延迟行动原则与自筹资金投资组合动力学

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英文标题：
《Retarded action principle and self-financing portfolio dynamics》
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作者：
Dmitry Lesnik
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We derive a consistent differential representation for the dynamics of a self-financing portfolio for different hedging strategies. In the basis of the derivation there is the so called \"retarded action principle\", which represents the causality in the evolution of dependent stochastic variables. We demonstrate this principle on example of a vanilla and a storage option.
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中文摘要：
对于不同的对冲策略，我们推导出了自筹资金投资组合动力学的一致差分表示。在推导的基础上，有所谓的“滞后作用原理”，它代表了相依随机变量演化的因果关系。我们以一个香草和一个存储选项为例来演示这一原理。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Chaotic Dynamics        混沌动力学
分类描述：Dynamical systems, chaos, quantum chaos, topological dynamics, cycle expansions, turbulence, propagation
动力系统，混沌，量子混沌，拓扑动力学，循环展开，湍流，传播
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PDF下载：
--> Retarded_action_principle_and_self-financing_portfolio_dynamics.pdf (220.89 KB)

2022-5-9 06:07:51 上传

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关键词：投资组合 动力学 Mathematical Quantitative Differential

延迟行动原则和自融资投资组合动力学2018年8月18日摘要我们推导出了不同对冲策略的自融资投资组合动力学的一致差异表示。在推导的基础上，有一个所谓的“延迟作用原理”，它代表了依赖于随机变量演化的因果关系。我们以van illa和storageoption为例演示了这一原理。1简介在本文的第一部分中，我们推导了一个由普通期权、动态交易线性对冲和现金账户组成的自融资投资组合的演化方程。从某种意义上说，投资组合是自我融资的，可以认为是“孤立的”——现金流完全是通过对冲交易产生的，不需要外部资金。我们使用演化方程来研究具有不同享乐策略的投资组合的动力学。我们将对终端投资组合分布感兴趣。显然，期权定价公式不会影响最终投资组合价值，因为在到期时，它只是变得等于确定性的支付。相反，不同的投资策略会影响最终投资组合的分布和预期价值：o如果交易者持有裸（未对冲）香草期权，则投资组合的最终价值是随机的，预期投资组合价值等于预期报酬，即亲婴儿期权价格所谓的“风险中性”套期保值策略使终端投资组合等于“风险中性”期权价格，且分布任意狭窄。

“风险中性”投资组合对市场波动不敏感，这使得它非常特殊在无漂移市场上，任意的对冲策略会导致预期的终端投资组合价值与“风险中性”投资组合一致，但分布取决于对冲策略在市场上，预期价值和终端投资组合的分布与套期保值策略有关。在我们的分析中，我们考虑了三种不同的期权定价公式——Black-Scholes（我们也将BS期权定价和对冲策略称为“风险中性”），概率和内在。除此之外，我们还研究了不同的套期保值策略，特别是，我们考虑了与不同的期权定价公式相对应的Deltaheding。我们还展示了如何从内在套期保值策略计算期权时间价值。在第二部分中，我们概括了存储期权的方程，并展示了如何通过遵循滚动内在套期保值策略来计算存储期权的时间价值。2具有漂移的市场F（t）是时间t时标的物的价格。标的物应遵循具有漂移的广义维纳过程：dF（t，t）=u（F，t）dt+σ（F，t）dWt。（2.1）对于几何布朗运动（GBM），我们有u=uF，σ=σF。漂移项被认为是真实且具有统计意义的，不同于风险中性原则中考虑的虚拟漂移（见第2.1节）。dr ift的存在影响了结果分布，并引入了一种统计上的随机性。我们将使用以下等式：hdF i=u（F，t）dt（2.2）dF=σ（F，t）dt（2.3）。市场漂移的一个重要方面是，只有在流动性有限的不完整市场上才能观察到一致且具有统计意义的漂移。

另一方面，我们将处理投资组合演化方程，该方程是在假定交易方进行连续动态套期保值的情况下推导出来的，这在非流动性市场上几乎是不可能的。因此，具有漂移的市场的结果可以被视为一个近似值，在市场流动性允许的范围内，可以在现实中进行近似。无漂移市场意味着u=0，因此hdF i=0。对于在无漂移市场假设下推导的公式，我们将使用标签[无漂移]：2.1虚拟漂移和r isk Neutral pricingA标准期权定价理论是在有效市场假设以及市场完整性（即流动性和无市场摩擦）的假设下发展起来的。在这种情况下，任何资产价格动态的随机模型都必须服从一个特定的性质：相应的价格过程应该是一个鞅-马尔可夫过程。任何偏离鞅性质的行为都会立即导致统计套利，这在有效的液体市场框架内是不可能的。据观察，对于一大类资产，资产价格的典型行为有三个主要的动态特征——漂移、扩散和违约。漂移的特征是价格的短期系统性下跌，差异描述为随机零均值波动，违约描述了价格下跌的随机发生。对于某些资产，无故障事件意味着跳到零，即随后存在的资产。对于其他资产，违约可能只是部分违约，因此允许“回收率”。捕获所有三个特征的最简单的价格过程可以用以下形式表示：DFF=＠udt+σdW+dZ（2.4），其中＠u描述短期漂移，dW描述差异，dZ是一个随机跳跃过程，描述随机m默认事件。

