一级限额订货簿的简化模型

Nasdaqa和NYSELet通用电气公司在最佳出价和最佳要求下的交易量的相关性和标准差价格上涨的概率为：（3.5）u（x，y）：=P（τa<τb | Qb（0）=x，Qa（0）=y）。12杨子伟和朱令炯0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.22-0.2-0.18-0.16-0.14-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.02投标和报价队列的不平衡相关性NASDAQ0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 133.544.555.566.57投标和报价队列的不平衡相关性NASDAQ0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11.522.533.54投标队列的不平衡通用汽车NYSE0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.050纽约通用汽车公司0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12.533.544.555.5纳斯达克通用汽车公司0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9 11.522.533.54纳斯达克通用汽车公司Ask队列标准偏差0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11.522.533.54纳斯达克通用汽车公司标准偏差图8。通用汽车在纳斯达克和纽约的最佳报价和最佳报价下的销量相关性和标准差0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.05出价和出价队列的不平衡相关性摩根大通公司在纳斯达克0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 13456789出价队列的不平衡标准偏差摩根大通公司在纳斯达克0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 133.544.555.566.577.5摩根大通公司在纳斯达克0.1 0.2 0.0.3 0.0.5 0.0.8 0.1-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.050出价和出价队列的不平衡相关性摩根大通股份有限公司（NYSE0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11.822.22.42.62.833.2出价队列的标准偏差摩根大通股份有限公司）。

纽约证交所0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11.81.922.12.22.32.42.52.6摩根大通公司在纽约证交所的标准偏差。已知摩根大通在纳斯达克和纽约证券交易所的最佳出价和最佳出价的成交量的相关性和标准差，见Avellaneda等人[2]：（3.6）u（x，y）=1.-阿尔克坦q1+ρ1-ρy-xy+x阿尔克坦q1+ρ1-ρ.一级限额订单簿的简化模型130 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91不平衡，隐藏流动性=6.7808e-08纳斯达克模型预测美国银行价格上涨的概率实证概率0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91不平衡，隐藏流动性=0.16745纽约证券交易所模型预测美国银行价格上涨的概率实证概率图10。美国银行的经验概率（虚线）和模型预测（实线）0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91不平衡，隐藏流动性=0.066516价格上涨的概率通用电气在纳斯达克模型预测的经验概率0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.91不平衡，隐藏流动性=0.23378纽约证券交易所通用电气的价格上涨概率模型预测实证概率图11。通用电气的经验概率（虚线）和模型预测（实线）0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91不平衡，隐藏流动性=0.1443价格上升的概率通用汽车在纳斯达克模型预测的概率0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91不平衡，隐藏流动性=0.19202价格上涨的可能性通用汽车在纽约证券交易所的模型预测实证概率图12。

通用汽车的经验概率（虚线）和模型预测（实线）14杨子伟和朱令炯0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91不平衡，隐藏流动性=0.12198价格上涨的概率摩根大通公司在纳斯达克模型预测的实证概率0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91不平衡，隐藏流动性=0.15094价格上涨的概率摩根大通公司在纽约证券交易所的模型预测实证概率图13。不存在相关性时，摩根大通公司的经验概率（虚线）和模型预测（实线），即ρ=0:（3.7）u（x，y）=πarctanxy.当相关性完全为负时，即ρ=-1:（3.8）u（x，y）=xx+y。从（3.6）中，我们可以看出，价格上涨的概率可以写成一个函数，只取决于不平衡：（3.9）Pup（z）=1.-阿尔克坦q1+ρ1-ρ(1 - 2z）阿尔克坦q1+ρ1-ρ,其中z=xx+y。此外，Pup（z）在不平衡z中单调增加。备注1。

