随机环境下多变量缺省系统的动力学

我们考虑χ的图映射，通过定义图Γχ：Ohm → Ohm×E s结束ω∈ Ohm to（ω，χ（ω））。在上被视为一个变量(Ohm, A） 产品空间中的价值Ohm x E，映射Γχ在P下承认一个概率定律P′。更准确地说，P′是乘积空间上的概率测度(Ohm ×E，A E） 这样，对于任何n on负的A E-可测函数fOhm x E，ZOhm×Ef（ω，x）P′（dω，dx）=ZOhm（f）o Γχ（ω）P（dω）=EP[f（χ）]。（17） 注意，P′与r是绝对连续的，与乘积概率有关，相应的r ad on-Nikodym导数由Ft上的βt（·）给出 E在假设4.1下，因为EP[f（χ）]=EP[EP[f（χ）|Ft]=ZOhmZEf（ω，x）βt（x）η（dx）P（dω）=ZOhm如果f是Ft，则x Ef（ω，x）βt（x）P（dω，dx）电子测量。此外，Γχ与第二投影的合成Ohm×E→E与χ一致。因此，我们可以使用第3.3节中开发的方法。在β（·）为严格正且（16）中存在概率测度的特殊情况下，则ΓχunderbP的概率律与乘积概率测度一致。我们首先描述过滤G中的过程。请注意，如果Y（·）是Ohm 那么表达式Y（χ）实际上表示Y（·）o Γχ作为Ohm. 我们在下面的引理中对应用的可测量性进行了精确的描述：OhmΓχ//Y（χ）Ohm ×EY（·）//R。（18） 引理4.3 Le t F是a上的次σ-代数Ohm Ebe是E上E的一个子σ代数。然后1）映射Γχ：(Ohm, F∨χ-1（E））→ (Ohm×E，FE） 是可测量的，其中χ-1（E）={χ-1（B）|B∈E} 是σ-代数吗Ohm;2） 如果地图Y（·）：Ohm ×E→ R是F E-可测量，然后Y（χ）：Ohm → R是F∨ χ-1（E）可测量。证明：对于1），必须证明f或所有A∈ F和B∈ E、 一个是Γ-1χ（A×B）∈ F∨ χ-1（E）自F 由表A×B的集合生成的Eis。实际上，Γ-1χ（A×B）={ω∈ Ohm | (ω, χ(ω)) ∈ A×B}={ω∈ A |χ（ω）∈ B} =A∩ χ-1（B）∈ F∨ χ-1（E）这意味着第一个断言。

第二个断言是由于两个可测映射的组合仍然是可测的。上述引理4.3直接暗示了以下结果。推论4.4 Let（Yt（·），t≥ 0）是一个适应过滤的过程 NE，然后（Yt（χ），t≥0）是一个G适应的过程。下面的命题计算了G-条件期望s，它概括了[15，定理3.1]对于经典的渐进式过滤放大，以及[16，命题2.2]对于成功的多次违约时间。它为计算和应用提供了一个非常简洁的公式（该公式的形式与乘积空间第3.2节中的特殊情况相同）。此外，我们还表明，要对过滤G进行估计，关键项是预测过程和Radon Nikodym导数。命题4.5假设YT（·）为非负FT电子可测函数Ohmx E和t≤ T然后nep[YT（χ）|Gt]=REEP[YT（x）βT（x）|Ft]ηT（dx）REβT（x）ηT（dx），（19）其中η是给定的χ的条件定律，βT（x）如（15）所示。证据：回想一下P表示产品概率测度P ηon(Ohm ×E，A E） 。那么对于任何t≥ 0，在（17）中定义的概率P′与r特别是toPon Ft是绝对连续的 由βt（·）给出的Radon-Nikodym导数。的确，如果f是非负EFT E-可测函数，然后通过定义（17），f对概率测度P′isZ的期望Ohmx Ef（ω，x）P′（dω，dx）=EP[f（·χ）]=EP[EP[f（·χ）|Ft]=EPZEf（·，x）βt（x）η（dx）=ZOhm×Ef（ω，x）βt（x）P（dω，dx）。（20） 接下来我们考虑一个非负的a E-可测r上的dom变量Y（·）Ohm x E.ByLemma 4.3和P′的定义，对于A的任何次σ-代数F和任何次σ-代数EofE，我们有EP[Y（χ）|F∨ χ-1（E）]=EP′[Y（·）|F E] （χ）（21）其中表达式EP′[Y（·）|F E] （χ）表示成分EP′[Y（·）|F E]o Γχa由（18）指示。

