得到X=V（φ*) 为了一些*∈ A.自（x+y）θ/α≤ 2θ/α（xθ/α+yθ/α）表示x，y≥ 很明显，[u+（V（φ（k））]θ/α≤ [C（V+（φ（k））α+1）]θ/α≤ CV+（φ（k））θ+C，其中C:=2θ/αCθ/α，就像在（15）中一样，我们得到[u+（V（φ（k））]θ/α≤ C+C（EQV）-（φ（k））θ≤ C+C（EQ | V（φ（k））|）θ，对于C:=C[E（dP/dQ）θ/（1）-θ)]1-θ. 因为右边被证明是以k为界的（凸组合不会改变这一点），所以familyu+（V（φ（k）），k∈ N是不可积且supφ∈A′（u）Eu（V（φ））<∞.结合u+（V（φ（k））的一致可积性和u的Fatou引理-（V（φ（k）），我们得到了eu（V（φ）*)) ≥ 林克→∞Eu（V（φ（k）），表示φ*∈ A′（u）和（14）。现在定义κn:=pn/（pn+1）- .

应用函数un（x）：=κnx+1，x<0，u（x）：=（1+x）κn，x的推论4.5≥ 0Q∈ M带dQ/dP∈ L∞和dP/dQ∈ πn=2/（1）的Lπn- κn）。Asπn=πn（）→ 2pn+2当→ 0，对于pn+1:=2pn+2，对于任何>0，我们可以断言Qn+1=Qn+1（）的存在∈ M带dQn+1/dP∈ L∞和DP/dQn+1∈ Lpn+1-.重复上面的过程，我们得到了α<pn/（pn+1）对于所有n存在一个优化子。这显示了定理m的陈述，因为pn/（pn+1）→ 1，n→ ∞.备注4.10。当u是严格凹的，标准参数s表示φ*这是独一无二的。推论4.11。让假设3.5生效并假设∞i=1bi<∞.每p≥ 1存在Q=Q（p）∈ 我就是这样的dQ/dP∈ L∞和DP/dQ∈ Lp。此外，dQ/dP可以从形式dqdp=u′（P∞i=1φ*i（εi）- bi）Eu′（P∞i=1φ*i（εi）- （16）带u:R→ R严格递增，凹且连续可微，有界u′。证据这在自pn以来的orem 4.7的证明中得到了证明→ ∞, N→∞.备注4.12。在具有固定多个资产的多周期离散时间模型中，如果存在风险中性度量Q~ P那么它总是可以被选择来满足YDQ/dP∈ L∞. 然而，在连续时间模型中，找到这样一个P-密度有界的Q是相当罕见的。此外，在一般情况下，控制dP/dQ的大小也不是必要的，参见[37,36]。推论4.11是一个强大的结果，因为在一个拥有可数资产的模型中，它提供了Q∈ 满足强条件的dQ/dP，dP/dQ。备注4.13。攻击（11）的标准路径是通过其对偶问题，其中凸泛函在M上最小化，见e。g、 [16,39]，在适当的条件下，二次极小值由类似于（16）的公式给出。我们的方法直接作用于原始问题，所以我们不需要引入对偶设置。