鞅条件n的结果为：△udt+hdZi=0（2.5），因此漂移项不是任意的，而是由跳跃过程确定的。这种关系反映了一个众所周知的事实，即风险较高的资产（即违约率较高的资产）具有较高的短期增长率。在金融文献中，考虑截断价格过程是很常见的，在截断价格过程中，跳跃部分被删除：dFF~=■udt+σdW（2.6）在这种截断形式下，方程违反了鞅条件（为了强调这一点，我们使用了符号~=). 尽管有这个缺点，但在某些情况下，后一种模式是有用的。通常，默认过程在跳跃之间有很长的期望时间。在这种情况下，等式（2.6）很好地描述了短期内的价格过程动态。该方程的优点在于它的实用性，因为它很容易通过分析追踪，而基于跳跃扩散过程的大多数结果要么非常复杂，要么根本没有封闭形式的解。然而，正如已经注意到的，等式（2.6）违反了鞅条件，因此不能用于概率期权定价。事实上，预期的PRIC e增量变为~=■udtf，导致期权价格出现系统性偏差。漂移项¨u只有在由默认跳转过程补偿时才有意义。我们将¨u值称为虚拟漂移，以强调它代表未补偿漂移，这违反了鞅条件。根据截断的演化方程，产出价格的分布被称为“现实世界测度”。具有讽刺意味的是，它并没有描述现实世界的衡量标准，因为它包含着无系统的偏见。为了应对不一致的价格动态，人们发展了风险中性定价理论。

该理论使用投资组合应用方法（delta he dging strategy）来推导（或者更好地说，定义）风险中性期权价格，该价格与虚拟漂移无关。风险中性价格相当于简化价格过程下的概率价格dff=σdW（2.7）。该模型没有任何短期漂移或违约跳跃成分。然而，它保留了马丁酒的条件，在许多情况下，它对期权定价是有效的。相当复杂的风险中性定价理论，其中很大一部分是基于测度理论，本质上需要证明为什么应该省略虚拟漂移项。在本文中，我们有时考虑一个带有漂移的价格过程，如等式（2.1）。我们应该强调的是，在这种情况下，漂移u不是虚拟漂移，而是一种真正的可观测且具有统计意义的漂移。正如之前所注意到的，这种漂移只在流动性有限的市场中可能发生，这不允许大多数市场参与者利用和利用统计套利。流动性有限的市场不必满足鞅条件。这种情况下的期权定价变得相当模糊，因为它取决于对冲策略。无论选择何种对冲策略，我们都使用概率方法来推导期权价格。3平均我们将处理随机价格过程的平均。在这篇文章中，我们需要对符号做一些评论。设f（t，f）是价格过程f（t）和时间的函数。给定初始条件f（0），f的平均值是f作为随机变量f（T）的函数的期望值。我们表示这个平均值，它是hf（t，F（t））|FiF的缩写。

她的e-FTI是由布朗运动产生的过滤。差异增量dF可以用F a和布朗驱动因素差异表示。我们可以定义过滤Ft下dW的平均值。我们指定了dWashdF idw上的平均值，它是hdF（F，dW）| FtidW的缩写。F的任何显式函数的差分都会变成dW的函数，因此我们将dW上的平均值设为DFIDW。注意，在过滤F下，差分df（t，F）是两个随机变量F（t）和dW的函数，因此平均hdf（t）是一个随机变量。因此，对于不同的表达式，我们可以引入一个完整的平均值，包括对增量dW和随机变量F（t）的平均值。hdfiF，dW=hhdfid如果考虑一个不同形式的h dg，其中h（t，F）是随机过程F的函数，dg是F和dW的函数。当对dW进行平均时，函数h可以从平均括号中去掉：hh dgidW=h hdgidw对于我们得到的完整平均值：hh dgi=hh hdgidwi。在这种情况下，对F的平均不能被分解，因为值h和hdgidWare都是F的函数。特别是Rhh dF i=hhuifdt请注意另一个适用于无漂移价格过程的有用表达式：[无漂移]：hh dF i=hh hdF idWiF=0如果从上下文中可以明显看出其意义，我们将省略平均括号的下标。通常我们指的是hgi或hh dgi等表达式的完全平均值，以及hdgi或hdF i.4投资组合价值函数等表达式的平均值。让我们考虑一个由在某个时间到期的普通期权、线性套期保值头寸h（t）和现金账户P（t）组成的投资组合。我们指定H（t）为对冲头寸的价值。也让C（F，t）作为期权价格。应该强调的是，C（F，t）并不意味着任何特定的定价公式，例如Black-Scholes。

