基于配分函数法的联合多重分形分析：

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英文标题：
《Joint multifractal analysis based on the partition function approach:
  Analytical analysis, numerical simulation and empirical application》
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作者：
Wen-Jie Xie and Zhi-Qiang Jiang and Gao-Feng Gu and Xiong Xiong and
  Wei-Xing Zhou
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Many complex systems generate multifractal time series which are long-range cross-correlated. Numerous methods have been proposed to characterize the multifractal nature of these long-range cross correlations. However, several important issues about these methods are not well understood and most methods consider only one moment order. We study the joint multifractal analysis based on partition function with two moment orders, which was initially invented to investigate fluid fields, and derive analytically several important properties. We apply the method numerically to binomial measures with multifractal cross correlations and bivariate fractional Brownian motions without multifractal cross correlations. For binomial multifractal measures, the explicit expressions of mass function, singularity strength and multifractal spectrum of the cross correlations are derived, which agree excellently with the numerical results. We also apply the method to stock market indexes and unveil intriguing multifractality in the cross correlations of index volatilities.
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中文摘要：
许多复杂系统都会产生多重分形时间序列，这些时间序列是长程互相关的。人们提出了许多方法来描述这些长程互相关的多重分形性质。然而，关于这些方法的几个重要问题还没有得到很好的理解，大多数方法只考虑一阶矩。我们研究了基于二阶矩配分函数的联合多重分形分析，它最初是为了研究流体场而发明的，并从解析角度推导了几个重要性质。我们将该方法数值应用于具有多重分形互相关的二项式测度和不具有多重分形互相关的二元分数布朗运动。对于二项式多重分形测度，导出了互相关的质量函数、奇异强度和多重分形谱的显式表达式，与数值结果非常吻合。我们还将该方法应用于股票市场指数，揭示了指数波动率交叉相关性中有趣的多重分形。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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PDF下载：
--> Joint_multifractal_analysis_based_on_the_partition_function_approach:_Analytical.pdf (518.9 KB)

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关键词：Multifractal correlations Applications Mathematical volatilities

基于分区函数法的联合多重分形分析：分析分析、数值模拟和实证应用谢文杰1,2,3、姜志强1,2、高峰谷1,2、雄雄4,5、周伟星1,2,6华东科技大学商学院上海200237华东科技大学中国经济物理研究中心，上海200237，华东科技大学中国博士后研究站，上海200237，天津大学中国管理与经济学院，天津300072，天津大学中国社会计算与分析中心，天津300072，华东科技大学中国数学系，上海200237，中国电邮：xxpeter@tju.edu.cn和wxzhou@ecust.edu.cnAbstract.许多复杂系统都会产生多重分形时间序列，这些时间序列是长程互相关的。人们提出了许多方法来描述这些长程互相关的多重分形性质。然而，关于这些方法的几个重要组织还没有得到很好的理解，大多数方法只考虑一个矩阶。我们研究了基于两阶矩分函数的联合多重分形分析，该分析最初是为了研究流场而发明的，并从分析角度推导了几个重要性质。我们将该方法数值地应用于具有多重分形互相关的二项式测度和不具有多重分形互相关的二元分形布朗运动。对于二元多重分形测度，导出了互相关的质量函数、奇异强度和多重分形谱的显式表达式，与数值结果吻合得很好。

我们还将该方法应用于股票市场指数，揭示了指数波动率交叉相关性中有趣的多重分形。关键词：联合多重分形分析，配分函数，互相关，经济物理学。基于配分函数方法的联合多重分形分析21。引言从不同视角对复杂演化系统的测量为我们提供了许多时间序列，这些时间序列通常是长程交叉相关的，并表现出多重分形性质。在湍流中，有速度场、温度场和浓度场嵌入在同一个空间域中。可以在执行位置测量这些量，以获得相互关联的时间序列[1,2]。在金融市场中，也有许多相互关联的对，例如市场指数波动率、不同市场的价格回报率、不同股票的价格回报率、同一股票的不同数量[3–10]。

