以破产惩罚最小化终生贫困

具体而言，如果c（w）≤ c（w）f或所有w∈a、 ws, 其中Ws是c的安全水平，然后是V（·；c=c）≤ V（·；c=c）打开a、 ws.（iv）V随危险率λ减小。（v） v随着风险资产的漂移而降低。在l（·）的不连续点d处，我们要求（3.2）保持在w=d- w=d+。（vi）V i nc与风险资产σ的波动性有关。证据为了证明（i），设0<ρ≤ ρ、 对于i=1,2，定义Vi（·）：=V（·；ρ=ρi）和Fi（·）：=F（·；ρ=ρi）。我们有F（w，V，（V）w，（V）ww）=0=F（w，V，（V）w，（V）ww），V（a）=ρ≤ ρ=V（a），V（ws）=0=V（ws）。因此，通过引理3.1，它遵循V≤ V.证明（ii），让l（w）≤ l（w）代表所有w∈ 对于i=1,2，定义Vi（·）：=V（·；l=li）和fi（·）：=F（·；l=li）。我们有f（w，V，（V）w，（V）ww）=l（w）- l（w）≥ 0=F（w，V，（V）w，（V）ww），V（a）=ρ=V（a），V（ws）=0=V（ws）。因此，根据Lemm a 3.1，V≤ V.属性（iii）-（vi）的证明是相似的，所以我们把它们留给读者。备注3.1属性（i）-（iii）具有直观意义，并易于从V的定义中理解。财产（iv）也源于V的定义；具体来说，如果λ增加，则贴现函数e-λtin（2.1）对于所有t≥ 0.从直观的角度来看，如果λ增加，那么个人更有可能死亡，从而减少在贫困中浪费时间或毁灭的机会。我们预计房地产（v）和（vi）将保持不变，因为增加u或减少σ意味着风险资产是一种更有效的投资，可以避免贫困和破产。在定义值函数V时，如果我们设置l≡ 0，则价值函数等于[14]中定义的终身破产的最小概率（乘以ρ）。因此→ 0，我们期望V接近寿命破产的最小-最小概率，这确实是事实，正如我们在下面引理的帮助下证明的那样。引理3.2修正ε>0。

让你，v∈ C（a，ws），除了在povertyfunction l（·）的不连续点，在该点上u和v是C的左导数和右导数。假设SUPW∈[a，ws]| F（w，u，uw，uw）- F（w，v，vw，vww）|<ε，（3.3）与F（w，u，uw，uww）<∞, 尽管如此，w∈ （a，ws）。如果u（a）=v（a）和u（ws）=v（ws），那么| u（w）- v（w）|<ε/λ∈ （a，ws）。证据如果[a，ws]上的u=u，那么证明就完成了。现在我们来处理[a，ws]上u 6=v的情况f。在不失去普遍性的情况下，我们可以假设-v达到严格正的最大值w∈ （a，ws）。如果WI是贫困函数的连续点，那么uw（w）=vw（w）和uww（w）≤ vww（w）。因为F（w，u（w），uw（w），uww（w））<∞, uww（w）>0或uw（w）=uww（w）=0。在前一种情况下，我们有-ε ≤ F（w，v（w），vw（w），vww（w））- F（w，u（w），uw（w），uww（w））=-λ（u（w）- v（w））- muw（w）（vww（w）- uww（w）uww（w）vww（w）<-λ（u（w）- v（w））；在l（·）的不连续点d处，我们要求（3.3）保持在w=d- w=d+。因此，u（w）- v（w）<ε/λ。在后一种情况下，我们有vw（w）=0和vww（w）≥ 0; 因此-ε ≤ F（w，v（w），vw（w），vww（w））- F（w，u（w），uw（w），uww（w））=-λ（u（w）- v（w））和u（w）- v（w）<ε/λ。如果w是贫困函数的间断点，那么上述论点适用于w- 或者w+。在下一个命题中，我们应用引理3.2证明（2.2）中的值函数V相对于贫困函数是连续的。命题3.2 V关于贫困函数l是连续的。具体而言，如果| l（w）-l（w）|<ε表示所有w∈ （a，ws）（对于所有的w>ws，l（w）=0=l（w），然后|V（·；l=l）- V（·；l=l）|<ε/λ，在[a，ws]上均匀分布。证据假设| l（w）- l（w）|<ε表示所有w∈ 定义Vi（·）：=V（·；l=li）和fi（·）：=F（·；l=li）表示i=1,2。我们有| F（w，V，（V）w，（V）ww）- F（w，V，（V）w，（V）ww）|=|0- （l（w）- l（w））|<ε。此外，V（a）=ρ=V（a），V（ws）=0=V（ws）。

