协整跳跃：在能源设施中的应用

这里我们考虑一个单因素模型加上跳跃，类似于Cartea和Figueroa[1]中介绍的模型。考虑一个由随机过程驱动的市场，其解为：Si（t）=Fi（0，t）exp{Ui（t）+h（t）}，i=1,2，（9），其中h（t）是纯确定性函数，Ui（t）isUi（t）=Ui（0）e-kit+σiZte-基特-s） dWi（s）+e-kitNi（t）Xni=1Ynii=UCi（t）+UDi（t）（10），其SDE为：dUi（t）=-kiUi（t）dt+σidWi（t）+e-基蒂德尼（t）。（11） N Cufaro Petroni和P Sabino：能源设施的协整跳跃9Yniiare是Yi的副本~ N（Mi，νi）和Corr（Y，Y）=ρ（D）。请注意，与GBM情况相比，rv的Yniiare不是对数hms，我们的模型假设跳跃的大小随着时间的推移而减小。spot SDE与Cartea和Figueroa[1]中采用的SDE略有不同，事实上，选择了乘以跳跃分量的指数变量，使得解具有与时间相关的跳跃大小的非随机跳跃。我们应该把酒后驾车视为Carteaan和Figueroa[1]吗-kiUi（t）dt+σidWi（t）+YidNi（t），解决方案应该是nui（t）=Ui（0）e-kit+σiZte-基特-s） dWi（s）+e-kitNi（t）Xni=1yniiekitni这里是跳跃时间。此设置会导致不易处理的选项公式，如下所示。为了得到无套利条件，我们施加E[S（T）|Ft]=F（T，T），为求隐含性，我们观察E[S（T）]=F（0，T）来调整我们的参数和函数。然后我们需要计算EheUCi（t）+UDi（t）i=EheUCi（t）iEheUDi（t）iEUCi（t）-变量UCi（t）= eai（t）。（12） 与：EUCi（t）= U（0）e-基特，瓦尔UCi（t）=σi2ki1.- E-2kit. （13） 此后，我们将假设Ui（0）=0，i=1，2不会改变模型的适用性。最后我们需要计算：EheUDi（t）i=E经验E-kitNi（t）Xni=1Ynii= 息税前利润（t）。

（14） 知道复合泊松过程的矩母函数：φ（u）=E经验uNi（t）Xn=1Ynii= exp{λit（φYi（u）- 1） }（15）式中φYi（u）=expMiu+νiu（16） N Cufaro Petroni和P Sabino：能源设施的协整跳跃10我们很容易获得所需的预期价值。EheUDi（t）i=φE-配套元件. （17） bi（t）=λitee-套件（Mi+e）-套件νi）-1.（18） 基于上述结果，hi（t）=-ai（t）- bi（t）。上述光斑动力学方程可以改写为：log Si（t）d=log Fi（0，t）- bi（t）+Ni（t）Mie-kit+νie-2kitNi（t）-瓦尔胡（C）i（t）i+νie-2kitNi（t）+rVarhU（C）i（t）i+νie-2kitNi（t）你好。（19） 其中，Hi，i=1，2已在上一节中定义。3.3施瓦茨-史密斯模型考虑双因素施瓦茨-史密斯模型（见施瓦茨-史密斯[13]）：U（t）=U（0）e-kt+σ中兴通讯-k（t）-s） dW（s）+e-ktN（t）Xn=1YnU（t）=U（0）+ut+σW（t）+N（t）Xn=1YnU（t）=U（t）+U（t）。（20） 其中S（t）=F（0，t）eh（t）+U（t），我们假设两个过程的跳跃共享相同的分布Y，Y~ N（M，ν）。简单地取微分代数：dU（t）=-k（u+U（t）- U（t））dt+σdW+YE-ktdN+dN（21）如果我们像Cartea和Figueroa[1]那样考虑OU加复合泊松，过程U（t）将是：dU（t）=-k（u+U（t）- U（t））dt+σdW+σdW+Y（dN+dN）=-k（u+U（t）- U（t））dt+σdW+Y dN（t）。（22）式中σ=σ+σ+2σρ（W）。利用上面的后一个等式（22），sp ot过程的对数可以用一个BM和一个类似泊松的复合过程来表示。N Cufaro Petroni和P Sabino：能源设施的协整跳跃11按照上一小节中概述的相同程序，通过采用现货过程的（有条件）预期：Ehuc（t）i=Ehuu（0）e，无法获得套利条件-kt+σiRte-k（t）-s） dW（s）+U（0）+ut+σW（t）i=expE加州大学（t）-变量加州大学（t）= ea（t）。

