基于配分函数法的联合多重分形分析：

（33）比较式（4）和式（33），我们得到了联合质量指数函数：τxy（p，q）=pγ2 ln2+τy（q）=pγ2 ln2-ln[pQy+（1）- py）Q]ln2。（34）由此得出αx=2τxy（p，q）p=γln2-βln 2pQyln py+（1- py）Qln（1- py）pQy+（1）- py）Q（35）和αy=2τxy（p，q）q=-ln 2pQyln py+（1）- py）Qln（1- py）pQy+（1）- py）Q.（36）我们立即得到αx和αyαx=γln2+βαy之间的关系。（37）这种关系解释了图1（i）中观察到的fxy（αx，αy）是沿着这条直线的曲线，而不是曲面，而线段（37）是fxy（αx，αy）在（αx，αy）平面上的投影。基于配分函数方法的联合多重分形分析我们现在导出αx（Q）和αy（Q）的主要几何性质。我们发现αy（Q）是Q的单调递减函数，因为αydQ=-ln 2pQy（1）- py）Q[ln-py- ln（1）- py）]hpQy+（1- py）Qi<0。（38）我们可以证明当Q→ ±∞. 我们将等式（36）改写如下αy=-ln 2ln py+[（1）- py）/py]Qln（1- py）1+[（1）- 我们可以得到αy，min=limQ→∞αy=min-在派伦2号，-ln（1）- py）ln2αy，max=limQ→-∞αy=max-在派伦2号，-ln（1）- py）ln2（40）因此，等式（36）的解存在且唯一当且仅当αy∈ [αy，min，αy，min]。解的显式形式是isQ=ln-日志[（1）- py）/py]αy+logpy- 1./自然对数py（1- py）.（41）此外，αyis的奇异谱的宽度αy=|ln（1）- py）- ln py | ln 2。（42）这些结果解释了图1（g）中等高线的平行观察。当Py=0.5时，αy=0。在这种情况下，度量既不是多重分形，也不是单分形，因为它均匀分布在支架上。根据式（37），我们得到了αxdQ=-βln2pqy（1- py）Q[ln-py- ln（1）- py）]hpQy+（1- py）Qi，（43），这表明αxis是Q的严格单调函数。

此外，很容易看出这一点αx，min=limQ→∞αx=min-在pxln2，-ln（1）- px）ln2αx，max=limQ→-∞αx=最大值-在pxln2，-ln（1）- px）ln2（44）因此，等式（35）的解存在，当且仅当αx是唯一的∈[αx，最小，αx，最大]。由于两个测度mx和my之间的对称性，如果我们知道αy的几何性质，αx的结果是明显的。联合多重分形分析基于配分函数方法10，我们现在开始研究多重分形谱fxy（αx，αy）的几何性质，其形式如下：fxy（αx，αy）=pαx/2+qαy/2- τxy（p，q）=pγln2+βαy+qαy-pγ2ln2+ln[pQy+（1- py）Q]ln 2=-Qln 2ln py+1.-皮皮Qln（1）- py）1+1.-皮皮Q+ln pQy+ln1 +1.-皮皮Qln2=ln2q1.-皮皮Qlnpy1-py+1 +1.-皮皮Q自然对数1 +1.-皮皮Q1 +1.-皮皮Q（45）很容易找到fxy（Q=0）=1和fxy（Q）=fxy(-Q） 其中fxy（Q），fxy（αx，αy；Q）。它表明fxy（αx，αy）相对于线Q=0对称，如图1（h）所示。此外，我们还获得了LIMQ→±∞fxy（p，q）=0。（47）取fxy（αx，αy）对Q的导数，我们得到fxy（Q）dQ=-Qln 2自然对数py（1- py）\"py1- pyQ/2+1.- 皮皮Q/2#-2.（48）当Q<0时，dfxy（Q）/dQ>0，因此fxy（Q）是Q的单调增函数。当Q>0时，dfxy（Q）/dQ<0，因此fxy（Q）是Q的单调递减函数。因此，fxy（Q）的最大值为1，最小值为0。这些特性说明了图1（h）中等高线的平行特征。我们注意到，数值结果与式（34）中的τxy（p，q）、式（35）中的αx（p，q）、式（36）中的αy（p，q）和式（45）中的fxy（p，q）的分析结果非常一致。结合式（41）和式（45），我们发现fxy（αx，αy）是αy的单变量函数，或使用式（37）的αxby的单变量函数。

