均值回复投资组合：稀疏性和波动性之间的权衡

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英文标题：
《Mean-Reverting Portfolios: Tradeoffs Between Sparsity and Volatility》
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作者：
Marco Cuturi, Alexandre d\'Aspremont
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Mean-reverting assets are one of the holy grails of financial markets: if such assets existed, they would provide trivially profitable investment strategies for any investor able to trade them, thanks to the knowledge that such assets oscillate predictably around their long term mean. The modus operandi of cointegration-based trading strategies [Tsay, 2005, {\\S}8] is to create first a portfolio of assets whose aggregate value mean-reverts, to exploit that knowledge by selling short or buying that portfolio when its value deviates from its long-term mean. Such portfolios are typically selected using tools from cointegration theory [Engle and Granger, 1987, Johansen, 1991], whose aim is to detect combinations of assets that are stationary, and therefore mean-reverting. We argue in this work that focusing on stationarity only may not suffice to ensure profitability of cointegration-based strategies. While it might be possible to create syn- thetically, using a large array of financial assets, a portfolio whose aggre- gate value is stationary and therefore mean-reverting, trading such a large portfolio incurs in practice important trade or borrow costs. Looking for stationary portfolios formed by many assets may also result in portfolios that have a very small volatility and which require significant leverage to be profitable. We study in this work algorithmic approaches that can take mitigate these effects by searching for maximally mean-reverting portfo- lios which are sufficiently sparse and/or volatile.
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中文摘要：
均值回复资产是金融市场的圣杯之一：如果这类资产存在，它们将为任何能够交易它们的投资者提供微利的投资策略，因为他们知道这类资产会在其长期均值附近以可预测的方式波动。基于协整的交易策略[Tsay，2005，{S}8]的操作方法是首先创建一个总价值均值回归的资产组合，当其价值偏离长期均值时，通过卖空或购买该组合来利用这一知识。这类投资组合通常使用协整理论中的工具进行选择[Engle and Granger，1987年，Johansen，1991年]，其目的是检测平稳的资产组合，从而进行均值回复。在这项工作中，我们认为仅仅关注平稳性可能不足以确保基于协整的策略的盈利能力。虽然可以使用大量金融资产以同步方式创建一个总价值固定的投资组合，因此均值回归，但交易如此庞大的投资组合在实践中会产生重要的交易或借贷成本。寻找由许多资产组成的固定投资组合也可能会导致波动性非常小的投资组合，需要大量杠杆才能盈利。我们在这项工作中研究了算法方法，可以通过搜索足够稀疏和/或不稳定的最大均值回复端口来减轻这些影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
--> Mean-Reverting_Portfolios:_Tradeoffs_Between_Sparsity_and_Volatility.pdf (481.95 KB)

2022-5-9 05:27:58 上传

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关键词：投资组合 均值回复 波动性 Applications epidemiology

均值回复投资组合：稀疏性和波动性之间的权衡Marco Cuturi京都大学研究生院Universitymcuturi@i.kyoto-u、 ac.jpAlexandre d\'AspremontD。一、UMR CNRS 8548高等师范学院，aspremon@ens.frSeptember2015年12月22日抽象平均值回复资产是金融市场的圣杯之一：如果存在此类资产，它们将为任何能够交易这些资产的投资者提供微不足道的投资策略，因为他们知道此类资产可预测地围绕其长期平均值波动。基于协整的交易策略[Tsay，2005，§8]的操作模式是首先创建一个总价值均值回归的资产组合，当其价值偏离长期均值时，通过卖空或购买该组合来利用这一知识。这类投资组合通常使用协整理论中的工具进行选择[Engle and Granger，1987年，Johansen，1991年]，其目的是检测静态资产组合，从而进行均值回复。在这项工作中，我们认为仅仅关注平稳性可能无法确保基于整合的策略的可行性。虽然可以使用大量金融资产，综合创建一个总价值固定且因此均值回复的投资组合，但交易如此庞大的投资组合在实践中会产生重要的交易或借贷成本。寻找由许多资产组成的静态投资组合也可能会导致投资组合波动性很小，需要显著的杠杆才能盈利。

