扑克诉讼游戏

（2011），《机会与诉讼》，波士顿大学公共利益法期刊，21（1）：45-59。Paul Klemperer（2000），“为什么每个经济学家都应该学习一些拍卖理论”，2000年8月在西雅图举行的经济计量学会世界大会邀请论文，可在线获取，URL=http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=241350!14!（最后一次访问时间为2012年12月12日）。哈罗德·W·库恩（1950），“简化的双人扑克”，摘自《哈罗德·W·库恩和阿尔伯特·W·塔克对博弈论的贡献》，普林斯顿，第一卷，第97-103页。史蒂文·卢贝特（2005），“边栏：游戏是律师的扑克”，诉讼，32（1）：59-70。史蒂文·卢贝特（2006），牛津律师扑克。McAdams，David L.（2012），“世界上最简单的扑克”，未发表论文，可在线获取，URL=http://cheeptalk.files.wordpress.com/2012/11/worlds-simplest-poker.pdf（最后一次访问时间为2012年12月12日）。纳什、约翰和劳埃德·S·沙普利（1950），“一个简单的三人扑克游戏”，哈罗德·W·库恩和阿尔伯特·W·塔克著，编辑，对博弈论的贡献，普林斯顿，第一卷，105-116页。约翰·纳什（1951），《非合作博弈》，数学年鉴，54（2）：286-295。奥斯本、马丁·J.和阿里尔·鲁宾斯坦（1994），麻省理工学院博弈论课程。Roth，Alvin E.和Michael W.K.Malouf（1979），“博弈论模型和信息在谈判中的作用”，《心理学评论》，86（6）：574-594。Roth，Alvin E.和J.Keith Murnighan（1982），“信息在谈判中的作用：一项实验研究”，计量经济学，50（5）：1123-1124。约翰·斯卡恩（1965），《卡片上的斯卡恩》，修订版，扩充版，皇冠。Silver，Nate（2012），《信号与噪音：为什么这么多预测都失败了，但有些预测没有，企鹅》。冯·诺依曼、约翰和奥斯卡·摩根斯坦（1953），《博弈论与经济行为》，第三版，普林斯顿。

作为旁白，我在本附录中陈述了解决扑克诉讼游戏（即在游戏中找到最佳或最佳策略）的初步尝试（但失败）。我把我的错误开始与游戏的正确解决方案进行了对比，我从大卫·麦克亚当斯和杰夫·伊利那里得到了正确的解决方案。总而言之，在我最初尝试解决游戏失败的过程中，我考虑了三种类型的玩家：“a型”玩家总是下高赌注，“b型”玩家总是下低赌注，以及“m型”玩家，他们的赌注取决于洞牌的价值。a型玩家首先，我认为a型玩家总是下高赌注，a型玩家只有在两个条件满足时才会输掉赌注：（I）当另一个玩家出价高，以及（ii）当他的牌的价值低于另一个玩家的牌时。！15!否则，a型玩家总是赢（根据上述规则#6c），因此，如果这样的玩家玩诉讼游戏无限次，当另一个玩家出价较高时，他的预期回报等于pa–（1–p）（a）之和，其中p是他的牌高于另一个玩家牌的概率，当另一个玩家出价较低时，他的预期回报等于+a。b型玩家接下来，我考虑了一个“b型”玩家，其策略是总是下低赌注，b。总之，一个b型玩家只有在满足两个条件时才能赢得游戏：（I）当他的牌的价值高于另一个玩家的牌时，以及（ii）当另一个玩家提交低出价时。否则，当这两个条件都不满足时，b型玩家将永远失败。