因此，我们得到了Gt=Ft∨ χ-1（净）等式EP[Y（χ）|Gt]=EP′[Y（·）|F 净]（χ）。（22）最后，我们通过（22）和（20）得到EP[YT（χ）|Gt]=EP′[YT（·）|Ft 净（χ）=EPYT（·）βT（·）| Ft 网EPβt（·）| Ft 网（χ） ，P-a.s.，这意味着等式（19）sinceP是乘积概率测度P η.备注4.6类似于备注3.1中所述，在集合{REβt（x）ηt（dx）=0}上，一个hasREEP[YT（x）βt（x）| Ft]ηt（dx）=0，P-a.s，我们省略了（19）右侧的指示符1l{REβt（x）ηt（dx）>0}。同样的规则也适用于以下内容。在下文中，我们将上述命题应用于例2.1中介绍的几个特殊情况。一次违约的情况：我们考虑χ=τ，过滤G是F按τ的标准渐进放大的情况。然后τ的Nt条件定律由ηt（du）=1l{t<u}α（u）ν（du）R给出∞tα（u）ν（du）1l{τ>t}+Δτ（du）1l{τ≤t} 对于任何非负FT B（R+）-可测函数YT（·），一个有（c.f.[15，定理3.1]）EP[YT（τ）|Gt]=R∞tEP[YT（u）αT（u）| Ft]ν（du）R∞tαt（u）ν（du）1l{τ>t}+EP[YT（u）αt（u）| Ft]αt（u）u=τ1l{τ≤t} 。（23）一次内幕信息违约等同于一次内幕信息违约，如例2.1（3）所示，其中过滤G由（Ft）给出∨ Nt）t≥0nt=σ（1l{τ）≤s} ，s≤t或s=t）。

然后根据t<tor t，给出了τ的Nt条件律≥ t、 由ηt（du）=1l{t<u≤t} α（u）ν（du）Rttα（u）ν（du）1l{t<τ≤t} +1l{t<u}α（u）ν（du）R∞tα（u）ν（du）1l{τ>t}+Δτ（du）1l{τ≤t} ，如果t<tηt（du）=1l{t<u}α（u）ν（du）R∞tα（u）ν（du）1l{τ>t}+Δτ（du）1l{τ≤t} ，如果不是≥ t、 对于任何非负FT B（R+）-可测函数YT（·），我们分别有ep[YT（τ）|Gt]=RttEP[YT（u）αT（u）| Ft]ν（du）RttαT（u）ν（du）1l{T≥τ>t}+R∞tEP[YT（u）αT（u）| Ft]ν（du）R∞tαt（u）ν（du）1l{τ>t}+EP[YT（u）αt（u）| Ft]αt（u）u=τ1l{τ≤t} 如果t<t.EP[YT（τ）|Gt]=R∞tEP[YT（u）αT（u）| Ft]ν（du）R∞tαt（u）ν（du）1l{τ>t}+EP[YT（u）αt（u）| Ft]αt（u）u=τ1l{τ≤t} ，如果不是≥ t、 我们注意到当t≥ t、 信息流与标准投资者的信息流相同，因此本例中的条件预期公式与（23）一致。多顺序默认值：χ=σ=（σ，···，σn），其中σ≤ · · · ≤ σ与E={（u，···，un）∈ Rn+| u≤ · · · ≤ 联合国。过滤（Nt）t≥0由过程生成（Pni=11l{σi≤t} ，t≥ 0). 假设ν是勒贝格测度，且χ的Ft条件律具有关于ν（du）=du的密度αt（·）。然后Nt条件律由ηt（du）=nXi=01l{t<ui+1}α（σ（i），u（i+1:n））δ（σ（i））（du（i））du（i+1:n）R给出∞tα（σ（i），u（i+1:n））du（i+1:n）1lEit（σ）（24），其中eit:={（u，…，un）∈ E | ui≤ t<ui+1}。（25）然后通过命题4.5，我们得到ep[YT（σ）|Gt]=nXi=01l{σi≤t<σi+1}R∞tEP[YT（u）αT（u）| Ft]du（i+1:n）R∞tαt（u）du（i+1:n）u（i）=σ（i），对应于[16，命题2.2]。多个非有序默认值：χ=τ=（τ，·τ，τn）和E=Rn+。过滤（Nt）t≥0由一系列指示过程（1l{τi）生成≤t} ，t≥ 0），i=1，··，n。此外，假设χ的Ft条件定律对于Lebesguedu测度有一个密度αt（·）。那么η的Nt条件定律可以写成ηt（du）=XI的形式{1，··，n}1l{uIc>t}α（·，uIc）δ（·）（duI）duIcR∞tα（·uIc）duIc1lEIt（τ），（26）其中I {1, . . .

