以破产惩罚最小化终生贫困

在一个相关的结果中，我们将th表示为l→ 0+, π*探讨了最小化终身破产概率的最优投资策略。提案4.5liml→0+π*（w） =π（w），对于所有w∈a、 c-应收账, 其中π（w）：=u-rσ（β）- 1)C-应收账- W当c（w）时，是最小化终身破产概率的最优投资策略≡ c、 证据。对于w来说，结果是明确的∈d、 c-应收账因为π*（w） =π（w）表示所有w∈d、 c-应收账.对于w∈ （a，d），π*由w=a+时的值和（4.29）中的微分方程确定。注意，在微分方程中，π*wdepends仅通过π在参数l上*.因此，这足以表明liml→0+π*（a+）=π（a+），这在（4.27）中是清晰的，因为→0+y-β-da∈ [0, 1]. 备注4.1注意，当l=0时，不等式（4.22）严格成立；因此，当l足够小时，π*随着w的开启（a，d）而减小。换句话说，当l足够小时，π*在（a，d）上的行为类似于π*随w减小，且“接近”π。作为命题4.4和命题4.5的推论，我们观察到，在我们的模型中，投资于风险资产的最佳金额比简单地最小化终身破产概率时更大。a<w<d，π的推论4.1*（w） >π（w），对于d<w<c-Ar，π*（w） =π（w）。特别是π*（d）-) > π*（d+）。证据这个结果紧随命题4.4和命题4.5，因为当贫困惩罚l=0时，π是最优策略。备注4.2因为π*（w） =π（w）对于w>d，当她不贫困时，个人在投资中是近视的。也就是说，当财富达到a级破产时，她投资的唯一惩罚就是ρ。

在他们的结论中，Mullainathan和Sha fir[12]假设，当资源丰富时（对于我们的问题，w>d），存在着癌症的种子，因为人们目光短浅地浪费他们的资源，稀缺发生得比人们在资源丰富时更有效地使用他们的资源更快。另一方面，π与破产水平无关；因此，我们也可以说，当财富达到d>a，即贫困水平时，我们的个人投资就好像她将得到全额惩罚一样。4.2比例消费率在本节中，我们解决了当比例消费率与财富成正比时的优化问题，即c（w）=κw。我们假设e为κ>r，a>aκ-避免心房病例；参见[14]中的第4.1节。在按比例消费的情况下，没有安全水平；更准确地说，ws=∞.该分析与第4.1节中的分析类似。具体地说，我们首先研究了一个辅助的FBP，然后将其与最小化贫困函数期望的问题联系起来，通过Legendre变换对终身破产进行惩罚。最后，研究了最优投资策略的性质。

只要证明与第4.1节中相应的证明相似，我们就忽略它们。4.2.1相关自由边界问题考虑[0，za]上0<zd<za的以下FBP，两者都有待确定。λ^M（z）=-（r）- κ - λ） z^M（z）+mz^Mzz（z）- Az+l1{zd≤Z≤za}，^M（0）=0，^Mz（zd）=d，^M（za）=aza+ρ，^Mz（za）=a，（4.30），其中，与之前一样，M=u - rσ.在下面的位置中，我们给出了FBP（4.30）的解。命题4.6[0，za]上FBP（4.30）的解由^M（z）给出=kzγ+Aκ- rz，z∈ [0，zd），kzγ+kzγ+Aκ- rz+lλ，z∈ [zd，za]，（4.31），其中：=D-Aκ- Rγz1-γd，k:=1- γγ- γA.-Aκ- Rz1-γa-γγ- γρ -lλZ-γa，（4.32）k:=-1.- γγ- γA.-Aκ- Rz1-γa+γ- γρ -lλZ-γa，（4.33）γ：=2mh（r- κ - λ+m）+p（r- κ - λ+m）+4λmi∈ （0,1），γ：=2mh（r- κ - λ+m）-p（r）- κ - λ+m）+4λmi<0。自由边界的比率zda:=zdza∈ （0，1）唯一解h（z）=0，其中h由h（z）=- γ(1 - γ)A.-Aκ- Rlλzγ-γ- (γ- γ)A.-Aκ- Rρ -lλzγ（4.34）+（γ- γ)D-Aκ- Rlλz1-γ+ (γ- γ)D-Aκ- Rρ -lλZ- γ(γ- 1)A.-Aκ- Rlλ，自由边界Za可以用zdaviaza=γ1表示- γlλz-γda+ρ -lλA.-Aκ-r、 （4.35）自由边界zd=za·zda。此外，^M i是递增的、凹的和C，除了在z=zd处，在z=zd处，C具有左导数和右导数。证据这个证明类似于命题4.1的证明。ZDAA和zaarewell的参数已经确定。实际上，hz（z）=（γ- γ)(1 - γ） lλz-γ+ρ -lλ·-γA.-Aκ- Rzγ-1+D-Aκ- R.（4.36）由于γ>γ和ρ≥lλ表示，hz表达式的前两个因子为正。第三个学期最多换签一次。因此，h在mostonce改变其单调性。而且，因为h（0）=γ（1- γ)A.-Aκ-Rlλ<0和h（1）=（γ- γ） ρ（d）- a） >0，则h in（4.34）在（0,1）中有唯一的零，因此ZDAI定义良好。

