具有风险敏感性偏好的随机最优增长模型

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英文标题：
《Stochastic Optimal Growth Model with Risk Sensitive Preferences》
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作者：
Nicole B\\\"auerle and Anna Ja\\\'skiewicz
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper studies a one-sector optimal growth model with i.i.d. productivity shocks that are allowed to be unbounded. The utility function is assumed to be non-negative and unbounded from above. The novel feature in our framework is that the agent has risk sensitive preferences in the sense of Hansen and Sargent (1995). Under mild assumptions imposed on the productivity and utility functions we prove that the maximal discounted non-expected utility in the infinite time horizon satisfies the optimality equation and the agent possesses a stationary optimal policy. A new point used in our analysis is an inequality for the so-called associated random variables. We also establish the Euler equation that incorporates the solution to the optimality equation.
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中文摘要：
本文研究了一个i.i.d.生产率冲击允许无界的单部门最优增长模型。假设效用函数是非负的，从上面看是无界的。在我们的框架中，一个新颖的特点是代理人具有Hansen和Sargent（1995）所说的风险敏感偏好。在对生产率和效用函数进行温和假设的情况下，我们证明了无限时间范围内的最大贴现非预期效用满足最优性方程，并且代理具有平稳的最优策略。我们分析中使用的一个新点是所谓的关联随机变量的不等式。我们还建立了包含最优性方程解的欧拉方程。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
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关键词：增长模型 敏感性 Productivity Optimization Quantitative

具有风险敏感偏好的随机最优增长模型sNicole B¨auerlea，Anna Ja\'skiewiczbaDepartment of Mathematics，Karlsruhe理工学院，Karlsruhe，Germany电子邮件：nicole。baeuerle@kit.edubFaculty波兰Wroc law理工大学数学系电子邮件：anna。jaskiewicz@pwr.edu.plAbstract.本文研究了一个i.i.d.生产率冲击允许无界的单部门最优增长模型。效用函数假定为非负且从上面看是无界的。在我们的框架中，一个新颖的特点是，根据Hansen和Sargent（1995）的观点，代理具有风险敏感偏好。在对生产率和效用函数施加Milda假设的情况下，我们证明了有限时间范围内的最大贴现非预期效用满足最优性方程，并且代理具有平稳的最优策略。我们分析中使用的一个新点是所谓关联随机变量的不等式。我们还建立了包含最优性方程解的欧拉方程。关键词。随机增长模型，熵风险测度，无界效用，无界冲击。1.导言本文研究了一个部门随机最优增长模型，该模型具有可能无界的冲击和非负效用，且允许从上面无界。无限回报在经济模型中非常常见，见Alvarez和Stokey（1998）；博伊德（1990）；杜兰（2000）；Le Van和Morhaim（2002）研究确定性问题，Dur\'an（2003）；Ja\'skiewicz和Nowak（2011b）；Kamihigashi（2007）对随机问题的研究。上述工作大多采用Wessels（1977）提出的加权上确界范数方法。另一组论文在确定性框架内利用了Rinc’on Zapatero和Rodriguez Palmero（2003）提出的观点。

他们的方法建立在局部收缩的基础上，并利用了单侧主函数。Ja’skiewicz和Nowak（2011a）报道了这些结果对随机动态规划的扩展；Martins da Rocha和Valakis（2010年）；马特科夫斯基和诺瓦克（2011）。我们模型的新颖之处在于，代理具有风险敏感偏好，即vt=u（at）-βγln-Et[-γVt+1]，（1）其中γ>0是一个风险敏感系数，β∈ [0，1）是一个时间折扣因子，t时的消费，u是一个幸福函数，vt是从周期t开始的寿命效用。这里，Et代表关于周期t信息的期望算子。参数γ影响消费者在未来效用中对风险的态度。（1）中的参考形式来自Hansen和Sargent（1995），他们用它们来处理一个线性二次高斯控制模型。（1）中定义的偏好有几个优点。首先，它们不是未来效用的时间加法。然而，时间可加性要求代理人在未来效用中保持风险中性。另一方面，风险敏感偏好允许代理人在未来效用中规避风险，以及在未来消费中规避风险。这一事实导致了风险规避和跨期替代弹性之间的部分分离。此外，正如？对风险敏感的偏好也很有吸引力，因为它们可以用来为偏好建模以增强稳健性。值得强调的是，形式（1）的风险敏感偏好已经在处理帕累托最优分配（见Anderson（2005））或小噪声扩展（见Anderson等人（2012））的问题中找到了一些应用。我们的主要结果有两个方面。首先，当代理人具有风险敏感偏好时，我们建立了有限时间范围内非预期效用的最优性方程（1）。

