延迟行动原则与自筹资金投资组合动力学

由于新套期保值是在观察到价格变化后计算的，因此必须以新价格F+dF购买套期保值头寸dh的修正。5.2现金账户动态和延迟行动原则现金账户动态是套期保值头寸变化的结果。现金账户的差异增量由DP=-（F+dF）dh（5.3）我们将这种关系称为“延迟作用”原理。它反映了一个事实，即套期保值头寸是在观察到价格变化后更新的。延迟行动原则是自我融资投资组合的一种不同代表。迟缓行为原则反映了因果关系。市场价格增量dF定义为一个独立的随机变量。相反，套期保值增量dh由套期保值策略定义，因此是时间和市场观察值的函数：dht=dh（t，F，dF）。因此，价格增量dF和套期保值增量dh之间存在因果关系——后者是前者的函数，而不是相反。然而，如果一个观察者被赋予连续时间矩的dF和dh的一系列观察值，他将无法分辨哪个变量是另一个变量的函数。对冲价值差异的对称表达LDH不包含dF和dh之间因果关系的信息。dP的表达式是内在不对称的，并且反映了因果关系：增量dh是在观察到增量dF后计算的，这导致在现金流差异中出现一个额外的术语dF dh。请注意，因果关系只是维纳过程的一个特征，因为现金流中的附加项是二次项，在普通微分计算中会被忽略。表达式（5.3）的推导方式应确保对冲组合不会因对冲头寸的变化而发生变化。

事实上，套期保值与现金账户的组合具有以下dy namicsd（H+P）=H dF（5.4）。该表达式不包含与dh成比例的术语，该术语可被视为对重新估价行动原则的形式定义。等式（5.4）尤其意味着套期保值头寸的开盘或收盘对投资组合没有影响，即使dh不是非常小。请注意，在无漂移的市场中，套期保值平均值不赚钱：[无漂移]：hd（H+P）idW=H hdF idW=0（5.5）预期套期保值与现金流量增量之间的关系[无漂移]：hdHidW=-hdP idW（5.6）将在以后的应用程序存储选项中使用。在存在市场漂移的情况下，对冲投资组合的预期漂移不会消失，并对整个投资组合的演化做出了重要贡献。5.3期权价格动态使用Ito规则，我们可以写C=˙C dt+C′dF+C′dF（5.7），其中我们指定了˙C=Ct、 C′=CF、 C′\'=CF该发展方程适用于任何期权定价公式，前提是它可以表示为t和F的s函数。下面我们将考虑风险中性、概率和内在期权价格的特殊情况。5.4完整的投资组合动态考虑到等式（5.4），完整的投资组合动态变成∏=dC+h dF（5.8）用表达式代替期权差异，我们得到∏=C dt+（C′+h）dF+C′dF（5.9），如前所述，初始投资组合价值与期权价格∏（0）=C（0）一致。从某种意义上说，初始套期保值的建立具有Zero成本：H（+0）+P（+0）=H（0）dF=0，因此投资组合在第一时间没有间断。最终投资组合价值是通过积分公式。

（5.8）随着时间的推移：∏e=C（Te）+ZTeh dF（5.10）在无漂移市场中，第二项的平均值消失，我们得到预期值[无漂移]：hd∏（t）idW=hdCidW（5.11）h∏ei=hC（Te）i=g（0）（5.12）预期的最终投资组合价值由期权报酬和基础资产的最终分布决定。在有漂移的市场中，hh dF i一词不会消失，因此预期的最终投资组合值变为SH∏ei=hC（Ta）i+Zhh dF i=g（0）+Zhh dF i（5.13），因此最终投资组合值取决于套期保值策略。下面我们考虑几个例子。5.5增量对冲投资组合动态增量对冲策略定义为ash（t）=-C′（t）（5.14）注意，这种策略取决于期权价格的定义。下面我们考虑三种不同的增量hedg策略——风险中性（对应于风险中性期权价格）、漂移调整（对应于概率期权价格）和内在（对应于内在期权价格）。我们将使用“hat”来表示三角洲对冲投资组合的特殊情况：三角洲对冲投资组合遵循以下动力学d∏=˙C dt+C′dF（5.15）。三角洲对冲投资组合的组成不依赖于dF，因此是确定性的过滤Ft。请注意，无论期权定价公式如何，三角洲对冲投资组合都是确定性的。这是我们对投资组合价值定义的结果（见第4节）。6对冲策略6。1风险中性delta hedging对于“风险中性”期权价格，投资组合动态由byd∏rn=df+h df=˙f dt+（f′+h）df+f′df给出。风险中性期权价值f（f，t）可根据以下逻辑推导得出。让我们使用arisk neutra l delta对冲策略h=-f′我们指出，对象df可以被形式化地认为是确定性的，这是一种采用inIto演算的行话。