还要注意的是，由于ρ>lλ，γ<1，以及a>aκ，所以za>0-R因此，ZD为正，小于za。（4.31）中的表达式（以及上述定义的Za和zd）解决了FfBP的论点与命题4.1的证明中的论点几乎相同；因此，我们省略它。^M是递增的和凹的证明也是相似的。主要区别在于^Mzz的明确表达。为了z∈ [0，zd），我们有^Mzz（z）=-(1 - γ)D-Aκ-Rzdzzdγ、 这是阴性的，因为γ<1，d>Aκ-r、 为了z∈ （zd，zA），代数操作，连同（4.32），（4.33）和（4.35），产生^Mzz（z）∝ - (1 - γ） lλz-γdaγzzdγ-γ- γ!- (γ- γ)ρ -lλzzdγ-γ、 这是负值，因为γ>0，γ<0，和ρ≥lλ。4.2.2自由边界问题与贫困最小化之间的关系在本节中，我们证明了FBP（4.30）的解（4.31）的勒让德变换是（2.2）中给出的值函数，从而为其提供了一个重要的合法表达式。因为^M是凹的，我们可以定义它的凸勒让德变换，如下面的命题所示。命题4.7定义[0]上^M的凸勒让德变换，∞) byM（w）：=max0≤Z≤扎伊姆（z）- wzi。然后，当l（·）由（4.1）和c（w）=κw证明给出时，M等于值函数V（2.2）。在命题4.2的证明中，V=M的结论表明M满足验证引理的条件。证明之间的主要差异在于w=ws时的边界条件。具体来说，我们需要展示limw→∞M（w）=0。对于w<d，我们有dzh^M（z）- wziz=zd=^Mz（zd）- w=d- w<0，所以z（w）最大化^M（z）-wz位于（0，zd）和satis^Mz（z（w））- w=0。接下来是z（w）=W-Aκ-rkγ-1.-γ、 M（w）=^M（z（w））- wz（w）=k（1）- γ)W-Aκ-rkγ-γ1-γ.因此，limw→∞根据要求，M（w）=0。

当消费率与财富成正比时，下列定理为贫困函数的最小期望值的值函数提供了一个隐式表达式，并对终身破产进行了惩罚。这个证明类似于定理4.1中关于e的证明，所以我们省略了它。定理4.2当l（·）由（4.1）表示，c（w）=κw时，值函数V（2.2）等于V（w）=k（1）- γ） zγ（w）+k（1）- γ） zγ（w）+lλ，a≤ W≤ d、 一,- γγD-Aκ- RzdW-Aκ-研发部-Aκ-R-γ1-γ、 w>d，最优投资策略以反馈形式byπ给出*t=π*（W）*t） ，其中W*是最优控制的财富和π*定义为π*（w）=u - rσkγ（1）- γ） zγ-1（w）+kγ（1）- γ） zγ-1（w）, A.≤ w<d，u- rσ（1）- γ)W-Aκ-R, w>d（4.37），在这里，kand kare分别给出了BY（4.32）和（4.33）以及z（w）∈ [zd，za]是kγzγ的唯一解-1（w）+kγzγ-1（w）+Aκ- r=w.4.2.3最优投资策略的性质在本节中，我们研究（4.37）中最优投资策略的性质；因此，在本节中，我们假设l（·）由（4.1）和c（w）=κw给出。以下命题表明，该策略随着财富在每个区间（a，d）和（d）上的增加而增加，∞).命题4.8（4.37）中给出的风险资产的最佳投资金额随（a，d）和（d）中的w而增加，∞).证据π*随着w的增加（d，∞) 紧跟π的第二个表达式*（w） 在（4.37）中。现在，考虑一下w∈ （a，d）。在命题4.3的证明中，我们观察到了这一点，因为z（w）=-Vw（w），因为V是凸的，所以wz（w）<0。因此wπ*（w）∝Z-kγ（1）- γ） zγ-1.- kγ（1）- γ） zγ-1.∝ kγ（1）- γ） zγ-γ+kγ（1）- γ)∝ (1 - γ)γ(1 - γ） lλ+（γ）- γ)ρ -lλzγda阿扎γ-γ- γ(1 - γ） lλ>0。接下来，我们研究π*随模型的某些参数而变化。

