套利定价模型中的期望效用最大化

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英文标题：
《Maximizing expected utility in the Arbitrage Pricing Model》
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作者：
Miklos Rasonyi
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider an infinite dimensional optimization problem motivated by mathematical economics. Within the celebrated \"Arbitrage Pricing Model\", we use probabilistic and functional analytic techniques to show the existence of optimal strategies for investors who maximize their expected utility.
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中文摘要：
我们考虑一个受数学经济学启发的无限维优化问题。在著名的“套利定价模型”中，我们使用概率和函数分析技术来证明，对于最大化预期效用的投资者，存在最优策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--

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PDF下载：
--> Maximizing_expected_utility_in_the_Arbitrage_Pricing_Model.pdf (264.04 KB)

2022-5-9 03:19:15 上传

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关键词：套利定价模型 效用最大化 套利定价 期望效用 定价模型

在RBITRAGE定价模型中最大化预期效用Mikl\'os R\'asonyi*2018年3月27日摘要我们考虑一个由数学经济学驱动的有限维优化问题。在著名的“套利定价模型”中，我们使用概率和函数分析技术来证明，对于最大化其预期效用的投资者，存在最优策略。2010年理学硕士学科分类：初级：91B16、91G10；第二：46N10,93E20关键词：效用最大化、大型金融市场、套利、优化策略、风险中性措施、有限维凸优化1简介本论文讨论的是一个来自微观经济学的有限维优化问题。在概述了经济理论背景之后，我们回顾了数学金融领域随后的发展，并解释了一些相关的挑战，以便将我们的贡献放在背景中。然后我们提供论文的另一个概览。经济理论的一个普遍原则是，金融市场中给定资产的预期回报率应该是其与市场投资组合的一致性的（近似）线性函数，参见例[12]。S.A.Ross在其开创性的论文[38]中，基于资产数量有限的市场模型中的套利考虑，为这一原则提供了一个新的证明。[38]中的Ar比特率定价模型（简称APM）已在[13]中建立在固定的数学基础上，并已成为数学经济学课程的教材。受APM的启发，[14]中提出了一个针对“多”资产市场的abstra ct框架。[19,20,15,18,21,8,29,30,2,22,23,1,35,5,10]对此类“大型金融市场”的理论进行了深入研究。最近，人们对此类模型的兴趣也有所回升，见[25,6]。

在优化的背景下，[9]和[26]是我们之前唯一了解的研究。简单来说，大型金融市场被理解为包括∈ N、 具有N项资产和这些有限“细分市场”的市场模型，或*匈牙利科学院阿尔弗雷恩伊数学研究所，布达佩斯。“小市场”相互嵌套。人们可能会自然而然地在细分市场上定义港口组合策略。然而，与由此获得的投资组合值相对应的随机变量集在任何合理拓扑中都无法闭合。在研究优化问题时，这是一个障碍，因为优化问题的最低要求是目标函数的域应该是封闭的。为了使这种可能性有意义，需要引入投资组合价值的某种闭包，以获得一个优化的闭合域。可以预期，该领域的每一个元素都有一个自然的解释，即涉及（可能）有限数量资产的投资组合，详情见下文备注4.8，以及对之前工作的评论。在本文中，我们考虑偏好为vonNeumann Morgens tern类型的代理（见[40]或[11]第2章）。我们假设代理人有一个递增的凹效用函数，他们的目标是从投资回报中最大化预期效用。对于这个优化问题，我们将证明最优投资组合的存在性，见下面的定理4.7。Weexhibit是一个自然的策略类，它是封闭的（见引理3.10），可以在其中找到优化器。我们考虑的优化问题与通常研究的问题不同：它是有限维的，不仅因为概率空间是有限的（大多数金融模型都是如此），而且时装集的数量（以及投资组合的维度）也是有限的。

