具有风险敏感性偏好的随机最优增长模型

对于任何v∈ B、 我们将运算符L定义为以下Lv（x）：=supy∈[0，x]u（x）- y）-βγlnZR+e-γv（f（y，z））ν（dz）（13） 为了所有的x∈ R+。引理4。算子L把B映射成它的El f，并且是收缩的。证据让v∈ B.首先注意，通过（U2）和（F2），我们得到了klvkw≤ d+αβkvkw，通过（U1）和引理1，我们得到了Lv≥ 0（另见（5））。此外，通过（U1）和引理1，函数（x，y）7→ u（x）- y） +βbv（y）在D上是连续的。因此，极大值定理（见Berge（1963））暗示Lv是连续的。接下来，我们观察到，对于x′<x′，我们有lv（x′）≤ supy∈[0，x′（u（x′）- y） +βbv（y））≤ Lv（x′）。我们现在证明Lv是凹的（另见B–auerle和Rieder（2011）第2.4.4节）。让λ∈ （0,1），x′，x′∈ R+和x:=λx′+（1）- λ） x′\'。是的∈ [0，x′和y′的∈ [0，x′我们分别表示（13）中在x′和x′处达到最大值的点。那么，y:=λy′+（1）- λ） y′\'∈ [0，x]。因此，我们得到lv（x）≥ u（x）- y）-βγlnZR+e-γv（f（y，z））ν（dz。（14） 此外，通过（U1）我们得到了u（x）- y） >λu（x′）- y′）+（1- λ） u（x′）- y′）。（15） 现在将（14）与（15）和（11）结合，我们最终得到了Lv（x）>λLv（x′）+（1）- λ） Lv（x′）。只剩下证明L是收缩的。假设v，v∈ B.然后，Lv（x）- Lv（x）≤ supy∈[0，x]-βγlnZR+e-γv（f（y，z））ν（dz）+βγlnZR+e-γv（f（y，z））ν（dz）≤ βsupy∈[0，x]-γlnZR+e-γkv-vkww（f（y，z））-γv（f（y，z））ν（dz）+γlnZR+e-γv（f（y，z））ν（dz）≤ βsupy∈[0，x]-γlnZR+e-γkv-vkww（f（y，z））ν（dz）ZR+e-γv（f（y，z））ν（dz）+γlnZR+e-γv（f（y，z））ν（dz）= βsupy∈[0，x]-γlnZR+e-γkv-vkww（f（y，z））ν（dz）≤ βsupy∈[0，x]ZR+kv- vkww（f（y，z））ν（dz）（由詹森不等式）≤ αβkv- vkww（x）（由（F2）构成）。第二个不等式来自性质（P1），第三个不等式来自引理3（g=kv）- vkww，g=v）以及w和vare不递减的事实。用vwe获得的VLV改变VW的磁极- Lvkw≤ αβkv- vkw，其中αβ<1。定理1的证明。第（a）部分来自引理4和应用于算子L的Banach固定点定理。

因此，（9）成立。此外，请注意，V是严格凹的，因为（15）中有严格的不等式。因为，通过引理1和（U1）函数y7→ u（x）- y）-βγlnZR+e-对于x，γV（f（y，z））ν（dz）在[0，x]上是连续且严格凹的∈ R+，因此存在唯一点y*∈ [0，x]实现了（9）右侧的最大值。因此，根据极大值定理（见Berge（1963））存在一个唯一的连续函数i*∈ Φ达到（9）中的最大值。此外，Balbus等人（2015）中u和引理3.2的严格凹性（另见Topkis（1978）中的定理6.3）暗示函数*是非递减的。此外，观察（9）可以重新表述为以下v（x）=supa∈[0，x]u（a）-βγlnZR+e-γV（f（x）-a、 z）ν（dz）, 十、∈ R+。Balbus等人（2015）中的假设（U1）和严格凹V和引理3.2*∈ Φ也是非递减的。显然，c*（x） +i*（x） =x每x∈ R+。因此，（b）部分是正确的。第（三）部分。从（9）开始，它跟在v（x）后面≥ u（x）- y）-βγlnZR+e-γV（f（y，z））ν（dz），y∈ [0，x]和x∈ R+。设π=（πk）k∈N∈ 任何投资政策。那么，对于任何历史而言∈ 香港，k∈ N、 上面的显示意味着V（xk）≥ LπkV（hk）。（16） 修正任何错误∈ N.从（16）开始计算k:=T，并连续应用（16）计算k=T- 1.1我们推断v（x）≥ （Lπ）o . . . o LπT）V（x）。自从V≥ 对于每个πk，k，0和Lπkis单调∈ N、 我们得到v（x）≥ （Lπ）o . . . o LπT）V（x）≥ （Lπ）o . . . o 对于任意π，LπT）0（x）=JT（x，π），（17）∈ π和x∈ R+。让T→ ∞ 在（17）中，我们最终得到了V（x）≥ 任意π的J（x，π）∈ x和∏∈ R+。因此，V（x）≥ supπ∈πJ（x，π）x∈ R+。（18） 让我*∈ Φ应如（10）所示。

