金融时间序列的多尺度度量

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英文标题：
《Measuring multiscaling in financial time-series》
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作者：
Riccardo Junior Buonocore, Tomaso Aste, Tiziana Di Matteo
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We discuss the origin of multiscaling in financial time-series and investigate how to best quantify it. Our methodology consists in separating the different sources of measured multifractality by analysing the multi/uni-scaling behaviour of synthetic time-series with known properties. We use the results from the synthetic time-series to interpret the measure of multifractality of real log-returns time-series. The main finding is that the aggregation horizon of the returns can introduce a strong bias effect on the measure of multifractality. This effect can become especially important when returns distributions have power law tails with exponents in the range [2,5]. We discuss the right aggregation horizon to mitigate this bias.
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中文摘要：
我们讨论了金融时间序列中多尺度的起源，并研究了如何最好地量化它。我们的方法是通过分析具有已知特性的合成时间序列的多/单标度行为来分离测量多重分形的不同来源。我们使用合成时间序列的结果来解释真实日志返回时间序列的多重分形度量。主要发现是，收益率的聚合范围会对多重分形的度量产生强烈的偏差效应。当收益分布具有指数在[2,5]范围内的幂律尾时，这种效应可能变得尤为重要。我们讨论了减轻这种偏见的正确聚合范围。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Measuring_multiscaling_in_financial_time-series.pdf (311.97 KB)

2022-5-9 05:19:38 上传

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关键词：金融时间序列 时间序列 Multifractal Applications distribution

衡量财务时间序列中的多尺度。J.Buonocorea，T.Asteb，T.Di Matteoa，伦敦国王学院数学系，Strand，伦敦WC2R 2LS，英国计算机科学部，伦敦大学学院，伦敦高尔街，伦敦WC1E 6BT，英国摘要我们讨论多尺度金融时间序列的起源，并研究如何最好地量化它。我们的方法是通过分析具有已知特性的合成时间序列的多/单标度行为，分离测量多重分形的不同来源。我们使用合成时间序列的结果来解释真实日志返回时间序列的多重分形度量。主要发现是，收益的聚合范围会对多重分形的测量产生强烈的偏差影响。当收益率分布与指数在[2,5]范围内呈幂律分布时，这种影响可能变得尤为重要。我们讨论了右聚集视界来消除这种偏差。关键词：多尺度，多重分形，中心极限定理，幂律尾，自相关。1.引言金融时间序列的多重分形行为已成为文献中公认的典型事实之一（见[1,2,3,4,5]）。许多研究致力于其实证特征[6,7,8,9,10,11]，报告了其在金融市场存在的有力证据，以及模型[12,13,14,15,16,17,18,19]。理解金融市场中衡量多重分形的根源仍然是一个开放的研究挑战。这个问题首先在[20]中提出，作者指出幂律尾和分析时间序列的自相关必须是测量多重分形的两个来源。

在第一种情况下，多重分形行为是收益无条件分布广泛的结果；而在第二种情况下，多重分形行为与时间序列的因果结构有关。在[20]之后，许多论文研究了这两个来源对测量多重分形的相对贡献，但不存在一致性。例如，在[21]中，作者指出，自相关结构对测量的多重分形影响较小，而幂律尾是其主要来源。在[22]中，他们还报告了powe rlaw尾巴的主要贡献，但他们也指出，未知自相关的存在可能会在邮件地址riccardo_junior中引入负偏差效应。buonocore@kcl.ac.uk（R.J.Buonocore）提交给爱思唯尔的预印本多重分形量化。相反，在[23]中，作者发现自动关联是主要贡献，而对于特定的时间序列，“极端事件实际上不利于多重分形标度”。这种不一致激发了我们的工作，导致我们研究测量多重分形的来源以及如何检测它。在本文中，我们通过使用合成时间序列来量化这两个贡献，其中这两个贡献可以分离。具体来说，我们分析了布朗运动，创新点来自t-Student分布、多重分形随机游动和多重分形随机游动的规范化版本。将这些合成系列上测得的多重分形与真实财务日志回报和去除重尾时真实日志回报的标准化版本上的多重分形进行了比较。结果表明，聚合视界对多重分形的量化有很大影响。

