协整跳跃：在能源设施中的应用

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英文标题：
《Cointegrating Jumps: an Application to Energy Facilities》
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作者：
Nicola Cufaro Petroni and Piergiacomo Sabino
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Based on the concept of self-decomposable random variables we discuss the application of a model for a pair of dependent Poisson processes to energy facilities. Due to the resulting structure of the jump events we can see the self-decomposability as a form of cointegration among jumps. In the context of energy facilities, the application of our approach to model power or gas dynamics and to evaluate transportation assets seen as spread options is straightforward. We study the applicability of our methodology first assuming a Merton market model with two underlying assets; in a second step we consider price dynamics driven by an exponential mean-reverting Geometric Ornstein-Uhlenbeck plus compound Poisson that are commonly used in the energy field. In this specific case we propose a price spot dynamics for each underlying that has the advantage of being treatable to find non-arbitrage conditions. In particular we can find close-form formulas for vanilla options so that the price and the Greeks of spread options can be calculated in close form using the Margrabe formula (if the strike is zero) or some other well known approximation.
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中文摘要：
基于自分解随机变量的概念，我们讨论了一对相依泊松过程模型在能源设施中的应用。由于跳跃事件的结果结构，我们可以将自分解视为跳跃之间协整的一种形式。在能源设施的背景下，应用我们的方法对电力或气体动力学进行建模，并评估被视为差价选项的运输资产，是很简单的。我们研究了我们方法的适用性，首先假设一个默顿市场模型有两个基础资产；在第二步中，我们考虑了由指数平均数回复几何的Ornstein-Uhlenbeck加上复合泊松所驱动的价格动态，这在能源领域中常用。在这种特定情况下，我们为每一个具有可处理优势的标的证券提出了一个价格现货动态，以发现无套利条件。特别是，我们可以找到普通期权的封闭式公式，这样就可以使用Margrabe公式（如果行权为零）或其他一些众所周知的近似值，以封闭式计算差价期权的价格和价格。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Cointegrating_Jumps:_an_Application_to_Energy_Facilities.pdf (314.49 KB)

2022-5-9 03:59:07 上传

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关键词：Applications Quantitative Differential Application Computation

协整跳跃：在能源设施中的应用*Nicola Cufaro Petroni+意大利巴里奥拉博纳河畔巴里因福大学材料与轮胎研究所，地址：7012 5巴里，意大利伊塔利皮耶格-亚科莫-萨比诺，RQPR量化风险建模与分析，地址：乌塞尔多夫，邮编：40221，德国摘要基于自分解随机变量的概念，我们讨论了能量设施的一对相依泊松过程模型的应用。由于跳跃事件的结果结构，我们可以将自分解视为跳跃之间协整的一种形式。在能源设施的背景下，我们对电力组织动力学建模和评估被视为差价期权的运输资产的方法的应用是向前发展的。我们首先假设默顿市场模型有两项基础资产，研究我们方法的适用性；在第二步中，我们考虑了能源领域常用的指数均值回复几何Cornstein-Uhlenbeck加上复合泊松所驱动的价格动态。在这种特殊情况下，我们对每笔交易采用价格现货动态，其优点是可处理，无套利条件。特别是，我们可以找到普通期权的封闭式公式，以便使用Margrabe公式[6]（如果罢工为零）或邓等人[10]中的一些众所周知的近似公式，以封闭式计算价差期权的价格和价格。*此处讨论的技术并不反映UGC的观点。+cufaro@ba.信息。它——皮耶吉亚科莫。sabino@uniper.energyNCufaro Petroni和P Sabino：能源设施的协整跳跃21介绍和动机多项研究表明，大宗商品价格的现货动态受到均值回归、季节性和跳跃的影响（参见Cartea和Figueroa[1]）。

