漂移不确定性下资产的最优清算

证据遵循[13]和[20]中类似的思路。定理4.1（最佳停止边界）。停止边界h是积分方程eqhertt^Xt，h（t）udui=1+ZTtEQheRst^Xt，h（t）udu^Xt，h（t）s{^Xt，h（t）s的唯一解≤非正连续函数类中的h（s）}id（4.1）。证据It^o公式的一个应用（更准确地说，它的扩展在[21]中得到了证明，由于h的单调性，它可以被应用）到v（s，^Xt，xs）eRst^Xt，xuduyieldsv（s，^Xt，xs）eRst^Xt，xudu=v（t，^Xt，Xt）+zstrrt^Xt，xuduL^Xt，xv（r，^Xt，xr）+^Xt，xrv（r，^Xt，xr）dr+zstrrt^Xt，徐都ψ（r，^Xt，xr）v（r，^Xt，xr）dZr。（4.2）让我们引入一个局部化序列τn:=inf{r≥ t:^Xt，xr≥ n}∧ T满足τn%Ta。s、 作为n→ ∞. 因为，无论如何∈ N、 情商Zs∧τnteRrt^Xt，徐都ψ（r，^Xt，xr）v（r，^Xt，xr）dZr= 0，从（4.2）我们得到eq[v（T）∧ τn，^Xt，Xt∧τn）eRT∧τnt^Xt，徐都]=v（t，x）+EQZT∧τnteRrt^Xt，徐都^Xt，xr{^Xt，xr≤h（r）}dr.让n→ ∞, 方程如下[v（T，^Xt，Xt）eRTt^Xt，xudu]=v（T，x）+ZTtEQheRrt^Xt，xudu^Xt，xr{≤h（r）}idr。（4.3）这里，左手边是通过控制收敛v（T）得到的∧ τn，^Xt，Xt∧τn）eRT∧τnt^Xt，须都以e2T为主（支持≤U≤徐婷婷∨是可积的；右侧来自单调收敛。（4.3）中的替换x=h（t）给定seq[eRTt^Xt，h（t）udu]=1+ZTtEQheRrt^Xt，h（t）udu^Xt，h（t）r{^Xt，h（t）r≤h（r）}idr，表明h解积分方程（4.1）。为了唯一性，假设t7→ k（t）是（4.1）的另一个非正连续解，定义v（t，x）：=EQ[eRTt^Xt，xudu]- 情商ZTteRrt^Xt，徐都^Xt，xr{^Xt，xr≤k（r）}dr.