更一般地说，我们可以假设扩散过程是具有恒定漂移的相关布朗运动：dQb（t）=ubdt+σbdWb（t），Qb（0）=x，（3.10）dQa（t）=uadt+σadWa（t），Qa（0）=y（3.11）。根据Iyengar[11]和Metzler[14]中的结果，我们有（3.12）u（x，y）=Z∞Z∞eγa（r cosα）-za）+γb（r-sinα-（zb）-（γa）+（γb）tg（t，r）drdt，其中（3.13）γaγb=σap1- ρσaρ0σb-1.uaub,扎兹布=σap1- ρσaρ0σb-1.yx,一级限价指令集15g（t，r）=παtrexp的简化模型(-r+r2t）P∞n=1n sin（nπ（α- θ） /α）在π/α（rr/t）中，其中Iν是第一类修正贝塞尔函数，α：=π+arctan(-p1- ρ/ρ），ρ>0π，ρ=0arctan(-p1- ρ/ρ），ρ<0r:=q（x/σb）+（y/σa）- 2ρ（x/σb）（y/σa）/p1- ρθ:=π+arctan（b/σ）√1.-ρy/σa-ρx/σb, y/σa<ρx/σb，π，y/σa=ρx/σb，arctan（x/σb）√1.-ρy/σa-ρx/σb, y/σa>ρx/σb。尤其是当ua=ub=0，（3.14）u（x，y）=θα时。在Avellanda等人[2]中，作者通过相关布朗运动模型验证了当相关系数为ρ=-1，也就是，（3.8）。从图10-13和表4-5中可以看出，中间价上升的经验概率确实与失衡呈线性关系。然而，正如我们在图6、7、8、9中已经看到的那样，这种相关性是负的，但远远不是负的-1，这也取决于不平衡的程度。因此，完全负相关布朗运动模型可能无法同时满足经验概率和经验相关性。我们将提出一个非参数扩散模型，可以同时满足经验相关性、经验波动性和价格运动的经验概率。相关布朗运动很简单，但仍然捕捉到了这种现象，即价格运动主要是由最佳出价和最高出价水平的不平衡所驱动的。

我们有兴趣进一步研究在最佳买卖水平下的交易量动态与不平衡之间的关系。模型（3.6）中的假设（即在最佳出价和最低出价水平下的交易量的相关性和波动性是恒定的）可能过于简单，与实际数据不一致。事实上，我们在第2节所做的实证研究表明，在最佳买卖水平下，交易量变动的相关性在很大程度上取决于不平衡。作为不平衡函数的相关性的两种通用形状是U形曲线和W形曲线。对于不平衡的aU型相关函数，当不平衡度接近0和1时，相关性为负且接近于零，当不平衡度接近时，相关性最为负。同样，我们也观察到W形相关曲线。这些相关性一直是负的，尽管距离我们很远-1.我们还观察到，在最好的出价和要价水平下，交易量的波动性也与不平衡有很大关系。当不平衡较小或较大时，波动性通常较大；当不平衡适度时，波动性较小。不同之处在于，我们通常会得到两条倾斜的U形曲线，而不是对称的U形或W形曲线，这取决于我们考虑的是最佳出价还是最佳出价。

因此，我们的目标是改进模型16杨子伟和朱令炯（3.6），使相关性和波动性变为非常数，并取决于不平衡的水平。在一个非常松散的类比中，在衍生证券定价的文献中，众所周知，股票价格具有所谓的杠杆效应，即当股票价格下跌时，股票的波动性往往会增加，这是人们使用CEV模型和其他局部波动模型来替代Black-Scholes模型的关键原因之一，在Black-Scholes模型中，波动率始终是恒定的。我们有兴趣建立一个一级限额订单动态模型，该模型可以捕获我们从数据中观察到的经验证据。让我们建立一个离散模型，并找到其离散近似值。设X（t），Y（t）为时间t时最佳出价和最佳询问的队列长度，Zt=X（t）X（t）+Y（t）为不平衡。让我们假设o达到最佳报价的极限订单是强度为λ（Zt）的简单点过程N（t）-) 在时间t达到最佳报价的市场订单或取消是强度为λ（Zt）的单点过程N（t）-) 在时间t达到最佳ask的极限阶数是一个强度为λ（Zt）的简单点过程N（t）-) 在时间t到达最佳ask的市场订单或取消是一个强度为λ（Zt）的简单点过程N（t）-) 在时间t在最佳出价，即强度为λ（Zt）的简单点过程N（t）时，在最佳询问和限制订单下同时取消-) 在时间t在最佳出价和极限订单的同时取消，这是一个强度为λ（Zt）的简单点过程N（t）-) 阁楼；上面的最后两个假设是由于观察到，最佳出价和询问队列之间的经验相关性始终为负。

