随机环境下多变量缺省系统的动力学

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英文标题：
《Dynamics of multivariate default system in random environment》
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作者：
Nicole El Karoui (LPMA), Monique Jeanblanc (LaMME), Ying Jiao (SAF)
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider a multivariate default system where random environmental information is available. We study the dynamics of the system in a general setting and adopt the point of view of change of probability measures. We also make a link with the density approach in the credit risk modelling. In the particular case where no environmental information is concerned, we pay a special attention to the phenomenon of system weakened by failures as in the classical reliability system.
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中文摘要：
我们考虑一个多变量缺省系统，其中随机环境信息可用。我们在一般情况下研究系统的动力学，并采用概率测度变化的观点。我们还与信用风险建模中的密度方法建立了联系。在不考虑环境信息的特殊情况下，我们特别关注经典可靠性系统中因故障而削弱的系统现象。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Dynamics_of_multivariate_default_system_in_random_environment.pdf (290.54 KB)

2022-5-9 06:04:48 上传

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关键词：动力学 多变量 Mathematical Applications Quantitative

随机环境下多变量缺省系统的动力学*Nicole El Karoui+Monique JeanblancYing Jiao§2018年10月3日摘要我们考虑一个多元默认系统，其中随机环境信息可用。我们在扩大过滤的一般背景下研究系统的动力学，并采用概率测度变化的观点。我们还利用信用风险建模中的密度方法进行了alink。最后，我们给出了一个关于marke t上可观测信息过滤的鞅特征化结果。MSC:91G40，60G20，60G44关键词：多重默认值，预测过程，乘积空间和乘积测度，概率测度的变化，密度假设，鞅特征1引言我们考虑一个有限违约时间系统，以研究其概率分布以及违约系统与环境市场之间的依赖关系。在信用风险分析中，环境信息似乎是一个重要因素。除了潜在违约之间的依赖结构，我们还需要研究其他市场信息对多重违约系统的作用，反之亦然，以及违约事件对市场的影响。在Bielecki和Rutkowski[6]的著作以及Elliott、Jeanblanc和Yor[13]的论文等信用风险建模中，有关违约时间的信息结构由过滤扩大理论描述。一般来说，我们认为*我们感谢Tahir Choulli、Delia Coculescu、Thierry Jeulin和S hiqi Song的有趣讨论。

我们感谢两位匿名推荐人的宝贵意见和建议。+法国巴黎皮埃尔和玛丽居里大学巴黎6号实验室（LPMA）；电子邮件：elkaroui@cmapx.polytechnique.fr埃弗里-瓦勒埃松大学数学与现代教育实验室（LaMME），UMRCNRS 807191025，埃弗里法国大学；电子邮件：莫妮克。jeanblanc@univ-埃弗里。法国里昂托尼加尼耶大道50号克劳德·伯纳德大学里昂1号科学金融与保证研究所（ISFA）；电邮：ying。jiao@univ-里昂1。在市场上由概率空间表示的(Ohm, A、 P），环境信息由参考过滤F=（Ft）t建模≥0然后添加默认信息，形成扩大的过滤G=（Gt）t≥代表市场的全球信息。然后，通过使用自下而上和自上而下的模型，从两个方向对多个违约时间的依赖结构进行建模。在form er方法中，e从每个违约时间的边际分布模型开始，然后将它们之间的相关性精确化（调查见Frey和McNeil[18]）。而在为组合信用衍生工具专门开发的自上而下的模型中（例如，见Arnsdor ff和Halperin[2]、Bielecki、Cr\'epey和Jeanblanc[5]、Cont和Minca[10]、Dassios和Zhao[11]、Ehlers和Sch–onbucher[14]、Filipovi\'c、Overbeck和Sch midt[17]、Giesecke、Goldberg和Ding[20]、Sidenius、Piterberg和Andersen[32]等），直接研究累积损失过程及其强度动态。在本文中，我们考虑了一个存在环境信息的多默认系统，使用了一个扩大过滤的一般设置。

为了充分研究建模中的不同关键因素，我们使用了一个随机变量χon(Ohm, A） 在波兰空间进行估值，以描述违约风险，并研究违约制度与剩余市场之间的依赖关系。根据观察，过滤（净）t≥0在E=B（E）的（E，E）上，与默认系统χ相关的可观测信息由逆图像过滤（Nt:=χ）给出-1（净）吨≥0on(Ohm, A） 。全球市场信息是在时间t观察到的≥ 因此，0由FTA Gt=Ft的扩大定义∨ 新界。本演示文稿的主要优点是历史悠久。首先，该设置是通用的，可以通过适当选择默认变量χ和观察过滤灵活地应用于各种情况。例如，对于多默认系统，我们可以包括有序（对应于自上而下的模型）和非有序（对应于自下而上的模型）默认时间。第二，这个框架允许我们区分不同性质的依赖结构，值得注意的是，以所谓的预测过程为特征的默认系统内的相关性，以及由概率度量变化描述的默认系统和环境市场之间的依赖性。预测过程最初是在可靠性理论中引入的（例如，参见Norros[29]和Knight[27]），该理论被定义为χ的条件定律根据其观察历史记录，描述每个默认事件时整个默认系统的动态。当我们考虑到环境信息时，市场信息表现为扩大的过滤。