（23）再次假设U（0）=0和U（0）=0，我们得到：E加州大学（t）= ut，Var加州大学（t）=σ2k1.- E-2k吨+ σt+2ρσk1.- E-kt. （24）对于不连续分量，我们有：eb（t）=EheUD（t）i=E经验E-ktN（t）Xn=1Yn+N（t）Xn=1Yn==+∞Xm，m=0pm，m“expe-ktmXn=1Yn+mXn=1Yn#==+∞Xm，m=0pm，mφYE-ktm×φY（1）m（25）如第5.2节所述，h（t）=-a（t）- b（t），其中b（t）可以用数值计算。相比之下，在Cartea和Figueroa[1]的情况下，我们有：eb（t）=EheUD（t）i=E经验E-ktN（t）Xn=1YnekTn+N（t）Xn=1Yn（26）这是一个更复杂的问题，经过一些代数运算后，上面的对数点动力学可以重写为：logsi（t）d=logf（0，t）- b（t）+ut+N（t）e-ktM+e-ktν+ N（t）M+ν--变量U（C）（t）+E-2kitN（t）+N（t）v++pVar[UC（t）]+（e-2kitN（t）+N（t））ν。（27）N Cufaro Petroni和P Sabino：能源设施的协整跳跃124风险中性定价公式4。1简单的欧式普通期权为了简化计算和符号，我们用一个抽象的BS公式c（0）=BS（P，K，r，T，v，q）来表示时间零点c（0）的看涨期权的价格。（28）其中P、K、r、T、v、q分别表示Black-Scholes公式的初始价格、履约、无风险利率、到期日、最终价值和股息率。按照Joshi[3]中关于带跳跃的默顿模型的程序，获得一个普通的期权定价公式将是在应用泊松概率的条件论证后，将终端变量、初始价格和股息收益率插入抽象公式GBM案件。

考虑到方程式（3）的市场，我们需要重新安排方程式（6），以便我们可以应用GBM plus jumpscase的抽象BS公式：log Si（T）=log Si（0）+Ni（T）log Mi+λi（1）-Mi）T-v（J，Ni（T））i+qv（J，Ni（T））iHi（29）考虑到等式（3）的GBM加价市场，标的资产i=1的买入（卖出）期权的价格为：c（0）=∞Xn=0πn（λT）BS（S（n）（0），K，r，T，v（J，n）（T），0）。（30）式中（n）（0）=S（0）Mnexp[λT（1）- M） ]。（31）和v（J，n）（T）在方程式（7）中定义。请注意，此处的公式与Joshi[3]pag中的公式略有不同。346，因为我们对抽象BS公式论点的定义郭台铭案。与方程（9）的OU plus跳跃市场相比，抽象BS公式的起始点参数为：S（n）（0）=F（0，T）epni（T），（32），其中v（J，n）（T）=VarhU（C）（T）i+ne-2kTν和Pn（t）=-b（t）+ne-ktE-ktν+M. （33）N Cufaro Petroni和P Sabino：能源设施的协整跳跃13oSchwartz-Smith案例。假设方程（20），按照GBM和GOU案例中概述的程序，可以找到半封闭形式的公式。c（0）=∞Xn，n=0P（n（T）=n，n（T）=n）BS（S（n，n）（0），K，r，T，v（J，n，n）（T），0）。（34）式中（n，n）（0）=F（0，t）e-b（t）+ut+n（t）e-ktM+e-ktν+n（t）M+ν, （35）与v（J，n，n）（T）=Var加州大学（T）+E-2kiTn+nν（36）此外，对于等式（20）和（22）中给定无套利条件的bo th设置，生成第2节相关泊松过程的简单算法提供了一个简单的蒙特卡罗实现，用于计算普通期权的价格。在获得了每项标的资产的风险中性条件后，很容易获得价差期权的公式。4.2差价期权案例差价期权的应用是比较我们的方法与协整跳跃与其他跳跃差异案例的原生框架。

