随机环境下多变量缺省系统的动力学

然后，我们将环境信息F包含在产品概率空间的玩具模型中，并表明预测过程在这种情况下起着关键作用。3.1预测过程给定默认观测信息，则（Nt）t≥随机变量χ的0-条件概率定律被给出为P（E）值c`adl`ag（Nt）t≥0-适应过程（ηt，t≥ 0），其中p（E）表示E上所有Borel概率测度的集合，具有弱收敛拓扑，使得对于任何ν∈ P（E）和E上的任意有界连续函数h，映射ν7-→REh dν是连续的。使用[27,29]中的术语，我们称这个过程（ηt，t≥ 0）随机变量χw的预测过程与观察过滤（Nt）t有关≥0.我们请读者参考[29，T heorem 1.1]，了解该过程是否存在c`adl`ag版本（ηT，T≥ 0）且唯一性u p为不可区分性。此外，过程（ηt，t≥ 0）是一个（Nt）t≥关于弱拓扑的0-鞅：对于任何有界Borel函数，积分过程（REh dηt，t≥ 0）是一个（Nt）t≥0-鞅。带有随机标记的默认计数过程示例。我们考虑的情况是，观察过滤（净）≥0由标记的点进程nxi=11l{ui生成≤t} f（li），t≥ 0与默认事件的发生顺序以及示例2.1（6）中的随机标记相关联。请注意，（1）中定义的相应Nt与{Nσt=i}={σi]集合上的向量（σ，L）（i）：=（σk，Lk）ik=1生成的σ代数相同≤ t<σi+1}，其中Nσt=Pni=11l{σi≤t} 。此外，正如我们所提到的，默认向量σ=（σ，…，σn）可以写成形式σ=（u（χ），un（χ）其中u，E.预测过程（ηt，t≥ 0）在时间t≥ 0，即。

ηt（dx）=P（χ∈ dx | Nt）可以通过使用贝叶斯公式并考虑每个事件{σi）来计算≤ t<σi+1}，其中η作为给定（σ，L）（i）的条件分布，限制在生存集{σi+1>t}上，并由σi+1的条件生存概率（σ，L）（i）归一化，即ηt（dx）=nXi=01l{σi≤（1）1.1（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）元元元朗（t<t<ui+1（x）及1（x）上周上周）以及（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（t<t<ui+1（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）本人））本人）本人）本人）元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元朗<t<t<t<表示E上发送有界Borel函数h:E的随机测度→ R toZEh（x）η|（σ，L）（i）（1l{t<ui+1（x）}·dx）：=E[h（χ）1l{t<σi+1}|（σ，L）（i）]。在每一个违约时间，新出现的违约事件都会带来一个机制切换到预测过程，这可以解释为违约传染现象的影响。在特殊情况下，当eχ与（σ，L）相一致，且（σ，L）的概率定律与勒贝格测度有关，类似于[16]，我们得到了预测过程的更明确形式，如下所示：ηt（d（v，L））=nXi=01l{σi≤t<σi+1}δ（σ，L）（i）（d（v，L）（i））1l{t<vi+1}α（v，L）d（v，L）（i+1:n）R∞tα（v，l）d（v，l）（i+1:n），其中（v，l）（i）=（vk，lk）ik=1，（v，l）（i+1:n）=（vk，lk）nk=i+1，和z∞tα（v，l）d（v，l）（i+1:n）：=Z（]t，∞[×R）n-iα（v，l）d（vi+1，li+1）···d（vn，ln）。3.2乘积测度下的条件缺省分布我们现在考虑了χ的条件定律，给出了信息G中的一般观察，但在乘积空间的一个简单情况下。我们假设全球市场(Ohm, A） 可以写成(Ohmo×E，Ao E） 过滤时，F由（F）给出oT {, E} ）t≥0，在哪里(Ohmo, A.o)是一个可测空间，Fo= （F）ot） t≥0是对o. 假设A-可测随机变量χ由第二个投影给出，即χ（ω，x）=x。

