漂移不确定性下资产的最优清算

对于它，让Iu表示包含u支持的最小闭合区间的内部，即Iu=（inf（supp（u）），sup（supp（u）））。引理3.3。对于任何给定的t≥ 函数f（t，·）：R→ 上面定义的是严格递增的连续双射。证据由于假设3.2，只需证明t=0的索赔。f在整数符号下的微分f（0，y）=σ（E0，y[X]- E0，y[X]），这是非常积极的，对所有y来说都是有限的∈ R.因此，y 7→ f（0，y）严格递增。对于曲面，我们需要f（0，y）→ sup Iuas y→ ∞ 和f（0，y）→ inf Iuas y→ -∞.我们只证明第一种说法，第二种说法紧接着对称性。让θ∈ 我∩ (0, ∞), y>0，且考虑Zrueuyσu（du）- θZReuyσu（du）=ZR（u- θ） euyσu（du）=eθyσZRwewyσu（θ+dw），（3.5），其中w:=u- θ. 至少是W7→ 在w=-σ/y，我们有(-∞,0]wewyσu（θ+dw）≥ -σe-1yZ(-∞,0]u（θ+dw）≥ -σy.此外，Z（0，∞)wewyσu（θ+dw）→ ∞就像我一样→ ∞ 通过单调收敛。因此，从（3.5）可以得出f（0，y）≥ θ表示所有足够大的y，因为θ∈ Iu是任意的，我们得出结论f（0，y）→ sup Iuasy→ ∞, 这就是证明。写F^X={F^Xt}t≥0为了完成由^X生成的过滤和写入^X生成的过滤，对于不超过T的F^X停止时间集，我们制定了以下即时滚动公式。推论3.4。FS=F^x和TST=T^XT。这个推论的一个结果是，最优停止问题（2.4）可以重写为Asv=supτ∈T^XTEQ[eRτ^Xsds]。（3.6）为了寻找^X更易于处理的特征，我们找到了^X关于观察过滤FS的SDE表示。It^o公式在^Xt=f（t，Yt）屈服强度d^Xt=σ中的应用f（t，Yt）d^Wt。

（3.7）引入符号ft:=f（t，·），我们定义ψ（t，x）：=σf（t，f）-1t（x）），并从上面的（3.7）中，得到条件平均值^Xt的随机微分方程d^Xt=ψ（t，^Xt）d^wt。用Q-布朗运动重写方程zt=-σt+^Wtresults ind^Xt=σψ（t，^Xt）dt+ψ（t，^Xt）dZt。（3.8）色散ψ可以更明确地表示为ψ（t，x）=σEt，yx（t）[X]- Et，yx（t）[X]=σVart，yx（t）（X），其中符号yx（t）：=f-使用1t（x）（请注意，yx（t）是观测过程yt的唯一值，它产生^Xt=x）。示例（两点先验）假设u=πδh+（1- π） δl，其中δl，δhdenote在l，h处测量∈ 分别是R。那么ψ（t，x）=σ（h）- x） （十）- l） 。示例（正态先验）假设u是均值m和方差γ的正态分布。然后条件分布P（·| Yt=y）=ut，也为正态分布，但具有平均值σm+γyσ+tγ和方差σγσ+tγ。因此，ψ（t，x）=∑γσ+tγ。3.2条件平均数的色散下列不等式将是理解色散函数ψ的关键。提案3.5。设X为随机变量，且E[X]<∞. ThenE[X]E[X]+2E[X]E[X]E[X]- E[X]E[X]- E[X]- E[X]≥ 当且仅当X具有一点或两点分布时，0具有等式。证据设X，Y，Z是独立且同分布的随机变量，e[X]<∞. 注意这一点- Y）（Y）- Z） （Z）- 十） ]=E[X（Y+Z）+Y（Z+X）+Z（X+Y）]-2E[XY Z+YZX+ZXY]+2E[X（YZ+ZY）+Y（ZX+XZ）+Z（XY+YX）]-2E[XZ+YX+ZY]- 6E[XYZ]=6（E[X]E[X]- E[X]E[X]+2E[X]E[X]E[X]- E[X]- E[X]），其中最后一个等式成立，因为X，Y，Z是i.i.d.很明显，E[（X- Y）（Y）- Z） （Z）- 十） ]≥ 当且仅当X具有一点或两点分布时，0具有等式。