最后，我们从一个关于zda的引理开始。引理4.2自由边界之比zda满足以下不等式。zda>d（κ）- r）- Aa（κ- r）- A.γ-1，（4.38），由此得出Zdain随l增大，随ρ减小。证据因为zdai是由（4.34）给出的h的（0，1）中唯一的零，并且因为h（0）<0和h（1）>0，所以不等式（4.38）成立当且仅当ifhd（κ）- r）- Aa（κ- r）- A.γ-1!> 0，相当于d（κ）- r）- Aa（κ- r）- A.γ-γγ-1<1，这是真的。因此，我们证明了不平等性（4.38）。将h（zda）=0与l完全微分，得到0=hz（zda）zdal+h（z）Lz=zda；（4.39）因此，因为hz（zda）>0，为了表明Zdain随l增加，就足以表明h（z）Lz=zda<0。这是显而易见的h（z）Lz=zda=l（γ）- γ)ρA.-Aκ- Rzγda-D-Aκ- Rzda, （4.40）由于不平等（4.38）而为负。zdadecreates与ρ的证明是相似的，所以我们省略了它。当贫困的惩罚f相对于破产的惩罚ρ增加时，我们期望最优投资策略随着l的增加而增加（随着ρ的减少），因为个体有更多的动力摆脱贫困，如第4.1.3节所示。命题4.9风险资产的最佳投资金额π*（w） 对于w，随着ρ（弱）增加，随着l（弱）增加，随着ρ（弱）减少∈ （a，d）且与l和ρ无关∈ （d），∞).证据很明显，从π的表达式*在（d）的（4.37）中，∞), π*与该间隔上的陆地ρ无关。因此，我们重点展示π*（w） w随l增加∈ （a，d）。首先，我们证明π*（a+）随l增加。通过使用方程（4.32）、（4.33）和（4.35），我们得到π*（a+）=u- rσ（1）- γ)A.-Aκ- R(1 - γ） lλz-γda+ρ -lλlλz-γda+ρ -lλ.

（4.41）将该表达式与l区分开来，以获得π*（a+）L∝ ρ - γlρ -lλzdazdal、 这是正的，因为γ<0，zDain随引理4.2中的l而增加。因此，π*（a+）随着l的增加而增加。接下来，我们证明π*（d）-) 通过找到kand-kanalogousto方程（4.12）和（4.13）的表达式，以及（4.35），我们得到π*（d）-) =u - rσ（1）- γ)\"D-Aκ- R- γA.-Aκ- Rlλlλz1-γda+ρ -lλzda#。（4.42）将该表达式与l区分开来，以获得π*（d）-)L∝ ρzda- L(1 - γ） lλz-γda+ρ -lλzdaL∝(1 - γ)A.-Aκ-Rz1-γda-γA.-Aκ-Rzγ-1da+D-Aκ-R> 0，其中第二行从（4.39）、（4.40）和（4.36）开始。因为分子和分母都是正的，所以这个不等式成立，其中后者从hz（zda）>0开始；见下文（4.36）中的论点。因此，π*（d）-) 随着l的增加。与（4.29）平行，我们有以下π的微分方程*关于（a，d），我们用来证明π*（弱）在该时间间隔内随l增加。u - rπ*w=λ- r+κ+m+u- rσ（r- κ） w+Aπ*. （4.43）假设≤ l、 让πi（·）=π*（·；l=li）表示i=1，2。我们希望证明π（w）≤ π（w）表示所有w∈ （a，d）。相反，假设π（w）>π（w）对于某些w∈ （a，d）；那么，因为π（a+）<π（a+）和π（d-) < π（d）-), 因此π- π在某个点取正最大值∈ （a，d）。那么，0=u- r（（π）w（w）- （π） w（w））=u- rσ（（r- κ） w+A）π（w）-π（w）> 0，矛盾。因此，π≤ πin（a，d）。类似的证明表明π*（w） （弱）随着w的ρ减小∈ （a，d），所以我们省略了这个证明。在一个相关的结果中，我们将th表示为l→ 0+, π*探讨了最小化终身破产概率的最优投资策略。提案4.10liml→0+π*（w） =π（w），对于所有w∈ （a），∞), 其中π（w）：=u-rσ（1）-γ)W-Aκ-R当c（w）时，是最小化终身破产概率的最优投资策略≡ κw.证明。

