具有期权和期权的指数Levy模型的效用最大化

我们用W（2）t来代替X（2）t，因为这两个变量是双射的。但这种替换也意味着我们应该在最大效用公式中将g（v）替换为exp{（uT+σv}。在这种情况下，α定律显然与N（0，T）无关。我们看到假设（H1）和（H2）得到了验证。事实上，过程X（1）和X（2）是可积的，它们都具有严格的正密度。特别是，众所周知，对于t>0:f（t，x），W（2）是严格正密度的W.r.t.勒贝格测度=√2πtexp{-x2t}是C1，2b([, ∞[）任何 > 此外，我们使用正规相关定理得到Pvt=dPvTdPT（X）=TT- ρT1/2exp-（五）- ρXT）T- ρT-及物动词.24效用最大化然后，我们把这个量写成随机指数vt（X）=expZTβv，PsdXcs-ZT（βv，Ps）ds,其中X是正则过程，我们推导出P-a.s.和fort∈ [0，T]（23）βv，Pt=ρv- ρXctT- ρt。经过计算，我们得到了条件信息量。提议6。（参考文献[10]）对于熵、Kullback-Leibler信息和Hellinger型积分，我们有：I（Pv | Qv，*) =自然对数TT- ρT+Tμσ+ρvT-ρT2T，I（Qv，*|Pv）=-自然对数TT- ρT+T2（T- ρT）μσ+ρvT+ρT2（T）- ρT），H（q）T（v）=TT- qρT1/2T- ρTTq/2exp-问题（1）- q） T2（T- qρT）σ+vTμρ.最后，为了知道效用的最大值，我们使用了定理2，其中α是N（0，T）。一些跳跃型模型（W（1），W（2））是相关ρ，|ρ|的两个标准布朗运动≤ 1.设N为强度λ>0的齐次泊松过程，与（W（1），W（2）无关。我们计算xt=ut+σW（1）t+Nt，t∈ [0，T]，X（2）T=uT+σW（2）T，T∈ [0，T]且T>T。该选项将由g（X（2）T）支持，其中g是R上的可测非负函数。使用与第4节中相同的参数，我们使用W（2）tin代替X（2），将g（v）替换为∧g（v）=exp{（uT+σv}。

我们可以用与前一节相同的方式验证假设（H1）和（H2）。此外，pvT（X）=dPvTdPT（X）=（TT- ρT）1/2exp-（σv）- ρXcT）σ（T- ρT）-及物动词效用最大化，其中X正则过程对应于X（1），Xc是其连续鞅部分。将最后一个表达式写成随机指数，我们发现P-a.s.和t∈ [0，T]（24）βv，Pt=ρ（vσ）- ρXct）σ（T- ρt）。由于N和W（2）是独立的，我们注意到这里的Yv，P=1。在下面的引理中，我们给出了Girsanov参数（βv，*, 伊夫，*) 将测量值变为Qv，*.引理1。Girsanov参数（βv，*, 伊夫，*) 等价f散度极小鞅测度Qv，*求下列方程的解：（1）对于对数效用和f（x）=-ln（x）λσ（Yv，*T- 1） +μσ+βv，Pt-伊夫，*t+1=0，βv，*t=1-伊夫，*t、 （2）对于指数效用和f（x）=x ln（x）- x+1λσ（Yv，*T- 1） +μσ+βv，Pt+ln（Yv，*t） =0，βv，*t=ln（Yv，*t） ，（3）对于电力设施和f（x）=-xqqλσ（Yv，*T-1） +μσ+βv，Pt+1- q[1-（Yv，*t） q-1] =0，βv，*t=1- q[1-（Yv，*t） q-1] .证明：结果来自定理3、4和5。对于以Yv表示的λv，*s、 我们用u，c和cbyσ代替b，我们加入了N的补偿器，它等于λδ，其中δ是点1处的δ函数。我们还考虑到l（1）=1.2我们用^f表示一个新的凸函数，该凸函数通过关系^f（x）=f（x）+x与前一个凸函数相关(-^f）-1是^f.命题7的芬切尔-勒让德共轭^u的导数。然后我们有Yv的以下表达式，*:（1） 对于对数效用yv，*t=σ√λ^Iσ√λβv，Pt+μσ+1-λσ,26指数效用的效用最大化（2），*t=σλ^Iβv，Pt+μσ+ln（σλ）-λσ,（3） 对于电力利用率yv，*t=σ(1 - q） λ2.-q^Iσ(1 - q） λ1.-问题2-Q(1 - q） （βv，Pt+σ）-λσ) + 1!.证明：这些公式直接来自前面的引理。

为了获得它们，有必要对Y进行缩放，即引入一个新函数U，使Y=cU，然后选择c来表示L。h、 通过函数^I.2的位置8。对于信息量，我们有以下表达式：I（PvT | QvT）=ZTEPvTσ（βv，*（t）- λ（ln-Yv，*T- 伊夫，*t+1）dt，I（QvT | PvT）=ZTEQvTσ（βv，*t） +λ（Yv，*tln Yv，*T- 伊夫，*t+1）dt，H（q）（v）=ERvTexpZT（q（1）- q） （βv，*（t）- λ（（Yv，*t） q- qYv，*t+q-1)dt.证明：信息量的表达式可以通过第2节命题1、命题2和命题3中给出的信息过程，从一般表达式中轻松获得。2最后，为了获得最大预期效用，我们当然使用定理2，其中α为N（0，T）。参考文献[1]J.Amendinger，D.Becherer，M.Schweizer（2003）投资组合优化中初始信息的货币价值。金融与随机，7，29-46。[2] J.伯顿。（1996）《列维过程》，剑桥大学出版社。[3] T.R.Bielecki，M.Jeanblanc（2009）可违约索赔的差异定价。在“差异定价：理论与应用”（ed.R.Carmona）中，普林斯顿大学出版社。[4] S.Biagini，M.Frittelli，M.Grasselli（2011）《一般半鞅的独立价格》，数学金融，第21/3卷，423-446。[5] R.Carmona（2009）差异定价。理论与应用。普林斯顿大学出版社。效用最大化27[6]S.Cawston，L.Vostrikova（2014）指数L’evy模型中最优投资组合的f-散度方法。在《受金融启发：音乐节》中，余编。卡巴诺夫等人，湛江斯普林格，2014，83-101。[7] S.Cawston，L.Vostrikova（2013）f-散度最小等价鞅测度的L’evy保持和相关性质。在“Prokhorovand当代概率论”中，Ed.A.N.Shiryaev等人，柏林斯普林格，2013，163-196。[8] 埃伯林。

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