延迟行动原则与自筹资金投资组合动力学

（7.5）并随时间积分yieldsh∏ei=-ZTehdEi=-hE（Te）i（7.7），我们利用了无漂移市场假设。这个表达式的结论如下。预期的最终投资组合价值仅由行权交易确定，不受对冲交易的影响。套期保值仅对围绕预期价值的期末投资组合的分布产生影响。对于储备期权，存在一个使预期期权价值最大化的最优行使策略。次优的行使策略会导致预期期权价值的不可还原性。接下来我们介绍目标函数（t）=C（t）- 带边界条件的E（t）（7.8）ss（0）=C（0）（7.9）hS（Te）i=-hE（Te）i=h∏ei（7.10）根据这一定义，投资组合动态可以写成d∏（t）=dS（t）+ZTetht（t）δFt（t）dT（7.11），这是公式（5.8）的存储选项推广。使用无漂移假设，我们发现hd∏idW=hdSidW（7.12）。目标函数是时间t的普通函数，是前向曲线Ft（t）上的函数，因此完全的差异可以用一般的伊藤公式（t）表示=stdt+ZTetδSδF（u）δF（u）du+ZZTetδSδF（u）δF（v）δF（u）δF（v）du dv（7.13）在后一个公式中，为了便于记法，我们省略了下标t，例如δF（u）意味着δFt（u）。将dS的表达式与等式（7.11）a相结合，并引入相关函数∧t（u，v）=dtδFt（u）δFt（v）（7.14），我们得到了投资组合的动态Cd∏=stdt+ZETδSδF（u）+h（u）δF（u）du+dtZZTetδSδF（u）δF（v）∧（u，v）du dv该公式是avanilla期权投资组合演化方程（5.9）的存储期权一般化。

在这里S/t表示选项θ，函数导数δS/δF（u）表示选项δ，二阶函数导数δS/δF（u）表示选项γ。Delta hedge定义为asht（T）=-δSδFt（T）这是一个连续时间模拟的普通期权δ对冲。对于Delta套期保值投资组合的动态，我们得到=stdt+dtZZTetδSδF（u）δF（v）λ（u，v）du dv（7.15）这是等式（5.15）的一个类似物。7.1风险中性价格比TC（t）r代表一个时间范围内的风险中性存储期权价格[t，Te]。在这种情况下，我们可以遵循与风险中性的普通期权定价相同的逻辑。由于投资组合增量具有确定性（过滤不足），因此不会暴露于市场风险，因此应保持不变。我们因此获得s这是Black-Scholes方程的未定权益推广。形式上，这是一个一维函数S上的积分微分方程，被认为是t的函数，对于t的所有可能值，都是Ft（t）。在任何时间t，给定远期曲线Ft（t），函数S[t，Ft（t）]等于存储期权值，就像函数f（t，f（t））等于给定时间t的普通期权价格和现货价格f（t）一样。

注意到时间导数S/t是存储选项θ，而s二阶导数δs/δF（u）δF（v）代表存储选项伽马，BS方程在θ和伽马之间建立联系的方式与普通选项完全相同。考虑到BS方程，三角洲对冲投资组合动态变得微不足道≡ 0对于任意对冲策略，投资组合动态变为∏=ZETδSδF（u）+ht（u）δF（u）du（7.17）该方程允许估计投资组合漂移和方差hd∏i=0d∏=dtZZTetδSδF（u）+ht（u）δSδF（v）+ht（v）∧（u，v）du dvs可以明确表示为函数o n Ft（T）。7.2滚动内在策略在本节中，我们考虑滚动内在存储期权定价和hedg策略。滚动内在策略定义如下。对于每个观察时间t，市场上都观察到一条正向曲线Ft（t）。如果t时刻的存储水平为q（t），那么我们可以用初始条件n q（t）来解决剩余时间范围[t，Te]的本质优化问题。让我们将在时间t计算的内在最佳运动策略指定为˙qint（t，t）。这里我们解释q（t，t）是时间t的函数，由观测时间t参数化。时间导数是关于t的：˙qint（t，t）=钦特（t，t）/T为了简单起见，我们将指定T（T）=˙qint（T，T）。固有存储选项值可以简单地表示为asI（T）=-ztett（T）Ft（T）dT（7.18）该积分表示用当前正向曲线在本质上计算的未来曲线。根据滚动内在策略，时间t的套期保值头寸定义为asht（t）=-δIδFt（T）=rt（T）和行权交易de（T）=rt（T）Ft（T）dt对于正确的期权定价来说，行权交易是最优的至关重要。

