二分市场结构中的条件风险度量

此外，这里还定义了单点不竞争和模糊收敛等概念，更多背景请参考[18]第6.1.3节。对于d∈ N、 让Sd-1+={x∈ Rd+：kxk=1}表示Rd中的正单位球面，关于Rd上的任意范数k·k，因此所有单位向量ej的kejk=1。此外，我们将使用符号E:=Rd+\\{0}和R+=[0，∞], 0是d-条目等于0且B=B（E）的维向量表示关于所谓的单点不可压缩的Borelσ-代数。定义3.1。如果存在氡测度u6，则状态空间为E的随机向量X称为多元正则变量≡ B（E）上的0，且u（Rd+\\Rd+）=0和p（X∈ t·）P（kXk>t）v→ u（·），t→ ∞, （3.1）其中→ 表示模糊收敛。在这种情况下，存在一些α>0，使得limitmeasure是齐次的-α：u（uS）=u-αu（S），u>0，每S∈ B（E）令人满意的(S） =0。度量u被称为X的强度度量。尾部指数α>0也被称为X的规则变化指数，我们写X∈ R(-α).V的规则变化意味着F在Breiman条件下，在（2.2）的权重矩阵W上的规则变化。我们将使用以下基于命题A的结果。1英寸[5]。提议3.2。设V:=（V，…，Vd）>是具有帕累托尾P（Vj>t）分量的多变量规则变化的~ Kjt-αas t→ ∞ 对于Kj，α>0，如（2.1）所示，强度测量值为u，如（3.1）所示。此外，让权重矩阵W：Ohm → Rq×d+满足E[kwkα+δ]<∞对于某些δ>0的情况。那么随机向量F=AV和（2.2）中的A属于R(-α). Leth:Rq\\{0}→ Rk\\{0}代表k∈ N是一个连续的1-齐次函数。然后我们有onB（h（Rq+\\{0}））：P（h（F）∈ t·）P（kVk>t）v→ Eu{x∈ Rd+：h（最大）∈ ·}, T→ ∞. （3.2）证据。

[5]中的命题A.1给出了F的模糊收敛性，它等价于toP（F）∈ tB）P（kVk>t）→ Eu{x∈ Rd+：Ax∈ B} ，t→ ∞, （3.3）对于所有相对紧凑的集合B∈ 带Eu的B（Rq+\\{0}）o A.-1(B） =0。此外，通过h的均匀性，对于t>0，{h（F）∈ tB}={F∈ th-1（B）}。还要注意的是，每一个远离零的B在我们使用的拓扑中都是相对紧凑的。自从h-1（B）通过h的连续性和h（0）=0，h的事实从零开始有界-1（B）也相对紧凑。此外，Euo A.-1(H-1（B））≤ Euo A.-1.o H-1(B） 。把所有这些放在一起，对于每个相对紧凑的集合B∈ B（h（Rq+\\{0}））与Euo A.-1.oH-1(B） 我们有→ ∞,P（h（F）∈ tB）P（kVk>t）=PF∈ th-1（B）P（千伏k>t）→ Eu{x∈ Rd+：Ax∈ H-1（B）}=Eu{x∈ Rd+：h（最大）∈ （B） 哦。这相当于（3.2）中的模糊收敛。对于与具有渐近独立分量的向量V相对应的极端依赖情况，参考度量u在轴上具有支撑；在与具有渐近完全依赖分量的向量V相对应的极端依赖性酶中，参考度量u在{sK1/α1:s>0}线上有支持。支持度的差异反映在（2.6）和（2.7）之间的差异中，并影响累计风险敞口的行为。提议3.3。假设命题3.2的情况。对于累计暴露h（F），我们得到p（h（F）>t）~ 红隧-α、 t→ ∞,其中Ch=Chind=dXj=1KjEhα（Aej）和Ch=Chdep（h）=Ehα（AK1/α1）（3.4）如果V，它们分别是渐近独立的或渐近完全依赖的。证据这个断言可以用与[15]中定理3.4类似的方式来表示。下面的结果给出了最一般情况下的极限关系，对曝光向量的依赖性没有任何限制。定理3.4。设g，h:Rq+→ R+连续1-齐次函数，并假设命题3.2的情况。