（4.4）使用（4.3）、（4.4）和马尔可夫性质，为s定义了两个过程∈ [t，t]asMvs:=v（s，Xt，xs）eRstXt，徐都-ZsteRrt^Xt，徐都^Xt，xr{^Xt，xr≤k（r）}drandMvs:=v（s，^Xt，xs）eRst^Xt，徐都-ZsteRrt^Xt，徐都^Xt，xr{^Xt，xr≤h（r）}很容易被证明是Q-鞅。权利要求1:v（t，x）=1代表x≤ k（t）。让x≤ k（t）和定义γk:=inf{s≥ 0:Xt，Xt+s≥ k（t+s）}∧ （T）- t） 。然后mvt+γk=~v（t+γk，^Xt，Xt+γk）eRt+γkt^Xt，徐都-Zt+γkteRrt^Xt，徐都^Xt，xr{^Xt，xr≤k（r）}dr=eRt+γkt^Xt，徐都-Zt+γkteRrt^Xt，xdu^Xt，xrdr=1，其中第二个等式从（4.1）开始。通过可选采样，~v（t，x）=Mvt=EQ[Mvt+γk]=1，这完成了权利要求1的证明。索赔2:v≤ v、 假设x>k（t），定义τk:=inf{s≥ 0:Xt，Xt+s≤ k（t+s）}∧ （T）- t） 。然后v（t，x）=EQhv（t+τk，^Xt，Xt+τk）eRt+τkt^Xt，xudui=EQheRt+τkt^Xt，xudui≤ v（t，x），第一个等式来自M的鞅性和可选抽样定理，第二个等式来自v和（4.1）的定义。将其与权利要求1结合，得到结果。权利要求3:h≤ k、 假设一些t的h（t）>k（t）存在矛盾。设x=k（t），定义γh:=inf{s≥ 0:Xt，Xt+s≥ h（t+s）}∧ （T）- t） 。然后0=v（t，x）- ~v（t，x）=EQ[Mvt+γh- Mvt+γh]=EQheRt+γht^Xt，徐都（v（t+γh，^Xt，Xt+γh）- ~v（t+γh，^Xt，Xt+γh））i-情商Zt+γhteRrt^Xt，徐都^Xt，xr{Xt，xr∈（k（r），h（r）}dr.在上面的第一个等式中，假设h（t）>k（t），v（t，x）=1，定义v和（4.1），v（t，x）=1。第二个等式来自可选采样。在最终表达式中，根据权利要求2，第一项是非负的，第二项（包括前面的最小符号）根据假设h（t）>k（t）以及k和h的连续性和非正性，是严格正的。因此，我们得到了一个矛盾，证明了该权利要求。根据（4.3）、（4.4）、权利要求2和权利要求3，v=~v。由于v（t，x）>1 forx>h（t），权利要求1得出h≥ K

鉴于权利要求3，本文完成了证明。5参数依赖性5。1.价值函数对市场波动的依赖性大的波动率σ使观察过程变得嘈杂，减慢了了解漂移的速度。由于波动是无趋势的，直觉是代理应该从较小的市场波动中受益。虽然完全证明这种直观的显著性似乎很有挑战性，但我们有以下充分的条件来保证σ的单调性。定理5.1。假设色散函数ψ的σψ（t，x）在σ中不增加。那么（2.2）中的值V在σ中不增加。证据如果σψ（t，x）在σ中不增加，那么^x的漂移项和扩散项在σ中都不增加。因此，可以应用[9]中的定理6.1证明值函数v在σ中递减。示例：假设X具有两点先验分布u=（1）- π） δl+πδh，其中l<h。然后σψ（t，x）=（h- x） （十）- l） 所以V在σ中减小。假设X的先验分布为N（m，γ）。然后σψ（t，x）=σγσ+γt，它在σ中增加。因此，定理5.1不适用。证明（2.2）中的初始值V在波动率σ中应该减小这一直观猜想的困难在于，（3.9）中的马尔可夫值函数V在σ中减小这一事实通常是不正确的。我们可以在图3中正常先验知识的情况下看到这一点。图中描绘了同一正态先验的两个马尔可夫值函数之间的差异，标准偏差γ=0.5，但差异的可用性σ。

然而，同样的图片显示，在时间t=0时，差异是正的，因此符合我们的直觉推测。0.050.00–0.05–0.10–1.0–0.50.00.51.01.51.00.80.60.40.20.0Vx时间图3：差异v0。2.-v0。5在两个值函数之间；v0。2和v0。5表示市场波动率σ等于0.2和0的情况下的值函数。分别为5个。就最优停止边界而言，波动率σ中的马尔可夫值函数缺乏单调性，表现为不同σ值的停止边界可能相交。图4显示了一个例子。同样的图表也提供了边界形状随参数σ变化的直观信息。特别是，当σ接近零或增长到整数时，我们得到了一个期望边界的印象。Xtimesigma的条件平均值=0.1sigma=0.2sigma=0.8–0.0–0.2–0.4–0.6–0.80.000.250.500.751.00图4：在标准偏差γ=0.5.5.2的正常先验情况下，不同市场波动率σ值的最佳停止边界取决于初始先验值5.2。假设u和u是两个先验分布，使得相应的挥发率ψ和ψ满足ψ（t，x）≤ ψ（t，x）表示所有（t，x）∈ [0，T]×R。然后相应的马尔可夫值函数和v满足v≤ v、 证据。同样，可以应用[9]中的定理6.1证明值函数v在ψ中递增。在正常先验的情况下，函数ψ（t，x）=∑γσ+tγ在先验的标准偏差γ中单调增加。因此，定理5.2适用，马尔可夫值函数v在γ中增加。