，n}，δ（·）（duI）表示坐标系上的狄拉克测度，I表示向量（uj）j∈Ic，事件{uIc>t}表示stj∈Ic{uj>t}，andEIt:={（u，…，un）∈ E| 我∈ 一、 用户界面∈ [0，t]， J∈ Ic，uj>t}。通过命题4.5，我们得到[YT（τ）|Gt]=XI∈{1，··，n}1l{τI≤t、 τIc>t}R∞tEP[YT（u）αT（u）| Ft]duIcR∞tαt（u）duIcuI=τI此处τI:=（τI）I∈Iland 1l{τI≤t、 τIc>t}对应于1lEIt（τ）。如果有序缺省值σ被定义为τ的递增排列，那么通过使用有序统计量，σ的密度过程ασ（·）和τ的ατ（·）之间存在明确的关系。对于任何你∈ Rn+使得u<···<un，对于任何t≥ 0，ασt（u，···，un）=1l{u<···<un}X∏ατt（u∏（1），··，u∏（n）），其中（∏（1），··，u∏（n）是（1，··，n）的排列。此外，如果τ是可交换的（参见[18]），那么对于任何置换，（τ∏（1），···，τ∏（n））具有与（τ，···，τn）相同的分布，因此ασt（u，···，un）=1l{u<··<un}n！ατt（u，··，un）。在这种情况下，我们说违约投资组合是同质的。5鞅特征研究鞅性质对于金融应用（如对信用敏感的未定权益定价）非常重要。在本节中，我们感兴趣的是在不同的放大过滤中，尤其是在观察信息过滤G中，对可压缩过程的描述。我们首先回顾了Amendinger[3]中过滤初始放大的鞅标准（另见Callegaro、Jeanblanc和Zargari[7]）。在我们的设置中，它对应于总信息过滤H=（Ht）t≥0，Ht=∩s> t（Fs∨ σ(χ)). 为了便于读者阅读，我们还提供了以下证据。提案5.1安（金融时报）E） t≥0-适应过程（Mt（·），t≥ 0）是一个（英尺）E） t≥（17）中定义的概率测度P′下的0-鞅当且仅当（αt（x）Mt（x），t≥ 0）是一个依赖于x的参数化（F，P）-鞅∈ E

此外，如果满足该条件，则（Mt（χ），t≥0）是上的（H，P）-鞅(Ohm, A） 。证据：任何金融时报 E-r是一个dom变量MT（·）和t≤ T，因为P′对toP的RadonNikodym导数是FT上的βT（·） E、 我们有αt（·）EP′[MT（·）|Ft E] =EPMT（·）αT（·）英尺 E= EP[MT（·）αT（·）| Ft]。注意，在P′下αt（·）>0几乎是肯定的。事实上，通过（17）一个hasEP′[1l{αt（·）=0}]=EP[1l{αt（χ）=0}]=EPZE1l{αt（x）=0}αt（x）ν（dx）= 因此，过程M（·）是（P′，Ft）E） t≥0-鞅当且仅当（αt（x）Mt（x），t≥ 0）x∈Eis是一个依赖于x的参数化（F，P）-鞅∈ 最后，（21）表示EP[MT（χ）|Ht]=EP′[MT（·）|Ft E] （χ）。因此，我们得到了这个命题的第二个断言。5.1过滤GWe中的鞅现在从命题4.5推导出以下可访问信息过滤G的鞅标准。定理5.2 Let（Mt（·），t≥ 0）be（英尺） 净）t≥0适应过程。如果过程fmt（χ）=Mt（χ）ZEβt（x）ηt（dx），t≥ 0验证 T≥ T≥ 0，ZEEP[fMT（x）|Ft]ηt（dx）=fMT（χ），（27）然后（Mt（χ），t≥ 0）是（G，P）-鞅。证据：对于任何t≥ 0，设ηEt为给定网络（E，E）的条件律，即对于E上的任何有界或非负Borel函数f，ZEf（x）ηt（dx）=ZEf（x）ηEt（dx）(χ). （28）然后，根据命题4.5，对于T≥ T≥ 0，EP[MT（χ）|Gt]=REEP[MT（x）βT（x）|Ft]ηEt（dx）REβT（x）ηEt（dx）（χ）。