然后，总信息的过滤率为（Ht=FoT E） t≥0.我们让Po是P的边际概率测度吗(Ohmo, A.o), 即对于任何有界Ao-可测量的f onOhmo,ROhmof（ω）o)Po（dω）o) :=ROhmf（ω）o)P（dω）o, dx）。设η为χ的概率定律。在乘积空间中，概率测度η与（E，E）上的P的边际测度相同。默认变量χ和环境信息F之间最简单的依赖结构是当它们独立时。我们引入了产品概率测度EP=Po ηon(Ohm, A） 在这种情况下，风险的两个来源χ和F是独立的。这个案例将成为我们论文的基石。特别是，这些计算很容易在这种情况下应用Fubini定理。我们添加了一些在续集中有用的符号。如果Y是乘积空间上的随机变量Ohm = Ohmo有时我们省略了可测函数Y表达式中的第一个坐标，并使用符号Y（x），x∈ E、 它实际上表示随机变量Y（·，x）。默认信息。回想一下，η是给定n和（ηt，t）的条件概率定律≥ 0）是χ的预测过程。因为χ独立于F undop，对于任何有界或正的A-可测函数ψonOhm = Ohmo×E，一个hasEP[ψ| F∞∨ Nt]=ZEψ（·，x）ηt（dx）=：ηt（ψ），P-a.s.由Dellacherie和Meyer[12，VI.4]提出，存在一个c`adl`ag版本的m artin gale（ηt（ψ），t≥0）作为条件期望。总信息H。对于总信息H的情况，我们必须考虑不可忽略集。一般来说，等式X（·，X）=Y（·，X），Po-a、 美国为所有x∈ E并不意味着X（·，χ）=Y（·，χ），P-a.s。。我们需要一个适合这种过程的版本。

迈耶[28]和斯特里克[33]可以克服这一困难。（i） 给定一个非负a-可测函数ψOhm, 在[28,33]中，存在一个c`adl`agH适应过程（ψFt（·），t≥ 0）对于任何x∈ E、 不管怎样≥ 0，ψFt（x）=EPo[ψ（·x）|Fot] ，Po-a、 在p关节中，如果XT是FoE中的t-可测随机变量，其中一个有ψFt（Xt）=EPo[ψ（·Xt）|Fot] ，Po-a、 我们称之为（ψFt（x），t）≥ 0）x∈Ea参数化（Fo, Po)-依赖于参数的鞅∈ E、 因为条件期望属性对空集合的x和t的所有值都有效。（ii）F的参数化版本o-作为两个变量（ω，x）函数的条件期望是研究与H有关的投影的基本工具o η、 EP[ψ| Ht]=ψFt（χ），P-a.s.（3）此外，我们还可以将ηttoagt随机测量推广到(Ohm, 将任何非负的Ht可测随机变量Yt（·）发送到Gt可测随机变量ηt（Yt（·））=REYt（x）ηt（dx）。在下文中，通过滥用语言，我们使用ηtto表示与NTA和GTUBP相关的条件法则。（iii）上述结果可以解释为（H，P）-鞅在参数化（F）下的一个刻画o, Po)-依赖于参数x的鞅∈ E.我们将在第5节中更详细地讨论martin gale性质。可获取的信息G。对于可观察的信息G，预测首先在一个更大的过滤上进行，该过滤包含比G更多的信息Ohmo或者在E.（i）上，由于ηt表示给定Gt和NtUntp的χ的条件定律，对于任何非负的可测随机变量Yt（χ），我们有EP[Yt（χ）|Gt]=ZEYt（x）ηt（dx）=ηt（Yt（·））。（4） （ii）现在考虑一个非负的a-可测随机变量YOhm.

其Gt条件期望值的计算可以通过以下两种不同的方式完成：YF∞∨新界Ht=英尺∨σ（χ）//EP[Y|Ht]GtEP[Y | F∞∨ Nt]Gt//EP[Y|Gt]（5）一方面，使用（3）中介绍的符号，EP[Y|Gt]=EP[EP[Y|Ht]|Gt]=EP[YFt（χ）|Gt]，通过（4）等式EP[Y|Gt]=ηt（YFt（·））=ZEYFt（x）ηt（dx）。（6） 另一方面，如（5）所示，上述结果也可以通过中间σ-代数F得到∞∨ 新界。注意，根据单调类定理，它必须考虑形式为Y的Y（ω，x）o（ω） h（x）其中Yo是F吗o∞-可测且h是E上的Borel函数，则EP[Y | Gt]=EP[EP[Yoh | F∞∨ Nt]| Gt]=EP[Yoηt（h）|Gt]=ηt（h）EPo[Y]o|Fot] =ηt（EPo[Y]oh | Fot] ）=ηt（EPo[Y | Fot] ）等于（6）。（iii）通过（6）我们可以将（G，P）-鞅刻画为参数化（F）的积分o, Po)鞅YF（x），x∈ E、 关于随机测度ηt（dx）。3.3概率测度的变化在本小节中，我们考虑乘积空间上的概率测度P(Ohm, A） =(Ohmo×E，Ao E） 这对于产品测量是绝对连续的。我们假设P对乘积的Radon-Nikodym导数由dpdp给出HT=βT（χ）（7），其中T≥ 0是水平时间，βT（·）是非负FT E-可测随机变量。我们注意到，P不一定是P的等价概率度量，也就是说，βT（χ）几乎肯定不是严格正的。η在概率测度P下与χ的概率定律一致这一事实意味着EPo[βT（x）]=1，η-a.s.表示x∈ E.（8）在P下，违约变量χ与其他市场环境F之间的依赖性以概率的动态变化为特征。我们仍在研究不同的信息水平。