为了便于记谱，我们设置了用户界面*（x） ：=u（x）- 我*（x） ）和任何非负函数∈ Bwρi*,x（~n）：=-γlnZR+e-γ~n（f（i）*（x） ，z）ν（dz），Li*ν（x）：=ui*（x） +βρi*,x（~n），x∈ R+。因此，（10）的右边等于*V（x）=ui*（x） +βρi*,x（V），x∈ R+。通过迭代后一个等式T- 1次我们得到v（x）=L（T）i*V（x），x∈ R+，（19）式中，L（T）i*表示运算符Li的第T个组合*和它自己。因此，（19）、性质（P1）和詹森不等式以及（F2）（另见（4））产生了V（x）=L（T）-1） 我*（ui）*+ βρi*,·（V）（x）≤ L（T）-1） 我*（ui）*+ βρi*,·（千伏千瓦）x（20）≤ L（T）-1） 我*（ui）*+ αβkVkw（x）=L（T-2） 我*（ui）*+ βρi*,·（ui）*+ αβkV（kww））（x）对于x∈ R+。现在把g:=ui*= J（·，i）*), g： =引理3中的αβkV kww，我们有βρi*,x′（ui）*+ αβkww）≤ βρi*,x′（ui）*) + βρi*,x′（αβkww）（21）≤ βρi*,x′（ui）*) + （αβ）kww（x′，x′）∈ R+，其中第二个不等式是由Jensen不等式和假设（F2）引起的（另见（4））。因此，不等式（20）和（21）结合在一起≤ L（T）-2） 我*（ui）*+ βρi*,·（ui）*) + （αβ）kww（x）（22）=L（T）-3） 我*（ui）*+ βρi*,·（ui）*+ βρi*,·（ui）*) + （αβ）kVkw（x）。我们重复这个过程。从引理2到函数x7→ J（x，i）*) = 用户界面*（x） +βρi*,x（用户界面）*)是非递减的。因此，再次利用引理3（g:=J（·，i）*), g:=（αβ）kVkw），Jensen不等式和（F2）我们得到βρi*,x′（ui）*+ βρi*,·（ui）*) + （αβ）kww（23）=βρi*,x′（J·，i）*) + （αβ）千伏（千瓦）≤ βρi*,x′（J·，i）*)) + βρi*,x′（（αβ）kww）≤ βρi*,x′（J·，i）*)) + （αβ）kww（x′，x′）∈ R+。通过结合（22）和（23），我们得到了v（x）≤ L（T）-3） 我*（ui）*+ βρi*,·(J·,i)*)) + （αβ）kww（x）=L（T）-3） 我*(J·,i)*) + （αβ）kww（x）=L（T）-4） 我*（ui）*+ βρi*,·(J·,i)*) + （αβ）kVkw（x）。重复这个过程，例如，对函数g=Jk（·，i）使用引理3*)（通过引理2，它是非递减的）和g:=（αβ）kkV-kwk=3，T- 1我们最终得出结论（x）≤ JT（x，i）*) + （αβ）TkV kww（x），x∈ R+。

（24）因此→ ∞ 在（24）中，它紧跟着V（x）≤ J（x，i）*) 十、∈ R+。（25）现在，（18）和（25）结合在一起产生（c）部分。4.欧拉方程本节致力于建立欧拉方程。因此，我们需要额外的条件来保证描述模型的函数的差异性。（U3）函数u:R+7→ R+在R++上是连续可微的。（U4）u′+（0）=∞ .（F3）函数f（·，z）：R+7→ R+在R++上是连续可微的。（F4）f（0，z）=0表示所有z≥ 0.（F5）存在一个y>0的投资，使得zr+f′（y，z）ν（dz）>0，其中f′（y，z）：=f（y，z）y、 假设（F5）和（F1）排除了f（y，z）=0ν-a.s.对于每个y∈ R+。定理2。假设（U1）-（U4）和（F1）-（F5）。然后，我们有以下内容。（a） 为了一个y x∈ R++欧拉方程holdsu′（c*（x） ）=βRR+e-γV（f（i）*（x） ，z）u′（c*（f（i）*（x） f′（i*（x） ，z）ν（dz）RR+e-γV（f（i）*（x） 其中V是定理1中得到的函数。（b） 函数x7→ 我*（x） 和x7→ C*（x） 正在增加。备注2。与标准预期效用情况相比，具有风险敏感性偏好的代理的欧拉方程包含了价值函数V。当γ=0时，方程（26）成为具有预期效用的模型的著名欧拉方程，见Brock和Mirman（1972）或Kamihigashi（2007）。让我们来定义v（y）：=-γlnZR+e-γV（f（y，z））ν（dz。（27）在随后的引理中，我们假设条件（U1）-（U4）和（F1）-（F5）成立。注意，根据Stokey等人（1989）的定理7.4，函数z 7→ f′（y，z）是可测的。引理5。（27）中定义的函数B是凹的、连续的且无n递减。此外，bV′+（0）=∞ . （28）证据。第一部分来自引理1。按任意顺序→ 0+作为n→ ∞.通过（F4）和u（0）=0的事实，我们得到V（0）=0和bv（0）=0。

