均值回复投资组合：稀疏性和波动性之间的权衡

我们证明，方差和支持大小的这些界限，以及我们的均值回归新标准，可以显著提高均值回归统计套利策略的性能，并提供有用的控制，以根据不同的交易条件调整均值回归策略，尤其是流动性风险和成本环境。参考资料a。巴维诺。凸性课程。美国数学学会，2002年。R.Bewley、D.Orden、M.Yang和L.A.Fisher。VEC（1）模型中协整向量Box Tiao和Johansen标准估计的比较。《经济计量学杂志》，64:3–27，1994年。Gep盒和GC条。对多个时间序列的规范分析。Biometrika，64（2）：355-365，1977年。斯蒂芬·博伊德和利文·范登伯格。凸优化。剑桥大学出版社，2004年。L.砖匠。在矩阵的值域上。《美国数学学会会刊》，1961年，第61-66页。马可·库图里和亚历山大·德阿斯普雷蒙。方差阈值的均值回归。《2013年机器学习国际会议记录》，2013年。亚历山大·阿斯普雷蒙。识别小型均值回复投资组合。《定量金融》，11（3）：351-3642011。亚历山大·德斯普雷蒙、劳伦特·盖伊、迈克尔·乔丹和格特·兰克瑞特。使用半有限规划的稀疏PCA直接公式。《暹罗评论》，49（3）：434-4482007。R.埃利和G.-E.埃斯皮诺萨。均值回复扩散的最佳停止：将相对距离最小化到最大值。hal-005734292011。罗伯特·F·恩格尔和C·W·J·格兰杰。协整和误差修正：表示、估计和测试。《计量经济学》，55（2）：251-2761987。J.D.汉密尔顿。时间序列分析，第2卷。剑桥大学出版社，1994年。约翰森。协整：一项调查。帕尔格雷夫计量经济学手册，12005年。索伦·约翰森。

美国向量自回归模型中协整向量的估计和假设检验。《计量经济学》，59（6）：1551-801991年11月。瑟伦·约翰森。协整：概述和发展。在托本·古斯塔夫·安徒生、理查德·戴维斯、延斯·彼得·克雷和托马斯·V·米科什的《金融时间序列手册》中，编辑们。斯普林格，2004年。Jakub W.Jurek和Halla Yang。套利中的动态投资组合选择。SSRN eLibrary，2007年。内政部：10.2139/ssrn。882536.B.凯德姆和S.亚科维茨。通过高阶交叉进行时间序列分析。IEEE出版社Piscataway，NJ，1994年。J.刘和A.蒂默尔曼。最优套利策略。技术报告，加州大学圣地亚哥分校工作文件，2010年。G.M.Ljung和G.E.P.Box。关于时间序列模型中缺乏fit的度量。Biometrika，65（2）：297-3031978。L.Lov\'asz和A.Schrijver。矩阵和集合函数的锥和0-1优化。暹罗优化杂志，1（2）：166-1901991。H.L–乌特克波尔。多重时间序列分析的新介绍。斯普林格，2005年。GS Maddala和I.M.Kim。单位根、协整和结构变化。剑桥大学公共关系，1998年。卡尔·索斯特兰、克莱门森、拉斯穆斯·拉森和比亚恩·厄斯贝尔。Spash：用于稀疏统计建模的matlab工具箱。《统计软件杂志》，2012年。J.H.Stock和M.W.Watson。测试共同趋势。《美国统计协会杂志》，第1097-11071988页。瑞斯蔡。《金融时间序列分析》，第543卷。威利国际科学出版社，2005年。L.Vandenberghe和S.Boyd。半定义编程。《暹罗评论》，38（1）：49-951996年。唐纳德·维萨克。平稳高斯过程的期望零数。《数理统计年鉴》，第1043-1046页，1965年。邹晖、特雷弗·黑斯蒂和罗伯特·蒂布什拉尼。稀疏主成分分析。