此外，还提出了一些基于相关性和协整的方法来考虑依赖性。然而，当离开高斯信息技术世界时，这些方法在数学上可能变得过于复杂或不可处理。在本文中，我们讨论了二维情形下的依赖性问题，并开始考虑具有二维复合泊松分量的二维跳跃扩散过程。然后，我们引入了一种直观的方法，根据用于构造二维泊松过程的指数随机变量的自分解性（参见Cufaro Petroni[8]、Cufaro Petroni和Sabino[9]、Sato[12]），对二维泊松过程的依赖性进行建模。在Cufaro Petroni和Sabino[9]中，我们已经看到，给定两个独立的指数rv的Y，Z~ E（λ）和a 0-1伯努利B（1）~ B（1,1- a） 如果a=P{B（1）=0}，那么rv定义的asX=aY+ZaZa=B（1）Z（1）是一个指数E（λ），导致Y和Z的加权和，其中0<a<1是Y的确定权重，而B（1）是Z的随机权重。换句话说，Xis只不过是指数Y向下a重标，再加上另一个独立的，但与频率1相关- a、 指数Z。另一方面，很明显，通过构造，X和Y不是独立的，可以表明a也精确地表示它们的相关系数。这个结果是指数定律自分解的直接结果。事实上，我们也可以产生a相关指数X对~ E（λ）和Y′~ E（u）具有不同的参数，通过重新计算之前的关系式asX=γY′+Za（2），其中γ=ua/λ，使得0<γ<μλ。

考虑到X和Y’是两个随机时间，具有正的r和OM延迟，自分解性的数学概念可以帮助描述它们的共同运动，并可以回答一些常见的金融问题：o一旦金融机构违约，人们应该等待一个附属机构多久也违约？o市场收到一条被解读为震惊的消息：人们应该等多久才能看到这种震惊传播到一个独立的市场如果不同的公司相互关联，对保险风险有什么影响？上述问题包含在特殊情况γ>1中。然后，我们的模型足够丰富，可以描述第二个随机时间事件发生的情况n Cufaro Petroni和P Sabino：在第一个事件之前，能源设施的协整跳跃。基于指数rv线性结构的类似结果可在Iyer et a l[15]中找到，其目的是对多部件可靠性系统进行建模。值得注意的是，这一双变量指数模型暗示了一个copula函数（参见Cufar o Petroni和Sabino[9]），该函数既不是根据市场数据选择的，也不是根据市场数据估计的参数：这里的copula函数并没有定义模型，而是相反。基于指数rv的自分解性，我们能够构造具有相依边缘的二维泊松过程（参见CufaroPetroni和Sabino[9]）。由于随机时间之间的关系，可以看出这两个泊松过程与它们之间的协整形式有关。在能源设施的背景下，我们的方法用于建模价格动态和评估被视为差价期权的运输资产非常简单。

为此，我们考虑了德国的EEX和法国的Powernextpower市场，并假设每个现货价格动态都是由指数均值回复几何的Ornstein-Uhlenbeck（GOU）加上复合泊松驱动的。在这种特殊情况下，我们采用了与Cart ea和Figueroa[1]中的现货价格略有不同的随机动态，其优点是更容易处理，不存在套利条件。特别是，我们可以找到普通期权的封闭式公式，因此价差期权的价格和收益可以使用Margrabe公式[6]（如果走向为零）或D eng等人[10]、Pellegrino和Sabino[17]以及Pellegrino[7]中的一些众所周知的近似值进行封闭式计算。在任何情况下，我们的方法都意味着一个模拟相依泊松过程的显式算法，可以用于蒙特卡罗模拟。最后，我们将我们的方法得到的结果与假设这两个复合泊松过程是独立的或包含一个共同的泊松分量得到的结果进行了比较。对多维情况的扩展将是未来研究的目标，以及对不同于泊松的动力学的扩展。然而，在假设只有两个标的有跳跃成分的情况下，可以通过Pellegrino和Sabino[16]中提出的矩匹配法获得价差期权的价格和价格。论文的结构如下。第2节总结了Cufaro Petroni和Sabino[9]中引入的二维泊松过程的结果。在第3节中，我们考虑了具有几何布朗运动（GBM）和高斯扩散成分的二维跳跃扩散过程。我们还将我们的方法应用于具有跳跃差异的2因素Schwartz-Smith模型[13]，在该模型中，我们还找到了普通选项的分析解决方案。