在任意小但固定时间增量dt的混凝土时间中，值dF是一个随机数，dF也是一个随机数。然而，在连续时间框架下，积分的标准差在dt的极限内→ 因此，我们可以正式地认为DFA是确定性的。然后，投资组合的动态性变为^∏rn=˙f dt+f′dF（6.1）。在过滤Ft下，该表达式是确定性的（即无风险）。风险中性定价理论的“无风险午餐”论点是，无风险的投资组合应该是常数。因此，风险中性期权价格应遵循˙f dt+f′dF=0（6.2）的关系，即Black-Scholes方程。如果期权价格由BS方程确定，并且如果遵循增量对冲策略，则投资组合价值为常数：d^∏rn≡ 0，^∏rn（Te）=^∏rn（0）。这是风险中性定价理论的显著特点：通过增量对冲，投资组合可以降低风险，独立于市场波动。风险中性套期保值的另一个特性是，套期保值复制了期权的演化。实际上，fr om d∏rn=df+dH+dP=0we getdH+dP=-df（6.3），这意味着投资组合的对冲部分复制了期权的行为，并带有相反的符号。值得强调的是，在有限的时间内t等式（6.2）的左侧是一个零均值随机变量˙ft+f′\'F=ε，hεi=0，因此复制公式（6.3）仅对随机变量ε有效。

通过使用复制期权gammaf′和期权theta˙f的非线性产品进行套期保值，可以实现更准确的复制。注意到∏rn（0）=f（0），并且在无漂移的市场上，我们得出[无漂移]：g（0）=f（0），因此，如果市场动态较小，风险中性期权价格与概率价格一致。现在让我们考虑一个使用BS期权价格但采用任意对冲策略的投资组合。考虑到BS方程，期权价格的演变可以用dF=f′dF（6.4）来表示，因此对于任意的套期保值策略，我们得到：d∏rn=（f′+h）dF（6.5）随时间积分并平均收益率∏ei=rn（0）+ZTeh（f′+h）dfi=f（0）+ZTeh（f′+h）ui dt平均∏ewe的平方表达式- h∏ei和hh∏ei的表达式允许计算任意对冲策略在市场漂移情况下对终端投资组合分布的影响。这些表达式可能看起来很简单，但它们涉及到价格路径上的平均值，即要求h表示为F的显式函数。如果h是F上的一个函数，那么价格p的平均化将涉及路径积分，整个计算可能变得非常复杂。作为一个更有趣的套期保值策略的例子，让我们考虑一个报价优化套期保值。该套保策略是每个时间步的一项规则，仅部分更新套保头寸，以平衡投资组合中未套保部分的风险和市场融资成本。该策略可通过以下等式建模：-k（h+f′）dt与一些常数k。