我们的论点依赖于概率和函数分析技术，并利用了[29,30]之前的结果（也基于函数分析论点）。在orem 4.7的版本中，我们引入了一个新的递归过程，利用投资组合值和等效风险中性度量之间的相关性。虽然资产数量是有限的，但在APM中只有一个时间步。我们希望将我们的结果扩展到更一般的大型金融市场的设置，并进行持续交易。这确实很有挑战性，因为找到合适的可接受策略类别似乎很困难，请参见备注4。8.我们在第2节中描述了APM。在第3节中，我们回顾了各种套利概念，以及模型参数如何反映这些概念。第4节给出了我们的主要结果，定理4.7，关于最优策略的存在性。在第4.11节中，我们还利用效用考虑建立了AP M的某些等效风险中性度量（州价格密度）的存在性。最后，第5节研究了如何找到几乎最优的策略，这些策略只投资于大量资产。2模型我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P）。关于测度为Q的随机变量x的期望(Ohm, F） 由EQX表示。如果Q=Pwe，则删除下标。Lp（Q）是关于Q的p-可积r和om变量的集合，对于p≥ 1.如果Q=P，我们只写Lp而不是Lp（Q）并使用L∞表示（本质上）有界随机变量族（关于P）。当X∈ Lwe将其方差定义为VaR（X）：=E（X- 前）。象征~ 表示度量的等价性，符号N（a，b）指的是均值a和方差b的高斯定律。根据[38]，我们的金融市场模型由资产/投资的可数单位组成。

资产收益率i是随机变量Ri，其中r:=r；Ri:=ui+’βiεi，1≤ 我≤ MRi:=ui+mXj=1βjiεj+？βiεi，i>m。资产0是具有恒定收益率r的无风险资产∈ R.随机变量εi，i=1，m是影响所有资产回报率的因素≥ 1而εi，i>m是特定于单个资产Ri，i>m的随机源，它们负责所谓的“特殊风险”。为了简单起见，我们从现在开始设置r=0。我们假设εi是平方可积的独立随机变量，满足εi=0，Eεi=1，i≥ 1，因此常数u等于预期收益ERi；βj和βi是实常数，我们假设βi6=0，i≥ 1.备注2.1。在[38,13]中，εi仅被假定为不相关。我们的目的需要更强的独立性假设。此外，如[15]中所述，我们认为“经济指数”Ri，i=1，m是我们模型中的交易资产。我们有可能理解后一种假设：假设n个可逆矩阵[aij]i，j=1，。。。，m、 也就是说，第一质量集可以是经济因素εi，i=1。m、 这种模型产生的投资组合价值与我们所使用的模型相同。εi，1的独立性≤ 我≤ m也可能因更复杂的论点而被削弱，但我们看不到任何方法可以放松对特殊风险成分εi，i>m的独立假设。我们在这里没有追求更大的普遍性。对于任何k≥ 1我们将kth市场称为包含资产R，仅此而已。定义2.2。第k个细分市场中的投资组合ψ是一个任意序列ψi，0≤ 我≤ 满足kxi=0ψi=0的实数的k。（1） 备注2.3。

这种定义可以如下所示：对于每个≥ 1我们可以想象一种资产的存在，它在时间0（今天）时价值1美元，在固定的未来日期（明天）时价值1+美元。那么定义2.2就是当集合i=0，初始资本为0的k，参见[11]的第1章。我们可以很容易地合并一个非零的初始值。对于kth细分市场中的投资组合ψ，其回报率定义为asV（ψ）：=kXi=0ψiRi。由于R=0，ψ的分布与soV（ψ）=kXi=1ψiRi无关。（2） 这意味着第k段中的投资组合具有任意序列ψ，ψkof确定ψ（分别为V（ψ））到（1）（分别为（2））的实数。可以方便地引入新参数sbi:=-ui′βi，1≤ 我≤ M比：=-ui′βi+mXj=1ujβji′βj′βi，i>m。资产回报采用以下形式：Ri=’βi（εi- bi），1≤ 我≤ MRi=mXj=1βji（εj- bj）+βi（εi- bi），i>m。显然，对于kth市场细分市场中的任何策略ψ，v（ψ）=kXi=1φi（εi）- 对于一些实数φi，i=1，φi，i=1，…，之间有一对一的对应关系，k和ψi，i=1，k（由于βi6=0）。设E表示序列集φ={φi，i≥ 1}的实数，对于某些k≥ 1，φi=0，i≥ k、 每个φ∈ E我们设定v（φ）：=∞Xi=1φi（εi）- bi），其中总和为，单位为：。如上所述，这是对符号的一种无害滥用，因为对于某些k=k:={V（φ）：φ，一组随机变量在第k个市场段中表示投资组合的值∈ E} 。从现在起，我们称之为E基本策略的要素。由于K在任何有用的拓扑结构中都不可能是封闭的，我们应该将这类策略扩展到某些可能包含许多资产的投资组合中。