因此，引理3.2得出| V- [a，ws]上的V |<ε/λ。下一个推论来自命题3.2。推论3.1设Vdenote为寿命破产时间ρ的最小概率。那么limklk∞→0V（w）=V（w），对于所有w∈ [a，ws]，其中kl k∞= 苏普∈[a，ws]| l（s）|。4分段常数贫困函数在本节中，我们重点讨论一个特定的贫困函数和两个消费函数。贫困函数由L（w）给出=l、 a≤ W≤ d、 0，w>d，（4.1），其中0<l≤ ρλ是贫困生活的运行成本，d>a是贫困水平。人们可以把（4.1）中给出的l（·）看作是非负、非递增函数的构建块。实际上，我们可以把任何这样的函数看作是形式Ln（w）=b+mnXi=1bi{a的函数递增序列的逐点极限≤W≤di}；例如，见Royden[13]。在第4.1节中，我们假设消费率是恒定的；在第4.2节中，我们假设消费率与财富成正比。我们在这两个部分的工作很容易扩展到l（·）由（4.1）给出，消费率在财富上是分段线性的情况。此外，我们期望第4.1.3节和第4.2.3节中关于最优投资策略的定性结果能够扩展到l（·）是任何非负、非递增函数的更一般情况，正如我们在第5.4.1节中讨论的，在本节中，我们解决了当r消耗为常数时的问题，即c（w）≡ c、 我们假设c>A；否则，最小化问题就无关紧要了。安全级别wsequalsc-在这种情况下，我们假设d<c-也就是说，贫困水平低于安全水平。我们首先分析一个辅助自由边界问题（FBP）。

然后，在第4.1.2节中，通过Legendre变换，我们将FBP与最小化贫困函数期望值的问题联系起来，并对终身破产进行惩罚。最后，在第4.1.3节中，我们研究了最优投资策略的性质。4.1.1相关自由边界问题考虑[0，ya]上的以下FBP，其中0<yd<ya，两者都有待确定。λ^L（y）=-（r）- λ） y^Ly（y）+my^Ly y（y）+（c- A） y+l1{yd≤Y≤ya}，^L（0）=0，^Ly（yd）=d，^L（ya）=aya+ρ，^Ly（ya）=a，（4.2），其中：=u - rσ.在下面的位置中，我们给出了FBP（4.2）的解。命题4.1[0，ya]上自由边界问题（4.2）的解由^L（y）给出=kyβ+c- 是的，是的∈ [0，yd），kyβ+kyβ+c- Ary+lλ，y∈ [yd，ya]，（4.3）其中：-C- 应收账- Dβy1-βd，（4.4）k:=-1.- ββ- βC- 应收账- A.y1-βa-ββ- βρ -lλY-βa，（4.5）k:=-β- 1β- βC- 应收账- A.y1-βa+β- βρ -lλY-βa，（4.6）β：=2mh（r- λ+m）+p（r- λ+m）+4λmi>1，（4.7）β：=2mh（r- λ+m）-p（r）- λ+m）+4λmi<0。（4.8）自由边界的比率yda:=ydya∈ （0，1）唯一解g（y）=0，其中g由g（y）=β（1）定义- β)C- 应收账- A.lλyβ-β+ (β- β)C- 应收账- A.ρ -lλyβ（4.9）- (β- β)C- 应收账- Dlλy1-β- (β- β)C- 应收账- Dρ -lλy+β（β- 1)C- 应收账- A.lλ，自由边界Ya可以用ydaviaya=ββ表示- 1lλy-β-da+ρ -lλC-应收账- a、 （4.10）自由边界yd=ya·yda。此外，^L是递增的、凹的和C的，除了y=yd，其中它是Cand，有左导数和右导数。证据我们首先展示了YDAA和YA的定义。为此，我们首先声明g in（4.9）在（0,1）中有唯一的零。实际上，gy（y）=（β- β)(1 - β） lλy-β+ρ -lλ·βC- 应收账- A.yβ-1.-C- 应收账- D.（4.11）由于β>β和ρ≥lλ，因此gy表达的前两个因素为正。第三个学期最多换签一次。

