以破产惩罚最小化终生贫困

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英文标题：
《Minimizing Lifetime Poverty with a Penalty for Bankruptcy》
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作者：
Asaf Cohen, Virginia R. Young
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We provide investment advice for an individual who wishes to minimize her lifetime poverty, with a penalty for bankruptcy or ruin. We measure poverty via a non-negative, non-increasing function of (running) wealth. Thus, the lower wealth falls and the longer wealth stays low, the greater the penalty. This paper generalizes the problems of minimizing the probability of lifetime ruin and minimizing expected lifetime occupation, with the poverty function serving as a bridge between the two. To illustrate our model, we compute the optimal investment strategies for a specific poverty function and two consumption functions, and we prove some interesting properties of those investment strategies.
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中文摘要：
我们为个人提供投资建议，以减少其一生的贫困，并对破产或破产进行处罚。我们通过财富的非负、非增长函数来衡量贫困。因此，财富越低，财富越低，惩罚就越大。本文推广了寿命破产概率最小化和期望寿命占用最小化问题，贫困函数是两者之间的桥梁。为了说明我们的模型，我们计算了一个特定贫困函数和两个消费函数的最优投资策略，并证明了这些投资策略的一些有趣性质。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Minimizing_Lifetime_Poverty_with_a_Penalty_for_Bankruptcy.pdf (282.44 KB)

2022-5-9 04:19:24 上传

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关键词：Optimization Differential Quantitative Applications Probability

用破产惩罚最小化终生贫困Asaf Cohen*弗吉尼亚·R·杨+美国密歇根大学数学系，48109，2018年8月6日摘要我们为希望最大限度地减少终生贫困的个人提供投资建议，并对其破产或破产进行处罚。我们通过财富的非负、非递增函数来衡量财富。因此，财富越低，财富越长，惩罚就越大。本文推广了最小化寿命破产概率和最小化期望寿命占用率的问题，并用公共函数作为两者之间的桥梁。为了说明我们的模型，我们计算了一个特定贫困函数和两个消费函数的最优投资策略，并证明了这些投资策略的一些有趣性质。JEL学科分类。C61，G02，G11。关键词。贫穷破坏起跳时间；最优投资；随机控制。1简介在稀缺[12]中，Mullainathan和Sha Fir描述了研究人员如何直接测量生活在金钱、时间或其他资源稀缺中的人的智力或带宽的减少。这种所谓的带宽税是贫困迫使人们集中精力解决资源短缺问题的结果。在这篇论文中，我们为那些希望尽可能减少其一生贫困的个人提供投资建议，并对其破产或毁灭进行惩罚。

我们通过财富的非负、非增长函数来衡量贫困。因此，财富越低，财富越低，惩罚就越大。在大多数关于贫困的工作中，目标是衡量收入或财富在整个人群中的分布情况。在那篇文献中，重点是贫困在一群个体中的分布，而不是像我们在本文中所做的那样，控制给定个体的贫困。换句话说，我们的问题是微观经济学，而不是宏观经济学。*网状物：https://sites.google.com/site/asafcohentau/，电邮：shloshim@gmail.com+网络：http://dept.math.lsa.umich.edu/people/facultyDetail.php?uniqname=vryoung，电邮：vryoung@umich.eduSee[9]和[10]获取这一研究领域的大量参考文献。本文是默顿文集[11]中许多人的观点，因为我们优化了个人投资于Black Scholes市场的目标函数，即一个无风险资产以恒定利率赚取利息，一个风险资产价格遵循几何布朗运动的市场。默顿模型中的个体寻求最大化消费和终端财富的预期效用，而我们模型中的个体则最小化了预期的“贫困”，这是通过（流动）财富的非递减函数来衡量的，而不是消费或终端财富的非递减函数。在我们的模型中，个体的消费率是给定的，但她选择如何投资，以便在其一生中将贫困最小化。我们通过使用价值函数的一阶和二阶导数（即最小预期贫困，并对破产进行惩罚）来描述最优投资政策，而这又是一个（非线性）一阶微分方程的解。我们证明了一般贫困和消费函数的价值函数的比较统计。

此外，对于贫困函数和两种类型的消费函数的具体选择，我们计算了价值函数和最优投资政策的（半）显式表达式。对于这些特殊情况，我们使用凸勒让德变换来确定价值函数和相应的最优投资策略。从数学上讲，我们的问题与追求目标的文献中的问题密切相关，比如最小化终身破产的概率，最大化实现遗赠目标的概率，最小化预期终身职业（即财富保持在agiven水平以下的时间），或者最小化终身缩减或预期终身支出缩减的概率。事实上，本文推广了最小化寿命ru In概率和最小化预期终身职业的p问题，贫困函数充当了两者之间的桥梁，如我们在下面的备注2.1中所讨论的。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们描述了金融模型，并定义了最小化对财富的负、非递增函数的期望的问题，即所谓的贫困函数，以及破产惩罚。在这一部分的末尾，我们给出了一个验证引理，用于解决优化问题。在第三节中，我们证明了一般贫困函数的价值函数的一些性质，在第四节中，我们重点讨论了一个特殊的贫困函数和两个消费函数。第五部分总结全文。2模型在第2.1节中，我们介绍了个人投资的金融市场，并定义了个人希望最小化的成本函数。