数学上自然的选择是将可接受策略集定义为：l哪里l:= {（φi）i≥1:∞Xi=1φi<∞},也就是说，平方可和序列族携带了一个具有normkφk的Hilbert空间结构l:=武特∞Xi=1φi，φ∈ l.假设∞i=1bi<∞ （我们将在第3节中看到，这种参数限制在无套利市场中必然成立）。εi在Lhence中是正交的，很明显，对于任何φ∈ A、 序列号∞i=1φi（εi）- bi）收敛于Lso，我们可以定义为（φ）：=∞Xi=1φi（εi）- bi）作为可容许投资组合φ的值∈ A.（该级数也几乎可以通过科尔莫戈罗夫定理收敛，参见[17]的第4章。）备注2.4。对A的经济解释并不简单。让φ∈ 答案是肯定的。采取立场，第1，k（以及剩余资产中的零头寸）迫使我们采取立场-Pki=1φiin资产0（在无风险资产中）。现在，倾向于∞ 有了k，很可能会发生。-Pki=1φi指向-∞ （我们只能保证PKI=1φ是无效的）。这意味着我们允许产生“有限债务”的某些投资组合。然而，必须强调的是，积累这些债务仍然有一定的限制：即P∞i=1φi<∞ 必须坚持。下面的引理3.10表明，尽管有经济方面的考虑，但正如直觉所暗示的，对于可容许策略的类别，正确的选择是A。备注2.5。在数学的连续时间模型中，允许的策略集通常是受限的，只有那些允许的策略具有从下方限定的avalue函数（在我们的上下文中，这意味着V（φ）≥ -爸爸。s、 对一些人来说（d）。

这是必要的，因为在这些模型中使用全套策略将产生仲裁。在本文中，这种限制是不必要的（在适当的条件下，没有套利持有，见下面的定理3.7），它将导致一个平凡的优化域（在假设3.5下，只有φ=0满足（φ）≥ -d.a.s.，显而易见）。此外，即使是在连续时间市场的情况下，效用最大化问题的优化器也没有一个从下到下的有界函数，需要（小心地）扩大可接受策略的类别，以便包含优化器，参见例[39]。3套利的概念套利的概念是数学函数中的基本概念。无风险通常伴随着风险中性度量的存在（在我们的设置中，集合M的元素，见下文）。风险中性测度不仅为衍生产品提供了公平的定价规则，而且也是解决最优投资问题的重要技术工具。有关套利、风险中性措施和最优投资的更多信息，请参见[11]。在大型金融市场中，随着时间的推移，各种渐近套利的概念已经被引入。在此，我们首先回顾[38]中的原始定义。定义3.1。我们认为，如果在第k个细分市场中存在一系列端口对价ψ（k），相应的投资组合返回V（ψ（k））满足V（ψ（k））的条件，则存在渐近套利→ ∞, var（V（ψ（k）））→ 0，（3）作为k→ ∞. 如果不存在这样的序列，我们就说不存在渐近性悲剧。定义3.2。