鉴于第3节中介绍的价格动态以及不同类型的二维泊松成分，第4节给出了普通香草和差价期权的风险中性公式。第5节举例说明我们的方法：我们首先假设一个纯GBM加跳跃模型（默顿模型），并将我们的方法得到的结果与onesN Cufaro Petroni和P Sabino进行比较：能源设施的协整跳跃4假设两个复合泊松过程是独立的或包含一个共同的泊松分量。在第二步中，我们估计二维GOU plus跳跃动力学的参数，以模拟EEX和Powernextday的人头价格。最后，假设上述三种泊松配置，我们比较了这两个位置之间的互连价格。第6节总结了本文，概述了未来的研究和可能的进一步治疗应用。2相依泊松过程密度（pdf）f（x）和特征函数（c hf）~n（u）的定律称为自分解（sd）（参见Sato[12]和Cufaro Petroni[8]），如果对于每0<a<1，我们可以找到另一个具有pdf ga（x）和chfχa（u）的定律，从而使得（u）=（au）χa（u）这个定义选择了一个具有许多相关性质的重要定律族。然而，请注意，虽然sdχa（u）可以明确地表示为ψ（u），但其对应的pdf ga（x）不能以F（x）的一般初等形式给出。

我们还将说，当随机变量（rv）的定律为sd时，它的X为sd：从定义上看，这意味着对于每0<a<1，我们总是可以找到两个独立的rv的Y（具有相同的X定律），而对于pdf ga（X）和chfχa（u），我们可以在分布xd=aY+Za中看到这一点，另外，从不同的角度来看：对于0<a<1，Za定律已知，我们可以定义rvX=aY+Za，通过自分解，它现在将具有相同的Y定律。很容易证明a也起到了X和Y之间的相关系数的作用，即众所周知的xy=aIt，尤其是具有pdf和chff（X）=λe的指数定律e（λ）-λxx≥0~n（u）=λ- Iu是sd法则的典型例子（见佐藤[12]）。现在可以证明（Cufaro Petroni和Sabino[9]）Zaisa混合定律δ在0中退化，指数E（λ），即Za~ aδ+（1）- a） E（λ）N Cufaro Petroni和P Sabino：能源设施5的协整跳跃，这意味着Za可以被视为两个id rv的乘积：Z~ E（λ），和b（1）~ B（1,1-a） （a Bernoulli，a=P{B（1）=0}），也独立于Y，在给定两个指数的rv的Y时，命名为za=B（1）ZIn summary~ E（λ）和Z~ E（λ）和一个伯努利（1）~ B（1,1- a） （都是相互独立的）rvX=aY+B（1）zi再次是一个指数E（λ），定义为Y和Z的加权和：a是Y的确定权重，Z的权重是随机的，由另一个（独立于Y和Z）0-1伯努利rv B（1）表示~ B（1,1- a） 。用她的话来说，X只不过是指数Y向下的一个重标度，plusanother独立，但频率为1-a、 指数Z。指数定律的自分解性确保了，如果Y和Z areλ的参数都是，那么对于每0<a<1，X也是一个e（λ）。

另一方面，很明显，通过构造，X和Y不是独立的，很容易证明a代表它们的相关系数。注意如果你~ E（u），然后是αY′~ Euα对于每一个α>0，因此特别是d=μλY′~ E（λ）因此，我们还可以通过具有不同参数X的指数rv来说明自分解性~ E（λ）和Y′~ E（u），因为当然，如果0<a<1，wehaveX=aY+Za=aμλY′+Za。正如Iyer等人[15]最初提出的那样，我们现在采用iid rv\'sXk=aYk+Bk（1）Zkk=1,2。这样，对于每个k:Xk，Yk，Zkare E（λ），Bk（1）是B（1，1）- a） ，andYk，Zk，Bk（1）是相互独立的。此外，将X=Y=Z=0，P-a.s.添加到列表中，然后定义点processesTn=nXk=0Xk~ En（λ）n=0,1,2。Sn=λunXk=0Yk~ En（u）n=0,1,2。其中En（λ）是具有pdf’s和chf’sfn（x）=λ（λx）n的Erlang（伽马）定律-1（n）- 1)!E-λxx≥0 k k（u）=λλ - iunn=0,1,2。N Cufaro Petroni和P Sabino：能源设施6的协整跳跃，其中E=δ。最后，我们将用N（t）表示~ P（λt）和m（t）~ P（ut）是分别与tn和sn相关的依赖泊松过程，出于我们的目的，我们感兴趣的是找到pm的显式形式，n（t）=P{M（t）=M，n（t）=n}n，M=0，1，2。T≥ 为此，我们首先引入参数γ=aμλ和简写符号πk（α）=e-αkk！k=0，1。βl（n）=Nl一-l(1 - （a）ll ≤ n=0，1。对于泊松分布P（α），二项分布B（n，1- a） （据了解，β（0）=1）和移位Erlang定律的二项式混合l（λ） 然后我们证明（参见Cufaro Petroni和Sabino[9]）以下结果建议2.1。