计算与图形统计杂志，15（2）：265–2862006.0.40.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6x10-3.-3.-2.5-2.-1.5-1.-0.500.511.52交易成本（美元，每合同单位）夏普比率平均夏普比率PCAsPCA sp:0.3PCA sp:0.5sPCA sp:0.7波特sp:0.3 vol:0.3Pred sp:0.3 vol:0.3Cros sp:0.3 vol:0.3图3:Jurek和Yang[2007]交易策略的平均夏普比率，使用不同的篮子估计方法，在大约922个交易事件中捕获。这922个交易事件是通过考虑我们市场样本中的7个不相交的时间窗口获得的，每个时间窗口的长度约为一年。每个时间窗口被分成85%的样本数据来估计篮子，15%的样本数据用于测试策略。在每个时间窗口上，使用部门信息对该时期的210个可交易资产集进行聚类，并对每个聚类进行筛选（在时间窗口的样本部分），通过贪婪地选择协方差矩阵中最小特征值的股票子集，寻找8到12个最有希望的均值回归篮子。对于每一个交易事件，相同的股票被输入不同的均值回归算法。由于波动时间序列是有界且非常平稳的，我们考虑PCA方法，该方法使用时间序列协方差矩阵的最小特征值的特征向量来定义协整关系。

除了标准PCA，我们还考虑了具有最小特征值的稀疏PCA特征向量，特征向量的支持大小k（结果篮子的大小）限制为所考虑资产总数的30%、50%或70%。我们还考虑了方差阈值为ν=0.2的portmanteau、可预测性和交叉统计估计技术，以及一个规模为k（有效交易的资产数量）的支持，其目标是所考虑的宇宙规模的30%左右（其本身介于8和12之间）。从图中可以看出，随着交易成本的增加，所有交易方式的夏普比率都会降低。在假设成本很高的情况下，人们预计稀疏篮子的表现会更好，这一点在这里确实可以观察到。由于夏普比率和交易成本之间的关系可以有效地概括为线性关系，因此我们在图4和图5所示的图中提出了一种方法，用两个数字分别总结上述各行：它们的截距（在准无成本情况下的夏普水平）和斜率（夏普随着成本增加而降低）。这种可视化有助于观察稀疏性（篮子大小）和波动性阈值如何影响我们提出的策略对成本的稳健性。

通过这种可视化，我们可以观察这些参数设置对性能的影响。-3.5-3.-2.5-2.-1.5-1.-0.50.511.522.533.5夏普/成本曲线斜率（成本增加时夏普变化）截距（成本最低时夏普）篮子大小波动阈值PCASPCA sp:0.3sPCA sp:0.5sPCA sp:0.7Portmanteau（a）-3.5-3.-2.5-2.-1.5-1.-0.50.511.522.533.5夏普/成本曲线斜率（成本增加时夏普变化）截距（成本最低时夏普）篮子大小波动性阈值PCASPCA sp:0.3sPCA sp:0.5sPCA sp:0.7可预测性（b）图4:X轴低成本设置（截距）下夏普与不同估值器的夏普对成本的稳健性（夏普/成本曲线斜率）之间的关系不同的波动性水平ν和稀疏性水平sk被参数化为宇宙大小的倍数。上图中的每个彩色方块对应于给定估计器（Portmanteauin子图（a），子图（b）中的可预测性）的性能，使用不同的参数表示∈ {0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5}和u∈ {0.3, 0.5, 0.7}. 每个实验所用的参数用箭头显示，箭头的垂直长度与ν成正比，水平长度与u成正比。-3.5-3.-2.5-2.-1.5-1.-0.50.511.522.533.5夏普/成本曲线斜率（成本增加时夏普变化）截距（成本最低时夏普）篮子大小波动阈值PCASPCA sp:0.3sPCA sp:0.5sPCA sp:0.7交叉统计（c）图5：使用交叉统计（c）与图4相同的设置。