因此，g最多一次改变其单耳性。而且，因为g（0）=β（β- 1)C-应收账- A.lλ<0和g（1）=（β- β） （d）- a） ρ>0，由此可知，g in（4.9）在（0,1）中有唯一的零，因此YDAI定义良好。还要注意，ya>0是因为ρ>lλ，β>1，而a<c-应收账；因此，YD是积极的，比ya少。现在我们来证明（4.3）中给出的表达式确实是FfBP的解。首先，我们可以验证^L（y）=jyβ+jyβ+c-Ary+lλ{yd≤Y≤ya}解（4.2）中的微分方程，对于某些常数jand j.从^L（0）=0，我们推断当0时j=0≤ y<ya，来自^Ly（yd-) = d、 我们得到（4.4）。根据ya的边界条件，我们得到（4.5）-（4.8）。现在我们通过使用边界条件^L（yd+）=^L（yd），来证明^L是Cat y=d-) ^Ly（yd+）=d，我们得到：-C- 应收账- Dβy1-βd+β- βlλy-βd，（4.12）k=-ββ- βlλy-βd.（4.13）通过将（4.5）和（4.12）等价，我们得到了βda-β(1 - β)C- 应收账- A.对- ββ(β- β)ρ -lλ= -(β- β)C- 应收账- Dyd+ββlλ，从中得出thatya=-βhlλ+ρ -lλyβdai-(β- β)C-应收账- Dyda+β（1）- β)C-应收账- A.是的。（4.14）同样，通过将（4.6）和（4.13）相等，我们得到（4.10）。最后，通过将ya（4.10）和（4.14）的两个表达式相等，我们得到g（yda）=0。换句话说，yaare ydaare选择了^L是Cat y=d。我们现在证明了^L在[0，ya]上是增加的和凹的。因为^Ly（ya）=a≥ 0时，仅显示凹度是有效的，这是通过在[0，ya]上显示^Ly y<0来实现的。我们分别在[0，yd]和[yd，ya]上验证了后者。为了你∈ [0，yd），我们有^Ly y（y）=-(β- 1)C-应收账- Dyd史密瑟斯β-2，这是阴性的，因为β>1，d<c-阿弗利∈ （yd，ya），代数运算，加上（4.5），（4.6）和（4.10），得到^Ly y（y）∝ - (1 - β） lλy-βdaβ史密瑟斯β-β- β!- (β- β)ρ -lλ史密瑟斯β-β、 因为β>1，β<0，和ρ≥lλ。

4.1.2自由边界问题与贫困最小化之间的关系我们现在证明了FBP（4.2）的解（4.3）的勒让德变换是值函数V（2.2），从而为V提供了一个隐式表达式。因为^L是凹的，我们可以定义它的凸勒让德变换，如下面的命题。命题4.2定义^L on的凸勒让德变换0，c-应收账byL（w）：=max0≤Y≤ 耶^L（y）- 怀伊。（4.15）那么，当L（·）由（4.1）和c（·）给出时，L等于值函数V（2.2）≡ c、 证据。我们证明了L满足验证引理；因此，V=L。修正w∈0，c-应收账.最大化子y（w）解^Ly（y（w））- w=0。因此，y（w）=（^Ly）-1（w）=:I（w）。（特别是，从（4.2）可以得出y（a）=yaand y（d）=yd。）更一般地，我们得到lw（w）=-I（w）=-y（w）和Lww（w）=-1/^Ly y（y（w））。从这两个表达式可以看出，L是递减的且凸的0，c-应收账.通过替代y（w）=-Lw（w）转化为FBP（4.2）和d，通过使用在上述段落中获得的表达式，我们推导出在L上求解以下g BVP0，c-应收账.λL（w）=（rw）- （c）- A） ）Lw（w）- mLw（w）Lww（w）+l1{a≤W≤d} ，L（a）=ρ，L（c）-Ar=0。（4.16）第一个边界条件来自L（a）=^L（ya）- aya=ρ。要获得第二个边界条件，请注意，因为^L（y）-C-Ary是凹的，因为涡流^L（y）-C- 阿利y=0=^Ly（0）-C- Ar=0，由此得出^L（y）-C-Ary正在减少0，c-应收账. 因为我C-应收账= max0≤Y≤ 耶（耶）-C-因此，在yc达到最大值-Ar=0；在此之前，我C-应收账= 0.很明显，当l（w）由（4.1）和c（w）给出时，（4.16）相当于（2.3）≡ C