应用MF-X-PF（q）的数值分析我们也将MF-X-PF（q）方法应用于同一个数学例子。结果如图2所示。我们发现，公式（19）、公式（15）和公式（20）中的三个理论关系得到了很好的验证。此外，我们再次观察到，经典配分函数法和直接确定法的结果彼此一致。我们注意到这项工作中研究的其他数学和经验样本也是如此。因此，在本文的其余部分中，我们将不展示直接测定法得到的结果。基于配分函数方法的联合多重分形分析11图2。基于MF-X-PF（q）方法对px=0.3和py=0.4的两个二项测度进行联合多重分形分析。（a） （b）tuxy（q，s，t）ln[mx（s，t）my（s，t）]1/2对lns的线性依赖性（c）tuxy（q，s，t）ln[uxy（q，s，t）]对lns的线性依赖性（d）质量指数函数τxy（q）。（e） 奇异强度函数α（q）。（f） 多重分形奇异谱fxy（α）。联合多重分形分析是二元分数布朗运动，我们进一步研究了使用单分形测度的MF-X-PF（p，q）算法。如果Mx和My是单分形的，根据定义inEq，我们有αx=αy=1和fxy=1。(2) [27, 68]. 连同等式（8c），我们得到τxy（p，q）=p/2+q/2- 1.（49）这些属性是单分形的指标。这里使用的数学模型是二元分数布朗运动（BFBMs）。BFBM的两个分量x（t）和y（t）是两个单变量分馏布朗运动，分别具有赫斯特指数Hxxy和Hy。

多元分数布朗运动的基本性质已经得到了全面的研究[69–71]。其他MF-DCCA算法的大量数值实验已经在使用二元分数布朗运动[41,57]进行。两个单变量FBM的两个Hurst指数hxxandhyyo及其互相关系数ρ是模拟算法的输入参数。使用REFS中描述的模拟程序。[70,71]，我们以Hxx=0.1、Hy=0.5和ρ=0.5的BFBM实现为例。BFBM的长度为2。使用MF-X-PF（p，q）算法对BFBM进行的联合多重分形分析如图3所示。图3（a）显示了联合配分函数χxy（p，q，s）相对于不同q和固定p=2的盒大小s的相应幂律依赖性。基于配分函数方法的联合多重分形分析12图3。Hxx=0.1，Hy=0.5，ρ=0.5的二元分数布朗运动的联合多重分形分析。（a） 对于固定p=2的不同q，χxy（p，q，s）对盒子大小s的幂律依赖性。（b） 质量指数函数τxy（p，q）函数由（a）得到。（c） 错误τxy（p，q）介于估计指数τxy（p，q）和理论函数p/2+q/2之间- 1.（d，e，f）奇异函数αx（p，q）和αy（p，q），以及从（b）中获得的多重分形谱fxy（αx，αy）。标度范围跨越两个数量级。直线的斜率给出了τxy（p，q）的估计值，其中p和q从-10到10，间距为0.1。由此产生的质量指数τxy（p，q）如图3（b）的等高线图所示。我们观察到τxy（p，q）随着p和q的增加而增加，轮廓曲线是平行线，平行线是均匀分布的。

这些特征表明τxy（p，q）是p和q的线性函数，是单分形的指标。为了进一步展示MFXPF算法的性能，我们计算了估计指数τxy（p，q）和理论指数之间的误差，如下所示：τxy（p，q）=τxy（p，q）- [p/2+q/2- 1]. 图3（c）显示了τxy（p，q）与p和q有关τxy（p，q）值小于0.15，这意味着算法给出了良好的估计。通过在数值上采用式（8）中的双勒让德变换，我们得到了奇异强度函数αx（p，q）和αy（p，q）以及多重分形谱fxy（αx，αy），其等高线图如图3（d，e，f）所示。奇异强度函数αx（p，q）和αy（p，q）接近1，表明函数αx（p，q）和αy（p，q）与阶数p和q无关。尽管每个函数αx（p，q）和αy（p，q）都有趋势，但理论函数αx（p，q）=1和αy（p，q）=1基本上是确定的，MF-X-PF算法能够正确捕捉BFBMs的单分形性质。图3（g）绘制了奇点谱fxy（αx，αy），它是一个曲面，并且奇点线是闭合曲线。很容易发现，基于配分函数方法13的绝大多数表面点多重分形分析几乎等于理论函数fxy（αx，αy）=1。我们观察到错误τxy（p，q）等于fxy（p，q）和1之间的差值，如Legendretransform所示。我们指出，使用直接测定法的结果与图3所示完全相同。因此，我们总结说，理论分析得到了数值结果的充分验证。5.

