金融时间序列的多尺度度量

理论值在测量值下方括号内的b oldface中报告。MRW平原松露ed^B-0.0090 ± 0.00 06(-0.015)-0.0273±0.00 06（0）^H（0.5）0.514±0.001（0.5225）0.541±0.001（0.5）^H（1）0.509±0.001（0.515）0.527±0.001（0.5）表1：带τ∈ [1, 19].我们检查了间隔期间增加点数不会改变结果。帽子的符号表示帽子下数量的估计器。MRW平原松露ed^B-0.014 ± 0.002(-0.015)-0.002±0.002（0）^H（0.5）0.521±0.005（0.5225）0.503±0.005（0.5）^H（1）0.514±0.005（0.515）0.502±0.005（0.5）表2：带τ的普通a和a-edMRW^B、^H（0.5）和^H（1）之间的比较∈ [30, 25 0].从表中可以明显看出，区域τ∈ [1,19]对于MrW，在证实[22]的结果后，标度指数的非线性增加，而在τ区域∈ [30250]这种影响消失了，而且从统计学上看，舒松露过程似乎与BM没有区别。根据其定义（见第2节），shu-free-ed MRW是一个具有幂律尾的不相关对称时间序列。有鉴于此，tBM模型可能会给我们一些进一步的指示。在下一小节中，我们将重点介绍这个模型。4.1. 幂律尾的影响让我们在这里报告了存在幂律尾时的估计量^B、^H（0.5）和^H（1）。在图1中，我们报告了τ的标度指数ζ（q）的计算结果∈ [1,19]对于n:n的各种值，采用10个步骤的学生创新实现过程的单个实现∈ [1,5]每0个。5个单位（cfr公式3）。蓝色实线表示合成时间序列的测量标度指数，而红色虚线表示理论预测（见等式（4）和（6））。很明显，一旦n从1移开，ζ（q）的曲率就出现。

但同样明显的是，当尾指数增加到n=2以上时，曲线图变得更加线性，明显的线性度恢复到n=5以上。值得注意的是，经验测量的所有指数都在[2,5]范围内，这是数值偏差最大的。为了进行定量评估，对于每一个n=3、4、5的值，我们模拟了10个步骤组成的10个BM，计算了所有n.Tabs值的平均值和标准偏差^B、^H（0.5）和^H（1）。3和4分别报告τ的数值结果∈ [1,19]和τ∈ [30250]（黑体字的理论值，带测量值d下的拍）。tBM n=3 n=4 n=5^B-0.0364 ± 0.0007(0)-0.0251 ± 0.0005(0)-0.0186±0.0005（0）^H（0.5）0.570±0.001（0.5）0.544±0.001（0.5）0.531±0.001（0.5）^H（1）0.552±0.001（0.5）0.531±0.001（0.5）0.522±0.001（0.5）表3：用n=3、4、5和τ计算的^B、^H（0.5）和710h（1）时间序列的平均值和标准差∈ [1, 19].tBM n=3 n=4 n=5^B(-9 ± 2) · 10-3(0)(-4 ± 2) · 10-3(0)(-2 ± 2) · 10-3（0）^H（0.5）0.517±0.005（0.5）0.506±0.005（0.5）0.503±0.005（0.5）^H（1）0.513±0.005（0.5）0.504±0.005（0.5）0.502±0.005（0.5）表4：用n=3、4、5和τ计算的^B、^H（0.5）和710h（1）时间序列的平均值和标准差∈ [30, 250].让我们注意到在τ的范围内∈ [1,19]在1%的显著水平下，由于在所有情况下都存在幂律尾，而在τ范围内，发现了多重标度行为∈ [30250]只有在n=3的情况下，其凹度保持在1%的显著水平，但与其他区域相比仍然非常低。