根据Margr abe[6]的结果，我们开始考虑一个零敲打的价差期权，使用第（4.2）小节中应用的相同条件方法，我们得到，在等式（3）或等式（9）的市场中，一个零敲打的价差期权的价格是：s（0）=∞Xn，n=0P（n（T）=n；N（T）=N）BS（S（N）（0），S（N）（0），0，T，v（M，N，N）（T），0），（37），其中v（M，N，N）（T）=v（J，N）（T）+v（J，N）（T）- 2ρ（J，n，n）qv（J，n）v（J，n）是终端方差。Smand v（J，m）的定义见上述小节。在光明时代，当罢工不为零时，可以使用不同的分析近似值（例如，见邓和李[10]或K irk[4]），对跳跃差异情况的扩展只是调整近似值的参数。采用蒙特卡罗方法并不复杂，因为二维路径的模拟不是一项复杂的任务，而且是二维泊松生成。当Margabe期权被当场写入时，可以看出价格与r无关，这与远期价差期权的情况相反。N Cufaro Petroni和P Sabino：能源设施的协整跳跃14我们将值得未来对两种以上具有跳跃成分的资产市场进行研究。当前的框架不能处理多资产扩展选项，除非考虑到第三个资产没有跳转项。然后，可以通过模拟、分析近似（如Deng和Lee[11]以及Pellegrino和Sabino[17]中所述）或通过应用力矩匹配并使用两条腿可用的解决方案之一（如Pellegrino和Sabino[16]中所述）来解决多资产价差期权的定价问题。在下文中，我们比较了三种不同的泊松模型：o独立跳跃。

N（t）和N（t）是独立的泊松过程。价差期权公式为：s（0）=∞Xn，n=0πn（λT）πn（λT）BS（S（n）（0），S（n）（0），0，T，v（M，n，n）（T），0）。（38）o一次普通跳跃。Ni（t）=N（t）+NXi，i=1,2，其中N（t）和NXiareall相互独立的泊松过程。价差期权公式为：s（0）=∞Xn=0，n，n≥nπn-n（λXT）πn-n（λXT）πn（λT）×BS（S（n）-n） （0），S（n）-n） （0），0，T，v（M，n）-n、 n-n） ，0）（39）o协整跳跃。Ni（t），i=1，2，如第4.2小节所述。展开选项公式为：s（0）=∞Xn，n=0P（n（T）=n；N（T）=N）BS（S（N）（0），S（N）（0），0，T，v（M，N，N）（T），0）（40），其中pn，N=P（N（T）=N；N（T）=N）在命题2.1中定义。上述价差期权的支付同时考虑了两个基础期权的价值。其他类型的差价期权在不同的时间在两个基础上浮动，例如，支付可能是（S（T）- S（T））+，T<T。在这种情况下，需要重新适应公式并考虑概率pnn=P（N（T）=N；N（T）=N），它们可以在Cufaro Petroni和Sabino[9]中找到。5数值实验在本节中，我们给出了数值实验，假设GBM和GOUdynamics加上前面章节中解释的跳跃。GBM案例考虑了现实参数，旨在研究具有不同类型的双变量泊松过程的价差期权价值；相比之下，郭台铭的案例是基于EEX的实际数据和PowerSecond day-ahead价格。N Cufaro Petroni和P Sabino：能源设施的协整跳跃15表1:G BM和复合泊松过程的参数（a）连续部分。无跳跃情况下的跳跃情况A案例BS（0）100 100 100 S（0）100 100 100σ0.49 0.37 0.2σ0.35 0.23 0.15ρ（W）（）96 60 80（b）不连续零件案例A案例bρ（D）（）99 50λ20 40λ20ν0.10 0.05ν0.04M1。1.05M1。1.055.1千兆比特。