然而，我们验证了聚合视界的某些区域可用于实际提取可靠的多重分形估计量。论文的其余部分按以下方式组织：第二节。2.我们进行了一次文献回顾，介绍了我们用于分析的工具，并讨论了以前工作的结果。以秒计。3.我们回顾了我们使用的理论模型，并定义了本文中应使用的多重分形估计量。秒。4和5分别致力于艺术和真实数据的分析。以秒计。6.我们在第二节讨论结果。7.我们总结结果并得出结论。2.背景2。1.多重分形在用于经验测量标度指数的方法中，在这项工作中，我们将只使用广义赫斯特指数法（GHE），参见[4,20,24]，它依赖于增量分布的qth阶矩的直接标度测量，并且被证明是最可靠的估计量之一[25]。让我们把X（t）称为具有固定增量的过程。GHE方法考虑了以下增量函数[|X（t+τ）- X（t）|q]=K（q）τqH（q），（1），其中τ是计算增量的时间范围，H（q）是广义赫斯特指数。函数ζ（q）=qH（q）是凹函数，k（q）也依赖于q。特别是，GHE考虑等式（1）ln（E[|X（t+τ）的对数- X（t）|q]）=ζ（q）ln（τ）+ln（K（q）），（2），如果与ln（τ）的线性关系成立，则计算不同q处直线的斜率。斜率的计算方法如下：对于每个q，采用τ计算若干线性系数∈ [τmin，τmax]，通常τmin=1，τmax的几个值通常在[5,19]之间；ζ（q）的输出估计器是给定q的这些值的平均值。

此方法还提供了一个示例。代码可在以下位置找到：http://www.mathworks.com/matlabcentral/Fi leexchange/30076广义赫斯特指数。误差是这些值的标准偏差。然而，在本文中，我们没有对τmin，τmax的不同值进行任何平均，而是只考虑给定范围τ的一个线性函数∈ [τmin，τmax]。我们特别关注两个范围，即τ∈ [1,19]，遵循其他著作的规定（[24,26,27]），以及τ∈ [30, 250]. 这种简化的原因是，给定τ的范围，我们不想将较小的值相对于较大的值进行更多的加权。本文后面将进一步强调这一点。2.2. 多尺度金融数据的来源：导言中已经提到的技术现状，关于金融时间序列的哪些属性主要导致其不合理的多尺度行为，学术界存在争论。让我们重新讨论一下文献中的一些发现。在[21]中，作者研究了道琼斯工业平均指数（Dow Jones Industrial Average），并以四种不同的方式处理数据，以揭示多尺度行为的来源。使用的方法有（[21]）：1。对数据进行分析，以检查无条件分布形状的影响；2.建立替代数据，与经验数据具有相同的无条件分布和线性相关性，但具有任何非线性相关性；3.通过用分布核心的重采样来替代更极端的事件，从而减少尾部；4.生成替代幂律尾时间序列，na-mely double Weibull和t-Student，保留经验时间序列的时间结构。作者发现，一方面，线性和非线性的时间结构影响较小。

另一方面，尾巴越肥，多尺度效应越强。这一结果通过减少极端事件和改变无条件分布得到证实。在[23]中，作者再次研究了每日道琼斯工业平均指数（Dow Jones Industrial Average takenon）加上每分钟取样的道琼斯欧洲斯托克50指数（Dow Jones Euro Stoxx 50）。在这个案例中，进行了三项分析：1。对整个数据集进行压缩；2.将数据集划分为区间，并对其进行处理，以保持短时记忆贡献，然后重复分析，改变区间长度；3.减少重大事件。作者发现，当数据被压缩时，数据集失去了多尺度行为（[23]）。对区间的分析表明，当区间长度较小时，函数的线性度会恶化，并随着区间长度的增加而改善，因此作者认为，这应该被视为时间相关性是多尺度的来源的一个标志。对于最极端事件的切分，他们发现道琼斯工业平均指数极端事件对道琼斯欧洲斯托克50指数没有特别的影响，而道琼斯欧洲斯托克50指数极端事件对奇点指数造成扭曲。最后，在[22]中，对包括股票市场指数、汇率和利率在内的几个经验时间序列进行了扩展分析。为了揭示经验性多尺度的来源，我们使用了shu-freing方法，并与合成数据进行了比较。作者还发现，测量到的shuêed时间序列的多尺度性增加，这使他们得出两个结论：第一，多重分形的主要来源是分布的幂律尾；其次，时间相关性的存在降低了多重分形。