然后，在第2.2节中，我们提出了用于解决个体控制问题的平均引理。2.1背景和问题陈述我们研究的是一个人的模型，他在黑市上连续交易，没有交易成本。允许借贷和卖空。该市场由两种资产组成：早期参考见Young[14]，近期参考见Bayraktar和Zhang[8]。Bayraktar和Young[7]以及Bayraktar等人[4]。贝拉克塔尔和杨[6]。Chen等人，CLLL2015，Angoshtari等人[2]和Angoshtari等人[1]。无风险资产和风险资产。无风险资产的价格遵循确定性DYNAMICSDXT=rXtdt，其中r>0是恒定的无风险回报率。风险资产的价格遵循几何布朗运动，由dst=St（udt+σdBt）给出，其中u>r，σ>0，和（Bt）t≥0是过滤概率空间上的标准布朗运动(Ohm, F、 F={Ft}t≥0，P），其中fti是σ（Bu:0）的增大≤ U≤ t） 。让WT表示个人在t时的投资账户财富≥ 0.让πt表示在时间t投资于风险资产的美元金额≥ 0.投资政策{πt}t≥如果是满足RTπsds<∞几乎可以肯定，尽管如此≥ 0.我们假设个人净消费率下的th等于c（w）- A、 其中c（w）是财富等于w时的消费率，A≥ 0是固定的收入率。第4节，我们假设c（w）是财富的连续、非递减函数；在第4节。2.我们考虑两种特定的消费率：恒定消费率c（w）=c和比例消费率c（w）=κw。

然后，财富过程遵循动态dWt=[rWt+（u）- r） tπ- c（Wt）+A]dt+σπtdBt，t≥ 0，W=W。财富第一次达到a，我们称之为破产水平，即τa=inf{t≥ 0:Wt≤ a} 。个人希望避免生活在贫困中，并在其一生中避免破产或毁灭。设τdbe为个体的随机死亡时间，与驱动风险资产p-rice过程的布朗运动d无关。我们假设τdis呈指数分布且危险率λ>0，即P（τd>t）=e-λt.个人寻求在可接受的投资策略上最小化以下成本。J（w；{πt}）：=EwZτa∧τdl（Wt）dt+ρ·1{τa≤τd}（2.1）=EwZ∞λe-λtZτa∧tl（Ws）dsdt+ρe-λτa= 电子战Zτae-λtl（Wt）dt+ρe-λτa,其中，以W=W为条件的Ewdenotes期望，l（·）是一个非负、非递增的函数，用于衡量生活在贫困中的经济和物质成本，dρ>0是对终生破产的恒定惩罚。我们称l（·）为贫困函数。如果我们允许ρ<l（a+）λ，那么个人可能会发现，通过让自己的财富下降到破产水平，而不是继续生活在贫困中，进行经济自杀是有利的。因此，为了防止经济自杀，我们假设ρ≥l（a+）λ贯穿本文。人们可以解释差异ρ-l（a+）λ作为破产的净惩罚，即，在一个人的余生中不在贫困中（接近a）而在破产的惩罚的净额。此外，我们假设l（a+）>0；否则，l（·）≡ 我们的问题相当于最小化终生破产的可能性。由V（w）定义的函数V:=inf{πt}J（w；{πt}）（2.2）是函数的值，在该函数中，我们最小化了过度容许的投资策略。注2.1在[6]中，Bayraktar和Young研究了本文中问题的一个特例，即所谓的终身职业问题。

他们将财富低于0的预期时间最小化，如果财富低于某个非常低的水平，“游戏”就会结束，-[6]中的L。因此，如果设置ρ=1/λ，l（w）=1{w<0}，a=-五十、 那么，V in（2.2）加上0以下的现有时间等于[6]中定义的最低使用寿命。注意，通过设置l（w）=1{w≤0}，我们测量财富在0以下的运行时间，通过设置ρ=1/λ，我们假设一旦财富达到a=-五十、 然后，个体在贫困中度过余生，预期时间为1/λ。人们可以更普遍地将职业定义为在给定的时间间隔内花费的时间，比如[a，d]，对于破产级别a。如果我们考虑支持存在于[a，d]中的贫困函数，那么本文中的问题将两个看似无关的问题联系起来：用年轻人[14]定义的破产级别a最小化终生破产的可能性，以及最小化[a，d]的预期终身职业。实际上，在一个极端，如果我们设置ρ=1/λ和l（·）≡ [a，d]上的0，则V（2.2）等于寿命破产的最小概率的1/λ倍。相应的最优投资策略不会因这种规模而改变。在另一个极端，如果给定ρ=1/λ，我们在[a，d]上设置尽可能大的l（·），具体地说，l（w）=1{a≤W≤d} ，那么V（2.2）等于区间[a，d]的最小寿命占用。