标准预期效用案例中的证明基于Banach收缩原理，见Stokey等人（1989）。然而，为了证明动态编程算子将某些函数的空间映射到自身中，我们必须考虑凹函数、非减函数和非负函数，这些函数在加权上确界范数内。这种分析的一个新特点是对所谓的关联随机变量应用了一些不等式。这个不等式在证明动态规划算子的一个固定点确实是值函数方面也起着关键作用。此外，它自然符合我们的模型，其中生产函数和效用函数满足一些温和的条件，如单调性和凹性。在这里，我们想强调的是，与Kamihigashi（2007）中的情况类似，我们不假设生产函数的纳达条件为零和完整。其次，我们建立了欧拉方程，假设生产函数和效用函数是连续可微的。作为副产品，我们得到了最优策略控制的收入过程的分布函数的存在性。这个结果要归功于西村和斯塔舒尔斯基（2005）以及斯塔舒尔斯基（2009）之前的工作，他们将欧拉方程与福斯特-李雅普诺夫函数联系起来。本文的组织结构如下。第2节描述了模型、代理人的风险敏感偏好，并提供了基本假设。在第3节中，我们使用动态规划方法来证明代理具有最优静态策略，并且寿命效用是最优性（Bellman）方程的解。第四节建立了欧拉方程。第5节利用欧拉方程定义Foster Lyapunov函数，用于证明最优程序的稳定性。

最后，第6节给出了两个例子来说明我们的理论。关于这个话题的更多讨论，请参考爱泼斯坦和津（1989）、塔拉里尼（2000）、苗（2014）。读者还可以参考Becker和Boyd（1997）中的第1章和第3章，这两章构成了研究非时间可加目标函数的强大动力。2.模型本节包含随机最优增长模型的公式，该模型具有Payo-off标准，在特定情况下，可简化为Brock和Mirman（1972）研究的标准。符号R+和R++分别表示非负实数和正实数。设N是正整数的集合。这个过程演变如下。在蒂梅特∈ N代理人有一个收入xt，它分为消费和投资（储蓄）yt。从消耗中，代理接收效用u（at）（独立于xt）。投资用于投入产出xt+1=f（yt，ξt）的生产，其中（ξt）t∈Nis一系列分布为ν的i.i.d.冲击∈ Pr（R+）和f:R+×R+7→ R+是一个生产函数。假设x∈ R+是非随机的。我们做出以下假设。（U1）函数u:R+7→ R+在零处是连续的，严格凹形，增加andu（0）=0。（U2）存在一个常数d>0和一个连续的非递减函数w:R+7→[1, ∞) 以至于u（x）≤ dw（x），代表所有x∈ R+和（2）保持不变。（F1）对于每个z≥ 0函数f（·，z）：R+7→ R+是连续的、凹的、不减损的，适用于每个y≥ 0函数f（y，·）：R+7→ R+是可测量的。（F2）存在一个常数α∈ （0，1/β）这样∈[0，x]ZR+w（f（y，z））ν（dz）≤ αw（x），对于所有x∈ R+。（2） PutD:={（x，y）：x∈ R+，y∈ [0，x]}。无论如何∈ N、 通过Htwe表示所有sequencesht的集合=x、 对于t=1，（x，y，x，…，xt），对于t≥ 2，其中（xk，yk）∈ D代表所有k∈ R+。因此，HTT是迄今为止所有可行的投资过程历史的集合。

投资政策π是序列（πt）t∈N、 其中π是一个可测量的映射，它将任何可容许的历史Ht与动作yt相关联∈ [0，xt]。通过∏我们表示所有投资政策的集合。我们将注意力限制在非随机政策上，这些政策足以研究贴现最优增长模型。Stokey等人（1989年）对一般政策进行了正式定义。设Φ为所有Borel可测函数的集合，使得φ（x）∈ [0，x]外汇∈ R+。平稳（投资）策略是一个常数序列π，πt=φforevery t∈ N.我们将用序列的成员识别一个固定策略，即用映射φ。Φ还表示所有固定投资政策的集合。在本文中，我们将考虑在有限的时间范围内，借助于所谓的熵风险度量，代理人的非预期效用。为了确定这一指标，让我们用(Ohm, F、 P）一个概率空间，设X为非负随机变量(Ohm, F、 P）。X的熵风险度量是ρ（X）=-γlnZOhmE-γX（ω）P（dω），其中γ>0是风险敏感系数。设X，Y为非负随机变量(Ohm, F、 P）。ρ的以下性质在分析中很重要（见第184页inF–ollmer and Schied（2004））：（P1）单调性，即如果X≤ Y=> ρ（X）≤ ρ（Y）（P2）凹度，即ρ（λX+（1）- λ） Y）≥ λρ（X）+（1）- λ） 任意λ的ρ（Y）∈ [0, 1].然而，该度量不是正齐次的，即ρ（αX）6=α的αρ（X）∈ R++，这并不能使我们的分析变得简单（参见引理4和定理1的证明）。这里，我们只想提到，利用泰勒展开式对指数函数和对数函数，我们可以近似ρ（X），如下ρ（X）≈ 前任-γV arX，如果γ>0非常接近于0。