此外，例子来自非常不同的领域，包括农学[11,12]、地震数据[13]、气象学[14-16]、医学[17,18]、地球物理学[19]、交通[20-22]，等等。为了提取一对多重分形时间序列之间的联合多重分形，已经开发了多种方法，例如基于配分函数方法[27]执行联合多重分形分析[1,2,23–26]的MF-X-PF方法，基于去趋势函数分析[29,30]执行多重分形去趋势互相关分析[28]，多重分形去趋势波动分析[31-33]，以及去趋势互相关分析[4,34-40]，基于去趋势移动平均分析[42-52]和多重分形去趋势移动平均分析[53,54]以及多重分形高度互相关分析（MF-HXA）方法[55]进行多重分形去趋势互相关分析的MF-X-D方法[41]，多尺度多重分形去趋势互相关分析（MMDCCA）[56]，以及MF-DPXA方法[57]，该方法推广了考虑部分相关性的去趋势部分互相关分析[58,59]。适当设计的统计测试可用于量化这些相互关系[60–62]。联合多重分形分析是一种经典方法，已被用于研究自然和社会科学[3,11,12,14,15,17,26]中记录的不同时间序列对之间的联合多重分形性质。由于其优雅的几何性质，可以导出许多重要的性质，但在上述其他方法的框架中，这是非常困难的。

虽然αx和αx之间的分析结果（例如，fxceafy和αx）和多重分形（例如，fxceafy和αx）之间没有解决。此外，原始的MF-X-PF方法很重要，因为它处理两个不同阶数的矩，而最近的多重分形互相关分析方法只关注一个阶数。在这项工作中，我们恢复了单阶MF-X-PF方法[26]，并利用双阶MF-X-PF框架[2]的思想，提出了多重分形谱的直接确定方法。基于这个框架，我们能够导出单阶MF-X-PF方法的重要几何性质。我们使用不同的数学模型进行数值模拟，并对多重分形多项式测度的结果进行分析解释。最后，我们将双阶MF-X-PF方法应用于股票市场指数。基于配分函数方法的联合多重分形分析32。联合多重分形分析基于配分函数法。在本节中，我们首先提出了基于两阶矩的配分函数法的联合多重分形分析[2]，缩写为MF-X-PF（p，q），然后推导了最近独立提出的单阶方法MF-X-PF（q）[26]。虽然一阶方法的联合配分函数χxy（q，s）可以通过设定p=q直接从二阶方法的联合配分函数χxy（p，q，s）中恢复，但我们将证明这两种方法的多重分形性质之间的联系是不明显的，这是应用最速下降法造成的。2.1. MF-X-PF（p，q）基于盒计数思想，将几何支撑划分为大小不同的盒。我们在第t框中考虑两个综合度量mx（s，t）和my（s，t）。

局部奇异强度αx和αy根据以下关系定义：mx（s，t）~ sαx，（1a）和my（s，t）~ sαy.（1b）设Ns（αx，αy）表示覆盖奇点强度在αx和αy附近且带dαx和dαy的点集所需的大小为s的盒的数量。因此，该集的分形维数根据[64]Ns（αx，αy）确定~ s-fxy（αx，αy），（2）其中fxy（αx，αy）是两个奇异强度[2]或联合多重分形谱的联合分布。我们考虑联合配分函数χxy（p，q，s）=Xt[mx（s，t）]p/2[my（s，t）]q/2。（3） 该定义与参考文献[2]中的定义略有不同，参考文献[2]中的顺序是p和q，而不是p/2和q/2。在这个设置中，当mx=myand p=q[27]时，我们恢复了传统的分区函数。联合质量指数函数τxy（p，q）可以通过以下关系式χxy（p，q，s）获得~ sτxy（p，q）。（4） 在实践中，对于给定的一对（p，q），我们计算各种盒子尺寸的χxy（p，q，s），并在适当的标度范围内对lnχxy（p，q，s）与lns进行线性回归，以获得τxy（p，q）。我们将等式（1）中的两个关系插入到联合配分函数中，将其改写为αx和αy上的二重积分，然后应用最速下降法估计小s值下的积分，从而得到τxy（p，q）=pαx/2+qαy/2- fxy（αx，αy），（5）基于配分函数方法的联合多重分形分析fxy（αx，αy）/αx=p/2，（6a）和fxy（αx，αy）/αy=q/2。（6b）取式（5）对p的偏导数，我们得到τxy（p，q）/p=αx/2。（7） 类似的推导可以在q上进行，我们可以得到双勒让德变换αx=2τxy（p，q）/p、 （8a）αy=2τxy（p，q）/q、 （8b）fxy（αx，αy）=pαx（p，q）/2+qαy（p，q）/2- τxy（p，q）。（8c）因此，在获得τxy（p，q）后，我们可以数值确定αxusing等式（8a），αyusing等式。