其主要思想是通过使用概率变化方法来描述多重违约系统和剩余市场之间的依赖性，在这种方法下，多重违约系统χ和环境信息fta是独立的。在这种情况下，在任意概率测度下，违约制度与市场环境之间的依赖结构可以用动态的方式描述，并用概率变化的theRadon-Nikodym导数过程来表示。我们从产品概率空间开始分析。在这种情况下，利用市场信息，应用概率变化法推导出估计和评价公式是很容易的。市场不一定由产品概率空间代表的一般情况更为微妙，尤其是当Radon-Nikodym导数不应该像我们预期的那样非常积极时。但之前的产品空间特例将作为一个有用的工具。我们证明了计算中的关键因素确实是预测过程和Radon-Nikodym导数。我们将概率方法的变化与默认密度方法El Karoui、Jeanblanc和Jiao[15,16]建立了联系。在关于过滤放大理论的经典文献中，密度放大是由Jacod[24]在过滤的初始放大中首次引入的，是确保过滤放大中半鞅性质的基础。我们证明了密度过程和氡尼科德姆导数可以相互推导，并且这两种方法是密切相关的。最后，我们对市场过滤G的过程感兴趣。

我们给出了一个一般的鞅特征化结果，它可以应用于有序和非有序违约等情况，这对金融应用非常有用。我们还讨论了它的浸入性，并利用刻划结果给出了如何构造aG鞅。本文的结构如下。在第2节中，我们给出了多元默认系统和市场过滤的一般介绍。第3节重点讨论了默认系统和环境信息之间的相互作用，并介绍了产品概率空间设置中概率度量方法的变化。在第4节中，我们考虑了一般情况，并研究了过滤放大理论中密度方法的联系。最后在第5节中，我们给出了鞅刻画的结果。2多重违约系统在本演示中，我们引入一个通用变量χ来描述与多重违约系统相关的所有不确定性，如违约或故障时间、发生顺序和相关损失或恢复率。我们展示了不同层次的市场信息，尤其是可观察信息过滤的一般结构。2.1模型设置我们定义了一个概率空间(Ohm, A、 P）。让我们考虑一个由n个基础企业组成的有限族，并用随机变量χ描述所有默认不确定性，该变量取波兰空间E中的值。这些企业的默认时间由随机时间τ=（τ，·τ，τn）的向量表示。由于χ包含关于违约不确定性的所有信息，因此存在一个可测量的mapf:E→ Rn+使得τ=f（χ）和该映射f指定默认时间τ。在这个总体框架中，可以非常灵活地选择随机变量χ，这允许在信贷风险文献中考虑自下而上和自上而下的模型。

例如，可以选择一个χ作为默认的时间向量τ本身：在这种情况下，波兰空间E就是Rn+和f:E→ Rn+是身份地图。还可以考虑相关损失的信息，即E=Rn+×Rnandχ=（τi，Li）ni=1：Ohm → Rn+×Rn，其中表示第i家公司在默认时间造成的损失。在自上而下的模型中，我们考虑了理论违约时间σ≤ · · · ≤ σn.我们可以选择E作为子空间{u=（u，···，un）∈Rn+| u≤ · · · ≤ Rn+和χ的un}是连续的默认向量σ=（σ，···，σn）。如果我们打算在自上而下的设置中考虑每个默认公司的标签（在这种情况下，连续默认向量σ由随机向量τ的顺序统计组成），我们可以选择χ=（σ，J）值为E={u∈ Rn+| u≤ · · · ≤ un}×Sn，其中J将所有双射的置换群Sno中的值从{1，…，n}取到自身，并描述连续默认值的基础组件的索引。因此，默认时间向量τ可以通过从E到Rn+的可测量映射来确定，该映射将（u，…，un，π）发送到（uπ）-1（1），·uπ-1（n））.2不同的信息水平和过滤呈现不同的信息水平：总信息和可访问信息。设F=（Ft）t≥0是对a的过滤，代表与违约事件不直接相关的市场环境信息。我们假设F满足通常的条件，F是平凡的σ-代数。