因此，如果X是一个随机支付，那么借助熵风险度量评估其预期支付的代理不仅考虑随机支付X的预期值，还考虑其方差。关于熵风险度量的进一步评论可在B–auerle和Rieder（2011）中找到；F¨ollmer and Schied（2004）及其引用的参考文献。假设k∈ N.我们说函数vk∈ Bw（香港），如果vk:Hk7→ R+是可测量的，并且存在一个常数dvk≥ 0，以便vk（香港）≤ 每个YHK的dvkw（xk）∈ 香港。这里，w是（U2）和（F2）中使用的函数。设π=（πk）k∈N∈ 无论什么政策。对于vk+1∈ Bw（Hk+1）和给定的Hk∈ 我们把ρπk，hk（vk+1）：=-γlnZR+e-γvk+1（hk，πk（hk），f（πk（hk），z））ν（dz）。（3） 通过Jensen不等式和（F2），我们得到了0≤ ρπk，hk（vk+1）≤ZR+vk+1（hk，πk（hk），f（πk（hk），z））ν（dz）（4）≤ dvk+1ZR+w（f（πk（hk），z））ν（dz）≤ dvk+1supy∈[0，xk]ZR+w（f（y，z））ν（dz）≤ dvk+1αw（xk）适用于任何香港∈ 香港及香港∈ N.此外，我们定义了算子Lπkas followsLπkvk+1（hk）：=u（xk- πk（hk））+βρπk，hk（vk+1），其中β∈ （0，1）是一个主观的折扣系数。通过性质（P1），可以得出Lπk单调，即Lπkvk+1（hk）≤ Lπk^vk+1（hk）代表hk∈ 香港和vk+1≤ ^vk+1。此外，通过（4），（U2）和（F2），我们得到了0≤ Lπkvk+1（香港）≤ （d+αβdvk+1）w（xk）（5）每香港∈ 香港与韩国∈ N.我们遵循Hansen和Sargent（1995）的方法，对消费者的偏好进行递归建模。对于任何初始收入x=x和T∈ N我们定义T——阶段总贴现效用jt（x，π）：=（Lπ）o . . . o LπT）0（x），（6），其中0是一个函数，使得0（hk）≡ 每香港0∈ 香港及香港∈ N

例如，ifT=2定义（6）被解读为以下j（x，π）=（Lπo Lπ）0（x）=Lπ（Lπ0）（x）=u（x- π（x））-βγlnZR+e-γLπ0（x，π（x），f（π（x），z））ν（dz）=u（x- π（x））-βγlnZR+e-γu（f（π（x），z）-π（x，π（x），f（π（x，z））ν（dz）。从（U1）和（P1）中观察，序列（JT（x，π））T∈Nis不减损，每x从下到下以0为界∈ R+和π∈ Π. 此外，JT（x，π）≤dw（x）1- x的αβ∈ R+，π∈ π，T∈ N.的确，首先请注意，通过（U2），我们得到πT0（hT）=u（xT）- πT（hT））≤ u（xT）≤ dw（xT）≤dw（xT）1- αβ，hT∈ 嗯。（7） 现在利用（5）和k:=T-1，vT（hT）：=dw（xT）/（1）- 算子LπT的αβ、（7）和单调性-我们得到了πT-1（LπT0）（hT）-1) ≤ LπT-1.dw1- αβ（hT）-1) ≤ dw（xT）-1） +αβdw（xT-1)1 - αβ=dw（xT-1)1 - αβ.继续这个过程，我们最终推断jt（x，π）=（Lπ）o . . . o LπT）0（x）≤ （Lπ）o . . . o LπT-2)dw1- αβ（十）≤ . . .≤ dw（x）+αβdw（x）1- αβ=dw（x）1- αβ.通过以上讨论→∞JT（x，π）对于每个x都存在∈ R+和π∈ Π.问题陈述。对于初始收入x∈ R+与政策π∈ 我们将有限时间范围内的非预期贴现效用定义为以下j（x，π）：=limT→∞JT（x，π）。（8） 代理的目的是在有限的时间范围内找到非预期贴现效用的最优值（所谓的价值函数）和策略π*∈ 其中j（x，π）*) = supπ∈πJ（x，π），对于所有x∈ R+。备注1。当风险敏感系数γ→ 0+，则（8）中的非预期效用倾向于Brock和Mirman（1972）针对随机最优增长模型首次研究的冯·诺依曼·摩根斯坦预期效用。γ>0越大，风险规避者越多。我们在框架中使用的熵风险度量（见（3））也被称为指数确定性等价物。它可以用来研究具有鲁棒性偏好的模型。

