均值回复投资组合：稀疏性和波动性之间的权衡

在没有规范化约束kyk=1和稀疏性约束kyk=k的情况下，问题（P1）等价于对（M，a）中的广义特征值问题。当Ais病态或M是单数时，这个问题很快就会变得不稳定。添加规范化约束kyk=1可以解决这些数字问题。3.2最小化Portmanteau统计使用类似公式，我们还可以最小化§2.3中定义的p Portmanteau统计阶数，同时通过求解：minimizePpi=1确保最小方差水平伊泰伊以星期一为准≥ ν、 变量y中的kyk=1，kyk=k，（P2）∈ Rn，对于某些参数ν>0。问题（P2）有一个自然的解释：目标函数直接最小化PortManteau统计量，而约束将篮子权重的范数标准化为1，施加大于ν的方差，并对y.3.3施加稀疏性约束最小化交叉统计量遵循§2.4中的结果，在保持低自相关图的同时最大化交叉率，最小化Y天+uPpk=2伊塔基以星期一为准≥ ν、 变量y中的kyk=1，kyk=k，（P3）∈ 对于某些参数u，ν>0，Rn将产生接近AR（1）的过程，同时具有较高的交叉率。4半有限松弛和稀疏分量问题（P1）、（P2）和（P3）不是凸的，在实践中很难解决，因为它们涉及变量的稀疏选择。我们在这一节详细介绍了这些问题的凸松弛，它可以用来导出相关的次优解。4.1篮子估计的半定规划方法我们建议将问题（P1）、（P2）和（P3）放松为半定规划（SDP）[Vandenberghe和Boyd，1996]。我们证明，这些半限定程序可以处理自然稀疏性和波动性约束，同时仍以均值回归为目标。

在某些有限的情况下，我们可以证明这些松弛是紧密的，因为它们正好解决了上述程序。在这种情况下，真正的解决办法是什么？上面的一些程序可以通过相应的SDP解决方案Y？进行恢复？。然而，在我们感兴趣的大多数情况下，这样的对应关系是不保证的，当考虑向量y时，这些SDP松弛只能作为这些硬非凸问题的建议解的指南？需要将largerank d×d矩阵定义为秩一矩阵yyT，其中y可以被视为篮子权重的最佳候选。将正定义矩阵定义为向量的典型方法是考虑其特征向量与前导特征值。考虑到稀疏性约束，我们建议应用基于PCA的启发式算法[Zou等人，2006年，d\'Aspremont等人，2007年]。我们不考虑前导特征向量，而是恢复Y的前导稀疏特征向量？（a0范数限制为等于k）。已经提出了几种有效的算法来近似解决这个问题；在我们的实验中，我们使用了Passphas工具箱[Sj¨ostrand et al.，2012]。4.2可预测性我们可以在变量y上形成可预测性优化问题（P1）的凸松弛∈ Rn，最小化Ytmy主题为yTAy≥ νkyk=1，kyk=k，通过使用Lov\'asz和Schrijver[1991]的提升参数，即。

writingY=yyT，现在使用一个半限定变量Y来解决这个问题，通过在Y上引入一个考虑Lnormof Y，kY kdef=Xij | Yij |的稀疏诱导正则化子，使问题（P1）变成（这里ρ>0），最小化Tr（MY）+ρkY ksubject to Tr（AY）≥ νTr（Y）=1，秩（Y）=1，Y 0.我们通过去掉秩约束来进一步放松最后一个问题，以使Tr（MY）+ρkY ksubject最小化到Tr（AY）≥ νTr（Y）=1，Y 0（SDP1），这是Y中的一个凸半限定程序∈ Sn。4.3 portmanteau使用相同的提升参数并写出Y=yyT，我们可以通过将minimizeppi=1Tr（AiY）+ρkY ksubject解为Tr（by）来放松问题（P2）≥ νTr（Y）=1，Y 0，（SDP2）Y中的半限定程序∈ Sn。4.4通过上面的状态，我们可以为问题（P3）编写一个半定义松弛：最小化Tr（AY）+uPpi=2Tr（AiY）+ρkY k主题到Tr（BY）≥ νTr（Y）=1，Y 0（SDP3）4.4.1在没有稀疏约束的情况下，SDP松弛的紧密性注意，对于交叉统计标准（p=1，Y中没有二次项）标准，原始问题P3及其松弛SDP3是等效的，假定原始问题中没有考虑稀疏约束，松弛中的u设置为0。这种放松可以归结为SDP，它只有一个线性目标、一个线性约束和一个Y轨迹约束。在这种情况下，Brickman[1961]证明了当环境维数为n时，单位球面上的两个二次形式的范围是一个凸集≥ 3，特别是对于任意两个维数为n的方阵A，B（y，y）：y∈ Rn，kyk=1={（Tr（AY），Tr（BY））：Y∈ Sn，try=1，Y 0}我们请读者参考[Barvinok，2002，§II.13]对这一结果进行更完整的讨论。正如[Cuturi和d\'Aspremont，2013]中所述，P1和SDP1具有相同的等效性。