文献[1]表明，最佳储存运动与内在运动在前导顺序上一致。这就需要使用滚动内在策略来估计预期的存储选项价值。I的初始值提供了存储选项内在值I（0）=vint I的终值明显为零：I（Te）=0通过积分exerc ise trades（t）=Ztrτ（τ）Fτ（τ）dτ给出练习E（t）。该积分表示已结束交易的价值。这里我们假设E的初始值为0，E（0）=0。E的预期终值用相反的符号表示预期期权价值（见等式（7.7））。-对于目标函数S=i，hE（Te）i=h∏eiNow- 我们有S（0）=Vint（7.19）hS（Te）i=h∏ei（7.20）因此，时间值可以通过vt=ZTehdSiF，dW，（7.21）获得。接下来我们注意到目标函数S仅通过积分的极限E和i依赖于t。很容易看出我t=Et=rt（t）Ft（t），因此s最后，我们得到了tar-get函数的演化方程ds（t）=zetδSδF（u）δF（u）du+dtZZTetδSδF（u）δF（v）v∧（u，v）du dv（7.22），现在平均并考虑到hδF i≡ 0我们得到hds（t）i=dtZZTetδSδF（u）δF（v）∧（u，v）du dv允许的时间值为δSδF（u）δF（v）∧（u，v）du dv（7.23）如果目标t函数可以表示为正向曲线F（t）的明确函数，则该表达式允许计算时间值。我们可以得到时间值的另一个表达式，它包含最优本征策略δrt（T）=rt+dt（T）的变化- rt（T）。

为此，我们注意到目标函数的“闭合”部分（t）相对于正向曲线变化是恒定的（正向曲线的变化只影响t>t时电流F（t，t）的未来值），hencedS=dI，（7.24），其中我们指定了应为恒定时间t计算的变量。ThusVT=ZTehdIi。（7.25）接下来，我们观察到对冲价值与负的内在期权价值一致：H（t）=ztett（t）Ft（t）dT=-I（t）和hencehdIi=-hdHi=hdP i（7.26），其中P是对冲交易的累积现金流量。如果我们考虑到HδF i，则第二个关系式源自H和dP的定义≡ 0，并且变量d保持积分极限不变。因此，时间值可以计算为vt=ZTehdP i。也可以通过直接计算显示，对冲交易的预期累积现金流产生期权时间价值（见附录C）。替换dP的定义：dP（t）=-zet（F+δF）δr dt我们最终得到的时间值为vt=-中兴通讯“Ztteh（F+δF）δri dT#（7.27），其中平均值已满。该表达式允许计算存储选项时间值，前提是我们知道最佳内在运动策略rt（T）的解析表达式。通常，运动策略rt（T）在前向曲线Ft（T）上起作用.然后，应根据正向电流变化δF来表示固有频率δr的变化。平均后，关于δF的一阶项消失。因此，时间值将用相关函数∧t（u，v）表示。附录a利率变量的变化在正文中，价格以无风险债券的单位表示，因此在任何演化表达式中都不存在利率。