在这项工作中，我们研究了算法方法，可以通过搜索有效稀疏和/或不稳定的最大均值回复投资组合来缓解这些影响。1引言均值回复资产，即价格在长期均值附近可预测波动的资产，为投资者提供了理想的投资机会。由于他们倾向于回落到给定的价格水平，当资产价格低于该平均值时购买资产，或当资产价格高于该平均值时卖空资产的天真的反向策略是可行的。毫不奇怪，在高效的市场上很难找到具有显著回归意味的资产。每当在单一资产中观察到均值回归时，几乎总是有可能从中获利：该资产通常具有极低的波动性、流动性差、难以卖空，或者其均值回归可能发生在持有或卖空资产的借款成本可能超过这种反向策略预期的任何收益的时间尺度（月、年）。1.0.1合成均值回复篮子由于均值回复资产很少出现在流动性市场中，投资者转而专注于创造能够模仿单一均值回复资产性质的合成资产，并将此类合成资产当作单一资产进行交易。这种合成资产通常是通过组合各种流动资产的多头和空头头寸来设计的，以形成均值回复投资组合，其总价值表现出显著的均值回复。然而，构建这样的综合投资组合具有挑战性。

简单的描述性统计和单位根检验程序可用于测试单个资产是否为均值回复，构建均值回复投资组合需要找到一个适当的代数权重向量（多头和空头头寸），该向量描述了具有均值回复总值的投资组合。从这个意义上说，均值回复投资组合是由投资者制定的，不能简单地在可交易资产之间进行组合。均值回复投资组合的特征是投资者选择的资产池（从向量的维度开始），以及投资组合中每个资产的固定名义数量（或权重），投资者也需要设置这些资产。当只考虑两种资产时，这类篮子通常被称为多空交易对。在本文中，我们考虑由两个以上资产构成的篮子。1.0.2具有充分波动性和SparsityA均值回复投资组合的均值回复篮子必须表现出充分的均值回复，以确保反向策略是可行的。为了满足这一要求，投资者依赖协整理论[Engle和Granger，1987年，Maddala和Kim，1998年，Johansen，2005年]，利用历史数据估计具有平稳性（因此意味着回归）的资产线性组合。在这项工作中，正如我们在早期参考文献[d\'Aspremont，2011年，Cuturi和d\'Aspremont，2013年]中所做的那样，我们论证了均值回复策略不能仅仅依赖于这种方法的可行性。只有当套利机会足够大，可以在不使用太多杠杆或不产生太多交易成本的情况下进行交易时，套利机会才能存在。对于均值回复篮子，这一条件自然转化为第一个要求，即篮子估值与其长期平均值之间的差距平均足够大，即篮子价格具有足够的方差或波动性。

第二个可取的特性是均值回复投资组合需要交易尽可能少的资产以最小化成本，即该投资组合的权重向量是稀疏的。我们在这项工作中提出了最大化均值回归代理的方法，它可以同时考虑方差和稀疏性的约束。我们首先在第2节中提出了均值回归的三个代理。第3节定义了与这些数量对应的篮子优化问题。我们在第4节中展示了这些问题中的每一个都会自然地转化为半细化，从而使用sparsePCA技术产生精确或近似的解决方案。最后，我们在第5节中提供了数字证据，证明在交易成本不容忽视的交易环境中，考虑稀疏性和波动性可以显著提高均值回复交易策略的绩效。多元时间序列变量的稳定线性组合是计量经济学中的一个基本问题。这个问题的一个经典公式如下：给定一个向量值过程x=（xt）以时间t为索引，在rnan中赋值∈ N、 在不假设x的每个对偶分量的平稳性的情况下，我们可以估计y的一个或多个方向吗∈ 单变量过程（yTxt）是平稳的吗？当这样一个向量y存在时，过程x被称为协整的。协整技术的目标是检测和估计这样的方向。