根据Fubini条件期望定理，ZEEPhMT（x）βT（x）FtiηEt（dx）=EPhMT（·）βT（·）英尺 NEti（29）指出，通过（20），dP′=FT上的βT（·dP） E.由于P′由图映射Γχ导出，对于任何有界或非负FT E-可测量的随机变量φT（·），一个hasEPhφT（·）βT（·）i=EP′[ηT（·）]=EP[ηT（χ）]，这只取决于Ohm. 因此，随机变量ep[MT（·）βT（·）|Ft NEt），它是等式（29）的右侧，只取决于MT（χ）的值。

在计算（29）之前，我们可以在不损失一般性的情况下假设fmt（·）=MT（·）ZEβT（x）ηET（dx）。（30）根据Bayes公式，一个h asZEEPhMT（x）βT（x）FtiηEt（dx）=EPhMT（·）ZEβT（x）ηEt（dx）英尺 NEti，（31）由（30）导致zeephmt（x）βT（x）Et=124ft。最后，条件（27）意味着ep[MT（χ）|Gt]=fMt（χ）REβt（x）ηt（dx）（χ） =Mt（χ）。由此证明了这个定理。备注5.3条件（27）尤其满足以下条件：对于任何x，当enZEEP[fMT（x）| Ft]ηEt（dx）=fMT（x）∈ E、 也就是说（fMt（·））t≥0是一英尺 净）t≥乘积测度下的0-鞅。这个观察允许构造（G，P）-鞅。我们从（（英尺）开始净）t≥0，P）-鞅（·）（可以很容易地选择它作为乘积概率空间上的条件期望Ohm x E sinceP是产品度量）。然后进程mt（χ）：=fMt（χ）ZEβt（x）ηt（dx）-1，t≥ 0是（G，P）-鞅。推论5.4给出了严格正（G，P）-鞅（Mt（χ），t≥ 0）对于P-期望值1，假设Q是由dqdp定义的P的等效概率度量Gt=Mt（χ）。然后，对于E上的任何非负B-orel函数f（·），一个hasEQ[f（χ）|Ft]=EP[f（χ）Mt（χ）|Ft]EP[Mt（χ）|Ft]=REf（x）Mt（x）αt（x）ν（dx）REMt（x）αt（x）ν（dx）。换句话说，Q下χ的Ft条件密度为αQt（x）=Mt（x）αt（x）REMt（x）αt（x）ν（dx）。过滤F和G之间的浸入性质表明，任何F-鞅仍然是aG鞅。我们在下面介绍了eorem 5.2关于浸入特性的直接结果。推论5.5假设≤ T≤ T，一个hasZEβT（x）ηEt（dx）=ZEβT（x）ηEt（dx），（32）然后（F，G）满足信息性质。证明：设M是（F，P）-鞅。对于t≥ 0和x∈ E、 letfMt（x）=MtZEβt（x）ηEt（dx）。一个hasEP[fMT（x）| Ft]ηEt（dx）=EPMTZEβT（x）ηEt（dx）英尺= MtZEβt（x）ηEt（dx），其中最后一个等式来自（32）。通过定理5.2，我们得到了M是（G，P）鞅。

5.2有序和非有序多重违约的特殊情况我们将鞅特征化结果应用于几个特殊情况。当χ=τ且E=R+时，在单一违约的情况下，定理5.2导致[15，定理5.7]。下面，我们利用定理5.2给出了多违约情形的一些扩展。有序默认情况：这种情况可以看作是singledefault情况的推广。到（24）时，我们有任何v∈ E={（v，··，vn）∈ Rn+| v≤ · · · ≤ vn}，ZEβt（u）ηt（du）（v） =nXi=0R∞tαt（v（i），u（i+1:n））du（i+1:n）R∞tα（v（i），u（i+1:n））du（i+1:n）1lEit（v）。