这是索赔的证据。备注：我们非常感谢Johan Tysk基于L空间中的毕达哥拉斯定理为上述命题提供了另一种证明。命题3.6（色散函数ψ的性质）。对于任何x∈ Iu，函数t7→ ψ（t，x）是非递增的。它是严格递减的，无μ是两点分布，在这种情况下为t7→ ψ（t，x）是一个常数。2.ψ ≥ -σ是严格不等式，除非μ是两点分布，在这种情况下我们有等式。3.如果u是紧支撑的，则ψ是有界的。证据1.回忆一下符号yx（t）=f-1t（x），并考虑ψ（t，x）=TσEt，yx（t）[X]- Et，yx（t）[X]=TσEt，yx（t）[X]- 十、=σEt，yx（t）十、yx（t）σX-2σX-Et，yx（t）十、Et，yx（t）yx（t）σX-2σX!=σyx（t）Et，yx（t）[X]- Et，yx（t）[X]Et，yx（t）[X]-Et，yx（t）[X]- Et，yx（t）[X]使用恒等式x=f（t，yx（t））的隐式差异给出yx（t）=Et，yx（t）[x]- Et，yx（t）[X]Et，yx（t）[X]Vart，yx（t）（X），将其替换到上述最后一个表达中产生ψ（t，x）=Et，yx（t）[X]- Et，yx（t）[X]Et，yx（t）[X]- Vart，yx（t）（X）Vart，yx（t）（X）2σVart，yx（t）（X）=-12σVart，yx（t）（X）Et，yx（t）[X]Et，yx（t）[X]+2Et，yx（t）[X]Et，yx（t）[X]Et，yx（t）[X]-Et，yx（t）[X]Et，yx（t）[X]- Et，yx（t）[X]- Et，yx（t）[X].现在，这个主张来自于适用于括号之间的术语的命题3.5。2.根据定义ψ的链式规则，我们得到ψ（x，t）=f（t，yx（t））y（t，x），其中y（t，x）：=yx（t）。在这里f（t，y）=σYEt，y[X]- Et，y[X]=σEt，y[X]- 3Et，y[X]Et，y[X]+2Et，y[X]通过积分符号下的直接微分，以及y（t，x）=f（t，y（t，x））=σVart，yx（t）（x）。通过隐含的差异。

因此ψ（t，x）=σEt，yx（t）[x]- Et，yx（t）[X]Et，yx（t）[X]Vart，yx（t）（X）- 2x！。仍然需要确定不平等性ψ（t，x）+σ=σYEt，y[X]- Et，y[X]Et，y[X]Vart，y（X）y=yx（t）y（t，x）≥ 0.作为y>0，等价地，它需要证明q（t，y）：=Vart，y（X）的非负性YEt，y[X]- Et，y[X]Et，y[X]Vart，y（X）=YEt，y[X]瓦特，y（X）- Et，y[X]y（Vart，yX）-YEt，y[X]Et，y[X]Vart，y（X）+Et，y[X]Et，y[X]伊瓦特，y（X）。进一步的微分得到q（t，y）=σy[X]Et，y[X]+2Et，y[X]Et，y[X]Et，y[X]Et，y[X]-Et，y[X]Et，y[X]- Et，y[X]- Et，y[X].因此，根据命题3.5，q≥ 0; 此外，除了两点分布（在这种情况下，q=0.3）之外，所有先验值u的q>0。著名的标识yx（t）[X |]=2Z[0，∞)uPt，yx（t）（|X |>u）duensureψ对于紧支撑分布是有界的。备注1。有可能提出一个先验分布的人为例子，对于这个先验分布，色散ψ是无界的。为此，考虑一个离散的概率度量，它支持有限数量的点x<x<…<xn<。就这样- xn-1.→ ∞ 作为n→ ∞. 使用符号“xn:=（xn-1+xn）/2对于相邻点之间的平均值，值ψ（t，\'xn）=V art，\'xn（X）/σ→ ∞ 作为n→ ∞ 与集中在xn点的两点分布相比-1和xn。2.让我们强调，先验知识的紧支撑绝不是ψ有界的必要条件。例如，我们知道ψ在正规先验的情况下是有界的，如第9页的例子所示。