对于w来说，结果是明确的∈ （d），∞) 因为π*（w） =π（w）表示所有w∈ （d），∞). 福鲁∈ （a，d），π*由w=a+时的值和（4.43）中的微分方程确定。注意，在微分方程中，π*wdepends仅在参数l v iaπ上*. 胡斯，这足以证明liml→0+π*（a+）=π（a+），从（4.41）中可以清楚看出，因为liml→0+y-β-da∈ [0, 1].作为命题4.9和命题4.10的推论，与推论4.1平行，我们观察到π*（w）≥ π（w）。备注4.2中的注释也适用。a<w<d，π的推论4.2*（w） 大于π（w），对于w>d，则为π*（w） =π（w）。特别是π*（d）-) > π*（d+）.5结论我们确定了一个人的最佳投资策略，该策略旨在最大限度地减少预期的终身贫困，并对给定的贫困函数、非负的、非递减的财富运行函数进行破产惩罚。我们的工作与优化投资相关，以最大化消费或终端财富的预期效用；然而，我们认为，与效用函数相比，个体更容易选择贫困函数。因此，我们认为，将预期终身贫困最小化，并对破产进行惩罚，比最大化预期效用更为客观。对于第4.1节中考虑的具体案例，我们证明了最优投资策略随贫困水平l而增加，随破产惩罚ρ而减少。我们希望这些属性能保持更普遍的贫困和消费功能。

也就是说，如果l（·）≤ l（·）或如果ρ≥ ρ、 然后我们期望π（·）≤ π(·).对于第4.1节中考虑的具体案例，我们证明，当财富高于贫困水平d时，个人会进行最佳投资，就好像她在最小化自己生命毁灭的可能性，这是一个短视投资的例子。在许多其他的目标寻求问题中，我们观察到了Such近视。事实上，Bayraktar和You ng[3]发现了最佳投资策略，以最小化持续消费和无借贷约束投资下终身破产的可能性，也就是说，个人在风险y资产上的投资不允许超过我们对更普遍的贫困和消费函数的预期。也就是说，如果l（w）≡ 对于d<w<ws，对于某些d∈ （a，ws），则我们期望最优投资策略将等于在相同消费函数下使终生破产概率最小化的投资策略。她现在的财富。在这种约束下，当约束没有约束时（特别是在更高的财富水平上），个人投资就好像约束不存在一样。最近，Bayraktar等人[4]和Bayraktar及Young[7]分别确定了最佳投资策略，以最大限度地提高在有和没有人寿保险的情况下实现遗赠目标的概率。在不购买人寿保险（特别是在较低的财富水平上）是最佳选择的财富地区，投资者会像不购买人寿保险一样进行双重投资。最后，Angoshtari等人[1]最小化了预期寿命，即一个人的财富花费低于最大财富的某个倍数。结果表明，在提取现金时，最优投资策略与最小化相同财富间隔的预期寿命占用的策略相同。

此外，他们还表明，当个体不处于下降状态时，最优投资策略与最小化寿命下降概率的策略是相同的。我们推测，在追求目标的问题中，关于约束和机会的短视投资是规则，而不是例外。参考文献[1]巴赫曼·安戈什塔里（Bahman Angoshtari）、埃尔汉·贝拉克塔尔（Erhan Bayraktar）和弗吉尼亚·R·杨（Virginia R.Young）。在按比例消耗的情况下，最大限度地减少消耗的预期寿命。工作文件，密歇根大学，2015年。[2] Bahman Angoshtari、Erhan Bayraktar和Vir ginia R.Young。在恒定消耗下最小化寿命下降的概率。工作文件，米希根大学，2015年。[3] E.Bayraktar和V.R.Young。在借款约束下最小化终身破产概率。《保险：数学与经济学》，第41（1）：196–221页，2007年。[4] 埃尔汉·贝拉克塔尔，S·戴维·普罗米斯洛，弗吉尼亚州d·R·杨。购买人寿保险以在消费时达到遗赠目标。工作文件，密歇根大学，2015年。[5] Erhan Bayraktar和Virginia R.Young。一生最低财富与消费效用之间的对应关系。《金融与随机》，11（2）：213–236，2007年。[6] Erhan Bayr aktar和Virginia R.Young。优化投资策略，最大限度地减少占用时间。运筹学年鉴，176（1）：389-4082010。[7] Erhan Bayraktar和Virginia R.Young。最佳投资以达到遗赠目标。工作文件，密歇根大学，2015年。[8] 二汉·贝拉克塔尔和张宇冲。在模糊厌恶下最小化终生破产的概率。暹罗控制与优化杂志，53（1）：58-902015。[9] 萨蒂亚·R·查克拉瓦蒂。不平等、两极分化和贫困：分配分析的进展。斯普林格·维拉格，纽约，2009年。[10] 彼得·J·兰伯特。收入的分配和再分配。