因此，后一个区域的测量结果似乎更符合理论上的校准行为。0.2 0.4 0.6 0.8 1ζ（q）00.20.40.60.81数值标度指数理论标度指数0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81数值标度指数理论标度指数0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81数值标度指数理论标度指数0.2 0.4 0.6 0.8 1ζ（q）00.20.40.60.60数值标度指数理论标度指数0.2 0.8100.20.40.60.81数值标度指数理论标度指数0.20.40.6 0.8 100.20.40.60.81数值标度指数理论标度指数SQ0.2 0.4 0.6 0.8 1ζ（q）00.20.40.60.81数值标度指数理论标度指数SQ0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.60.81数值标度指数理论标度指数SQ0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81数值标度指数从顶部到底部，指数从0.5增加到0.5，指数从0.5增加到0.5，指数从0.5增加到0.5，指数从0.5增加到0.5，指数从0.5增加到0.5。4.2. 自相关的影响为了分离自相关的贡献并消除尾部的影响，我们对MRW应用了标准化程序。该方法包括将一个时间序列的无条件分布改变为一个期望的分布，保留其因果结构，如[21]中所述。在我们开始之前，我们需要强调一个细节。如果经验时间序列具有幂律尾，而替代项为正态分布，则第二个时间序列的自协方差具有与第一个时间序列相同的函数形式，但其强度降低。

这可以简单地归因于这样一个事实，即极端e喷口在平均值的计算中起到了很大的作用，因此，将其标准化可以降低each滞后时的相关性强度。通过在同一个图上绘制半对数标度，可以很容易地看出这种影响[32]中提出的函数，用于估算MRW及其标准化版本（nMRW）的MRW参数。这在半对数标度的图2中显示，我们观察到原始时间序列的自方差很好地遵循了理论行为（[32]）C（T）=Cov[ln | rτ（T+T）|，ln | rτ（T）|]=λlnLT+1, （13） 而归一化的有效值λ较小。很明显，相对于标准化过程的直线斜率小于相对于普通过程的直线斜率（绝对值）。普通过程的Ln（滞后）0 1 2 3 4 5 6 70.10.20.30.40.50.6C（T）的行为规范化过程的C（T）图2：普通（蓝色）和规范化（红色）路径的对数绝对收益的自协方差函数，从λ=0.3，L=1000，σ=1的10步MRW绘制。τ的标度指数ζ（q）∈ [1,19]图3中报告了在标题中规定的不同自相关度λ的10步NMRW的单个实现中，L=1000和σ=1。

如前所述，归一化后λ的有效值略低于标题中报告的值，因此绘制理论线，重新计算归一化过程中的λ值。0.2 0.4 0.6 0.8 1ζ（q）00.20.40.60.81数值标度指数理论标度指数0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81数值标度指数理论标度指数0.2 0.4 0.6 0.8ζ（q）00.20.40.60.81数值标度指数理论标度指数0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81数值标度指数理论标度指数ζ（q）（蓝线）相对于λ=[0.1,0.2,0.3,0.4]的nMRW的理论值（红色线），从左到右和从上到下递增。我们观察到，在所有情况下，函数ζ（q）都会改变其凹度。为了进行定量评估，对于λ=0.03、0.04、0.05的每一个值，我们模拟了由10个步骤组成的10个RW，我们对它们进行了归一化，并计算了^B以及^H（0.5）和^H（1）的平均值和标准偏差。塔布斯。5和6报告τ的数值结果∈ [1,19]a和τ∈ [30250]与测量值下方的黑体字理论预期值一起。λ的有效值，在表中称为λeffin，其影响^B、^H（0.5）和^H（1），可从等式中获得。