对期权价格的唯一要求是它与期权报酬C（F，Te）=K（F）所产生的到期日。正如导言中所讨论的，我们考虑了期权价格的三种不同特殊情况——风险中性、内在和概率。投资组合价值定义为∏（t）=C（t）+H（t）+P（t）（4.1）。重要的是要理解，我们对投资组合价值的定义与投资组合市场价格不同，即在一般情况下∏（t）不是投资组合可以（或应该）在市场上买卖的价格。事实上，即使在流动性较小的市场中，我们也知道投资组合的正确市场价格是通过使用BS期权定价公式获得的。内在看涨期权价格忽略了期权时间价值，因此相应的投资组合价值低估了其市场价格。然而，在期权到期时，所有的期权定价公式都是自由的，因为它们与期权支付一致。因此，最终投资组合价值与期权定价公式无关。它简单地等于期权报酬和hedg e交易的累积现金流之和。在流动性较差的市场中，投资组合市场价格的概念一点也不明确。首先，市场上没有观察到价格，因为市场缺乏流动性。公共关系在数学上没有很好的定义。事实上，最终投资组合分布——均值和方差——取决于对冲策略。风险中性策略具有消失风险（由于市场不完全和缺乏流动性，总有一些剩余风险）。然而，还有其他一些策略会带来更高的预期收益，这是一个带有不可还原风险的组合。具有一定风险偏好的交易可能会认为风险策略更具吸引力。

因此，“公平”的公关并不存在，因为不同的交易者有不同的风险偏好，对公平价格有不同的看法。相比之下，投资组合价值∏（t）的定义非常明确。终端投资组合分布提供了有关预期收益和相关风险的详细信息，因此我们有兴趣分析终端投资组合的价值分布。特别是，预期的终端投资组合价值将是我们的主要关注点。设f（f，t）为风险中性，g（f，t）为概率，I（f）为内在期权价格。我们考虑了投资组合的三个定义：“风险中性”的“rn=f（f，t）+H（t）+P（t）（4.2）“概率”的“P=g（f，t）+H（t）+P（t）（4.3）”和“内在”的“i=i（f）+H（t）+P（t）（4.4）在所有三种情况下，考虑的初始投资组合价值是不同的，由初始期权价格h（0）=0（4.5）P（0）=0（4.6）∏（0）=C（F，0）（4.7）定义，最终期权价值不取决于定价公式，因为它在到期时与付息K（F）C（F，Te）=F（F，Te）=g（F，Te）=I（F，Te）=K（F）一致。预期的最终期权价值只是预期的付息，因此，与初始概率期权价值HC（F，Te）i=hK（F）i=g（0）（4.8）一致，这对任何期权价格公式都是有效的，例如hf（Te）i=hg（Te）i=hI（Te）i=g（0）终端投资组合价值取决于终端期权价格和hedg e交易产生的现金流。终端投资组合价值是一个随机变量（风险中性对冲策略除外）。所以我们不能说终端投资组合分布。我们指定∏e=∏（Te）该值定义正确，因为∏（Te）不依赖于期权定价公式。

特别是，我们将对预期值h∏ei感兴趣。如下所示，在无漂移市场中，预期值h∏ei不取决于套期保值策略，且与风险中性期权值一致。另一方面，标准偏差取决于对冲策略。唯一的风险控制策略是零标准差。在具有漂移的市场中，预期值h∏ei和标准偏差hh∏ei都受到套期保值策略的影响。风险中性套期保值策略产生风险中性终值和零标准差。其他对冲策略会导致投资组合组成部分的∏e.5动态产生不同的预期值和标准差。在本节中，我们考虑控制投资组合动态的演化方程。在下面的任何地方，我们都假设利率为零，这相当于使用无风险债券作为基准利率。通过改变变量（见附录A），可以转换为货币单位。5.1套期保值价值动态套期保值价值定义为asH（t）=h（t）F（t）（5.1），其中F是即期价格，h是套期保值头寸。为了简单起见，我们省略了timeargument，因为它不会导致歧义。h和F都是随机变量。套期保值的差异增量由Ito规则dh=h dF+F dh+dh dF=h dF+（F+dF）dh给出。（5.2）右手边的第一个表达式对于两个变量都是对称的，但第二个表达式可以给出有意义的解释。h dF反映了远期价格变化导致的套期保值价值变化。第二项（F+dF）dh对应于与更新对冲头寸相关的附加值。