漂移不确定性下资产的最优清算

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英文标题：
《Optimal liquidation of an asset under drift uncertainty》
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作者：
Erik Ekstr\\\"om and Juozas Vaicenavicius
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study a problem of finding an optimal stopping strategy to liquidate an asset with unknown drift. Taking a Bayesian approach, we model the initial beliefs of an individual about the drift parameter by allowing an arbitrary probability distribution to characterise the uncertainty about the drift parameter. Filtering theory is used to describe the evolution of the posterior beliefs about the drift once the price process is being observed. An optimal stopping time is determined as the first passage time of the posterior mean below a monotone boundary, which can be characterised as the unique solution to a non-linear integral equation. We also study monotonicity properties with respect to the prior distribution and the asset volatility.
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中文摘要：
我们研究了一个寻找最优停止策略来清算具有未知漂移的资产的问题。采用贝叶斯方法，我们通过允许任意概率分布来描述漂移参数的不确定性，对个体对漂移参数的初始信念进行建模。过滤理论被用来描述一旦价格过程被观察到，关于漂移的后验信念的演化。最优停止时间被确定为单调边界下后验平均值的首次通过时间，其特征是非线性积分方程的唯一解。我们还研究了关于先验分布和资产波动率的单调性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_liquidation_of_an_asset_under_drift_uncertainty.pdf (547.9 KB)

2022-5-9 03:37:08 上传

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关键词：不确定性 确定性 不确定 distribution Mathematical

漂移不确定性下资产的最优清算Erik Ekstrom和Juozas Vaicenavicius摘要我们研究了一个寻找最优停止策略的问题，以清算漂移未知的资产。采用贝叶斯方法，我们通过允许任意概率分布来描述漂移参数的不确定性，对个体对漂移参数的初始信念进行建模。过滤理论被用来描述一旦价格过程被观察到，关于漂移的后验信念的演变。最佳停止时间被确定为单调边界下后验平均值的首次通过时间，其特征是非线性积分方程的唯一解。我们还研究了关于先验分布和资产波动率的单调性。商品价格随时间变化是人类经济活动的一个必然特征。因此，自然地，一个参与贸易的人非常关心进行交易的最佳时间。让我们想想一个人，他拥有一项不可分割的资产，其价格演变{St}t≥0并且想在T时间之前卖掉它≥ 0.假设市场具有流动性，卖方应如何选择销售时间，以最大限度地提高其销售利润？从数学上讲，问题在于找到一个停止时间τ*, 属于一组允许的停止时间TT，例如e[Sτ*] = supτ∈TTE[Sτ]。（1.1）要考虑的可容许停止时间的自然集合TTTof是关于价格过程S的停止时间集合TSTof，即在任何时间点，是否出售资产的决定必须完全基于S的价格历史。

在本文中，我们假设TT=TST。在经典Black-Scholes模型DST=αStdt+σStdWt（1.2）中，α，σ是已知的常数参数，最优销售问题（1.1）的答案很简单：如果α>0，那么最优策略是在终端时间t销售；如果α<0，则最佳策略是立即出售，即在时间0；如果α=0，则任何停止时间τ都是最优的。然而，在应用中，Black-Scholes模型的已知常数漂移假设通常太强。为了在估计漂移指数时获得合理的精度，需要非常长的时间序列，这是很少有的。缺乏数据的一个极端例子是，一只股票的首次公开募股（IPO）价格历史根本不存在。此外，即使在过去有足够数据的少数情况下，准确校准历史漂移的好处也很可能被引入的模型风险所抵消。这是因为大多数金融模型，包括Black-Scholes，只作为短期模型可信；简单的常数参数假设在更长的时间内是不可行的。另一方面，已知可用性参数σ的假设是合理的，因为它至少在理论上可以从非常短的观察期估计出来。尽管漂移估计的臭名昭著促使许多金融数学文献关注漂移参数可以避免或至少不起关键作用的问题（如风险中性定价和对冲），但在最优清算问题中，漂移可能会产生显著的影响。

图1包含了上市后第一年几个著名IPO的估计BlackScholes模型参数，表明所有这些情况下的价格变化不太可能是由于波动性造成的，这让我们相信需要解决的漂移贡献的重要性。IPO日志（S/S）ασ亚马逊（1997）1.34 1.68 0.83谷歌（2004）1.03 1.11 0.41Facebook（2012）0.42-0.27 0.55Vonage（2006）1.53-1.29 0.70图1：漂移α和波动率σ的估计值是在IPO的第一年使用每日收盘价计算的。数据来源：谷歌金融。承认由于无法实现校准，在许多情况下，用已知恒定漂移的几何布朗运动对价格进行建模是不合适的，这并不是放弃建模的理由，而只是表明模型应该改进，以纳入额外因素。由于漂移参数的精确值未知，我们选择通过概率分布来建模漂移的固有不确定性。更准确地说，我们扩展了几何布朗运动模型（1.2），用一个随机变量替换常数漂移α，该随机变量的分布（在贝叶斯统计中称为“先验”）包含了我们可以获得的关于漂移不确定性的所有知识。就波动率σ而言，我们坚持已知的恒定波动率假设。这种漂移不确定性模型的一个潜在实际应用是IPO股票的最优清算。持有IPO股份的人只相信价格过程的漂移，因为没有过去的价格数据可用于校准模型。虽然在本文中，我们认为先验分布是一种主观信念，它的起源是毋庸置疑的，但我们也可以想到选择先验分布的透明的建设性方法。