Eis上可观察到的默认信息由σ-代数σ（χ）的过滤描述，我们在下面对其进行了精确描述。与本框架相关的第一个自然过滤是过滤的规范化≥0其中Ht:=英尺∨ σ（χ）σ-代数表示总信息，且不完全可见，因为投资者在任意时间t都不知道未知变量χ。在关于过滤放大的文献中，这种过滤称为F的初始放大。我们记得（例如Jeulin[25，引理4.4]，另见Son g[31]）任何Ht可测量的随机变量都可以写成Yt（χ）形式，其中Yt（·）是一个Ft E-可测量函数。在时间t时，并非所有市场参与者都能获得关于χ的全部信息≥ 0.我们通过过滤（Nt）t呈现违约事件的可观察信息流≥0在A上。通常可以选择它作为计数过程生成的过滤。在本文中，我们构建了过滤（Nt）t≥以更一般的方式。让（净）t≥对Borelσ-代数E=B（E）进行过滤。如果（净）t≥0由观察过程生成（Nt，t≥ 0）如波兰空间E中定义的默认计数过程或累积损失过程，然后是过滤（Nt）t≥0onOhm 定义为反向图像（参见Resnick[30，§3.1]），由p进程（Nt）生成o χ，t≥ 0). 更一般地说，过滤（净）t≥0决定对(Ohm, A） 通过χasNt的逆图像：=χ-1（净）={χ-1（A）| A∈ NEt}，t≥ 0.（1）然后通过过滤G=（Gt）t给出全球可观察市场信息≥0GT=∩s> t（Fs∨ Ns），t≥ 0.请注意，G满足通常条件，以下关系保持不变 燃气轮机 嗯。可以将过滤视为一种渐进式的扩大，但它是以一种普遍的方式构建的。经典的初始放大和渐进放大都包含在这个框架中。

下面是一些例子。例2.1（1）如果所有t的NEt=E，则Nt=χ-1（E）=σ（χ）。S o过滤G与H重合，H是过滤F的初始放大倍数χ。（2） 在n=1和E=R+的情况下，其中χ=τ表示任何t≥ 0，由形式为1l[0，s]的f函数与s生成NEtbe≤ t、 thenNt=σ（1l{τ）≤s} ，s≤ t） 。过滤G是F乘以τ的经典渐进式放大。（3） 一般来说，（净）t≥0可以对（E，E）进行任何过滤，从而使G不同于初始放大和渐进放大。考虑一位知情人士，他有额外的信息，知道公司是否会在确定的时间之前违约。设χ=τd为默认时间。无论如何≥ 由形式为1l[0，s]的函数生成的σ-代数网络≤ tor s=t。那么内幕人士的过滤系数由Nt=τ给出-1（净）=σ（1l{τ）≤s} ，s≤t或s=t），t≥ 0.过滤G=（英尺）∨ Nt）t≥0通常大于F的τ的渐进放大。（4） 在具有高级或延迟信息的情况下，如果代理知道默认情况发生时，时间>0，则NEtis由形式为1l[0，s+]和s的函数生成≤ t和Nt=σ（1l{τ）≤s+}，s≤ t） 。同样，对于CollinDufresne、Goldstein和Helwege[9]或Gu o、Jarr ow和Zeng[22]中的延迟信息，NEtis由1L[0]生成-）+]带s≤ t和Nt=σ（1l{τ）≤（s）-）+}，s≤ t） 。（5） 对于n个非有序企业的默认时间族，其中χ=τ，我们有E=Rn+。让NEtbe由函数族{1l{ui生成∈[0，s]}（u），i∈ {1，··，n}，s≤ t} withu=（u，··，un）。那么Nt=σ（1l{τ）≤s} ，s≤ t） 描述了默认事件的发生。

如果默认时间是有序的，我们让χ=σ和E={（u，···，un）∈ Rn+| u≤ · · · ≤ 联合国。在这种情况下，计数过程不包括每个默认指标，而是给出连续默认值的信息（参见[16]）。让NEtbe由formpni=11l{ui∈[0，s]}（u）带s≤ t、 那么Nt=σ（1l{σ≤s} ，s≤ t） 。（6） 如果，除了违约事件，我们还包括每个违约时间的非零r和dom标记，例如给定违约的损失或恢复，我们让χ=（τ，L）取值为E=Rn+×Rn。无论如何≥ 0，让NEtbe由{1l{ui形式的函数生成∈[0，s]}（u）f（li）：i∈ {1，··，n}，s≤ t、 f是R}上的任意Borel函数。然后相应的违约过滤(Ohm, A） 由Nt=σ（1l{τi）给出≤s} 李，我∈ {1，··，n}，s≤t） 。然后我们可以考虑σg和σg的顺序。如果我们可以考虑σg和σg的顺序。σ-代数是由公式pni=11l{ui的函数生成的∈[0，s]}（u）f（li），s≤ t、 那么Nt=σPni=11l{σi≤s} 李，s≤ T因为随机标记s Lido不接受零值。3预测过程和乘积空间我们对不同信息条件下的χ定律感兴趣。在本节中，我们首先关注一种只涉及默认信息的情况，并在Knight[27]和Norros[29]之后介绍了预测过程的概念。