请注意，λ是特殊限制订单在最佳出价下的到达率，因此限制订单在最佳出价下的总到达率为λ+λ。同样，在最佳ask下，限制订单的总到达率为λ+λ。一个人≤ J≤ 6，我们假设λj（z）=λj（xx+y）：R→ R+是连续且有界的（当nx+y=0时存在奇点，我们假设λjat在奇点处的解析延拓）。最后，为了简单起见，我们假设订单大小的单位大小为1。请注意，如果我们为不同类型的订单假设恒定的订单大小，以下所有参数都有效。因此，最佳出价和出价的动态由以下公式给出：dX（t）=dN（t）- dN（t）+dN（t）- dN（t），（3.15）dY（t）=dN（t）- dN（t）+dN（t）- dN（t）。由于在经验上，我们没有观察到漂移效应的有力证据，我们假设无漂移条件：（3.16）λ（z）- λ（z）=λ（z）- λ（z）=λ（z）- λ（z），因此X（t）和Y（t）是无漂移的，在这个意义上，dx（t）=dM（t）- dM（t）+dM（t）- dM（t）dY（t）=dM（t）- dM（t）+dM（t）- dM（t），一级限额订单簿的简化模型，其中任何1≤ J≤ 6，Mj（t）：=Nj（t）-Rtλj（Zs）-)ds是鞅。对于高频交易，订单数量大，交易频率高，因此我们可以重新调整时间和空间，以获得离散模型的差异近似值。让我们为1定义重新缩放的过程≤ J≤ 6，（3.17）Xn（t）：=√nX（新界），Yn（新界）：=√纽约（新界）、美赞臣（t）：=√nMj（新界）。离散模型（3.15）在微观层面上描述了最佳出价和询问队列的动态，但当我们有兴趣计算中间价格变动的概率时，可能不容易使用。

接下来，让我们找到离散模型（3.15）的不同近似值。假设dqb（t）=σb（Z（t））dWb（t），Qb（0）=x>0（3.18）dQa（t）=σa（Z（t））dWa（t），Qa（0）=y>0Z（t）=Qb（t）Qb（t）Qb（t）Qb（t）+Qa（t），其中Wb（t）和Wa（t）是两个标准布朗运动，在时间t时具有相关性ρ（Z（t））→ σb（xx+y），（x，y）7→ σa（xx+y）从Rto R+开始有界且连续，且（x，y）7→ ρ（xx+y）是有界且连续的[-1，1]，因此（3.18）存在唯一的解决方案，参见例[16]。此外，如果我们假设σb，σa，ρ是Lipschitz，那么这个解是强的，参见例[15]。请注意，离散过程（Xn（t），Yn（t））和（Qb（t），Qa（t））都应该位于第一象限。但为了避免过程到达第一象限边界后的不确定性，我们将过程定义在R上。因为我们的目标是计算中间价格移动的概率，即第一象限边界的第一次到达时间，从第一象限延伸到R不会改变结果，这只是为了方便。离散模型（3.15）可近似为扩散模型（3.18），如下所示。定理2。假设（X（t），Y（t））是（3.15）中最佳出价和ASK队列的离散模型，假设≤ J≤ 6，λj（z）：R→ R+是连续有界函数，无漂移条件（3.16）成立。还假设（Xn（0），Yn（0））=（x，y）∈ R+×R+。然后，（3.17）中的重标度过程（Xn（t），Yn（t））在D[0，t]中弱收敛为n→ ∞ （3.18）中的to（Qb（t），Qa（t）），其中d[0，t]是配备Skorohod拓扑的c`adl`ag过程的空间。