当消费率为常数时，下列定理为贫困函数的最小期望提供了一个隐式表达式，并对终身破产进行了惩罚。定理4.1当l（·）由（4.1）和c（·）生成时≡ c、 值函数V（2.2）等于V（w）=-k（β）- 1） yβ（w）+k（1）- β） yβ（w）+lλ，a≤ W≤ d、 β- 1βC- 应收账- DydC- A.- rwc- A.- 研发部ββ-1，d<w≤C-Ar，（4.17），最优投资策略以反馈形式b yπ给出*t=π*（W）*t） ，其中W*是最优控制的财富和π*定义为π*（w）=-u - rσkβ（β- 1） yβ-1（w）- kβ（1）- β） yβ-1（w）, A.≤ w<d，u- rσ（β）- 1)C-应收账- W, d<w≤C-Ar.（4.18）这里，kand kare分别由（4.5）和（4.6）以及y（w）给出∈ [yd，ya]是kβyβ的唯一解-1（w）+kβyβ-1（w）+c- Ar=w.（4.19）注意，在间隔d、 c-应收账, π*（w） 与经典终生破产问题（无贫困）中的最优策略相同；见[14，等式（11）]。定理4.1的证明。从命题4.2中，我们知道V=L。因此，充分证明L（w）等于（4.17）中的表达式。我们分别分析了这两个案例≤ W≤ d<w≤C-Ar.如果≤ W≤ d、 然后，根据（4.2）中的边界条件，ddyh^L（y）- 怀伊y=yd=^Ly（yd）- w=d- W≥ 0，（4.20）和ddyh^L（y）- 怀伊y=ya=^Ly（ya）- w=a- W≤ 0.（4.21）根据命题4.1，^L是凹的；因此，对于固定的w，函数^L（y）- wy也是凹的。从不等式（4.20）和（4.21）中可以看出，存在唯一的y（w），对于这两个不等式，人们基本上是平等的∈ [yd，ya]最大化^L（y）- wy和y（w）可被识别为（4.19）的唯一解。本案中的证据通过回顾（4.15）中L（w）的定义来完成。如果d<w≤C-Ar，然后再根据（4.2）中的边界条件（因为^L是Cat y=yd），ddy[^L（y）- [wy]y=yd=d- w<0。同样，对于固定的w，函数^L（y）- wy是凹的。

因此，存在唯一的y（w）∈ [0，yd）使^L（y）最大化- 王寅。具体而言，y（w）=C- A.- rw-kβrβ-1.然后，通过使用（4.4）和（4.15）中L和^L之间的关系，进行证明。4.1.3最优投资策略的性质在本节中，我们研究（4.18）中最优投资策略的性质；因此，在本节中，我们假设l由（4.1）和c（w）给出≡ c、 下面的命题提供了最优策略在每个区间（a，d）和（d）上单调作为财富函数的必要和充分条件d、 c-应收账.命题4.3设π*表示风险资产的最佳投资金额，如（4.18）所示。（i） π*随着w的增加而减少d、 c-应收账;（ii）π*在（a，d）中随w减小当且仅当（β）- 1)(β- β)ρ -lλyβda+（1）- β） lλhβ（β- 1） yβ-βda+β（1）- β） 我≥ 0; （4.22）（iii）π*在（a，d）中随w增加当且仅当（β）- 1)ρ -lλyβda+（1）- β)(β+ β- 1） lλ≤ 0.（4.23）（iv）如果（4.22）和（4.23）都不成立，则存在w∈ （a，d）使得π*在（a，w）中随w减小，在（w，d）中随w增大。证据性质（i）紧跟π的第二个表达式*在（4.18）中。我们现在证明性质（ii）-（iv）。首先，因为y（w）=-因为V是凸的，所以wy（w）<0。因此wπ*（w）∝Ykβ（β- 1） yβ-1.- kβ（1）- β） yβ-1.∝ kβ（β- 1） yβ-β+kβ（1）- β)∝ -(β- 1)β(1 - β） lλ+（β）- β)ρ -lλyβdayyaβ-β- β(1 - β） lλ=：p（y）。请注意，p（y）随y减小。因此，对于所有y，p（y）<0∈ （yd，ya）当且仅当p（yd）≤ 0，相当于不平等（4.22）。同样，对于所有y，p（y）>0∈ （yd，ya）当且仅当ifp（ya）≥ 0，相当于不平等（4.23）。最后，如果（4.22）和（4.23）都不成立，则存在y∈ （yd，ya）使得p（y）>0表示y∈ （yd，y）和p（y）<0表示y∈ （耶，耶）。通过将wequal设置为（4.19）左侧的表达式，第（iv）项如下。