同样，我们假设，如果财富达到a，那么个人在贫困中度过余生，预期时间为1/λ。备注2.2在本文中，我们假设消费率c（·）是财富对（a，∞) 贫困函数l（·）是财富对（a，∞) 有很多不连续的点，所以存在一个独特的ws∈ （a），∞] 对于whichrw<c（w）- A、 对于所有w<w，rw>c（w）- A、 对于所有w>w，andl（w）=0，对于所有w>w。我们允许ws=∞, 例如，如果c（w）=κw，κ>r，那么情况就是这样≥ 那么我们可以为所有t设置πt=0≥ 0，这意味着DWT=（rWt- c（Wt）+A）dt≥ 0.在这种投资策略下，财富不会减少，因此不会发生终身破产，个人也不会因贫困而受到惩罚。因此，我们称之为安全水平。2.2验证引理本节，我们提供了一个验证引理，将值函数描述为边值问题的唯一解。我们不证明这个定理，因为它的证明与文献中的其他定理相似；例如，参见[5]。每π∈ R、 定义以下微分算子LπbyLπf:=（rw+（u- r） π- c（w）+A）fw+σπfww- λf，其中f是一个二次可微函数。引理2.1假设K=K（w）是一个C函数，它在[a，ws]上是递减的和凸的（贫困函数l（·）的不连续点除外，在这里它是C，并且有左和右导数）。

假设K满足下列边值问题。infπ{LπK（w）+L（w）}=0，a<w<ws，K（a）=ρ，K（ws）=0。（2.3）然后，由（2.2）定义的价值函数V等于[a，ws]上的K，风险资产的最佳投资金额由π以反馈形式给出*t=-u - rσ·Kw（W）*t） Kww（西）*t） 尽管如此，t∈ [0，τa∧ τd]，其中W*3.价值函数的性质在本节中，我们假设，对于给定的消费率c（·）和贫困函数L（·），边值问题（BVP）（2.3）有一个递减的凸解（除了贫困函数的不连续性，这里是c）。当我们在第4节中查看c（·）和l（·）的特定函数形式时，我们构造了BVP的解，但在本节中，我们按照给出的解进行求解。此外，在没有歧义的情况下，我们为该解写V，因为验证引理2.1确保（2.3）的适当解等于值函数。我们在本节中证明了值函数的性质。为此，定义微分器F byF（w，K，Kw，Kw）=λK- infπ（rw+（u）- r） π- c（w）+A）千瓦+σπ千瓦- l（w），（3.1）和使用F重写BVP（2.3），如下所示。F（w，K，Kw，Kww）=0，K（a）=ρ，K（ws）=0。注意，F随K增加，随Kww减少。这些单调性性质允许我们证明下面的比较引理。当ws=∞, 边界条件K(∞) = 0应理解为limw→∞K（w）=0。引理3.1让u，v∈ C（a，ws），除了贫困函数l（·）的不连续点，其中u和v是C的左右导数。假设f（w，u，uw，uw）≤ F（w，v，vw，vww），（3.2）带F（w，u，uw，uw）<∞, 尽管如此，w∈ （a，ws）。如果你（a）≤ v（a）和u（ws）≤ v（西），thenu（西）≤ v（w）代表所有w∈ （a，ws）。证据

首先，如果u的最大值- v出现在（a，ws）的边界上，但不在内部，然后是u≤ v在内部，因为u≤ 假设v在边界上。第二，ifu- v在（a，ws）的内部达到一个非正的最大值，那么我们也有u≤ v在内部。第三，俯卧撑- v在w处达到一个严格的正最大值∈ （a，ws）。如果w是贫困函数的连续点，那么uw（w）=vw（w）和d uww（w）≤ vww（w）。因为（w，u（w），uw（w），uw（w））<∞, uww（w）>0或uw（w）=uww（w）=0。在前一种情况下，我们有0≤ F（w，v（w），vw（w），vww（w））- F（w，u（w），uw（w），uww（w））=-λ（u（w）- v（w））- muw（w）（vww（w）- uww（w））uww（w）vww（w）<0，一个矛盾。在后一种情况下，我们有vw（w）=0和vww（w）≥ 0; 因此，0≤ F（w，v（w），vw（w），vww（w））- F（w，u（w），uw（w），uww（w））=-λ（u（w）- v（w））<0，矛盾。如果w是贫困函数的一个不连续点，那么上述论点适用于w- 或者w+。在下一个命题中，我们应用引理3.1来说明（2.2）中的值函数V如何随模型的各种输入而变化。V的许多特性直接来源于它的定义；然而，我们发现，向感兴趣的读者展示如何使用比较引理证明这些性质是有益的。在这个命题中，当我们看到“增加”或“减少”时，我们指的是弱或非严格意义上的。命题3.1（i）V随着破产ρ的惩罚而增加。（ii）V随着贫困函数l的增加而增加。具体而言，如果l（w）≤ l（w）代表所有w∈ （a，ws）（对于所有的w>ws，l（w）=0=l（w），然后V（·；l=l）≤ V（·；l=l）。（iii）V随着消耗函数c的增加而增加。