金融时间序列的多尺度度量

因此，我们得出结论，区域τ中的多重分形度量∈ [30250]是可靠的，并且揭示了在实际财务日志返回时间序列中存在一定程度的多重分形，必须将其归因于过程因果结构的影响。此时需要解决的一个问题是，为什么τ的两个区域存在如此大的差异。关于尾巴的影响，我们通过中心极限T he orem（CLT）的收敛速度来解释这种差异。特别是，对于具有幂律尾的增量，尾指数大于2的过程，我们知道在聚合下，它们在渐近极限下表现为BM。收敛速度取决于尾部的重量，但如果聚集是有限的，无论尾部指数是什么，概率密度尾部的最后部分总会有一个区域，该区域将具有幂律行为。增加聚集范围的效果是将该区域进一步推向尾部。这就解释了为什么随着聚集视界的增大，虚假的幂律尾凹倾向于消失，这与理论预期相符。与直觉过程相反，如果增量的尾部指数小于2，则该问题对增量过程的影响较小，因为它们在聚合下的收敛性由广义中心极限定理控制，并且它们在分布的尾部保持幂律性质，因此收敛速度更快。关于自相关负偏差，我们的解释是，它可能是由一个强相关变量的平均值不一定与经验值一致这一事实引起的。

在这种情况下，τ区域的影响可能会减小∈ [30250]因为采用更大的聚合水平意味着在相关性较低的变量上平均老化。根据这些结果，我们认为，为了对多重分形进行可靠的测量，应使用car e确定聚集层位较小的τ区域。然而，让我们强调区域τ∈ [30，250]尚未对多重分形估值器的性能进行优化。然而，事实证明，它能够为我们提供有价值的见解，并改进我们对标度参数的估计。让我们就这些测量做一些其他的观察。由于本文（cfr第2.1小节）提出的测量值取决于两个参数，即τmin和τmax，我们报告，通常，τmin决定精度，而τmax决定精度。因此，τmin值越大，测量值越接近预期值。另一方面，取较大的τmaxends upin值，在分析中包含更多的振荡值，因此s标准偏差较大。然而，对于像MRW这样的过程，必须注意，因为如果τmin大于自相关长度，那么多重分形行为不再成立，因为过程的增量变得独立。所以τ的范围必须足够大，以尽可能减少幂律尾效应，但不能太大，以超过相关的时间跨度。最后，我们注意到，很明显，在τ的小范围内，幂律尾凹性对由自相关引起的凸性度量有更大的影响。7.总结与展望在本文中，我们通过研究不同聚合视野下的合成数据集和真实数据集，研究了金融时间序列的多尺度行为。

通过对MRW的分析，我们发现，对于较小的聚集范围，舒松林之后的多尺度行为似乎有所增加，这与之前关于经验数据集的工作一致。然而，对于较大的聚集区，这种影响消失了。由于舒松林过程破坏了时间序列的时间结构，但保留了其无条件分布，因此我们将注意力集中在另一个过程的标度特性上，即tBM，它是一个单分形过程。结果表明，对于较小的聚集层，幂律尾的存在会导致标度指数出现凹陷，因此表明存在多尺度行为，但该理论无法预测。然后我们把注意力转向时间序列的因果结构。在这种情况下，我们观察到，在较小的聚集范围内，自相关的存在引入了负偏差，即降低了凹度，最终导致合成时间序列和实时时间序列的标度指数的凸性。这些数值结果很好地解释了舒松林之后在之前的工作中发现的多重分形令人费解的增加：只要保持幂律尾和自相关，尾的虚假多尺度贡献就会因自相关的存在而减少，而舒松林之后，只会出现尾效应。我们指出，回报的汇总至关重要。在更高的聚集范围内，所有这些问题都消失或至少大大减少。对于与尾部有关的问题，我们将这种影响解释为中心极限定理及其在具有幂律尾部但变量有限的时间序列上的收敛速度。特别是两个和五个之间的尾部指数范围对测量结果的影响最大。

这是因为在聚集条件下，幂律尾的残差总是存在于无条件分布中，指数越接近2，影响越大。我们最后注意到，选择更高的聚合值可以减少这种影响，但这需要更长的时间序列。我们计划在未来更详细地研究这个问题，试图为τ区域的最佳选择提供一种方法，该区域可以捕捉经验时间序列的多重分形。感谢作者感谢Bloomber g提供数据，感谢N.Musmeci提供有用的讨论。T.A.感谢英国经济和社会研究委员会（ESRC）对系统风险中心（ES/K002309/1）的资助。TDM希望感谢成本行动TD1210对这项工作的部分支持。参考文献[1]R.N.Mantegna，H.E.Stanley，“经济哲学导论：金融中的相关性和复杂性”，剑桥大学公共关系出版社，2000年；[2] M.M.Dacorogna，R.Gen,cay，U.A.M¨uller，R.B.Olsen，O.V.Pictet，“高频金融导论”，学术公关，2001年；[3] R.N.Mantegna，H.E.Stanley，“消声经济指数动力学中的标度行为”，自然杂志，376，46-491995；[4] T.Di Matteo，“金融中的多尺度”，定量金融，第7卷，第1期，第21-36期，第20-07期；[5] R.Cont，“资产回报的经验属性：程式化事实和统计问题”，定量金融，1:2223-236 2001；[6] S.Ghashghaie，W.Breymann，J.Peinke，P.Talkne r，Y.Dodge，“外汇市场中的动荡级联”，自然杂志，381767-770 1996；[7] L.Calvet，A.Fisher，“资产回报的多重分形：理论与证据”，《经济学与统计学评论》，84（3）：381-406 2002；[8] 刘国荣，T。迪马特奥，T。

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