股票市场指数的应用我们现在应用MF-X-PF（p，q）算法来研究道琼斯工业平均指数（DJIA）和美国证券交易商协会自动报价（NASDAQ）指数每日波动时间序列的长期幂律互相关。日波动率定义为日收盘价对数差的绝对值：R（t）=ln P（t）- lnp（t）- 1） |，（50）式中，P（t）是t日的收盘价，已为道琼斯工业平均指数和纳斯达克指数检索。样本的时间段为1971年2月5日至2011年1月25日，包含10084个数据点。这两个指数的日回归时间序列如图S1所示（New J.Phys.online）。图4。使用MF-X-PF（p，q）方法对道琼斯工业平均指数和纳斯达克指数的每日波动率时间序列之间的交叉相关性进行联合多重分形分析。（a） 对于固定p=2的不同q，χxy（p，q，s）对盒子大小s的幂律依赖性。（b） 质量指数函数τxy（p，q）。（c） 奇异强度函数αx（p，q）。（d） 奇异强度函数αy（p，q）。（e） 多重分形函数fxy（p，q）。（f） 多重分形奇异谱fxy（αx，αy）。图4（a）显示了对数刻度上的联合配分函数χxy（p，q，s）对不同q和固定p=2的盒子大小s的依赖性。我们观察到基于配分函数方法的联合多重分形分析，14次幂律标度超过约1.5个数量级。指数τxy（p，q）的等高线图如图4（b）所示，其中p和q的变化范围为-10到10，间距为0.1。等高线不是直线，相邻曲线之间的间距也不是等距的。图4（c）和图。

4（d）分别说明了从τxy（p，q）数值获得的奇异强度函数αx（p，q）和αy（p，q）的等值线图。我们观察到奇点强度的值在0.6到1.2之间，分布良好。此外，奇点强度函数相对于p或q不是单调的。图4（e）说明了从勒让德变换获得的多重分形函数fxy（p，q），其值范围为0到1。在点（p，q）=（0，0）处达到最大值fxy（p，q）=1。在所研究的pand q区间内，较小的fxy（p，q）值集中在p和q值较大的区域。在图4（f）中，我们给出了奇异谱fxy（αx，αy）。这些经验发现表明，DJIA和NASDAQPOSSS的日波动率之间的交叉相关性具有多重分形性质，这与之前使用MF-XDFA、MF-X-DMA和MF-X-PF（q）方法得出的结果一致[26,28,41,72]。图5。比较DJIA指数和NASDAQ indexin在不同时间段（有和没有市场动荡）的每日波动时间序列之间的联合多重分形奇异谱fxy（αx，αy）。为了揭示这两个指数的日波动率之间的联合多重分形是否随时间而保持或变化，我们在移动窗口中以十年为基础进行MF-X-PF（p，q）分析，步长为一年。结果如图S2所示（New J.Phys.online）。我们在图5中显示了六个图。我们发现联合多重分形奇异谱fxy（αx，αy）随时间变化。此外，包括或排除金融动荡（高波动期）对XY（αx，αy）的形状有显著影响。在调查的样本期内，有两次臭名昭著的市场危机，1987年的黑色星期一和2008年的最新危机。