这意味着，在ρ，u=0且y的0范数不受约束的情况下，对于任何解y？弛豫（SDP1）存在一个向量y？哪一个满足kyk=Tr（Y？=1，y？泰？=Tr（作者？）那你呢？TMy？=Tr（我的？）也就是说，你是说？是原问题（P1）的最优解。Boyd和Vandenberghe[2004，App.B]展示了如何显式提取这样一个解y？从一个矩阵Y？求解（SDP1）。然而，在本文的上下文中，这个结果大部分是轶事，在本文中，我们寻找解析和易失性篮子：使用这两个正则化器打破了RDP中原始问题与SDP对应问题之间的紧密性结果。23-二月-2004 19-十一月-2006 15-八月-20090.30.40.50.60.70.8苹果- AAPL波动率时间序列图1:2004年1月4日至2010年12月30日期间苹果的期权隐含波动率。5数值实验在本节中，我们评估了我们的技术从大量可交易资产中提取有效方差和小0-范数的均值回复篮子的能力。我们通过对这些篮子应用专门为均值回复过程设计的交易策略来衡量绩效。我们表明，在现实的交易成本假设下，选择稀疏且波动的均值回复篮子可以降低成本，从而提高交易策略的绩效。5.1历史数据我们考虑了从2004年1月4日到2010年12月30日210只股票期权隐含波动率的每日时间序列。使用option ImpliedVolability数据的一个关键优势是，这些数字的变化范围有限。波动性也往往表现出制度转换，因此可以认为是分段平稳的，这有助于提取结构性关系。我们从图1中的数据集中绘制了一个样本时间序列，对应于苹果股票的隐含波动性。

在下文中，我们所说的资产是指这些股票的隐含波动性，其价值可以通过期权投资组合有效复制。5.2均值回复篮子估计器我们比较了本文详述的三种篮子选择技术，即可预测性、portmanteau和交叉统计，采用不同的稀疏性和波动性目标，以及建立在主成分分析基础上的两种协整估计器[Maddala和Kim，1998，§5.5.4]。我们所说的“PCA”是指在特征向量之后，过程的方差矩阵AO的最小特征值[Stock and Watson，1988]。我们所说的“sPCA”是指a的稀疏特征向量，其k为0范数，具有较小的奇异值，可以通过计算λI的主要奇异值来简单估计- A其中λ大于A的主要特征值。协方差矩阵的稀疏主分量不应与我们在第4.1节中使用的稀疏PCA混淆，因为这是一种从正半定问题的解中恢复向量解的方法。还要注意的是，在估计协整关系的权重时，基于主成分的技术没有明确考虑方差水平。5.3 Jurek and Yang交易策略虽然期权隐含波动率不可直接交易，但它可以通过一篮子看涨期权进行综合，我们将其视为具有（显著）交易成本的可交易资产，如下所示。对于通过上述技术隔离的挥发性篮子，我们将[Jurek and Yang，2007]策略forlog utilities应用于篮子过程记录样本外性能。

Jurekand Yang建议交易平稳自回归过程（xt）tof order 1，平均u由方程式xt+1=ρxt+σεt控制，其中|ρ|<1，通过在资产xt上取一个位置，该位置与toNt=ρ（u）成比例- xt）σWt（7）在效果上，该策略主张在资产中的长（短）仓位低于（或高于）其长期平均值时，采取长（或短）仓位，并调整仓位大小，以考虑xt的波动性及其平均反转速度ρ。给定篮子权重y，我们对yTx的样本部分应用标准AR估计程序，以恢复^ρ和^σ的估计值，并将其直接插入方程（7）。该方法在图2.5.4交易成本中对两个篮子进行了说明。我们假设固定交易成本可以忽略不计，但交易成本在每个交易日产生。我们在不同的实验中改变这些成本的大小，以显示交易成本波动测试方法的稳健性。我们让每个合同单位的交易成本在0.03和0.17美分之间变化，增量为0.02美分。由于在我们的数据集上，一份合同的平均价值约为40美分，这相当于考虑了从7到40个基点（BP）之间的交易成本，即0.07到0.4%。5.5实验设置我们考虑了历史上一年（255个交易日）的20个滑动窗口，并独立考虑每个窗口。每个窗口在85%的估计交易日和15%的测试交易日之间分割，导致38个测试交易日。