这是因为，该度量具有稳健的表示，相对性作为惩罚函数，参见F¨ollmer and Schied（2004）或Ja!skiewicz and Nowak（2011b）。此外，正如Hansen和Sargent（1995）所指出的那样，这种递归的规范在风险敏感控制理论（见Whittle（1990））和Epstein和Zin（1989）使用的更普遍的递归效用规范之间架起了桥梁。3。为了解决上述问题，我们将使用动态规划方法。我们从定义一类函数开始，在这些函数中我们寻找最优方程的解。对于Borel可测函数v:R+7→ 将其w-范数定义为以下kVkw:=supx∈R+| v（x）| w（x）。设bw为所有Borel可测函数v:R+7的集合→ R与有限的w-标准一致。然后，（Bw，k·kw）是一个Banach空间（见Hern’andez Lerma和Lasserre（1999）中的命题7.2.1）。定义：={v∈ v是连续的，凹的，非递减的，非负的。注意，（B，k·kw）是作为Banach空间（Bw，k·kw）的闭子集的完备度量空间。现在我们准备好陈述我们的第一个结果。读者可参考Miao（2014）中的第20章，其中对该主题进行了详细讨论和进一步参考。定理1。假设（U1）-（U2）和（F1）-（F2）。然后，下面是霍尔德。（a） 存在唯一的函数V∈ B和我*∈ Φ使得v（x）=supy∈[0，x]u（x）- y）-βγlnZR+e-γV（f（y，z））ν（dz）（9） =u（x）- 我*（x） )-βγlnZR+e-γV（f（i）*（x） ，z）对于所有x∈ R+。此外，V是严格的concav e。（b） 函数x7→ 我*（x） 和x7→ C*（x） ：=x- 我*（x） 是持续的，不减损的。（c） V（x）=supπ∈πJ（x，π）=J（x，i*) 为了所有的x∈ R+，即存在一个最优的固定极化*.在本节中，我们假设（U1）-（U2）和（F1）-（F2）是令人满意的。Westart的结果将在许多地方使用。引理1。让v∈ B

然后是函数7→ bv（y）：=-γlnZR+e-γv（f（y，z））ν（dz）是连续的、凹的、非递减的、非负的。证据到（F1）我们有0≤ f（0，z）和0≤ v（0）≤ v（f（0，z））对于任意z∈ R+。因此，（P1）得到0≤ bv。此外，通过（F1），函数v（f（·，z））在每个z上都是非递减的∈ R+。因此，通过（P1），函数bv也是非递减的。同样地，再次利用（F1），我们发现v（f（·，z））对于每个z都是连续的∈ R+。因此，支配收敛定理暗示bv是连续的。最后，我们展示了bv的凹度。设y=λy′+（1）- λ） y′，其中λ∈ (0, 1). 通过（F1）它跟随着f（y，z）≥ λf（y′，z）+（1）- λ） f（y′，z），z∈ R+，并且通过v是非递减的凹的事实，我们得到了v（f（y，z））≥ v（λf（y′，z）+（1）- λ） f（y′，z））≥ λv（f（y′，z）+（1）- λ） v（f（y′，z）），z∈ R+。现在，属性（P1）和（P2）意味着bv（y）≥ -γlnZR+e-γ（λv（f（y′，z）+（1-λ） v（f（y′，z））ν（dz）≥ λbv（y′）+（1）- λ） bv（y′），（11）完成证明。引理2。假设我∈ Φ是一个非递减函数，因此x7→ 十、- i（x）也是不递减的。那么，无论如何∈ N函数x7→ JT（x，i）是不递减且连续的。证据注意，i是Lipschitz连续的，常数小于或等于1。我们按归纳法进行。对于T=1，断言为真（U1）。假设它适用于某些T∈ N.那么，JT+1（x，i）=u（x- i（x））-βγlnZR+e-γJT（f（i（x），z），i）ν（dz）。（12） 现在结论如下，引理1假设（U1）。引理3。假设i=1,2时giare为非递减且非负。那么接下来呢-γlnZR+e-γ（g（f（y，z））+g（f（y，z）））ν（dz）≤-γlnZR+e-γg（f（y，z））ν（dz）-γlnZR+e-γg（f（y，z））ν（dz。证据这个不等式来自附录中的命题1。它需要定义：=f（y，ξ），其中ξ是分布ν的随机变量，h:=e-γg，g:=e-γg。