当然，这种技术可以有效地隔离稀疏的均值回复篮子，它们的财务应用可以直接使用简单的事件触发器来购买、出售或简单地出售篮子[Tsay，2005，§8.6]，或者如果假设均值回复篮子值是Ohrstein-Ullenbeckprocess，正如[Jurek和Yang，2007年，Liu和Timmermann，2010年，Elie和Espinosa，2011年]中所讨论的那样。2.1相关工作和问题设置Engle和Granger[1987]在其开创性工作中提供了一种比较两个非平稳单变量时间序列（xt，yt）的第一种方法，并测试α项的存在性，例如yt- 它会变得静止不动。在这项开创性的工作之后，有人提出了几种技术来将这一想法推广到多元时间序列。正如Maddala和Kim[1998，§5]的调查所详述的，协整技术在时间序列本身所需的建模假设方面有所不同。一些被设计为只识别一个协整关系，而另一些被设计为检测其中的许多或所有关系。在这些参考文献中，Johansen[1991]提出了一种流行的方法来建立VAR模型，正如[Johansen，2005，2004]中所调查的那样。这些方法都讨论与计量经济学相关的问题，例如去趋势和季节性调整。他们中的一些人更具体地关注旨在检查这种协整关系是否存在的测试程序，而不是关系本身估计的稳健性。在这项工作中，我们遵循了d\'Aspremont[2011]提出的一种更简单的方法，即为一个更简单的优化框架权衡可解释性、测试和建模假设，该框架可以定制为包括平稳性以外的其他方面。

d\'Aspremont[2011]通过在Box和Tiao[1977]提出的可预测性标准中添加正则化因子实现了这一点。在本文中，我们遵循[Cuturi and d\'Aspremont，2013]中提出的方法，设计不依赖任何建模假设的均值回归代理。在这篇论文中，我们为正微分的n×n锥写了SNS。下面我们考虑一个多元随机过程x=（xt）t∈在Rn中输入值。我们写[xtk]≥ 0表示xtif的滞后协方差矩阵，如果它是有限的。使用（xt）的样本路径x，其中x=（x，…，xt）和每个xt∈ Rn，我们用Akdef=T来计算Ak的经验反部分- K- 1T-kXt=1xtxTt+k，~xtdef=xt-TTXt=1xt。（1） 考虑到∈ Rn，我们现在定义了三个指标，它们都可以解释为yTxt均值回归的近似值。可预测性——由Box和Tiao[1977]定义为平稳过程，由Bewley等人[1994]推广为非平稳过程——衡量序列与噪声的接近程度。portmanteau统计量Ljung and Box[1978]用于测试过程是否为白噪声。最后，交叉统计[Ylvisaker，1965]测量了一个过程在单位时间内交叉其平均值的可能性。在这三种情况下，这些标准的低值意味着快速的均值回归。2.2可预测性我们可以回忆一下Box和Tiao[1977]中导出的正则分解。假设xt遵循递归：xt=^xt-1+εt，（2）式中-1是XT的预测值，建立在记录到t的过程的过去值之上-1，ε是均值和协方差为零的i.i.d.高斯噪声向量∑∈ s所有变量的独立性（xr）r<t。

Box and Tiao[1977]中的规范分析如下所示。2.2.1单变量情况假设n=1，因此∑∈ R+，等式（2）导致toE[xt]=E[^xt-1] +E[εt]，因此通过分别引入Xt和Xt的方差σ和σ，1=σ+σ。Box和Tiaome通过比率λdef=^σ来测量Xt的可预测性。这个方差比背后的直觉很简单：当它很小时，噪声的方差会主导^xt的方差-1和Xt主要由噪声项控制；当它很大时，^xt-1控制噪音，X可以平均准确预测。2.2.2多变量情况假设n>1，现在考虑带权重的单变量过程（yTxt）∈ 注册护士。使用（2）我们知道yTxt=yT^xt-1+yTεt，我们可以用λ（y）def=yT^AyyTAy来测量它的可预测性，（3）其中^a和a是xt和^xt的协方差矩阵-1.分别。最小化可预测性λ（y）相当于找到最小值λsolvingdet（λA）-^A）=0。（4） 假设Ais为正定义，可预测性最低的篮子将由y=A给出-1/2y，其中y是对应于矩阵A最小特征值的特征向量-1/2^AA-1/2.2.2.3λ（y）的估计用于定义上述λ的所有数量都需要根据采样路径进行估计。Acan可通过以下方程式（1）进行估算。所有其他数量取决于预测值^xt-1、Box和Tiao假设xt遵循p阶向量自回归模型——简言之为VAR（p）——因此为^xt-1.填写表格，^xt-1=pXk=1Hkxt-k、 其中p矩阵（Hk）包含每个n×n自回归系数。从样本路径x、Box和Tiao估计hk通过将这些估计插入方程（4）中显示的广义特征值问题来求解最优篮。