由于（8），χ的条件律在P和P下是非对称的，在两种概率测度下都表示为ηt。总信息H.P的氡Nikodym d密度与参数化（Fo, Po)-鞅（βFt（x）=EPo[βT（x）| Fot] ，t∈ [0，T]）取决于参数x∈ E.对于任何t∈ [0，T]，βFt（χ）是P的氡Nikodym d密度，在Ht上分别为TOP。当不存在歧义时，我们使用旋转βt表示βFt（χ）。（i） 对于非负HT可测随机变量YOhm, 通过概率的变化和P下的富比尼定理，我们得到了EP[Y|Ht]=EP[YβT|Ht]βt1l{βT>0}=（Yβ）Ftβt1l{βT>0}，P-a.s.（9），其中最后一个等式来自（3）。注3.1注意，我们仅假设P是绝对连续的w.r.t.P。特别是，任意P可忽略集是P可忽略的。然而，相反的说法并不一定正确。特别是，虽然β不一定是严格正的EP-a.s.，但在P下，集合{βt=0}可以忽略不计。事实上，一个hasP（βt=0）=EP[βt1l{βt=0}]=0，因为β是Ht上的氡-尼科德姆导数dP/dP（注意，这个公式并不表示P（βt=0）=0）。在下面，为了简化表示，我们省略了指示符1l{βt>0}，等式（9）可以写成EP[Y | Ht]=（Yβ）Ft/βt。此外，在概率型下，由于β是非负（H，P）-鞅，集合{βt=0}上的βt=0 a.s。实际上，让Tx=inf{t≥ 0：βt-（x） =0}，然后在[[0，Tx]]上βt（x）>0，在[[Tx]上βt（x）=0，∞]].（ii）根据（9），H-适应过程是（H，P）-鞅当且仅当其与βisan（H，P）-鞅的乘积，或等价地，是参数化（F）鞅o, Po)-依赖于参数x的鞅∈ E.可获取的信息。

我们使用ηgf表示概率P下给定的χg的条件定律。（i）贝叶斯公式允许直接计算条件定律ηGbyηGt（dx）=ηt（βt（x）·dx）ηt（βt（·））（10），其中对于非负的a-可测函数ψonOhm, 符号ηt（ψ（x）·dx）表示E上的A-随机测度，它在E上发送一个非负Borel函数f到zef（x）ηt（ψ（x）·dx）=ηt（f（·ψ（·））（11）（ii）非负Ht可测随机变量Yt（χ）isEP[Yt（χ）|Gt]=ZEYt（x）ηGt（dx）=：ηGt（Yt Gt）（Yt）（Yt）（Yt·））（12）（iii）对于非负Ht可测随机变量YOhm, 我们首先研究更大的σ-代数，然后使用（9）和（12）得到EP[Y | Gt]=EPEP[Y|Ht]|Gt=ZE（Yβ）Ft（x）βt（x）ηGt（dx）。（13） 通过使用贝叶斯公式asEP[Y | Gt]=ηt（（Yβ）Ft（·））ηt（βt（·））（14）可以得到一个等价形式（13）和（14）之间的等式也可以用（10）表示。（iv）相应地，a（G，P）-鞅可以如下描述：G-适应过程是a（G，P）-鞅当且仅当其与ηt（βt（·））的乘积是参数化（F）的积分o, Po)-鞅（Yβ）F（x），x∈ 关于η（dx），或者，当且仅当ifit可以写成两个参数化（F）商的积分o, Po)-关于ηGt（dx）的鞅（Yβ）Ft（x）/βt（x）。4与环境信息的相互作用在本节中，我们回到第2.1节中建模的一般金融市场环境，其中概率空间(Ohm, A、 P）不一定以产品形式给出。然而，我们在上一节中讨论的产品空间模型将为一般情况提供有用的工具。从财务角度来看，概率测度的变化方法可以用来描述违约风险变量χ和基础市场信息过滤F之间的动态依赖结构。