因此，bV（yn）-bV（0）yn=-γynlnZR+e-γV（f（yn，z））ν（dz）≥ -γlnZR+e-γu（f（yn，z））ynν（dz）。（29）根据链式法则，我们得到了任意z∈ R+thatu（f（yn，z））yn=u（f（yn，z））- u（0）f（yn，z）- f（0，z）f（yn，z）- f（0，z）yn。（30）出租→ ∞ 在（30）中，我们得到了thatlimn→∞u（f（yn，z））yn=u′+（f（0，z））f′+（0，z）。（31）注意，（31）中的收敛是单调的，因为u和f（·，z）是凹的，f（·，z）对于z是非递减的∈ R+。通过单调收敛定理（29）和（31），我们最终得到bv′+（0）≥ -γlnZR+e-γu′+（0）f′+（0，z）ν（dz）。假设（F5）和（F1）一起得出f′+（0，z）>0。因此，通过（U4），断言如下。引理6。让我*在（10）中定义。然后，我*（十）∈ （0，x）对于任何x∈ R++。证据我认为*（x） 根据假设（U4）得出>0，而（28）yieldsi*（x） <x.读者参考Kamihigashi（2007）中的引理5。引理7。函数V在R++和V′（x）=u′（c）上是连续可微的*（x） ），x∈ R++。证据展示平等性的方式与Stachurski（2009）中对命题12.1.18和推论12.1.19的证明是一样的。定理2的证明。首先我们展示第（一）部分。根据引理7和（9），可以证明在R++上bV是可微的，在y=i时βbV′（y）是可微的*（x） 等于（26）的右手边。因为引理5是凹的，所以我们知道存在右手边和左手边的导数。让我来∈ R++可以是任意的，h>0。

SetF（y，z）：=e-γV（f（y，z））RR+e-γV（f（y，z））ν（dz）>0，注意对于任何y，zr+f（y，z）ν（dz）=1∈ R++。然后，通过引理7和（F4）bV（y+h）-bV（y）h=-γhlnRR+e-γV（f（y+h，z））ν（dz）RR+e-γV（f（y，z））=-γhlnZR+e-γ（V（f（y+h，z））-V（f（y，z）））f（y，z）ν（dz）≤ZR+V（f（y+h，z））- V（f（y，z））hF（y，z）ν（dz）=ZR+V（f（y+h，z））- V（f（y，z））f（y+h，z）- f（y，z）f（y+h，z）- f（y，z）hF（y，z）ν（dz）≤ZR+V′（f（y，z））f′（y，z）f（y，z）ν（dz）=:G（y），其中第一个不等式是由Jensen不等式引起的，第二个不等式是由V和f（·z）表示z的事实得出的∈ R+呈凹形且不递减。因此，对于y来说∈ R++bV′+（y）≤ G（y）。（32）现在让我们考虑一下bV的左侧导数，即bV（y）- h）-bV（y）-h=γhlnRR+e-γV（f（y）-h、 z）ν（dz）RR+e-γV（f（y，z））≥ZR+V（f（y）- h、 z））- V（f（y，z））-hF（y，z）ν（dz）=ZR+V（f（y）- h、 z））- V（f（y，z））f（y- h、 z）- f（y，z）f（y）- h、 z）- f（y，z）-hF（y，z）ν（dz）≥ZR+V′（f（y，z））f′（y，z）f（y，z）ν（dz）=G（y）。因此，对于y来说∈ R++bV′-（y）≥ G（y）。（33）观察G是连续的。这是由于引理7，（F1），（F4）和支配收敛定理。因为bv是凹的并且（32）和（33）保持不变，那么对于h>0，我们得到（y+h）≤bV′-（y+h）≤bV′+（y）≤ G（y）≤bV′-（y）≤bV′+（y）- h）≤ G（y）- h） 。（34）现在让h→ 在（34）中，bv在R++上是连续可微的。为了证明（b）假设x′<x′。如果x′=0，那么通过引理6我们得到*（x′）=0<i*（x′）和c*（x′）=0<c*（x′）=x′\'- 我*（x′）。因此，设x′>0和i*（x′）=i*（x′）。然后，通过欧拉方程（26），我们得到了u′（x′）- 我*（x′）=u′（x′）- 我*（x′）。但这个等式不能成立，因为u是严格凹的。同样，如果c*（x′）=c*（x′），那么通过引理7，我们必须有V′（x′）=u′（c）*（x′）=u′（c）*（x′）=V′（x′）。然而，这种平等与V的严格凹性相矛盾。5.