扩展期权的应用我们比较使用方程（38）-（40）获得的扩展期权价值，改变两个泊松过程之间的相关性。特别地，假设Ni=N（t）+NXi（t），我们有Cov[N（t），N（t）]=Var[N（t）]=λt，那么瞬时相关性是ρNN=λ√λ和λ与时间无关；在协整跳跃的情况下，这可以通过数值计算得到。当然，如果λ6=λ，则无法获得完美的相关性。我们考虑两个案例：案例A。λ=λ=20，其中对于协整跳跃γ=a<1。案例B。λ=40，λ=20，其中，对于协整跳跃，当a<0.5和a>0.5时，γ<1可以假定值慢于或高于1。参数如表1所示。在这两种情况下，我们都考虑了一个在货币利差期权上的期权，该期权的行权为零，K=0，到期日T=1，这样我们就可以使用精确的Margrabe公式。在不改变我们测试的有效性的情况下，可以使用一些近似技术来计算非零击数的扩展期权值。如表2所示，我们还使用表1中第一个表格第一列的参数计算了纯GBM（无跳变）情况下的价差值，以使其与平均价差终端方差v（M，λT,λT), 哪里·表示整数部分。我们首先观察到，方程（38）-（40）的行为分别取决于概率pn和公式BS的值。前者不依赖于跳跃的分布，而后者则独立于泊松过程之间的依赖结构。图1清楚地表明，预期跳跃大小对期权价值有相关影响，因为在假设M=M=1的情况下，价格几乎与泊松模型的选择无关。图2显示了泊松过程的联合概率之间的差异。

Pn等高线图上的等值线可恢复为一种椭圆，即Cufaro Petroni和P Sabino：能源设施的协整跳跃160 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 17.257.37.357.47.457.57.557.67.657.77.75ρN1N2a，M1=M2=1 GBmindependent公共协整（a）情况A0。1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 111.911.90511.9111.91511.9211.92511.93511.94ρN1N2Case B，M1=M2=1 gbmindcommoncointegrated（B）Case B图1:M=M=1时A和B两种情况下的价差期权值表2：价差期权值无跳跃和独立复合泊松过程。无跳转独立跳转情况A情况B情况A情况B选项值7.27 11.92 25.23 19.27轴平行于X-Y轴，这是A和B情况下独立泊松的预期值。另一种情况下泊松过程的正相关性由轴现在逆时针旋转的事实反映出来。此外，对于协整泊松分布，概率值越高，其集中度越高。这在λ=λ的图中更为明显，值得注意的是，对于γ>1的协整泊松分布，矩阵Pn为下三角，而对于具有一个共同泊松过程的结构，矩阵Pn为全三角。最后，表3显示了预期跳跃大小不同于零的结果。λ，其中选择的“协整”和“公共”泊松过程的相关性一致。泊松过程之间的相关性的影响是显而易见的：当ρnni增加时，扩展期权的价值降低，这与直觉一致，因为扩展终端方差减小。在案例A中，跳跃大小是完全相关的，使用公共泊松设置的扩展选项值始终高于使用我们的方法获得的值。

这在某种程度上是由概率的等线性集中反映出来的。使用公共泊松可以减少跳跃事件的频谱，例如，在极端情况下，λ=λ=λ，N（t）跳跃的次数不能超过N（t），而协整泊松过程的情况并非如此。相比之下，泊松模型的选择对配置B中展宽期权的价格没有显著影响。在表1的参数配置中，对于使用相同ρNN获得的值，展宽期权的价格似乎高度依赖于两个过程的跳跃次数，而不是跳跃发生的时间，这解释了小的差异。