那么对你来说∈ (0, ∞), 以下断言成立：（a）限制→∞P（g（F）>t | h（F）>ut）=uαEuo A.-1（{x∈ Rq+：h（x）>u，g（x）>1}）Euo A.-1（{x∈ Rq+：h（x）>1}）。（b） 如果g在Rd+\\{0}上有额外的有界或紧支持，那么→∞E[g（F）|h（F）>t]~tu（{h（x）>1}）Zh（x）>1g（x）~u（dx），（3.5）式中<<u（·）=Euo A.-1(·).证据（a） 我们使用命题3.2得到p（g（F）>t | h（F）>ut）=Zh（F）>utg（F）>tdPP（h（F）>ut）=Zh（x）>ug（x）>1P（F）∈ tdx）P（kvk>t）P（kvk>t）P（h（F）>ut）。第二个比率通过命题3.2（a）收敛，也通过命题1收敛，当取其为h身份函数时。结果是模糊收敛。（b） 利用g的1-齐性和命题3.2，E[g（F）|h（F）>t]=P（h（F）>t）Zh（x）>tg（x）P（F）∈ dx）=P（h（F）>t）Zh（x）>1g（tx）P（F）∈ tdx=P（kvk>t）P（h（F）>t）Zh（x）>1g（tx）P（F）∈ tdx）P（千伏k>t）~tμ（{h（x）>1}）Zh（x）>1g（x）~u（dx）。（3.6）回想一下，（3.2）中的有界测度序列模糊地收敛到有界测度当且仅当它弱地收敛到该测度时，请参见[4]中的定理2.1.4以了解更多细节。因此，关于（b）中g的任一假设都足以实现（3.6）的收敛。推论3.5。让你∈ (0, ∞) 假设命题3.2的情况。回想一下Constantschind和Chdepfrom（3.4）。（a） 如果V，它们是渐近独立的，然后是有限的→∞P（g（F）>t | h（F）>ut）=（Chind）-1dXj=1E min{hα（AK1/αej），uαgα（AK1/αej）}。（3.7）（b）如果V，它们是渐近完全依赖的，然后是有限的→∞P（g（F）>t | h（F）>ut）=（Chdep）-1E min{hα（AK1/α1），uαgα（AK1/α1）}（3.8）证明。该证明类似于[15]中定理3.4的证明。对于渐近独立索赔V。

，Vd我们通过定理3.4（a）获得o A.-1（{h（x）>u，g（x）>1}）=（dXj=1Kj）-1dXj=1kj最小{u-αhα（Aej），gα（Aej）}，分母中的表达式是（dXj=1Kj）-1dXj=1KjE{u-αhα（Aej）}=（dXj=1Kj）-1后（3.9）产生（3.7）。在渐近完全相依索赔的情况下，我们通过定理3.4（b）得到Euo A.-1（{h（x）>u，g（x）>1}）=kK1/α1k-αE min{u-αhα（AK1/α1），gα（AK1/α1）}，给出相应的命名关系（3.8）。备注3.6。在极值理论中，尾相关系数通常定义为两个可能相关的随机变量X，X，具有相同的边际分布函数limx→∞P（X>X | X>X），前提是存在该限制（例如[6]中的第9.5节）。由此产生的数字被解释为描述重大损失的一种度量。定义1.1（a）-（c）中的条件概率是通过这种条件概率定义的，允许不对称。作为规则变化的结果，可以明确计算以下条件概率以及条件期望的极限：如果γg/γh→ 1，那么g（F）>VaR1-γg（g（F））|h（F）>VaR1-γh（h（F））~ Ph（F）>VaR1-γh（h（F））|g（F）>VaR1-γg（g（F））如果γ=γg=γh，那么我们可以识别limγ→0P（g（F）>VaR1-γ（g（F））|h（F）>VaR1-γ） （3.10）如[6]第343页等式（9.75）中定义的通常（对称）尾依赖系数。推论3.7。让你∈ (0, ∞) 假设命题3.2的情况。回想一下（3.4）中的君士坦丁堡。（a） 如果V，VD是渐近独立的，我们发现[g（F）| h（F）>t]~αα - 1（中国）-1dXj=1Eg（AK1/αej）hα-1（AK1/αej）t.（3.11）（b）如果V，VD是渐近完全依赖的，我们发现[g（F）| h（F）>t]~αα - 1（Chdep）-1Eg（AK1/α1）hα-1（AK1/α1）t.（3.12）（c）对于g=h，我们得到了经典的条件尾期望（1.1）。证据