虽然对ψ有界性先验的精确技术条件的严格研究似乎已经足够深入，本文中可以省略，但基于数值研究，我们推测，在原点周围足够大的有限长度间隔外，如果密度单调接近零，则ψ对于任何先验都是有界的。由于ψ的有界性似乎满足于实际应用中任何可能的优先考虑，我们在本文的其余部分将其作为一个假设。假设3.7。先验分布u使得Var0，y（X）<∞ 尽管如此∈ R.3.3马尔可夫值函数和最优策略利用^X的动力学（3.8），我们能够将最优停止问题（3.6）嵌入到马尔可夫框架中。为此，def（t，x）=supτ∈TT-tEQheRτ^Xt，Xt+sdsi（t，x）∈ [0，T]×Iu，（3.9），其中过程^X=^Xt，xis由（d^Xt+s=σψ（T+s，^Xt+s）ds+ψ（T+s，^Xt+s）dZt+s（s>0），^Xt=X和TT给出-T使停止时间小于或等于T- 关于{Xt，Xt+s}s的完全过滤≥0.让我们定义setsC={（t，x）∈ [0，T]×Iu：v（T，x）>1}和d={（T，x）∈ [0，T]×Iu：v（T，x）=1}，我们将很快证明这分别对应于最优策略的连续集和停止集。注意≥ 到处都是1（3.10），v（T，x）=1，所以C∪ D=[0，T]×Iu和随机时间τD:=inf{s≥ 0：（t+s，^Xt，Xt+s）∈ D} （3.11）满足度τD≤ T- t、 命题3.8（最佳停车时间）。值函数v是有限的，在（3.11）中定义的时间τd是最佳停止时间。证据在不丧失一般性的情况下，假设t=0，并设x∈ R

根据[15]中的定理D.12，来证明它必须证明sup0≤T≤特克斯Zt^X0，xsds< ∞.根据Dambis-Dubins-Schwartz定理，存在（可能在更大的概率空间上）布朗运动B，使得ztψ（s，^X0，xs）dZs=BRtψ（t，^X0，xs）ds。如果m>0是一个常数支配ψ，那么SUP0≤T≤特克斯Zt^X0，xsds≤ 经验T sup0≤T≤T^X0，xt≤ 经验Tx+σmT+sup0≤T≤TBRtψ（s，^X0，xs）ds≤ 经验Tx+σmT+sup0≤T≤mTBt.苏塞克sup0≤T≤特克斯ZT^X0，xsds≤ 情商经验Tx+σmT+sup0≤T≤mTBt= exp（T（x+σmT））EQ[exp（T | BmT |）]∞,平等来自反射原理。由于ψ是连续可微的，所以它在任何紧子集[0，T]×Iu上都是Lipschitz连续的。为了避免额外的技术复杂性，从现在起，我们在[0，T]×Iu假设3.9的整体上施加一个稍微强一点的Lipschitz连续性假设。函数ψ在第二个变量中是Lipschitz连续的，即存在K>0，使得|ψ（t，x）- ψ（t，y）|≤ K | x- y |对于所有t∈ [0，T]和所有x，y∈ 我知道。我们注意到，正规和两点先验的典型例子都是充分假设3.9。定理3.10（值函数的性质）。函数x7→ 对于任何固定t，v（t，x）都是非递减且凸的∈ [0，T].2。函数t7→ 对于任何固定的x，v（t，x）都是不变的∈ I.3。值函数v在[0，T]×Iu上是连续的。存在一个非递减连续函数h:[0，T]→ (-∞, 0]其中h（T）=0，使得C={（T，x）∈ [0，T）×Iu：x>h（T）}.5.值函数（T，x）7→ v（t，x）解边值问题(v+σψ（t，x）v+ψ（t，x）v+xv=0，x∈ C、 v=1，x∈ D.（3.12）此外，平滑特性适用于函数x7→ v（t，x）是C或t∈ [0，T]。证据1.