如果存在一系列的交易策略φ（k），我们说存在一个渐进的免费午餐∈ E su ch thatV（φ（k））→ 十、 k→ ∞在概率中，X是a[0，∞]-P（X>0）>0的有值随机变量。如果不存在这样的序列，那么我们就说不存在渐进免费午餐。ar比特率的缺失允许不同的公式，每一种公式通常相当于存在一些对应于定价函数的对偶变量，参见[11]关于大量资产的经典案例，以及[14,19,20,15,18,21,29,30]关于大型金融市场的经典案例。下一个定义介绍了本文的双重变量。定义3.3。我们称之为概率Q~ P给定市场的等效风险非均衡度量，如果≥ 1，EQRi=0，（4）也就是说，如果所有资产在Q下的预期收益等于无风险回报。等价风险中性度量的集合用M表示。很明显，Q∈ M i eff EQεi=所有i≥ 1.对于合适的Q和bi，我们需要（4）扩展到所有可接受的投资组合。引理3.4。让Q∈ M带dQ/dP∈ 土地假设∞i=1bi<∞. 那么，无论如何∈ A、 方程（φ）=0。证据这足以表明，这一系列∞i=1φi（εi）- bi）收敛于L（Q）。对于任何n，m，柯西不等式mXi=nφi（εi）- bi）≤pE（dQ/dP）VuTemxi=nφi（εi）- bi）！安德普∞i=1φi（εi）- bi）在L中收敛，这证明了L（Q）-收敛。我们的主要结果需要对我们现在提出的εi进行更严格的假设。假设3.5。每x≥ 0，波辛菲≥1P（εi>x）>0和infi≥1P（εi<-x） >0（5）秒保持。此外，苏皮∈NE[εi{|εi|≥N} ]→ 0，N→ ∞. （6） 备注3.6。注意，（6）是εi族的一致可积性∈ N个随机变量。这是一个关于εi矩的温和假设。假设（5）似乎更严格。然而，我们注意到，假设存在极端风险（即。

εi在正轴和负轴上都有无限支撑）是大多数市场模型的标准特征。例如，考虑Black-Schole s市场（见[3]），在0<T<Tare时，股票的价格ST，STof agiven，使得ST=STX（T，T）和ST，X（T，T）独立对数正态随机变量。在这种情况下，股票收益率- 它有一个在两个方向上都有无限支持的定律。粗略地说，（5）中的条件规定（可能的极端）价格变化的风险对每项资产“一致存在”。例如，如果P:={Law（εi）：i≥ 1} 是一个有限集，它的每个元素都是一个支撑，在R的两个方向上都是无界的，然后假设3。5次。提供合适的有限族也是非常容易的P：让每一个∈ P满意度h（z）≤ u（{x≤ -z} )≤ Cz-θh（z）≤ u（{x≥ z} )≤ Cz-θ表示所有z≥ 常数C>0，θ>2，函数h:[1，∞) →(0, ∞) （例如h（z）=cz-η和一些η≥ θ和另一个常数c>0或h（z）=ce-czc，c>0）。以下定理阐明了marke t参数与各种无套利概念之间的关系。定理3.7。考虑以下条件。1.没有免费的午餐。2.对于每个P′~ P存在Q∈ 带dQ/dP′的M∈ L∞.3.存在Q∈ M带dQ/dP∈ L.4。∞Xi=1bi<∞5.不存在渐进套利。然后1。<=> 2.=> 3.=> 4.<=> 5.等待。在消耗3.5的情况下，所有条件1-5.两者相当。证据等价物1。<=> 2.遵循[29]的定理1（通过凸集的有限维分离参数，这在更大的一般性中是正确的）。4.<=> 5., 3. => 4.分别是[30]中的定理1和命题3（由泛函分析参数再次推导）。从2号开始。=> 3.重要的是，必须建立4。=> 1.假设3.5。设φ（n）∈ E使得V（φ（n））→ 对于某个随机变量X，X a.s∈[0, ∞].