此外，扩散系数和相关系数是强度λj（z）：σb（z）的显式函数=λ（z）+λ（z）+λ（z）+λ（z）1/2σa（z）=λ（z）+λ（z）+λ（z）+λ（z）1/2ρ（z）=-λ（z）+λ（z）σb（z）σa（z）。注意xx+y可以是单数，σb、σa、ρ被定义为奇点处的解析延拓±∞.18杨子伟和朱令炯差异模型（3.18）的中间价格移动概率可以用封闭形式计算，如下所示。定理3。根据模型（3.18）Pup（z），在（3.3）和（3.4）中定义的价格变动概率由（3.19）Pup（z）=Rze明确给出-Ryu（x）ν（x）dxdyRe-Ryu（x）ν（x）dxdy，其中z是不平衡，u（z）=-2(1 - z） σb（z）+2（2z）- 1） ρ（z）σb（z）σa（z）+2zσa（z）（3.20）ν（z）=（1- z） σb（z）- 2z（1- z） ρ（z）σb（z）σa（z）+zσa（z）。备注4。我们真正感兴趣的是计算离散模型的中间价格移动概率，这可以近似为具有封闭形式公式的扩散模型的中间价格移动概率，如定理3所示。对于任何（X）P=0，我们之前没有点击√nX（nt）在√纽约（新界）有\' P（Qb（t）在Qa（t）之前达到零），作为n→ ∞. 请注意，近似值要求Qb（0）=√nX（0）和Qa（0）=√这仍然是合理的，因为定理3中的公式只依赖于Qb（0）和Qa（0）的比值，所以我们可以重新缩放初始条件。备注5。我们可以从定理3中恢复[2]中的结果：（1）当σb=σa=σ且ρ=-1，我们有u（z）≡ 因此，Pup（z）=z=xx+Y恢复（3.8）。（2） 当σb=σa=σ且ρ=0时，我们得到u（z）=-2(1 - 2z）σ和ν（z）=[（1- z） +z]σ。

因此，Pup（z）=RzeRy1-2x1-2x+2xdxdyReRy1-2x1-2x+2xdxdy=Rze-日志（2（y）-1） y+1）dyRe-日志（2（y）-1） y+1）dy=Rz1-2y+2ydyR1-2y+2ydy=arctan（1- 2z）-π-π-π=π- 阿尔克坦（1）- 2z）π=πarctanz1- Z=πarctanxy,恢复（3.7）。（3） 在特殊情况下，σb（·）=σa（·）和ρ（·）≡ ρ、 通过（3.14），我们得到了u（x，y）=θ/αy<ρxy=ρxy>ρxρ>0π-arctan（λρxρx-y） π-arctanλπ/2π-arctanλarctan（λρxρx-y） π-arctanλρ=0 N/A 1πarctanλρxρx-Yρ<0 N/Aπ/2-arctanλarctan（λρxρx-y）-arctanλ，其中λ=p1- ρ/ρ.一级限价订单簿的简化模型。当ρ（·）≡ -1，我们有λ≡ λ≡ λ≡ λ≡ 0和λ（·）=λ（·）。因此σb（·）=σa（·）。通过使用假设3.16，我们可以检查中间价向上移动u（x，y）=xx+y的概率是（A.4），因此这是简化模型的中间价移动概率。实际上，对于原始无标度离散模型（3.15），u（x，y）满足方程（3.21）λxx+y[u（x+1，y- 1) - u（x，y）]+λxx+y[u（x- 1，y+1）- u（x，y）]=0，表示（x，y）∈ Z≥0×Z≥在边界条件u（0，y）=0和u（x，0）=1的情况下。很容易看出u（x，y）=xx+y。事实上，对于完全负相关的无模型队列，这个结果是正确的。要看到这一点，请注意X（t）和Y（t）是完全负相关的鞅，我们可以写出X（t）=X+M（t）和Y（t）=Y- M（t），其中M（t）是鞅。因此，X（t）在Y（t）之前命中s0的概率与M（t）命中的概率相同-x在y之前。通过鞅的可选停止定理，这个概率可以很容易地计算为xx+y。正如我们从图10、11、12、13中所看到的，中间价格上扬的经验概率（虚线）与不平衡度成线性关系。