为了转换成一种货币的单位，其值以r的速率递减，我们需要引入以下变量的变化（我们使用“bar”表示新变量）：1。所有以货币为单位的数值，如即期价格F、期权价格F等，都按“F=er tF（A.1）”和“F=er tF（A.2）2进行缩放。考虑到时间是自变量之一，我们正式引入了一个新的时间t=t。根据t=“t+r”F\'F（A.3）F=er’t\'F（A.4）F=e2 r¨t\'F（A.5）B普通看涨期权时间值我们偏离公式（6.22）VT=ZTeδ[F]- K] dF（B.1）让F（t）跟随GBM:dF（t）F（t）=σdWt；（B.2）该表达式的平方yieldsdF=σFdt。（B.3）因此Γ=dthdIiF，dW=σδ[F]- K] FF如何计算v值Γ，我们需要在随机pric e F上平均这个表达式。LetP（F，t）是F在t时刻的概率密度函数。对于GBM，它readsP（F，t）=Fσ√2πtexp-lnFF+σt2σt; （B.4）对于Γ，我们得到Γ=ZP（x，t）σxδ[x]-K] dx=σKP（K，t）；（B.5）用P代替，我们最终得到Γ=σK√2πtexp-lnKF+σt2σt; （B.6）时间值VT是通过在时间范围内积分Γ得到的：VT=ZTeΓdt（B.7）B.1积分Γ变量的变化=√Tdy=dt√t（B.8）给定t=σK√2πe-2 a bZ√特克斯[-嗯- b/y]dy（b.9），式中为σ√; b=σ√LNKF利用Sec的积分。

B.2我们得到：F<K:VT=σK√2πe-2 a北京+[√T]=（F）- K+FΦ[K]+KΦ[K]）（B.10）F>K:VT=σK√2πe-2 a北京-[√T]=（K- F+FΦ[k]+kΦ[k]）（B.11），其中Φ[x]是误差函数，k=σT- lnKFσ√2t，k=σT+lnKFσ√2 T很容易证明通过该方法获得的时间值与Black Scholetime值一致：VT=CallOptionV值（F，K，T）- 麦克斯（F）- K、 0）。请注意，Black-Scholes期权价值通常用累积正态分布函数N[x]表示，它与误差函数asN[x]有关=1 + Φ十、√.B.2积分评估我们有一个不确定的积分I和定义版本J:I=Ze-斧头-b/xdx，J[T]=ZTe-斧头-b/xdx（b.12）我们正在以误差r函数的形式寻找（b.9）的解：Φ（x）=√πZxe-tdt，Φ（±∞) = ±1 . （B.13）注意到ddxΦ（a x+B/x）=√πe-2 a bA.-bxE-斧头-b/x（b.14）ddxΦ（a x- b/x）=√πe2 a ba+bxE-斧头-b/x（b.15）我们发现E4abΦ（ax+b/x）+Φ（ax- b/x）=4 a√πe2a-be-斧头-b/x（b.16）因此我们得到i=C+√π4ae2 a bΦ（ax+b/x）+e-2 a bΦ（a x- b/x）; （B.17）使用T的限制→ 0b>0:limT→+0Φ（AT+b/T）=1，极限→+0Φ（a T）- b/T）=-1（B.18）B<0:limT→+0Φ（a T+b/T）=-1.限制→+0Φ（a T）-b/T）=1（b.19）我们发现定义积分：b>0:J+[T]=√π4aE-2 a b- e2ab+e2abΦ（at+b/T）+e-2 a bΦ（a T-b/T）（B.20）B<0:J-[T]=√π4ae2 a b- E-2ab+e2abΦ（at+b/T）+e-2 a bΦ（a T-b/T）（B.21）C累积现金流在这里，我们展示了如何从滚动内在对冲交易的累积现金流中获得存储期权的时间价值。使用公式（7.3），我们得出总累计现金流asP（Te）=-ZTedTZT（Ft（T）+δFt（T））δht（T）（C.1），其中ht（T）=˙qint（T，T）。内积分超过观测时间t。

它给出了最终交付时间T的累积流量。现在我们使用分段积分，在我们的例子中读取（F h）| Tt=0=ZThδF+ZTFδh+ZTδFδh（C.2），其中积分和极限与时间t有关。平均后一个表达式，注意到hδF i=0，我们得到了hfthti-Fh=ztfδhi+ZThδFδhit平均累积现金流量becomesh（Te）i=ztf（T）h（T）dT-ZTehFT（T）hT（T）i dT（C.3）注意到-中兴通讯˙qint（0，T）F（0，T）dt等于期权内在价值，以及-*中兴通讯˙qint（T，T）F（T，T）dT+等于真正的期权价值，我们得出结论：vt=hP（Te）i=ZTehdP i。（C.4）参考文献[1]Les nik，D.通过变分分析的内在存储价值。arXiv:1506.06979，2015年。我们利用了内在运动˙qint（T，T）是最优随机运动这一事实。