我们不重新计算篮子的重量23-简-2006 03-也许-2006 11-八月-20060.150.20.250.30.35原始合同价格（单位：人民币）-示例）BBYCOSTDISGCIMCDVODVZWAGTBY成本DIS GCI MCD VOD VZ WAG T-0.500.5行李重量（以英寸计算）-样本数据）PCAsPCA sp:0.5Cros sp:0.5 vol:0.214-破坏-2006 22-六月-2006 30-九月-2006-0.0100.01篮子价格（单位：人民币）-样本，居中）PCAsPCA sp:0.5Cros sp:0.5 vol:0.219-十一月-2006 09-12月-2006-0.0100.010.02篮子价格（外）-属于-（样本）19-十一月-2006 09-12月-2006-4000-2000020000400060000以篮子为单位的位置19-十一月-2006 09-12月-2006020406008累计交易成本（交易成本为0.06克拉/合同（≈ 15 BP）04-十一月-2006 14-十一月-2006 24-十一月-2006 04-12月-2006 14-12月-200695010001050SH：-0.61705sPCA sp:0.5 Sh:2.023Cros sp:0.5 vol:0.2 Sh:2.7718[a][b][c][d][e][f][g]图2：三个样本交易实验，使用PCA、sparsePCA和交叉统计估值器。[a] 使用我们的快速PCA选择程序选择9个波动时间序列。[b] 使用协方差矩阵的特征向量（具有最小特征值）和具有稀疏性约束的最小特征向量（k=b0）估计样本数据中的篮子权重。5×9c=4和波动阈值为ν=0.2的交叉统计估值器，即篮子方差大于所有8项资产的中值方差的0.2×约束。[c] 时间[ESOF]和价格[ESOF]在样本篮中显示。[e] 使用Jurek和Yang[2007]的交易策略，在样本外测试阶段得出不变的头寸（以篮子单位表示）。[f] 交易资产以获得此类头寸所产生的交易成本会随着时间的推移而累积。

[g] 考虑到交易收益和交易成本，可以计算每个策略的投资者净财富（测试期间的夏普显示在图例中）。请注意，稀疏性和波动性约束如何转化为由较小的集合组成的投资组合，但具有更高的方差。在测试阶段。我们考虑的210个股票波动率（资产）根据其股票的经济部门分为13个亚组。这导致了13个部门池，其规模在3个资产和43个资产之间变化。我们在这13个部门池中的每一个中寻找一个恢复篮子。由于13个部门池中每个部门池中的所有股票组合不一定意味着回归，我们通过agreedy向后-向前最小化方案选择了n个资产的较小候选池，其中8≤ N≤ 12.为此，westart对扇区池中所有大小为3的池进行彻底搜索，然后使用PCA估计器（一组资产协方差矩阵的最小值）添加或删除资产。我们在后向-前向搜索中使用PCA估计器，因为它是计算速度最快的。我们使用PCA统计对每个池进行评分，越小越好。我们在13个部门的人才库中，每个部门产生200个候选人才库。在所有这些候选库中，我们在每个窗口中保留最好的50个，然后分别对这些候选库使用协整估计方法。例如，其中一个组合由2006年观察到的库存{BBY、成本、DIS、GCI、MCD、VOD、VZ、WAG、T}组成。

图2提供了该股票宇宙的特写，并显示了使用PCA、稀疏PCA或交叉统计估计器构建交易策略的三个交易实验的结果。5.6结果5。6.1夏普比率对成本的稳健性在图3中，我们绘制了在我们的实验集中估计的922篮子中夏普比率与交易成本的平均值。我们考虑了不同的TPCA设置以及我们的三个估计器，在所有三种情况下，方差界ν为agiven资产池中可用资产所有方差中值的0.3倍，0-范数等于宇宙大小的0.3倍（其本身介于8和12之间）。我们观察到，对于基于朴素PCA的方法，夏普比率降低了最快的速度，当对稀疏PCA获得的篮子权重的0-范数添加约束时，这种降低会有所缓解。除了稀疏性之外，我们的方法还需要足够的挥发性来确保高效收益。这些经验观察结果与本文的直觉一致：简单的协整技术可以产生高均值回归、大支持度、低方差的合成篮子。交易由多个资产支持的低方差投资组合在实践中会转化为高交易成本，这可能会损害策略的整体绩效。相反，稀疏主成分分析和我们的技术都能在理想的均值回归特性之间实现权衡，同时控制有效的方差和较小的篮子规模，以降低总体交易成本。5.6.2均值回归、稀疏性和波动性之间的权衡在图4和图5的曲线图中，通过考虑ν（波动性阈值）和k的各种设置，进一步详细说明了该分析。

为了提高这些结果的易读性，我们总结了图3中的观察结果，即夏普和交易成本之间的关系几乎是线性的，每一条曲线都有两个数字：截距水平（成本较低时夏普比率）和斜率（成本增加时夏普下降）。利用这两个数字，我们将所有考虑的策略定位在截距/斜率平面上。我们首先展示了光谱技术、PCA和sPCA，它们具有不同的分辨率，这意味着k被设置为bu×dc，其中u∈ {0.3,0.5,0.7}d是原始篮子的大小。我们提出的三个估计器中的每一个都是在一个单独的图中研究的。对于每一种，我们都给出了以两个数字为特征的各种结果：波动阈值ν∈ {0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5}和稀疏水平u∈ {0.3, 0.5, 0.7}. 为了避免繁琐的标签，我们在每个点上都加了一个箭头：箭头在垂直方向上的长度等于u，表示篮子的大小，水平长度等于ν，表示波动水平。从这三个图中可以看出，这两个因素之间有趣的相互作用允许一系列策略，以均值回归（以及夏普水平）换取对成本水平的稳健性。6结论我们描述了三种不同的标准来量化时间序列中的平均回归量。对于这些标准中的每一个，我们都详细介绍了一种易于处理的算法，以分离出具有最佳均值回归的权重向量，同时将得到的单变量序列的方差（或信号强度）训练为高于某一水平，并将其0范数训练为某一水平。