平稳分布在本节中，我们将考虑当代理遵循最优策略i时增长模型的动力学*∈ Φ. 我们的目标是提供一组假设，在这些假设下，系统是全局稳定的，由此产生的平稳分布是非平凡的，因为它不集中在零上。我们希望遵循西村（Nishimura）和斯塔丘斯基（Stachurski，2005年）研究的方法，并由Kamihigashi（2007年）和斯塔丘斯基（Stachurski，2009年）进一步发展。它结合了欧拉方程（见（26））和马尔可夫链的福斯特李雅普诺夫理论。更准确地说，我们处理processxt+1=f（i*（xt），ξt，（ξt）t∈Nis i.i.d.序列，其中ξt~ ν ∈ Pr（R+）（35）和f:R+×R+7→ R+是连续的。显然，（xt）t∈这是一个马尔可夫过程。假设每y的f（y，z）>0∈ 并利用我*（十）∈ （0，x）对于x>0，我们可以在R++上研究收入过程（见Stachurski（2009）第303页）。我们证明了至少一个平稳非平凡分布的存在性。根据附录中的命题2，我们必须找到一个函数W:R++7→ R+满足性质（a）和（b）。由于我们希望避免重复上述论文中包含的所有细节，我们只关注证明中使用欧拉方程的一个元素。这是因为，我们框架中的欧拉方程与预期效用情况下得到的方程不同。因此，我们仅以最简单的方式制定关键条件。

读者可以参考Kamihigashi（2007）和Stachurski（2009），其中提供了详细的讨论和更一般的条件，暗示了下面给出的条件。（D1）令人满意的是→0+ZR+βf′（y，z）ν（dz）<1。（D2）存在λ∈ （0，1）和κ>0使得Zr+f（y，z）ν（dz）≤ λy+κ，y∈ R+。在这里，我们想提到的是，假设（D1）防止概率质量逃逸到单位，而假设（D2）的作用是防止概率质量逃逸到零。引理8。假设（D1）。那么，对于W（x）：=pu′（c*（x） ）e-γV（x），x∈ R++，存在λ∈ （0,1）和κ>0使得Zr+W（f（i*（x） ，z）ν（dz）≤ λW（x）+κ，x∈ R++。证据首先注意，通过柯西-施瓦兹不等式，它遵循Zr+W（f（i*（x） ，z）ν（dz）=ZR+“u′（c*（f（i）*（x） ，z）e-γV（f（i）*（x） βf′（i*（x） ，z）βf′（i）*（x） ，z）RR+e-γV（f（i）*（x） ，z）ν（dz）RR+e-γV（f（i）*（x） ，z）ν（dz）#ν（dz）≤“ZR+u′（c*（f（i）*（x） ，z）e-γV（f（i）*（x） βf′（i*（x） ，z）RR+e-γV（f（i）*（x） ，z）ν（dz）ν（dz）#דZR+RR+e-γV（f（i）*（x） v（dz）βf′（i*（x） ，z）ν（dz）#，x∈ R++。（36）此外，应用（26）到（36）我们得到了Zr+W（f（i*（x） ，z）ν（dz）≤pu′（c）*（x） )ZR+ν（dz）βf′（i）*（x） ，z）ZR+e-γV（f（i）*（x） ，z）ν（dz）≤pu′（c）*（x） )ZR+ν（dz）βf′（x，z）, （37）第二个不平等是由于V≥ 0和（F1）（f′（·，z）对z是非递增的∈ R+。从假设（D1）可知，存在δ>0，因此λ：=eγ/2V（δ）ZR+ν（dz）βf′（δ，z）< 1.那么，对于x∈ （0，δ）我们有e-γ/2V（x）eγ/2V（δ）≥ 因此，由（37）ZR+W（f（i*（x） ，z）ν（dz）≤qu′（c）*（x） ）e-γV（x）eγ/2V（δ）ZR+ν（dz）βf′（δ，z）≤ λW（x）。（38）对于x≥ δ我们有zr+W（f（i*（x） ，z）ν（dz）≤锆+u′（c）*（f（i）*（δ） ，z）e-γV（f（i）*（δ） ，z））ν（dz）=：κ。（39）不等式（38）和（39）结合在一起得出结论。从引理8和（D2）我们推导出函数W（x）=W（x）+x，x∈ R++用λ：=max{λ，λ}和κ：=κ+κ满足命题2中的点（b）。