IPO示例中的一种可能方法是使用与我们的投资期限相同的初始期内类似IPO回报的经验分布。相似性标准可以是市场部门、国家、市场份额等。对于只对股票价格的特殊（即股票特定）成分进行最优清算的代理人而言，由于波动性降低，顺序清算程序更为有利（图1中相对较高的波动性可被视为减少顺序清算程序的优势）。一个简单的结构Black-Scholes模型，包括一个特质和一个市场因素（例如，见[4]），表明特质价格成分∝ e（u）-σ/2）t+σWt。这是一个大的篮子指数，分别代表市场因素u、σ、w、特质漂移、特质波动和特质随机驱动因素。由于σ<σ，了解特殊漂移u比了解总漂移u更快，因此在这种情况下应用顺序程序比在标准情况下更有利。在本文中，我们在漂移的任意先验分布下，在所提出的模型内求解最优清算问题（1.1）。漂移的后验概率首次低于特定的非递减曲线，这被证明是最佳的；顶部边界的特征是一个特定积分方程的唯一解。为了包含更多细节，我们对最佳策略的调查可以简要描述如下。通过使用过滤理论将价格演化投影到可观察的过滤上，将关于提取的不完全信息的原始问题重新表述为完全信息问题。

后验分布的平均值成为一个新的等价最优停止问题的基本过程，该问题具有惊人的杀死/创造率和恒定的支付函数。这个条件平均值被证明满足一个由创新过程驱动的随机微分方程。证明了SDE的色散系数随时间衰减，并且满足空间二阶导数的特殊条件。将值函数嵌入马尔可夫框架，并与项结构方程建立适当的联系，所建立的离散函数性质使我们能够利用现有的凸性结果来证明马尔可夫值函数在空间变量中的凸性。此外，值函数是连续的，并且随时间递减。这些重要事实表明，单调边界下的第一次通过时间是最佳停止时间，因此可以应用单调边界自由边界问题理论中的技术。具体而言，边界的单调性使我们能够改善光滑性，并研究相应的积分方程。最优停止边界是非线性积分方程的唯一非正连续解。除了检验最优策略外，我们还研究了预期最优清算价值相对于资产波动率和先验分布的单调性。尽管关于参数依赖性的所有包含性定理目前似乎遥不可及，但我们推导了波动率σ和先验分布一致性的一些充分条件。此外，我们在正常先验条件下进行了数值实验；一些结果强化了标准直觉，另一些则说明了固有的微妙之处。

特别是，计算了一个涉及过滤的最优策略带来的附加值，在一些可行的参数条件下，该附加值比未经过滤的最优策略提高了10%。就这项工作的扩展而言，解决更一般的差异的最优清算问题，以及可能依赖于时间和水平的系数，是一个更大的问题。这种扩展通常会导致经典几何布朗运动环境中有用的一维马尔可夫结构的丢失；然后，最优决策取决于整个价格轨迹，而不仅仅是当前的现货价格。显然，对由此产生的最优停车问题的完整处理要复杂得多。1.1文献综述在过去三十年中，关于漂移的不完全信息的投资问题受到了金融数学家和金融经济学家的高度关注。关于投资组合优化的一些最独特的工作包括[6]，被认为是金融文献中研究的第一个不完全信息问题，以及[17,18]中研究的一般投资组合问题；另请参见最近的文章[3]，该文为大多数早期作品提出了一个总体框架，并包含了一份优秀的调查报告和参考文献。在Kalman Bucy filter的案例中[19]讨论了在不完全市场中，根据有关持续裂痕的部分信息进行套期保值。此外，金融经济学文献中也对不完全信息模型进行了研究（见调查论文[2]和专著[25]）。相比之下，在上述最优清算问题等不完全信息下，很少有人试图解决财务最优停止问题，现有的工作主要集中在一个非常严格的情况下，即两点优先。