这些结论与马尔可夫转换多重分形模型（[14]）的分析一致。进一步的分析是通过fr-actional Br-ownian运动、从Levy分布和ARFIMA过程中得出的s步随机行走进行的，所有这些都证实了在经验数据集（[22]）上发现的结果。模型和方法在本节中，我们描述了我们用于分析的模型的分析特性，以及我们选择的用于检测多重分形的变量。3.1. 布朗运动与t-Student创新（tBM）我们考虑了一个从t-Student分布中提取独立增量的单尺度过程。引入虚拟变量t，t-Student分布的概率密度由（[28]）p（t）=Γ（n+1）给出√nπΓ（n）1+tn-（n+1），（3）其中n是可以是非整数的自由度数。根据公式（3），如果n>1，变量t的平均值为零，否则为零。相反，差异等于吨- 2如果n>2，则在1<n<2时确定，否则确定。在这两种情况下，如果n大于或小于2，可以分析计算tBM的频谱。当n<2时，q的t-Student分布。（3） 表现为偏态参数等于零、稳定性参数等于n的稳定分布，因此标度指数为（见[20,29,30]）ζ（q）=qH（q）=qnif q<n.（4）对于n>2和有限聚集层τ，可以表示为e[|X（t+τ）- X（t）|q]=f（q）τq.（5）因此ζ（q）=qH（q）=qif q<n.（6）那么，对于n>2，标度指数与q=n的BM的标度指数相同。对于n=2，可以严格证明标度指数的行为类似于等式（6）（cfr）。

[31]).根据这些分析观察，tBM是一个n<2和n的统一分形过程≥ 2和ζ（q）表现为一条直线。在[20]中，报告了q>n等于1的标度指数的形状。然而，正如[29]和[30]所强调的，这种所谓的双分形行为是一种纯粹的有限尺寸样本效应。3.2. 多重分形随机游走（MRW）在文献中提出的模型中，本文选择了一个基准多重分形模型，即[17]中介绍的所谓多重分形随机游走。它的主要吸引人的特性是，它具有完全可计算的标定表达式。我们报告说，该模型已得到进一步发展，并提出了具有不同标度指数的替代性多分形随机游动模型（见[18,19]），但就我们的目的而言，该原始模型的统计特性是有效的。在离散版本中，模型描述的过程X（t）定义为（[17]）X（t）=ttXk=1t（k）eω所以增量可以写成rτ（t）=X（t+τ）- X（t）=t+τtXk=tt+1t（k）eωt（k），（8）带T~ N（0，σ）t） ，ωT~ N(-λln（L）/t） ，λln（L）/t） ），其中λ称为瞬时参数，L为自相关长度，σ为整个过程的方差，以及t是离散化步骤（[17]）。这个模型的特点是t（k）是独立的，ωt（k）不是，具有自协方差（[17]）：Cov（ωt（k），ωt（k））=λlnρt（k）- k） ，（9）带ρt（k）- （k）=L（| k）- k |+1）t|k- k |<L/t、 1否则。（10） 该模型在连续极限下的标度指数为（[17]）：ζ（q）=qH（q）=-λq+（λ+）q.（11）该模型的重要性在于，仅通过三个参数（λ，L，σ），它既表现出幂律尾，又表现出波动性聚集，保持其简单的创新不相关。

特别是，间歇参数λ决定了幂律尾（其衰减指数与λ（[32]）成正比）和绝对收益的幂函数（其衰减指数再次与λ（[17]）成正比）的自相关函数的衰减。3.3。多重分形估计为了理解标度指数ζ（q）的行为，我们使用了广义赫斯特指数H（q）（见等式（1）和（2））。让我们注意到，由于经验数据集（[5,3]）中存在幂律尾，q的值应该小于分析时间序列的尾指数，因为对于大q，矩不是确定的。此外，当其方差不确定时，矩的存在并不能保证其在有限样本上的测量是可靠的。根据这些观察结果，以及经验幂律尾部的衰减指数通常在2到5（[5]）之间的事实，在我们的分析中，我们将自己局限于q≤ 1.特别是，每0.1个单位，q的范围在0.1到1之间，总共有10个点。为了评估标度指数中是否存在具有统计意义的电流，从而进行多标度，我们在q范围内进行了抛物线拟合≤ 1然后我们将二次项的系数作为多尺度估计，即ζ（q）=qH（q） Bq+Aq+const，（12）其中^B是本文采用的多重分形估计。它必须具有负（多尺度行为）或零（单尺度行为）期望值（由于凹度）。参数的经验值为零，在ζ（q）的测量中，我们总是检查该条件的一致性。注意，在[34]中，作者用四次多项式定义了单次谱，这必然意味着ζ（q）的四次多项式函数形式。

然而，就我们的目的而言，第二个等级是无效的，我们验证了将术语包含到第四个等级不会修改我们的结果。4.艺术数据分析我们开始分析模拟10MRW过程，具体见第C部分。3.2，由10步δt组成，参数λ=0.03，L=1000，σ=1，并计算实现过程中^B，^H（0.5）和^H（1）的平均值和标准偏差。然后，我们在时间序列的简化版上重复了这个测量。估计量的收敛性一直受到检验。λ和L的值是根据其他工作中进行的经验分析选择的（参见示例[35]），而长度的选择是为了尽可能减少有限样本误差，保持合理的计算时间。结果将在选项卡中报告。1和2分别带有τ∈ [1,19]和τ∈ [30, 250].