套利定价模型中的期望效用最大化

必须承认，尽管我们对4.7的证明以一种间接的方式严重地利用了对偶性：一个极大值序列的相对紧性是用一些Q证明的∈ M具有适当的可积性。5几乎最优的策略理论4.7确定了*∈ A′（u）达到supφ∈A′（u）Eu（V（φ））。然而，在实际情况下，只有对特定细分市场的投资才是可行的。因此，一个有趣的问题是，E上的问题的值是否等于整个域上的问题的值，即SUPφ∈A′（u）Eu（V（φ））=supφ∈E′（u）Eu（V（φ）），（17），其中E′（u）：={φ∈ E:欧盟-（V（φ））<∞}.这个问题似乎很难解决，它有点类似于一般的问题，即在连续半鞅模型中，效用最大化问题的值是否是一个沿着一系列“简单”策略不可解的问题，其中简单可能取决于上下文。我们在下面报告部分结果。在本节中，u:R→ R是u（0）=0的非减量函数。定义Φ（x）：=-u(-x） ，x≥ 0.假设5.1。莱特利姆→∞Φ（x）/x=∞, （18） lim supx→∞Φ（2x）/Φ（x）<∞ （19） 等等。定义共轭函数ψ（y）：=supx≥0{xy- Φ（x）}并假设→∞ψ（2y）/ψ（y）<∞. （20） 备注5.2。上述假设意味着Φ，ψ是年轻函数（对于Φ，这由（18）规定，然后它自动跟随ψ），并且Φ，ψ都属于类（这是（19）和（20）的内容），有关定义和细节，请参见[27]和[28]。如果满足（18）和（19），我们说u是中等的。中等效用函数以“类似于权力”的方式在-∞. 指数u（即u（x）=-E-x） 是一个典型的效用函数，它不是模式速率。诚然，适度是限制u的一个条件，但它仍然允许大量有趣的案例。

ψ的条件（20）相对温和，这是标准的“合理弹性条件”所暗示的，见[39]的推论4.2。定理5.3。让你：R→ R为凹形，且u（0）=0时不减损，因此假设5.1有效。然后（17）成立。在假设3.5、（12）和（13）下，最优策略φ*u（V（φ）*)) = 画→∞Eu（V（\'φ（n）），其中\'φj（n）=φ*j、 一,≤ J≤ n、 φj（n）=0，j>n，每n≥ 1.证据。固定φ∈ A′（u）。过程：=-∞Xj=1φjbj+tXj=1φjεj，t∈ N∪ {∞}是关于过滤系数的（收敛）鞅：={, Ohm}, Ft:=σ（ε，…，εt），F∞:= σ（εj，j）∈ N） ，所以Zt:=Y-这是一个次鞅。（注意，这里的参数t没有解释为“时间”。）定义Φ（x）：=-u(-x） ，x≥ 0, φ ∈ A′（u）包含EΦ（Z）∞) < ∞. 由于（18）和（20）保持不变，这意味着Φ（δsupnZn）<∞对于s omeδ>0，参见[27]中的命题A-3-4和随后的讨论。（事实上，这个结果是针对鞅的，但对于非负次鞅，证明也是同样的。）利用（19），我们很容易推导出Φ( supnZn）<∞ （21）每 > 0。定义φj（n）=φj，1≤ J≤ n、 φj（n）=0，j>n。注意V-（φ（n））≤ 锌+磷∞j=1 |φjbj |≤ Zn+Q，其中Q:=kφklkbkl.从（21）我们推断eΦ（supnV-（φ（n）））≤EΦ（2 supnZn）+Φ（2Q）< ∞, （22）通过Φ的凸性。特别是φ（n）∈ E′（u），n∈ 联合国主导的趋同意味着欧盟-（V（φ（n）））→ 欧盟-（V（φ））乘（22），而勒法托引理暗示着Eu+（V（φ））≤ 林恩芬→∞Eu+（V（φ（n））sosupφ∈A′（u）Eu（V（φ））≤ supφ∈E′（u）Eu（V（φ））如下。另一个不等式很小，我们得到（17）。在假设3.5、（12）和（13）下，存在一个最优φ*作者：提奥·雷姆。7.将上述论点应用于φ*= 我们也给出了定理的第二种表述。致谢。衷心感谢匈牙利科学院“L end–ulet”基金LP2015-6的支持。

这篇论文的想法是在2015年都柏林城市大学的一次研究访问中构思出来的；我感谢保罗·瓜索尼的邀请。我也很感谢约瑟夫·泰奇曼在2014年盛情邀请苏里奇参加会议：正是与他进行的讨论重新激发了我对这里治疗的模型的兴趣。最后，我真诚地感谢非匿名裁判的宝贵意见。参考文献[1]A.Balb\'as和A.Downarowicz。许多证券和资产定价的基本原理。梅迪特尔。J.数学。，4:321– 341, 2007.[2] 巴兰先生。大型金融市场的渐进定价。数学MethodsOper。Res.，66:1-202007。[3] T.比约克。连续时间套利理论。第二版，牛津大学出版社，2004年。[4] 于。周世华，泰彻。概率论：独立性，可互换性，m-art ingales。施普林格·维拉格，柏林，1978年。[5] L.坎皮。大型金融市场的均值-方差套期保值。斯托克。肛门。应用程序。，27:1129–1147, 2009 .[6] C.库奇罗、I.克莱恩和J.泰奇曼。大型金融市场资产定价基本定理的新视角。Probab理论。应用程序。，60:561–579, 2016.[7] M.H.A.戴维斯。不完全市场中的期权定价。摘自：Dempster，M.A.H.和Pliska，S.R.，教育版，《衍生证券数学》，216–226，剑桥大学出版社，1997年。[8] 多诺先生。关于大型金融市场完整性的说明。数学《金融》，14:295–315，2004年。[9] 多诺先生、瓜索尼先生和普拉·泰利先生。大型金融市场中的超级复制和效用最大化。随机过程。应用程序。，115:2006–2022, 2005.[10] G.Di Nunno和I.B.E ide。大金融市场中的最小方差套期保值：随机领域方法。斯托克。肛门。应用程序。，28:5 4–85, 2010.[11] 霍尔默和席德。随机金融：离散时间介绍。Walter de Gruyter&Co.，柏林，2002年。[12] 黄春福和R.H。

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