显然，从（U4）可以看出，条件（a）也是满足的。因此，在（35）中，马尔可夫过程存在一个非平凡分布。最近，Kamihigashi（2007）、Nishimura和Stachurski（2005）以及Stachurski（2009）研究了平稳分布的唯一性问题，即全局稳定性。因此，我们在此不给出所有这些假设，而是参考上述工作。Meyn和Tweedie（2009年）、Bhattacharya和Majumdar（2007年）以及Kamihigashi和Stachurski（2014年）、Zhang（2007年）最近的论文中也有关于不变分布的进一步结果。备注3。如果收益过程在紧空间[0，\'s]上演化，则假设（U2）和（F2）满足w≡ 1.因此，第3节和第4节的结果是令人满意的，尤其是最佳投资政策是非减递增。在这种情况下，非平凡不变分布的存在源自Krylov-Bogolubovtheorem，例如，参见Stachurski（2009）中的定理11.2.5。下面我们提供了两个实用和生产函数的例子，它们符合我们在第3-4节中使用的假设。例1。具有乘性冲击的模型。假设过程按照差分方程xt+1=yθtξt，t发展∈ N、 θ在哪里∈ (0, 1). 假设\'z:=RR+zν（dz）是有限的，让u（a）=aσ和σ∈ (0, 1).显然，（U1）和（F1）是满足的。假设（U2）适用于w（x）=（r+x）σ，其中≥ 1是一个常数，足够大，因此1+\'z1-θr！σβ < 1.然后，对Ja\'skiewicz和Nowak（2011b）中第263页的计算表明，（F2）也包含α：=1+/z1/1-θrσ. 我们还注意到（U3）-（U4）和（F3）-（F5）都成立。对于该模型，也满足条件（D1）和（D2）。显然，rR+1/zν（dz）的完整性意味着（D1）。

现在定义κ：=max{z，\'z1-θ(1 - θ)}, λ:= θ.那么，对于y来说≤ 1我们有Zr+yθzν（dz）=yθ′z≤ \'z≤ θy+κ。集合l（y）：=θy- y>0时的zyθ+κ。此函数可获得最小的atymin=\'zy1-θ和l（ymin）≥ 因此，ZR+f（y，z）ν（dz）=zyθ≤ λy+κ表示所有y∈ R+。例2。具有附加冲击的模型。让这个过程的演变用公式xt+1来描述=ηyt+ξt，如果yt>0,0，如果yt=0，t∈ N、 其中η>0表示恒定的增长率。显然，（F1），（F3）-（F5）成立。如例1所示定义实用程序。然后，（U2）用anyr表示w（x）=（x+r）σ≥ 1.现在，我们证明假设（F2）。也就是说，根据詹森不等式，它遵循了∈[0，x]ZR+（ηy+z）ν（dz）≤ （ηx+/z+r）σ。因此，supx∈R+（ηx+\'z+R）σw（x）=（s（x））σ，其中s（x）：=ηx+\'z+rx+R，x∈ R+。我们有Limx→0+s（x）=1+zr，limx→+∞s（x）=η。如果η>1，那么根据第264页Ja\'skiewicz和Nowak（2011b）中的计算，它遵循r>max{1，\'zη的计算-1} 条件（F2）适用于所有β∈ （0，1）其中βησ<1（此处α：=ησ）。另一方面，如果η≤ 1，则（F2）满足每个β∈ (0, 1).也就是说，对于给定的贴现系数，足够大的r≥ （1+/zr）σβ<1的情况。显然，α：=（1+\'zr）σ。在这种情况下，不满足假设（D1）。然而，在其他技术的帮助下，在一些额外的要求下，可以证明不变分布的存在，例如，参见Stachurski（2009）或Meyn and Tweedie（2009）中的第207页和第259页。附录Devroye等人（1996）（定理A.19）给出了以下结果。提议1。设X为定义在上的实值随机变量(Ohm, F、 P）设g为非递增实值函数。