因为（净）t≥0由进程生成（Nt=Pni=11l{ui≤t} ，t≥ 0），F NE自适应过程M（u）可以写入f或MMT（u）=nXi=0Mit（u（i））1 Leit（u），t≥ 0其中Mi（·）是F B（Ri+）-适应并在（25）中定义EIT，那么一个hasfMt（u）=nXi=0麻省理工学院（u（i））R∞tαt（u）du（i+1:n）R∞tα（u）du（i+1:n）1莱特（u）。因此，对于T≥ T≥ 0，EP[fMT（u）|Ft]=nXi=0EP[MiT（u（i））R∞TαT（u）du（i+1:n）| Ft]R∞Tα（u）du（i+1:n）1lEiT（u）和ZEEP[fMT（u）| Ft]ηt（du）（v） =nXj=0xi≥jRTtEP[MiT（v（i））R∞TαT（v（i），u（i+1:n））du（i+1:n）|Ft]dv（j+1:i）R∞tα（v）dv（j+1:n）LejT（v）。所以条件（27）等于，对于任何j∈ {0，…，n}，Xi≥jZTtEPhMiT（u（i））Z∞TαT（u）du（i+1:n）Ftidu（j+1:i）=Mjt（u（j））Z∞tαt（u）du（j+1:n），t≥ uj（33），这意味着以下表征结果。命题5.6条件（27）等同于以下内容：对于任何j∈ {0，…，n}andany u（j）∈ Rj+，u≤ · · · ≤ uj，Mjt（u（j））Z∞tαt（u）du（j+1:n）-ZtMj+1uj+1（u（j+1））Z∞uj+1αuj+1（u）du（j+2:n）duj+1，t≥ uj（34）是（F，P）-鞅。证据：任何j∈ {0，··，n}，设（Aj）为T的等式（33）≥ T≥ 0和u（j）=（u，···，uj）∈ Rj+使u≤ · · · ≤ uj≤ 设（Bj）是（34）的鞅性质。我们将通过对j的反向归纳来证明( 我≥ j、 （Ai）<==> ( 我≥ j、 （二）。（35）注意条件（An）和（Bn）实际上是相同的。

证明了j′的等价性（35）≥ j、 我们将证明f或j的等价性。通过归纳假设证明（Aj）<=> （Bj）考虑到（Ai）和（Bi）对所有i>j都是满意的，因此对于i≥ j+1和t<uj+1one-h-asEPhMiT（u（i））Z∞TαT（u）du（i+1:n）Fti=以弗米特（u（i））Z∞TαT（u）du（i+1:n）FuiiFti=EPhMiui（u（i））Z∞uiαui（u）du（i+1:n）Fti-ZTuiEPhMi+1ui+1（u（i+1））Z∞ui+1αui+1（u）du（i+2:n）Ftidui+1。因此等式（33）等于phmjt（u（j））Z∞TαT（u）du（i+1:n）Fti- Mjt（u（j））Z∞tαt（u）du（j+1:n）=Xi>j+1ZTtEPhMiui（u（i））Z∞uiαui（u）du（i+1:n）Ftidu（j+1:i）-ZTtEPhMi+1ui+1（u（i+1））Z∞ui+1αui+1（u）du（i+2:n）Ftidu（i+2:n）=ZTtEPhMj+1uj+1（u（j+1））Z∞uj+1αuj+1（u）du（j+2:n）Ftiduj+1。因此我们得到了（Aj）和（Bj）的等价性。非有序违约案例：非有序违约案例和有序违约案例可以以类似方式处理。唯一的区别是精确地预测相应的过程。为了v∈ Rn+，一个有（26）个ZEβt（u）ηt（du）（v） =XI{1，··，n}R∞tαt（vI，uIc）duIcR∞tα（vI，uIc）duIc1lEIt（v）。