（13） 通过拟合每个标准化时间序列的自方差，然后取平均值和标准偏差。λ=0.03λ=0.04λ=0.05λeff0。0223±0.0005 0.0279±0.0007 0.0330±0.0008^B0。0075 ± 0.0005(-0.0111 ± 0.0003)0.0085 ± 0.0005(-0.0139 ± 0.0003)0.0093 ± 0.0006(-0.0165±0.0004）^H（0.5）0.489±0.001（0.5167±0.0004）0.487±0.001（0.5209±0.0005）0.486±0.001（0.5247±0.0006）^H（1）0.492±0.001（0.5111±0.0003）0.491±0.001（0.5139±0.0003）0.490±0.001（0.5165±0.0004）表5：7105的平均值和标准偏差，7105±0.0004，用σrw=1计算出的7105和7105±0.1; H（1）和标准偏差∈ [1, 19].λ=0.03λ=0.04λ=0.05λeff0。0223±0.0005 0.0279±0.0006 0.0330±0.0008^B-0.007 ± 0.002(-0.0111 ± 0.0003)-0.009 ± 0.002(-0.0139 ± 0.0003)-0.010 ± 0.002(-0.0165±0.0004）^H（0.5）0.511±0.005（0.5167±0.0004）0.513±0.005（0.5209±0.0005）0.515±0.005（0.5247±0.0006）^H（1）0.507±0.005（0.5111±0.0003）0.508±0.005（0.5139±0.0003）0.509±0.005（0.5165±0.0004）表6：7105的平均值和标准偏差，7105±0.0004，用σrw=1计算出7105±0.1; H（1）和σrw=1）∈ [30, 250].这些结果证实了τ区域内标度指数凹度的变化∈ [1, 19]. 事实上，我们在Tab中观察到。6.在1%的显著水平内，所有^B保持阳性。^B的正值意味着函数ζ（q）的凸性，在多重分形图中，函数ζ（q）应该是凹的。区域τ∈ [30250]在所有三种情况下，凹标度指数均在1%的点火水平内，表现得更好，尽管仅λ=0.05（最相关）时，测量值d^B略低于预期值的1%显著水平。5.对真实数据集的分析。1.数据集我们关注的数据集是1900年1月2日至2000年12月29日的道琼斯工业平均指数（Indu），每日数据为25366点。我们在图中报道。

4τ的矩的比例（cfr公式（1））∈ [1,19]和τ∈ [30250]以蓝色实线及其线性虚线表示。lnτ0.5 1 1.5 2 2.5 3-5-4.5-4-3-2.5-2-1.5-1-0.5lnτ3 3.5 4.5 5 5 5.5 6-3.5-3-2.5-2-1.5图4：左窗格l：用τ缩放印度时间序列的矩∈ [1, 19]. 右面板：用τ对印度河时间序列的矩进行缩放∈ [30, 250]. q值每隔0.1个单位以[0.1,1]的间隔取值，在两个面板中从上到下递增。在图5中，再次报告了τ（蓝色c罗斯）两个区域的标度指数ζ（q）；很明显，EQ.12（红色虚线）的抛物线形状似乎完全捕捉了经验行为。q0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.10.20.30.40.50.60.7标度指数拟合曲线q0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.20.30.40.60.7标度指数拟合曲线图5：左窗格l：带τ的工业时间序列标度指数∈ [1, 19].右面板：带τ的印度河时间序列的标度指数∈ [30,25 0]该时间序列显示出幂律尾，我们使用[36,37]中提出的方法，基于最大似然估计和Kolmogorov-Smirnov检验，计算了尾的衰减指数。图6显示了对数标度中左尾和右尾的互补累积分布。对于x轴上的左尾，报告负回报的对数。尾部指数的估计值为α左=3.20±0.05α右=3.61±0.06；（14） 它们在误差范围内是不同的，因此时间序列表现出偏态。