（i） x7的单调性→ v（t，x）从表达式v（t，x）=supτ中可以清楚地看出∈TT-值函数的tEQheRτ^Xt，Xt+sdsi（3.13）以及一个比较定理，参见[24，定理IX.3.7]。（ii）让我们定义（t，x）：=EQheRT-t^Xt，Xt+sdsian和uE（t，r）：=EQhe-RT-t^Rt，Rt+sdsi，其中^R=-^X和sod^Rt=-σψ（t），-^Rt）dt- ψ（t），-^Rt）dZt。那么vE（t，x）=uE（t，-x） 。现在，凸性结果是通过近似值函数得出的，首先是vEas第一次近似，然后是百慕大选择，它通过[9，定理5.1]在所需条件下保持凸性ψ ≥ -σ，由命题3.6.2确保定理成立。从命题3.6来看，色散ψ在t中是非递增的，因此该命题遵循了[9]中关于值函数的百慕大近似论证和定理6.1。首先，让我∈ Iu我们将证明存在一个常数K>0，对于每t∈ [0，T]，地图x7→ v（t，x）是K-Lipschitz连续的(-∞, l]∩ 我知道。假设不存在这样的K。回想一下，单变量函数的凸性意味着单侧导数的连续性和存在性。Hence使用凸性的一个特征，即定义在区间上的实值函数是凸的当且仅当函数（x，x）7→ （f（x）- f（x））/（x- x） 当x和x都增加时，我们得到一个序列{tn}n≥0 [0，T]使得左导数序列-v（tn，l）向∞. 然而 ∈ （0，sup Iu）- l） ，这意味着v（tn，l+) → ∞, 与v（tn，l+) ≤ v（0，l+) < ∞ 为了所有人∈ N.为了证明v的连续性，必须证明v（t，x）在t中是连续的。要得出一个矛盾，假设t7→ 对于某些x，v（t，x）在t=t时不是连续的。通过时间衰减，这意味着v有负跃迁。首先考虑v（t）时的情况-, x） >v（t，x）。

根据第二个变量的Lipschitz连续性，存在一个矩形R=（t- δ、 t）×（x- δ、 x+δ），δ>0，使得inf（t，x）∈Rv（t，x）>v（t，x+δ）。（3.14）因此R C.让t∈ （t）- δ、 t）和τR:=inf{u≥ 0：（t+u，^Xt，Xt+u）/∈ R} 。然后，通过延拓区域的鞅性（见[15，附录D]），v（t，x）=EQheRτR^Xt，Xt+uduv（t+τR，^Xt，Xt+τR）i≤ EQheRt-t^Xt，Xt+u∨0 duv（t，x+δ）{t+τR<t}i+EQheRt-t^Xt，Xt+u∨0 duv（t，x+δ）{t+τR=t}i≤ e（t）-t） （x+δ）+v（t，x+δ）Q（t+τR<t）+e（t-t） （x+δ）+v（t，x+δ）→ v（t，x+δ）为t→ t、 这与（3.14）相矛盾。接下来，考虑v（t，x）>v（t+，x）的情况。我们首先研究v（t，x）>v（t+，x）>1的情况。根据v在第二变量中的Lipschitz连续性及其随时间的衰减，存在R=（t，t+] ×[x- δ、 x+δ]与 > 0和δ>0使得v（t，x）>sup（t，x）∈Rv（t，x）≥ inf（t，x）∈Rv（t，x）>1。（3.15）特别是 C和写入τR:=inf{u≥ 0：（t+u，^Xt，Xt+u）/∈ R} 我们有v（t，x）=EQeRτR^Xt，Xt+uduv（t+τR，Xt，Xt+τR）≤ 情商呃^Xt，Xt+u∨0 duv（t，x+δ）{τR<}+情商呃^Xt，Xt+u∨0杜瓦（t+, x+δ）{τR=}≤ E（x+δ）+v（t，x+δ）Q（τR<) + E（x+δ）+v（t+, x+δ）→ v（t+，x+δ）as & 0，这与（3.15）相矛盾。或者，假设v（t，x）>v（t+，x）=1。根据第二个变量中的Lipschitz连续性，存在δ>0，使得infx∈（十）-δ、 x）v（t，x）>v（t+，x）=1。（3.16）然后（t，t）×（x-δ、 十） 所以这个过程^Xt，x-δ/2立即击中停止区域，意味着（t，x- δ/2) ∈ D这与（3.16）相矛盾。非递减边界h的存在性[0，T）→ [-∞, ∞] 满足C={（t，x）∈[0，T）×Iu：x>h（T）}是上述前两部分的直接结果，然后我们可以确定h（T）=limt%Th（T）。