（8b）和fxy（αx，αy），使用公式（8c）。从规范的角度来看，我们可以直接获得fxy（αx，αy）函数[2,65,66]。将标准度量定义为uxy（p，q，s，t）=[mx（s，t）]p/2[my（s，t）]q/2Pt[mx（s，t）]p/2[my（s，t）]q/2，（9）两个奇异强度αx（p，q）和αy（p，q）以及联合多重分形谱fxy（p，q）可通过对数标度中的线性回归，使用以下等式计算：αx（p，q）=lims→0Ptuxy（p，q，s，t）ln mx（s，t）ln s，（10a）αy（p，q）=lims→0Ptuxy（p，q，s，t）ln my（s，t）ln s，（10b）fxy（p，q）=lims→0Ptuxy（p，q，s，t）ln[uxy（p，q，s，t）]ln s.（10c）可使用式（5）获得联合质量指数函数。2.2。MF-X-PF（q）参考文献[26]中提出的基于统计矩的多重分形互相关分析（MFSMXA）实际上是p=q时MF-X-PF（p，q）的一个特例。为了一致性，我们在这里称之为itMF-X-PF（q）。在这种情况下，我们有χxy（q，s）=Xt[mx（s，t）my（s，t）]q/2~ 其中τxy（q，q），τxy（q）。应用最速下降法，等式（5）变成τxy（q）=q（αx+αy）/2- fxy（αx，αy），（12）基于配分函数方法的联合多重分形分析fxy（αx，αy）/αx=fxy（αx，αy）/αy=q/2。（13） 取等式（12）对q的导数，并使用等式（13），我们得到τxy（q）dq=αx+qdαxdq+αy+qdαydq-fxyαxdαxdq-fxyαydαydq=αx+αy.（14）定义αxy，[αx（q）+αy（q）]/2，（15）等式（14）和等式（12）可重写如下：αxy=dτxy（q）/dq，（16a）fxy（αxy（q））=qαxy（q）- τxy（q），（16b），其中fxy（αxy），fxy（αx，αy）。我们注意到等式（16）具有相同形式的伦德变换[27]。由于αx=dτx（q）/dq和αy=dτy（q）/dq[27]，很容易验证以下关系式τxy（q）=[τx（q）+τy（q）]/2+C（17）满足等式（16a），其中C是常数。根据等式。

（11） ，我们有χ（0，s）~sτxy（0）~ s-D、 用于测量几何支撑的分形维数。由此得出τxy（0）=-D=-1.（18）组合等式。（17） 和（18）并使用τx（0）=τy（0）=-1，我们有C=0，因此τxy（q）=[τx（q）+τy（q）]/2。（19） 将式（15）和式（19）插入式（16b）中，我们得到fxy（q）=[fx（q）+fy（q）]/2。（20） 我们注意到，当D6=1时，等式（19）和等式（20）仍然成立。在这种情况下，我们使用τxy（0）=τx（0）=τy（0）=-进行推导。使用MF-X-DFA方法[28]、MF-X-DMA方法[41]和MF-X-PF（q）方法[26]对这些关系进行了数值观察。如等式（11）所示，问题在于处理一个度量[mx（s，t）my（s，t）]1/2。从规范的角度来看，我们可以直接得到fxy（αxy）函数[2,65,66]。我们可以定义标准度量uxy（q，s，t）=[mx（s，t）my（s，t）]q/2Pt[mx（s，t）my（s，t）]q/2。（21）基于配分函数方法的联合多重分形分析6两个奇异强度αx（p）和αx（p）以及联合多重分形谱fxy（p，q）可以通过对数-对数尺度的线性回归，使用以下方程计算：αxy（q）=lims→0Ptuxy（q，s，t）ln[mx（s，t）my（s，t）]1/2ln s=αx（q）+αy（q），（22a），其中等式（10a）和等式（10b）用于第二等式，fxy（αxy（q））=lims→0Ptuxy（q，s，t）ln[uxy（q，s，t）]ln s.（22b）可使用等式（16b）获得联合质量指数函数。联合多重分形分析是一种二项测量方法。1.数值分析应用MF-X-PF（p，q）我们对两个二项式测度进行联合多重分形数值分析[67]。我们使用px=0.3和py=0.4，并生成两个长度为2的二项式度量。图1（a）显示了在对数刻度上，对于固定的p=2的不同qx，χxy（p，q，s）与盒子大小s的依赖关系。很明显，不同q的曲线表现出良好的幂律关系。