然而，我们验证了偏度对测量的多重分形没有影响。x-5-4-3-2-1-5-4-3-2-1经验累积分布拟合曲线x-5-4-3-2-1-5-4-3-2-1经验累积分布拟合曲线图6:Le-ft面板：工业时间序列的左尾。右面板：印度河时间序列的右尾翼。5.2. 为了揭示数据集多尺度行为的来源，我们使用了两个程序：为了隔离幂律尾的影响，使用了两个程序：一个是shu-freing（cfr.[22]），另一个是归一化（cfr.[21]），以隔离自相关的影响。我们首先关注的是τ区域∈ [1, 19]. 我们所做的第一项测试是比较印度tBM的标度指数，以检查经过实验测量的多标度行为是否都可以归因于幂律尾的存在。为了做到这一点，我们对印度时间序列进行了10次压缩。我们从这个时间序列中得到了标准偏差。然后，我们将这些值与在10tBM上计算^B、^H（0.5）和^H（1）得到的值进行比较，这些值具有相同的工业时间序列长度，并与较重的经验值（即α左）相匹配。第二个测试是在标准化后检查工业时间序列的行为，以测试经验数据的凹度变化是否成立。然后我们将时间序列标准化10次，计算^B、^H（0.5）和^H（1）的平均值和标准偏差。结果见表1。

7以及在普通时间序列上计算的^B、^H（0.5）和^H（1）值。INDU INDUshuff LedunormalizedDBM^B-0.019-0.039 ± 0 .003 0.0026 ± 0.0005 -0.034±0.004^H（0.5）0.552 0.572±0.007 0.5082±0.0008 0.563±0.007^H（1）0.541 0.551±0.006 0.5092±0.0006 0.546±0.007表7：普通、标准化工业时间序列a和带τ的t-Student∈ [1, 19].根据这些模拟，我们证实了之前的结果，即在模拟后，实际数据的测量多重扫描行为增加了τ∈ [1,19]（见[22]）。此外，从统计上看，这一增加的价值显然无法与tBM的价值区分开来，后者是无标度的。这一结果使我们推断，在舒氏经验时间序列上测量的多尺度应仅归因于幂律尾的存在。标准化后的时间序列在标准化后改变其凹度（在1%显著水平内保持正值），表明之前在MRW中观察到的相同问题。现在让我们把注意力转向τ区域∈ [3 0, 250]; 结果报告在选项卡中。8.INDU INDUSHUF LEDINDUIDENTBM^B-0.038-0.01 ± 0.01 -0.0036 ± 0.0007 -0.014±0.007^H（0.5）0.624 0.53±0.03 0.6244±0.0006 0.52±0.02^H（1）0.605 0.52±0.03 0.6229±0.0005 0.52±0.02表8：带τ∈ [30, 250].我们首先观察到结果发生了很大变化。第二，在1%的显著水平内，可以认为时间序列是单标度的，就像tBM一样，因此多重性没有增加。第三，标准化时间序列保持其凹性，因此不再受到前面提到的负偏差的影响。因此，这表明金融时间序列中存在无统计意义的多尺度行为。6.

讨论我们的分析提供了明确的证据，证明标度指数的估计受聚集视界的影响。我们选择了两个区域：1）τ∈ [1,19]，这与之前的工作和2）τ一致∈ [30, 250]. 我们观察到对区域τ的分析∈ [1,19]不要重现对具有幂律尾或自相关结构的时间序列的理论预期，如经验预期。我们还发现，TBM和nMRWs上的标度ζ（q）出现了意外的凹陷。这些结果与之前对实时序列的观察结果一致，实际上使我们能够给出一个解释。特别是在[22]中，作者认为，真实数据中存在的自动相关性可能会导致标度指数的估计出现负偏差。根据我们的解释，ζ（q）的凹度变化（见表7）正是负偏差的影响。有鉴于此，在[22]中测量到的多尺度行为的增加归因于这样一个事实，即一个多尺度时间序列的因果结构随着负偏差本身而被破坏，只剩下幂律尾效应，导致多尺度行为的明显增加。关于区域τ∈ [30，250]我们观察到，与在τ中进行的测量相比，在tBM过程和INDU时间序列上发现的虚假多尺度更低∈ [1,19]区域，n=4,5和印度河的统计平均值。此外，ζ（q）r的凸度变为凹度，几乎消除了负偏压效应。