在最近的一项工作中，Coculescu[8]构造了一个显式的非马尔可夫违约传染模型，其中采用了概率变化方法。从数学的角度出发，我们得到了一些计算结果，其中可以放松标准假设，即Radon-Nikodym导数是严格正的。在扩大过滤的过程中，雅科德的密度假说（见[24]）起着至关重要的作用，该假说最初是在过滤初始扩大的背景下提出的。在信用风险分析中，在逐步扩大过滤中采用了违约密度法，以研究违约事件和一系列有序多重违约的影响（c.f.[15,16]，Kchia，Larsson and Protter[26]和Gapeev，Jeanblanc，L I and R utkowski[19]）。在多缺省系统的一般情况下，我们给出了条件密度和概率变化的Radon-Nikodym导数之间的联系。4.1基本假设我们首先在模型设置中对密度假设进行精确分析。假设4.1给出过滤F的χ的条件概率定律允许（E，E）上的σ-有限测度ν存在差异，即对于任何≥ 0，存在一个Ft 可测函数（ω，x）→ αt（ω，x）使得对于任何非负Borel函数f，EP[f（χ）|Ft]=ZEf（x）αt（x）ν（dx），P-a.s.In[24]，选择η作为χ的概率定律。实际上，另一种选择是Lebesgue度量，尤其是对于多默认模型。在概率P下，对于任意x∈ E、 p过程（αt（x），t≥ 0）是F-鞅。χ的概率定律η对于测度ν是绝对连续的，由η（dx）=α（x）ν（dx）给出。在ν与η重合的情况下，我们得到α（x）=1。χ的Ft条件概率定律对于η是绝对连续的。

LetP（χ∈ dx | Ft）=：βt（x）η（dx），（15）那么下面的关系表示αt（x）=α（x）βt（x），P η-a.s。。根据[24，引理1.8]，存在（ω，t，x）7的非负c`adl`ag版本→ βt（ω，x）对于任何x∈ E、 βt（x）是F-鞅。我们可以用概率测度的变化语言来解释密度。在过滤初始放大的情况下，即关于过滤H，其中ν与η重合，Grorud和Pontier[21]（另见Amendinger、Becherer和Schweizer[4]）证明，如果βt（·）严格为正，P-a.s.，则可测空间上存在概率测度(Ohm, A） 这相当于P，使得在概率测度bp下，χ独立于F，并且bp分别与P在F和σ（χ）上重合。事实上，这个过程（βt（χ），t≥ 0）是期望1的（H，P）-鞅，概率bp由Radon-Nikodym导数（c.f.[21，引理3.1]）dbPdP刻画Ht=α（χ）αt（χ）=βt（χ）。（16） 上述结果对研究INSIDER的信息非常有用。受这一想法的启发，我们通过结合密度和概率测量的变化来研究观察过滤过程（在不一定是过滤的初始或渐进扩大的一般环境中）。备注4.2我们注意到概率空间上通常不存在概率BP(Ohm, A） 尤其是当ηfti绝对连续但不等于η时。事实上，虽然βt（χ）>0，P-a.s.（见备注3.1），但一般来说，EP[βt（χ）]可以严格小于1，因此我们不能使用（16）定义等效的概率度量EBP。我们提供了一个简单的反例。允许Ohm = {ω，ω}，其中P（{ω}）=P（{ω}）=和F={, Ohm},F={, {ω}, {ω}, Ohm}. 让χ：Ohm → E={0，1}由χ（ω）=0和χ（ω）=1定义。

关于η，χ的非条件定律与密度β（ω，x）绝对连续：Ohm ×E→ R+由21l{ω，0}+21l{ω，1}给出。然而，β（·）并不是在所有的序列上都是严格正的，也不存在一个解耦概率测度，在这个测度下，χ是独立的，并且P相对于tobP是绝对连续的。关于这个问题的进一步讨论，请参见Aksamit、Choulli和Jeanblanc[1]。在一般情况下，这里βt（·）不一定是严格正的，也就是说，χ的Ft条件概率定律是绝对连续的，但与概率定律η不等价，我们不能再使用[21]中的方法，因为概率（16）的变化没有很好的定义。为了克服这个困难，我们建议使用从初始概率空间构造的更大的乘积可测量空间(Ohm, A） 。正如我们将在下一小节中解释的那样，前面第3.2节中确定的结果将是有用的。4.2一般设置中的条件期望本小节主要关注与可观察信息相关的计算，这是第2.2节中定义的一般过滤。回想一下，G是F asGt=∩s> t（Fs∨ Ns）何处（Nt）t≥0是由Nt=χ给出的反像-1（净），并满足通常条件。我们仍然假设假设4.1。请注意，βt（·）不应完全呈阳性。为了确定主要的计算结果，[21]中的想法是使用解耦概率测度，其中χ和F是独立的。然而，在最初的空间里(Ohm, A） ，该概率测量BP不一定存在（见备注4.2）。我们的方法是通过引入辅助产品空间来扩展原始概率空间(Ohm ×E，A E） 它配备了产品概率测度P=P η.