如果γ≥ 1，即au≥ λ、 我们有PM，n（t）=0 n>m≥ 0Qn，n（t）m=n≥ 0Qm，n（t）- Qm，n+1（t）m>n≥ 0Qm，n（s，t）=mXk=n(-1） kmXj=kjkπm-j（ut）(-a） jnXl=0βl（n） πj+l（λt）Φ（j+1；j+l + 1.λt）当γ≤ 1，即au≤ λ、 我们有PM，n（t）=Am，n（t）- Am，n+1（t）+Bm，n（t）- 北马里亚纳州-1（t）n>m≥ 0An，n（t）- An，n+1（t）+Bn，n（t）+Cn，n（t）m=n≥ 上午0点，n（t）- Am，n+1（t）+Cm，n（t）- 厘米，n+1（t）m>n≥ 0我们定义每n，m≥ 0Am，n（t）=πm（ut）nXk=0βk（n）“1+πk（λt- aut）-kXj=0πj（λt）- aut）#而n≥ M≥ 0和λt- 简而言之，它是bm，n（t）=πm（ut）n-mXk=0πk华盛顿州n+1Xl=0βl（n+1）wlK（k+l )!Φl, k+l + 1,1 - 啊N Cufaro Petroni和P Sabino：能源设施7M和7M的协整跳跃≥ N≥ 它是（对于n=0，我们有Cm，0（t）=0）Cm，n（t）=e-(1-a） utamnXl=1βl（n） mXk=nl-1Xj=0k+l - J-1k(-1)l-1.-jπj（λt）πm+l-j（aut）Φ（k+l - j、 m+l - j+1，aut）和Φ（j+1；j+l + 1.λt）为0≤ l ≤ N≤ J≤ 事实上，Sabo和Sabicon函数都是超量函数。证明：参见Cufaro Petroni和Sabino[9]，包括Pm，n（s，t）=P{M（s）=M，n（t）=n}n，M=0，1，2。T≥ 0.注意，在边界情况γ=1中，前两个表达式一致地返回相同的结果。3.市场模型在本节中，我们将第2节中描述的模型与金融环境相适应。我们考虑一个常见的Black-Scholes（BS）市场和一个具有几何OrnsteinUhlenbeck（GOU）过程的市场，其跳跃类似于Cartea和Figueroa[1]采用的跳跃。

最后，我们重点讨论了具有双跳的Schwartz-Smith模型，它可以看作是一个具有跳的完全协整模型。此后，与第2节相比，N（t）和N（t）分别替换M（t）和N（t），λ和λ分别替换u和λ。3.1 GBM plus假设一个BS市场有两个风险标的资产，其动态由SDE驱动，具有以下解决方案（默顿模型）：Si（T）=exp对数Si（0）+ui-σiT+σiWi（T）+Ni（T）Xni=1log Jnii, i=1，2，（3），其中dW（t）dW（t）=ρ（W）dt和对数正态跳跃：Ji=Miexp-νi+νiZi, i=1,2。（4） 子在哪里~ N（0，1）和Corr（ZZ）=ρ（D）。我们假设复合泊松过程和BM是独立的。N Cufaro Petroni和P Sabino：能源设施的协整跳跃8我们现在关注对数：log Si（T）d=log Si（0）+ui-σiT+σiWi（T）+Ni（T）log Mi-νiNi（T）+νiNi（T）Xni=1Znii，i=1,2。（5） 上面的方程式可以改写为：log Si（T）d=log Si（0）+ui-σiT+Ni（T）log-Mi-νiNi（T）+qσiT+Ni（T）νiHi，i=1,2，（6），其中给定n和m，（H，H）~ N,1，ρ（J），n，mρ（J），n，m，1ρ（J），n，mca的计算可在附录A中找到。为简单起见，我们表示v（J，n）i（T）=σ（J，n）i= σiT+nνi=v（C）i（T）+v（D，n）i，（7）其中v（C）i和v（D）i注意连续和不连续部分的终端方差。如果SDE的连续部分具有与时间相关的波动函数，则很容易看出，通过替换v（C）i（T）byRTσi（s）ds，公式仍然有效。无套利条件意味着（见Joshi[3]第344页）：ui- r=-λiE[Ji-1] i=1,2。（8） 3.2 Ornstein-Uhlenbeck plus跳跃案例能源市场通常显示均值-r外翻和跳跃。