显然，对于k=0，h（t）=（h（0）-f′代表k→ ∞随着时间积分，我们得到h（t）=h（0）e-k t- 中兴通讯-k（t）-u） f′（u）dut选项δf′可以显式表示为Ff′（t）的函数≡ f′（t，f（t））因此套期保值头寸成为一个函数h[f（t）]。估计这种对冲策略的终端投资组合分布需要计算路径积分。6.2漂移调整delta hedging我们从概率期权价值g的微分表达式开始：dg=˙g dt+g′dF+g′dF+g′dF（6.6）概率期权价值具有零预期漂移的特性hdgi=0（6.7）。该特性源自概率期权的定义。事实上，对于两个任意时间矩和t>twe haveg（t）=hge | Fi=ZdFeP（Fe | F）K（Fe）=ZdFP（F | F）ZdFeP（Fe | F）K（Fe）=hg（t）| fti是x在y上的一个期望，P（x | x）是x上的一个xconditional的概率分布函数。我们还指定了ge=g（Te）、Fe=F（Te）、F（Te）、F=F（t）、F=F=F（t）、F=F=F（t）。hg=llows（hg=llows+llows）- g（t）=0。通过对dg除以dW的表达式进行平均，我们发现无漂移市场中的˙g dt+g′hdF i+g′dF=0（6.8），且g遵循与风险中性期权价格具有相同终端边界条件的相同BS方程。因此，正如预期的那样，概率期权价格与风险中性价格一致。来自Eqs。（6.6,6.8）我们得到dg=g′（dF- hdF i）（6.9）（将其与等式（6.4）进行比较）。

投资组合动态遵循asd∏p=（g′+h）dF- g′hdF i（6.10）在dW yieldshd∏pi=h hdF i上对该表达式求平均值，因为概率概率概率有漂移，并且不存在消除漂移的对冲策略（心房策略除外）。漂移调整的增量对冲策略定义为：-g′（6.11）它产生了以下对冲投资组合动态Cd^∏p=-g′hdF i（6.12）与风险中性投资组合类似，增量是确定性的。但与风险中性的投资组合不同，亲婴儿的投资组合有一个dr ift。“没有免费午餐”的论点不适用于这里，原因如下。对于风险投资组合动力学，期权价格遵循“无免费午餐”的论点。然而，在漂移调整投资组合的情况下，假设了期权定价公式（这与我们的投资组合价值定义一致）。delta套期保值投资组合的终值由∏e=∏p（0）给出-ZTeg′hdF i=p（0）-ZTeg′udt（6.13）这是一个随机值，因为g′和hdF i都可以表示为价格F的显式函数。终端投资组合的期望值是通过对价格路径情景进行平均得到的。在任意对冲策略的情况下，在dW上平均的投资组合增量由hd∏pidW=h hdF i=hudt给出。因此，终端投资组合的预期值由h∏ei=p（0）+ZTehh dF i=πp（0）+ZTehhui dt（6.14）给出，其中在价格情景下进行平均。根据漂移方向和对冲策略，预期的终端投资组合价值可以任意调整。这是一个随机数的陷阱。

投资组合具有不可约风险，只有通过接近风险中性对冲策略，并放弃更高收益的机会，才能将其最小化。6.3滚动内在delta heding内在期权价格没有明确的时间依赖性。因此，期权价格的演变由di=I′dF+I′dF给出。由于我们将概率期权价格作为投资组合的一部分，因此投资组合具有不可约的漂移。与风险中性投资组合相比，该投资组合具有不同的起始点和不可减少的漂移。将后一个等式代入公式（5.9）中，我们得到∏i=（i′+h）dF+i′dF（6.15）的内在增量对冲策略定义为：-增量套期保值投资组合的演变为∏I=I′dFi。e、 由内在选项gamma驱动。积分d^∏越时间越长，平均产量d^∏eE-^∏i（0）=中兴通讯I′dF（6.16）投资组合的初始价值等于初始内在期权价值I（0）。在风险中性度量下，终端产品组合^∏Ee的预期值等于预期期权报酬（见等式（5.12）），等于风险中性期权价格。因此，风险中性期权时间价值可以计算为[无漂移]：VT=ZTeI′dF=ZTehdIi（6.17）在最后一个积分中，平均值为满，即超过dW和F。6.3.1看涨期权时间值我们假设市场没有漂移hdF i=0。让我们考虑一下欧洲看涨期权。内在期权价格由i（F）=（F）给出- K） θ[F- K] （6.18）式中，θ[x]是Heaviside函数，F是sp ot价格，K是罢工价格。内在期权价格的变化很容易计算：dI=θ[F- K] dF+δ[F]- K] dF（6.19），其中δ[x]是狄拉克δ函数。