如果假设p=1（p>1的情况可以简单地表示为一个经过充分重新参数化的VAR（1）模型），那么^a=HAHTand a=AH，从而得出Hwould beH=a的Yule-Walker估计量[L¨utkepohl，2005，§3.3]-1A。最小化可预测性归结为在这种情况下求解minyλ（y），λ（y）def=yT哈yyTAy=yTAA-1ATyyTAy，相当于计算矩阵A的最小特征向量-1/2AA-1ATA-1/2如果协方差矩阵是可逆的。Box和Tiao量化均值回归的机制需要定义一个模型来形成^xt-1，给定先前观察的XT的条件期望。我们在以下两个标准中考虑了无需此类建模假设的情况。2.3 Portmanteau准则要求中心单变量平稳过程x（n=1）的p Ljung和Box[1978]阶的Portmanteau统计量由porp（x）=ppXi=1给出E[xtxt+i]E[xt]其中E[xtxt+i]/E[xt]是xt的第i阶自相关。白噪声过程的PortManteau统计量是通过定义任何p的0。给定一个多变量（n>1）过程x，我们写出φp（y）=porp（yTx）=ppXi=1yTAiyyTAy,对于系数向量y∈ 注册护士。通过构造，φp（y）=φp（ty），对于任何t6=0，我们将施加kyk=1。使用以下估算值计算φp（y）[Hamilton，1994，p.110]：^φp（y）=ppXi=1yTAiyyTAy. （5） 2.4交叉统计Kedem和Yakowitz[1994，§4.1]将单变量（n=1）过程x（其每单位时间的预期交叉数约为0）的过零率定义为γ（x）=E“PTt=2{xtxt-1.≤0}T- 1#，（6）一个被称为余弦公式的结果表明，如果Xt是一阶自回归过程AR（1），即如果| A |<1，εtis i.i.d。

标准高斯噪声andxt=axt-1+εt，然后[Kedem和Yakowitz，1994，§4.2.2]：γ（x）=arccos（a）π。因此，对于AR（1）过程，最小化一阶自相关a也会直接最大化过程x的交叉率。对于n>1，因为Ytxt的初始自相关等于yTAy，我们建议最小化yTAy，并确保所有其他绝对自相关| yTAky |，k>1都很小。3.最优篮子假设一个中心多元过程x，我们形成它的协方差矩阵a和p自方差（a，…，Ap）。因为yTAy=yT（A+AT）y/2，我们对称化了所有自协方差矩阵Ai。在本节中，我们研究了估算具有最大平均回归（通过第2节中提出的代理进行测量）的篮子的问题，同时该篮子具有足够的灵活性，并由尽可能少的资产支持。后者将通过选择具有小“0-范数”的投资组合y来实现，即y中非零成分的数量，kykdef=#{1≤ 我≤ d | yi6=0}，很小。前者将通过选择组合来实现，该组合的总价值随时间的变化超过给定的阈值ν>0。注意，为了使（yTxt）的方差超过一个水平ν，α的最大特征值必须大于ν，我们通常在下面的内容中假设。结合这两个约束条件，我们提出了三个不同的数学程序来反映这些权衡。3.1最小化可预测性最小化箱条的可预测性^λ在§2.2中定义，同时确保结果过程的方差均超过ν，且荷载向量稀疏，0-范数等于k，意味着解决以下问题：最小化Ytmy subject to yTAy≥ ν、 变量y中的kyk=1，kyk=k，（P1）∈ 带有Mdef=AA的RN-1 at，其中M，A∈ Sn。