从表达式（3.9）中可以清楚地看出h的非正性，因为，对于任何起点（t，x）∈ [0，T）×（0，∞), 第一次停止的策略^Xt，xhits 0给出的值严格大于1。为了证明h从下面有界，假设一个矛盾{0}×(-∞, ∞)  C.因此，根据（3.4）中的定义ξ，我们知道(-, 0]×R Cξ，其中Cξ表示从时间开始的最优销售问题的延续区域- < 0和之前的ξ。用vξ表示销售问题的马尔可夫值函数-, 允许-T∈ (-, 设a<0，使得vξ(-t、 a）<e-在现在，让x∈ (-∞, a） ，并观察vξ(-t、 十）≤ eatvξ(-t、 a）Psup0≤U≤t^X-t、 x-t+u<a+ ξv(-t、 a）Psup0≤U≤t^X-t、 x-t+u≥ A.→ eatvξ(-t、 a）<1as x&-∞. 这就产生了一个矛盾，因为vξ≥ 1.定义。因此，我们可以得出结论h（t）∈ (-∞, 0]∈ [0，T]。对于h的连续性，请注意，v的连续性和时间衰减意味着h是左极限的右连续。假设一个矛盾，h（t-) < h（t）表示一些t∈ （0，T）。用h（t）取点x，x-) < x<x<h（t），letx=（x+x）/2，考虑矩形R=（t- δ、 t）×（x，x） 对于某些δ>0的情况，为C。对于t∈ （t）- δ、 t），v（t，x）=EQheRτR^Xt，Xt+uduv（t+τR，^Xt，Xt+τR）i（3.17）≤ Q（τR<t）- t） v（t）- δ、 x）+ex（t-t） 。现在，对于带漂移的布朗运动，用R的离开时间来估计τRabove（比较命题3.8的证明），很容易检查q（τR<t- t） =o（t）- t） 。由于x<0，（3.17）因此意味着v（t，x）<1表示tclose to t，这与（3.10）相矛盾。上述论点也证明了h（T-) = 0.5. （3.12）的证明是沿着标准线进行的（例如，参见第2章中的[15，定理7.7]），所以我们这里不包括它。接下来，让我们建立平滑属性。

从X7开始→ v（t，x）是非递减的，必须表明↓0v（t，h（t）+) - v（t，h（t））≤ 0.在不丧失一般性的情况下，设t=0。写x=h（0），就足以表示v（t，x+) - v（t，x）=o() 像 & 0.表示从点（0，x+) 按τ, 韦哈维夫（t，x+) - v（t，x）≤ 情商eRτ^X0，x+乌杜- 情商eRτ^X0，徐都= 情商eRτ^X0，x+udu（1- eRτ^X0，徐-^X0，x+（udu）≤ 情商eRτ^X0，x+uduZτ^X0，x+U-^X0，徐都≤ 情商eRτ^X0，x+乌杜τZτ（^X0，x）+U-^X0，徐）杜1/2≤ 情商τeRτ^X0，x+乌杜1/2EQZτ（^X0，x）+U-^X0，徐）杜1/2，其中倒数第二个不等式来自Jensen不等式，最后一个来自Cauchy-Schwartz不等式。由于边界h是非递减的，借助于l′evy连续模定理以及重对数定律，我们可以看到τ→ 0 a.s.as & 因此，根据支配收敛定理，EQ[τeRτ^X0，x+[udu]→ 0作为 & 0与命题3.8的证明中的支配函数相同。为了完成平滑的证明，必须证明：Zτ^X0，x+U-^X0，徐都#= O() 像 → 0.为此，EQ“Zτ^X0，x+U-^X0，徐都#≤ 情商ZT（^X0，x）+U-^X0，徐）杜≤ TEQ“sup0≤U≤T（^X0，x）+U-^X0，徐）#≤ C,其中c是一个常数，依赖于T，σ和ψ的Lipschitz常数。在上文中，第一个不等式来自Jensen不等式，最后一个不等式是标准估计，来自Gronwall不等式与Doob线质量相结合的应用。这就完成了索赔的证明。0.20.40.60.81.0x-2.-1012V2468时间图2：值函数v（t，x）在标准偏差γ=0.5的正态先验情况下，市场波动率σ=0.2.4一个边界的积分方程在本节中，我们展示了最优停止边界可以描述为非线性积分方程的唯一解。