因此，如果一个b型玩家玩诉讼游戏无限次，当另一个玩家提交高出价时，他的预期收益等于-b和当另一个玩家提交低出价时pb（1-p）（-b）之和，其中p是他的牌高于另一个玩家牌的概率。m型玩家最后，我考虑了一个使用混合或概率策略的m型玩家，也就是说，当他的牌低于某个阈值（即0.5）时，他下注低b，当他的牌高于这个临界阈值时，他下注高a。48 m-type玩家在诉讼游戏中有很多赢或输的方法，这取决于其他玩家选择的策略和其他玩家的牌的价值。因此，我们发现m型玩家对a型玩家、b型玩家和其他m型玩家的预期收益如下：首先，m型玩家对a型玩家的预期收益，即总是出价高的玩家，等于以下值：E（m | a）=q（–b）+（1–q）[pa–（1–p）（–a）]，其中E（m | a）是m型玩家对a型玩家的预期回报，q是m型玩家的牌低于临界阈值0.5的概率，其中p是他的m型玩家的牌高于其他玩家的牌的概率。换言之，当与高赌注a型玩家博弈时，m型玩家在其洞牌价值低于临界阈值（即当q<0.5）时输掉赌注b，并以概率p赢+a，但当其洞牌价值超过临界阈值（即当q>0.5）时，以概率1输-a–p。

接下来，当m型玩家与b型玩家对抗时会发生什么，也就是说，一个总是下低赌注的玩家？在这种情况下，m型玩家的预期收益等于：E（m|b）=q[pb-（1–p）（b）]+（1–q）（b），其中E（m|b）是m型玩家对b型玩家的预期收益，q是m型玩家的牌低于阈值0.5的概率。在平原上！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！48!这种混合策略本质上是概率的，因为根据扑克诉讼游戏规则#2，一个人的洞牌的值是区间[0,1]上的一个统一独立随机数。！16!英语，当与低出价b型玩家比赛时，m型玩家以概率p赢得+b，但当他的洞牌价值低于临界阈值时，即当q<0.5时，他以概率1–p输掉赌注b，当他的洞牌价值超过临界阈值时，即当q>0.5时，他赢得+b的出价。第三也是最后一点，当一个m型球员与另一个m型球员比赛时会发生什么？也就是说，当他的对手也使用相同的混合策略或概率策略时会发生什么？现在，m型玩家的预期收益不仅取决于q，即m型玩家的牌低于临界阈值0.5的概率；他的预期回报也是r的函数，r是另一个玩家的牌低于阈值的概率。

正式地说，当与另一个m型玩家比赛时，一个m型玩家的预期收益等于以下值：E（m | m）=qr[pb-（1–p）（b）]+q（1–r）[b]+（1–q）（r）[b]+（1–q）（1–r）[pa-（1–p）（-a）]，其中E（m | m）是一个m型玩家对另一个m型玩家的预期收益，q是m型玩家的洞牌低于临界阈值0.5的概率，r是其他玩家的洞牌低于临界阈值的概率。因为这是一个很长的等式，我们将把它分解为四个组成部分，并用简单的语言解释每一部分的实质内容如下：qr[pb-（1-p）（b）]+q（1-r）[b]+（1-q）（r）[b]+（1-q）（1-r）[pa-（1-p）（-a）]场景#1场景#2场景#3场景#4请注意，这个冗长的预期收益等式的每一部分都对应于以下一个场景：四种可能的情况：1。场景#1——两名玩家的洞牌都低于临界阈值。2.场景#2-第一个m-type玩家的洞牌低于阈值；另一名玩家的洞牌高于阈值。3.场景#3-第一个m-type玩家的洞牌高于阈值，而另一个玩家的洞牌低于阈值。4.场景#4-两名玩家的洞牌都超过了临界阈值。因此，根据哪种情况发生，也就是说，根据玩家持有卡的值，m型玩家将获得以下回报：1。在场景#1中，m型玩家以概率p赢得+b，但以概率1–p.2输掉赌注b。在场景#2中，m型玩家输了——b.3。在场景3中，m型玩家赢得+b.4。在场景#4中，m型玩家以概率p赢+a，但以概率1-p输-a。

总而言之，在我解决扑克诉讼游戏的最初失败尝试中，我考虑了三种类型的玩家（或三种策略）——“a型”玩家总是下注高，“b型”玩家总是下注低，以及“m型”玩家，他们根据洞牌的价值高低下注，我还计算出了每种类型玩家策略的预期回报。但正是在这个阶段，我被“难住了”，无法确定哪种策略是最佳策略（因此，我无法找到哪种类型的玩家在这个游戏中获得了最高的预期回报）。！17!简言之，由于我无法用传统方法解决游戏，我转而求助于大卫·麦克亚当斯（David McAdams）优雅的解决方案来引导我走向正确的方向。