[8]研究了具有未知漂移的资产的最优清算，[16]研究了具有未知跳跃强度的资产的最优清算。有关不完全信息下的期权估值问题，请参见[5]和[11]。上述财务最优停止条件通常假设为两点先验分布；考虑到先验代表了关于参数可能采用的所有不同值的信念，两点先验是一个简单且不现实的假设。克服这一假设是本文的主要贡献之一。同样值得一提的是，在[7]、[10]和[12]中研究了参数完全信息的情况下最优销售问题的各种不同公式。2模型和问题公式我们考虑的是一个随机基础上的金融市场(Ohm, F、 F，P），其中过滤F={Ft}t≥0表示满足通常条件，度量P表示物理概率度量。该基支持布朗运动W和随机变量X，使得W和X是独立的。我们假设观察到的价格过程是根据St=XStdt+σStdWt（2.1）进行的，其中波动率σ>0是一个已知常数。我们写FS=FStT≥0对于由价格过程S生成并由F的空集扩充的过滤。在本文中，FSF对应于唯一可用的信息源，即代理只能观察价格过程S，而不能观察随机驱动因素W或漂移X。

X的分布（我们用u表示）代表了个人对平均回报率X可能采用的不同值的可能性的主观信念。我们感兴趣的最优销售问题isV=supτ∈TSTE[Sτ]，（2.2），其中tst表示小于或等于特定时间范围T>0的FS停止时间集。请注意，如果[0]中包含对u的支持，∞), 然后，最优策略是在终端时间T停止。类似地，如果u的载体包含在(-∞, 0]，则最佳策略是立即停止。为了排除这些琐碎的情况，我们从现在开始假设：((-∞, 0）6=0和u（（0，∞)) 6= 0.注：包含恒定贴现率r>0是很简单的。事实上，折扣价格St:=e-rtStsatisSt=（X- r） ~Stdt+σStdWt，（2.3）以及最优停止问题supτ∈TSTE[e]-rτSτ]减少到（2.2），但先验分布被u（·+r）取代。2.1测量值变化下的等效重新计算假设u有一个第一时刻，^Xt:=E[X | FSt]存在，且过程^Wt:=σZt（X-^Xs）ds+Wt，即创新过程，是一个FS布朗运动（见[1，第33页的命题2.30]）。写F^W={F^Wt}t≥0完成过滤{σ（^Ws:0≤ s≤ t） }t≥0，我们注意到FS=F^W（见[1]第35页的注释）。通过随机变量dqdp=eσ^WT定义测量值的变化-σT，和writingSt=SeXt+σWt-σt=SeRt^Xsds+σ^Wt-σt，我们有[Sτ]=EQhSeRτ^Xsdsi=SEQheRτ^Xsdsi，其中τ∈ TST。在不丧失一般性的情况下，我们假设整篇文章中的S=1；最佳停车问题（2.2）则变成SV=supτ∈TSTEQ[eRτ^Xsds]。（2.4）我们还注意到，根据Girsanov定理，过程Zt:=-σt+^w是[0，t]上的Q-布朗运动。3最优停止问题的分析3。1投射到可观察的过滤器上，让我们引入Yt:=Xt+σwt，使St=SeYt-σt。

显然，这些过程和Yans产生了相同的过滤。以下命题描述了给定股票价格观察值的X的条件分布，即过程Y的当前值。其证明见[1]中的命题3.16。提议3.1。让我们问：R→ R满意度R|q（u）|u（du）<∞. ThenEq（X）| FSt= E[q（X）| Yt]=RRq（u）e2uYt-ut2σu（du）RRe2uYt-ut2σu（du）适用于任何t≥ 0.根据命题3.1，以y=y为条件的时间t的分布ut，yof X由ut，y（du）：=e2uy给出-ut2σu（du）RRe2uy-ut2σu（du），（3.1）和^Xt=E[X | FSt]=E[X | Yt]=f（t，Yt）（3.2）对于任何t>0，其中f（t，y）=ZRuut，y（du）=RRue2uy-ut2σu（du）RRe2uy-ut2σu（du）作为一个简写，我们用Et表示概率测度下的期望算子，y（·）：=P（·| Yt=y）。从现在起，对u施加以下可积条件。假设3.2。先前的分布usatifieszreauu（du）<∞ （3.3）对于一些a>0。这个假设对我们的最优清算问题是一个不明显的限制，因为给定任何概率分布u，分布ut，yin（3.1）满足任何t>0的（3.3）。假设3.2的主要好处是，它允许我们将ut，yin（3.1）的定义扩展到t=0。事实上，假设μsaties（3.3）与a=/（2σ）对于某些 > 0 . 用ξ（du）定义R上的概率分布ξ：=eu2σu（du）RReu2σu（du），（3.4）测量u0，y（du）=euyσu（du）RReuyσu（du）与ξ一致,y（du）：=e2uy-U2σξ（du）RRe2uy-U2σξ（du）。因此，考虑到当时的先验分布，分布u0，yc可以在0时用条件分布来识别- wasξ，观测过程的当前值为y。这使我们概括了观测过程的起点y的概念，从而允许y=y6=0，因此我们可以将时间0视为时间间隔的内部点。接下来，我们在Stand^Xt之间建立一个双射对应关系。