通过lnχxy（p，q，s）与Lns的线性回归得到的幂律指数是质量指数τxy（p，q）的估计值，其等高线图如下图所示。1（e）。我们发现τxy（p，q）随着p和q的增加而增加。采用等式（8）中的双勒让德重传，我们在数值上获得了奇异函数αx（p，q）和αy（p，q）以及多重分形谱fxy（p，q），其等高线图分别如图1（fh）所示。我们发现αx（p，q）和αy（p，q）是p和q的递减函数，而fxy（p，q）是马鞍形的。一个有趣的特征是，αx（p，q）、αy（p，q）和fxy（p，q）的等高线彼此平行。图1（i）绘制了奇异谱fxy（αx，αy），它不是一个曲面，而是一条曲线。我们还使用公式（10）中给出的直接确定方法计算多重分形函数，以进行比较。在图1（b）至图1（d）中，我们分别说明了不同q（固定p=2）的tuxy（2，q，s，t）ln[mx（s，t）]、Ptuxy（2，q，s，t）ln[my（s，t）]和Ptuxy（2，q，s，t）]ln与ln s的线性相关性。奇异强度函数αx（p，q）和αy（p，q）以及多重分形谱fxy（p，q）是根据这三个图中直线的斜率计算出来的。相应的等高线图如图1（j）至图1（l）所示，与图1（f）至图1（h）中的等高线图相同。图1所示的数值结果可以用解析法推导。3.2. MF-X-PF（p，q）的分析结果让我们从长度为2L的两个多重分形二项式度量开始。考虑尺寸为s=2l的盒子中的两个综合测量值mx（s，t）和my（s，t）。基于配分函数法的n型点多重分形分析7图1。基于双阶MF-X-PF（p，q）方法，对px=0.3和Py=0.4的两个二项测度进行联合多重分形分析。

（a） 对于固定p=2的不同q，χxy（p，q，s）对盒子大小s的幂律依赖性。（b） 对于固定p=2的不同q，tuxy（2，q，s，t）ln[mx（s，t）]对ln s的线性依赖性。（c） 对于固定p=2的不同q，tuxy（2，q，s，t）ln[my（s，t）]与ln s的线性相关性。（d） 对于固定p=2的不同q，tuxy（2，q，s，t）ln[uxy（2，q，s，t）]对ln s的线性依赖性。（e-i）质量指数函数τxy（p，q），奇异函数αx（p，q）和αy（p，q），以及从（a）中获得的多重分形谱fxy（p，q）和fxy（αx，αy）。（j） 奇异函数αx（p，q）由（b）得到。（k） 奇异函数αy（p，q）由（c）得到。（l） 由（d）得到的多重分形谱fxy（p，q）。综合测量值不同的盒子，其中CHN=L- l=l-在sln 2。（23）对于t盒，我们有mx（s，t）=mx（2n+1，t）=pkx（1）- px）n-k、 （24a）my（s，t）=my（2n+1，t）=pky（1）- py）n-k、 （24b）其中k∈ {1，…，n}。下面是k=ln my（s，t）- n ln（1）- py）ln-py- ln（1）- py）。（25）将等式（25）插入等式（24a），我们得到mx（s，t）=C（s）[my（s，t）]β=e-γLsγ/ln2[my（s，t）]β，（26），其中β=ln px- ln（1）- px）ln-py- ln（1）- py）（27）基于配分函数方法8和γ=βln（1）的联合多重分形分析- py）- ln（1）- px）。（28）注意，β和γ仅取决于px和py。当px+py=1时，我们有β=-1.当px=py时，β=1，C（s）=1。当Px和Py都大于0时。5或小于0.5，即- 0.5）（py- 0.5）>0，我们有β>0；否则，当（px- 0.5）（py- 0.5）<0，我们有β<0。结合式（3）和式（26），我们得到χxy（p，q，s）=C（s）p/2Xt[my（s，t）]q（29），其中q=βp/2+q/2。（30）因为my是多重分形测度，所以我们有xt[my（s，t）]Q~ 其中τy（Q）有一个解析表达式[27]：τy（Q）=- ln[pQy+（1）- py）Q]/ln2。（32）联合配分函数可以改写为χxy（p，q，s）~ spγ2-ln2e-pγLsτy（Q）。