接下来，我们研究π*随模型的某些参数而变化。最后，我们从一个关于yda的引理开始。引理4.1自由边界的比率yda满足以下不等式。yda>C- A.- rdc- A.- 拉β-1，（4.24）由此得出，Y随l增加，随ρ减少。证据因为ydais是由（4.9）给出的g的（0，1）中的u nique 0，并且因为g（0）<0和g（1）>0，所以不等式（4.24）成立当且仅当ifgC- A.- rdc- A.- 拉β-1!< 0，相当于C- A.- rdc- A.- 拉β-ββ-1<1，这是真的。因此，我们证明了不等式（4.24）。将g（yda）=0与l完全区分，得到0=gy（yda）伊达l+g（y）Ly=yda；（4.25）因此，由于gy（yda）>0，表明yda随l增加，这就足以表明g（y）Ly=yda<0。这是显而易见的g（y）Ly=yda=-l（β- β)ρC- 应收账- A.yβda-C- 应收账- D伊达, （4.26）由于不平等而为负（4.24）。关于ydadereduces与ρ的证明是相似的，所以我们省略了它。当贫困的惩罚f相对于破产的惩罚ρ增加时，我们期望最优投资策略随着l的增加而增加（随着ρ的增加而减少），因为个体有更大的脱贫动机，而对风险资产进行更大的投资是实现这一目标的最佳方式。（回想一下，我们假设ρ≥lλ，这样个人就不会希望经济自杀。）命题4.4风险资产的最佳投资金额π*（w） 对于w，随着ρ（弱）增加，随着l（弱）增加，随着ρ（弱）减少∈ （a，d）且与l和ρ无关∈d、 c-应收账.证据很明显，从π的表达式*在（4.18）上d、 c-应收账, π*在这个区间上独立于l和ρ。因此，我们重点展示π*（w） 在cr中，l代表w∈ （a，d）。首先，我们证明π*（a+）随着l的增加而增加。

通过使用方程（4.5），（4.6）和（4.10），我们得到π*（a+）=u- rσ（β）- 1)C- 应收账- A.(1 - β） lλy-β-da+ρ -lλlλy-β-da+ρ -lλ. （4.27）将该表达式与l区分开来，以获得π*（a+）L∝ ρ - βlρ -lλ伊达伊达l、 这是正的，因为β<0，并且Y随着引理4.1中的l而增加。因此，π*（a+）随着l的增加而增加。接下来，我们证明π*（d）-) 随着l的增加而增加。通过使用方程（4.12）、（4.13）和（4.10），我们得到π*（d）-) =u - rσ（β）- 1)\"C- 应收账- D- βC- 应收账- A.lλlλy1-β-da+ρ -lλ伊达。（4.28）将该表达式与l区分开来，以获得π*（d）-)L∝ ρyda- L(1 - β） lλy-β-da+ρ -lλ伊达L∝ (β- 1)C- 应收账- A.yβ-1da>0，其中第二行从（4.25）、（4.26）和（4.11）开始。因此，π*（d）-) 随着l增加。接下来，我们推导出π的微分方程*关于（a，d），我们用它来表示π*（弱）在该时间间隔内随l增加。将（4.16）中的微分方程改写如下：；我们用V代替LλV=（rw）- c+A）+u- rπ*Vw+l。将该表达式与w区分开来，将两边除以Vw，然后重新排列结果以获得u- rπ*w=λ- r+m+u- rσrw- c+Aπ*. （4.29）最后，支撑姿势l≤ l、 让πi（·）=π*（·；l=li）表示i=1，2。我们希望证明π（w）≤ π（w）表示所有w∈ （a，d）。相反地，假设某个时间点的π（w）>π（w）∈ （a，d）；那么，因为π（a+）<π（a+）和π（d-) < π（d）-), 因此π- πtakesa在某些w处的正最大值∈ （a，d）。那么，0=u- r（（π）w（w）- （π） w（w））=u- rσ（rw）- c+A）π（w）-π（w）> 0，矛盾。因此，π≤ πin（a，d）。类似的证明表明π*（w） （弱）随着w的ρ减小∈ （a，d），所以我们省略了这个证明。