一阶和二阶项给出了选项delta和gamma:I′=θ[F- K] ，I′′=δ[F- K] （6.20）内在套期保值投资组合的动态变为^∏i=δ[F- K] dF。（6.21）请注意，对于滚动内在策略，投资组合价值正在严格增长。这一结果为交易者所知，有时被用作保守的交易策略，因为PnL（尽管^∏i低估了投资组合的市场价值）从未下降。通过积分d^∏iover time和平均值，我们得到期权时间值asVT=ZTeδ[F]- K] dF（6.22）我们在附录B.7中对无漂移市场上的存储选项进行了显式计算，用于演示。t为观察时间，t为交付时间。让Ft（T）为在时间T上观察到的远期价格，并在时间T上交货。Ft（T）作为T的函数称为ward曲线。在本节中，我们考虑无漂移市场。假设前向曲线遵循一个具有独立增量的鞅连续随机过程，例如instancedFt（T）Ft（T）=σdWt，hdFt（T）i≡ 0特定形式的流程不起作用。这里，dFt（T）是一个与时间增量dt相关的变量，被认为是T的函数。通常，对于任何函数ft（T），我们将使用表示为dft（T）或δft（T）的变化，并定义为时间间隔dt上的增量：δft（T）=ft+dt（T）- ft（T）让TEB确定存储合同的期限，例如：∈ [0，Te]在每一时刻t，套期保值头寸都是交割时间的函数：ht（t）套期保值的价值定义为asH（t）=ZTetht（t）Ft（t）dT（7.1）。该定义意味着在时间t交割的线性远期合约的价值被分配到当前时间t。实际上，未来合约的实际现金流可能在其他时间发生。然而，从数学的角度来看，这是无关紧要的。

选择后一种定义是为了方便。我们同意，通过定义，初始对冲等于0:h（T）≡ 0，H（0）=0套期保值价值的增量由DH（t）决定-ht（t）Ft（t）dt+ZETht（T）δFt（T）+Ft（T）+δFt（T）δht（T）dT（7.2），其中δFt（T）和δht（T）是对应于观测时间增量dT的变化。第一个术语不是别的，而是行使交易——套期保值组合的即时部分，它变成了实物。由于时间范围较短，套期保值的价值因交易而变小。期权交易也应反映在不断变化的期权价值中。根据减损行动原则，现金账户的增量由Dp（t）给出-ZTetFt（T）+δFt（T）δht（T）dT（7.3）注意，由于套期保值期间已在期货市场上支付了相应的基础资金，因此不存在与电子交易相关的现金流。我们定义了行权交易asdE（t）=ht（t）Ft（t）dt，E（0）=0（7.4），其中Ft（t）是时间t上的现货价格。让C（t）是剩余时间范围[t，Te]的存储期权的价格，用时间t上的初始条件计算。对于整个投资组合增量，我们由此得到：d∏（t）=dC（t）- dE（t）+ZTetht（t）δFt（t）dT（7.5）将后一个表达式与等式（5.8）进行比较，我们注意到存储投资组合动力学有一个附加项dE。初始投资组合价值与初始期权价格∏（0）=C（0）（7.6）一致，这是显而易见的，因为初始对冲成本为零：H（+0）+P（+0）=-h（0）F（0）dt+ZTe[h（T）δF（T）]dt=0，其中我们使用了h（T）≡ 0.由于初始对冲的设置，投资组合没有发生跳跃，因此在t=0时正确定义。终端选项值显然是ze roC（Te）=0，现在平均为Eq。