在相对平静的时期，fxy（αx，αy）轮廓看起来大致像美式足球。然而，当基于配分函数方法的联合多重分形分析包括其中一次危机时，等高线明显向西南延伸。换句话说，奇点强度αx和αy在地震期间的值要小得多。这其实并不令人惊讶，因为对于普通多重分形来说，这一特性已经得到了很好的证明[27]。我们对杜邦（纽约证券交易所代码DD）和埃克森美孚（纽约证券交易所代码XOM）两支股票在1970年1月5日至2015年9月1日期间重复相同的分析，包含11522个数据点。这两支股票的日收益时间序列如图S3所示（New J.Phys.online）。结果如图S4所示（New J.Phys.online）。在预期的情况下，观察到了非常相似的结果。调查了另外两对金融时间序列，结果如补充数据（New J.Phys.online）的图S5至图S8所示。其中一对是关于原油商品的，Arab Light to Usa和WTI Cushing。样本期为1991年1月3日至2012年12月18日，包含5510个数据点。另一对是关于从1994年1月5日到2015年9月1日期间，英镑（GBP）和美元（USD）每货币单位的特别提款权（SDR），包含5452个数据点。与二项式测度和分数布朗运动的结果相比，多重分形函数和多重分形奇异谱在所研究的不同数据集上表现出不同的形状。例如，在图4（f）中，金融市场数据存在明显的不对称性，光谱呈现拉伸形状，与图3（f）中的艺术BFBM数据形成鲜明对比。这些特征反映了财务指标的不规则非线性特征。大致上，光谱轮廓平行于对角线αx=αy（参见等式。

（37）），这是因为道琼斯工业平均指数和纳斯达克指数随着时间的推移而变化，因此波动率会在一定程度上延长。一个直接的推测是，如果相关系数ρ（Rx（t），Ry（t））更大，则相关系数ρ（αx，αy）更大。补充数据（New J.Phys.online）中的图S9验证了这一点。结论我们研究了基于两阶矩配分函数的联合多重分形分析的性质，称为MF-X-PF（p，q）。然后导出了单阶方法MF-XPF（q）。对这些方法的主要性质进行了分析。例如，对于MF-X-PF（q）方法，我们已经获得了联合质量指数函数和单个质量指数函数之间的关系，τxy（q）=[τX（q）+τy（q）]/2，这在文献中通过数值和经验观察到。我们将MF-X-PF（p，q）方法应用于多重分形二项测度。导出了交叉关联的质量函数、奇异强度和多重分形谱的表达式，与数值结果吻合得很好。通过使用无多重分形交叉相关的二元分馏布朗运动，我们进一步验证了该方法的性能。当应用于两个股票市场指数的每日波动性时间序列时，相互关系中有趣的多重分形得到证实。当我们使用常规确定方法和直接确定方法时，发现这些例子的多重分形性质是相同的。多重分形互相关分析已应用于许多领域，尤其是经济物理学。虽然有很多方法，但大多数方法只考虑一个矩序。自然，双阶方法，如MF-X-PF（p，q）可以发展为其他单阶方法。

我们预计，这种双阶方法将在金融时间序列分析中揭示新的程式化事实，可以用于校准基于事件的模型[73]。此外，从两个长程互相关时间序列中提取的联合多重分形性质具有潜在的应用价值。一种可能性是构造一个多尺度互相关测度，类似于其他DCCA系数[38,61,62,74,75]。另一种可能性是构建一个量化市场效率的指标[76–79]。一种相关的可能性是，除了波动性度量之外，还可以定量描述市场动荡的程度[80]。感谢裁判们提出的富有洞察力的建议。我们感谢国家自然科学基金（11375064和71131007）、长江学者和大学创新研究团队项目（IRT1028）以及中央大学基础研究基金的资助。参考文献[1]Antonia R A和Van Atta C W 1975 J.流体机械。67 273–288[2]梅内沃C、斯雷尼瓦桑K R、凯拉斯纳特P和范M S 1990 Phys。牧师。A 41894–913[3]林D C 2008 Physica A 387 3461–3470[4]波多布尼克B、霍瓦蒂克D、彼得森A M和斯坦利H E 2009程序。纳特尔。阿卡德。Sci。U.S.A.106 22079–22084[5]Siqueira Jr E L、Stoˇsi\'c T、Bejan L和Stoˇsi\'c B 2010 Physica A 389 2739–2743[6]Wang Y D、Wei Y和Wu c F 2010 Physica A 389 5468–5478[7]He L Y和Chen S P 2011混沌、孤子和分形44 355–361[8]Zhou W X 2012 Quant。财务12 1253–1263[9]周W X 2012新J.Phys。14 023055[10]庄X，魏Y和张B 2014 Physica A 399 113–125[11]克拉夫琴科A N，布洛克D G和夸耀C W 2000 Agron。J.92 1279–1290[12]Zeleke T B和Si B C 2004 Agron。J.96 1082–1090[13]Shadkhoo S和Jafari G R 2009欧元。菲斯。J