F NE适应的过程M（u）可以写成MT（u）=XI的形式{1，…，n}MIt（uI）1lEIt（u），t≥ 0其中MI（·）是F B（RI+）-适应，那么一个hasfMt（u）=XI{1，…，n}麻省理工学院（uI）R∞tαt（u）duIcR∞tα（u）duIc1 Leit（u）和for T≥ T≥ 0，EP[fMT（u）|Ft]=XI{1，…，n}EP[MIT（uI）R∞TαT（u）duIc | Ft]R∞Tα（u）duIc1lEIt（u）。因此ZEEP[fMT（u）| Ft]ηt（du）（v） =XJ{1，…n}xiJZ∞tEP[MIT（vI）R∞TαT（vI，uIc）duIc | Ft]R∞Tα（vI，uIc）duIc1lEIT（v）α（v）dvJc1lEJt（v）R∞tα（v）dvJc=XJ{1，…，n}xiJRTtEP[MIT（vI）R∞TαT（vI，uIc）duIc | Ft]dvI\\JR∞tα（v）dvJc因此，对于任何J，条件（27）实际上等于 {1，…，n}，和uJ∈ RJ+使得umaxJ:=maxj∈Juj≤ t、 XIJZTtEPhMIT（uI）Z∞TαT（u）duIcFtiduI\\J=MJt（uJ）Z∞tαt（u）duJc。（36）与有序情况类似，对于非有序默认，我们有以下特征化结果。

这个证明类似于命题5.6。因此，我们省略它。命题5.7条件（27）等同于以下内容：对于任何J {0，··，n}和任何uJ∈ RJ+，进程mjt（uJ）Z∞tαt（u）duJc-Xk∈JcZtumaxJMJ∪{k} 英国（uJ）∪{k} )Z∞ukαuk（u）duJc\\{k}duk，umaxJ≤ t（37）是（F，P）-鞅。最后，我们给出了一个例子来说明如何利用上述命题构造n=2和χ=（τ，τ）的G-鞅。例5.8我们将M（·，·）定义为一个（英尺） 净）t≥0-adapted进程，其形式为Mt（u，u）=1l{u>t，u>t}Mt+X{i，j}={1,2}1l{ui≤t、 uj>t}Mit（ui）+1l{u≤t、 u≤t} M1,2t（u，u），（38），其中，M（·）和M（·）是F B（R+）适应，M1,2为F B（R+）适应过程。然后（Mt（τ，τ），t≥ 0）是一个G适应的过程。设（αt（u，u），t≥ 0）假设4.1中定义的一对非有序违约时间（τ，τ）的F-条件密度过程。Let（L1,2t（u，u），t≥ max（u，u））是（F，P）-鞅族，m1,2t（u，u）=L1,2t（u，u）αt（u，u），t≥ 麦克斯（u，u）。以递归的方式，对于{i，j}={1，2}，let（Lit（ui），t≥ ui）be（F，P）-鞅和mit（ui）=Lit（ui）+RtuiM1,2uj（u，u）αuj（u，u）dujR∞tαt（u，u）duj，t≥ 用户界面。最后，让我们≥ 0）是（F，P）-鞅，mt=Lt+P{i，j}={1,2}RtMiui（ui）R∞uiαui（u，u）dujduiR∞tαt（u，u）dudu，t≥ 0.然后过程（Mt（τ，τ），t≥ 0）如上所述构造的是G-鞅。参考文献[1]Aksamit，A.，Choulli，T.和Jeanblanc，M.（2015）：“关于一个可选的半鞅分解和在一个扩大的过滤中的偏差的存在”，见Marc Yor-S\'eminaire de Probabilit\'es XLVII，卷2137，数学课堂讲稿，187-218。[2] Arnsdor Off，M.和Halperin，I.（2008）：“BSLP：组合信用衍生品的马尔可夫双变量利差损失模型”，计算金融杂志，12（2），77-107。[3] 阿蒙丁格，J。