其结果是，最佳停止边界按γ的大小排序，如图5所示。Xtime0的条件平均值。00–0.25–0.50–0.75–1.000.00 0.25 0.50 0.75 1.00gamma=0.2gamma=0.3gamma=0.5gamma=0.7图5：在正常先验条件下，当市场波动率σ=0.2时，不同标准偏差γ值的最佳停止边界。对于紧支撑分布，定理5.2提供了一种构造马尔可夫值函数v上界的方法。假设先验u是紧支撑分布。由于ψu有界，根据第9页上的两点前例，我们可以找到两点分布η：=（1）- π） δa+πδbwithRRuu（du）=RRuη（du），使得ψu≤ ψη. 然后定理5.2得出vu≤ vη，因此停止边界满足yη≤ hu。因此，Vu≤ Eη[Sτhη]，其中Vu表示先验u的初始值，Eη表示先验为η而非u的期望算子。5.3滤波值：数值研究引入并解决了任意先验的最优清算问题，一个典型的问题出现了——与未经过滤的天真最优销售策略相比，采用实时过滤的精细顺序清算策略能获得多少收益？在这一部分中，我们将在我们的模型中，从一个普通的先验案例中的数字角度来解决这个问题。让我们考虑一个想在时间T之前清算资产的代理人。我们假设资产价格根据（2.1）进行演变，代理的漂移X的先验u是正态分布N（m，γ）。如果代理人不知道实时过滤的可能性，他不会利用资产价格观察中的任何有价值的信息，因此在时间0时，将决定是立即出售，即在时间0时出售，还是在时间T时清算。

最优清算策略的期望值，仅允许在时间0和T isV{0，T}:=E[eXT]时出售∨ 1=emT+（γT）∨ 1.然而，如果代理人知道涉及过滤的最佳顺序清算程序，则最佳销售isV的预期值=supτ∈TSTE[Sτ]。值得注意的是，不等式V{0，T}≤ V对任何先前的u都保持不变，因此给我们一个较低的值V的界。在图6中，我们看到在一系列不同的市场波动率下，为两个不同的优先级计算的两个值V{0，T}和V。此外，图7描述了百分比改善（V- V{0，T}）/V{0，T}带过滤的顺序程序带来了天真的策略。图8说明了这两个值对正常先验标准偏差γ的依赖性。Valuesigma1。201.151.101.051.000.00 0.250.50 0.751.00带有过滤，N（-0.1,0.5）否过滤，N（-0.1,0.5）带过滤，N（-0.2,0.5）否过滤，N（-0.2,0.5）图6：作为市场波动函数的初始值。实线灰色曲线对应于最佳变现价值，虚线灰色线对应于未经过滤的价值——两者均为正常的先验N(-0.1, 0.5).类似地，黑色实线对应于最佳清算值，黑色虚线对应于未经过滤的正常前N值(-0.2, 0.5).百分比sigmaN（-0.1,0.5）N（-0.2,0.5）1510500.00 0.250.50 0.75 1.00的改善图7：过滤带来的改善。改善百分比（V- V{0，T}）/V{0，T}在没有过滤的情况下覆盖策略。Valuegamma1。01.11.21.30.0 0.20.40.6带有特林诺过滤图8：初始值作为标准偏差的函数。固体曲线对应于最佳清算值，而灰线对应于未经过滤的值。在这里，先验知识与平均值是正常的-0.05，市场波动率σ=0.2。参考文献[1]贝恩，A.，克里斯安，D。

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