（a） 我们用（3.5）asEZh（x）>1g（x）u来计算积分o A.-1（dx）=（dXj=1Kj）-1EdXj=1Zh（x）>1，x∈{uAK1/αej:u>0}g（x）ν*（{sej∈ Rd:sAK1/αej∈ dx}），其中*, 被称为标准指数测度，它与向量V=（V，…，Vd）的指数测度ν通过ν=ν相关联*o K-1/α，见[15]中的引理2.2。对于独立组件ν*集中在轴线上。我们会考虑到这一点∈ {uAK1/αej:u>0}，等式ν*（{sej∈ Rd:sAK1/αej∈ dx}）=αu-α-1du（3.13）有效。集{u>1/h（AK1/αej）}yieldsZ上的积分∞1/h（AK1/αej）αg（AK1/αej）u-αdu=α- 1g（AK1/αej）hα-1（AK1/αej），意味着zh（x）>1g（x）Euo A.-1（dx）=αα- 1（dXj=1Kj）-1dXj=1E[g（AK1/αej）hα-1（AK1/αej）]。（3.14）由于)u（{h（x）>1}）=Rh（x）>1Euo A.-1（dx）=（Pdj=1Kj）-之后，我们得到（3.11）。（b） 为了说明（3.12），回想一下，在完全依赖的情况下，正则指数度量ν*对于完全相依分量，集中在对角线{u1上∈ Rd:u>0}并通过ν=ν连接到V的指数度量*o K-1，另见[15]中的引理4.2。因此，Zh（x）>1g（x）Euo A.-1（dx）=kK1/α1k-αEZh（x）>1，x∈{uAK1/α1:u>0}g（x）ν*（{s1∈ Rd:sAK1/α1∈ dx}）。为了x∈ {uAK1/α1:u>0}，我们有Eν（{sK1/α1）∈ Rd:sAK1/α1∈ dx}）=αu-α-1du，其中ieldszh（x）>1g（x）Euo A.-1（dx）=kK1/α1k-αEZ∞1/h（AK1/α1）αu-αg（AK1/α1）du=kK1/α1k-ααα - 1Ehα-1（AK1/α1）g（AK1/α1）。这导致了（3.12）。4条件系统性风险度量我们现在准备调查金融或保险市场定义1.1中的条件系统性风险度量，基于随机矩阵x=（Aij）q，di，j=1as（2.2）中的二分图，其中包含q个代理和d个对象。首先，我们评估高市场损失对代理人i风险的影响程度。其次，我们评估了个体代理人风险对市场风险的影响，反映了个体代理人的系统重要性。

第三，我们考虑了代理人k的风险对代理人i的风险的影响。在本节中，我们假设索赔V，VD呈渐进依赖性。在本节中，我们将回到定义1.1中应用于聚合函数的多变量风险度量；我们再次将g（F）作为某个分量上的投影，h（F）=kF是一个范数；这里我们甚至可以允许k·k只是一个准范数。特别是，在定义（3.1）中的规则变化时，该范数或准范数不必等于参考范数。以下结果确定了各个机构和金融系统在不同条件下共同遭受巨额损失的可能性。提议4.1。让我们，vd应渐近独立且u>0。假设命题3.2的条件满足。此外，假设γ→ 0和κ∈ (0, ∞). 然后p（Fi>VaR1-γκ（Fi）|kF k>VaR1-γ（kF-k））→dXj=1KjE minnkAejkαCSind，κAαijCiindo（4.1）P（kF k>VaR1-κγ（kF k）|Fi>VaR1-γ（Fi））→dXj=1KjE minnκkAejkαCSind，AαijCiindo（4.2）P（Fi>VaR1-γκ（Fi）|Fk>VaR1-γ（Fk））→dXj=1KjE minnκAαijCiind，AαkjCkindo。（4.3）此外，对于条件尾部预期，如果α>1，则-γ（Fi | kF k）~αα - 1（CSind）1/α-1dXj=1KjE[AijkAejkα-1]γ-1/α. （4）SCoTE1-γ（kF k | Fi）~αα - 1（Ciind）1/α-1dXj=1KjE[Aα-1ijkAejk]γ-1/α. （4.5）MCoTE1-γ（Fi | Fk）~αα - 1（Ckind）1/α-1dXj=1KjE[Aα-1kJ]γ-1/α. （4.6）证据。我们展示了以下更一般的结果：Letg，h∈ {f:Rq+→ R+；f（x）=kxk和fk:Rq+→ R+；fk（x）=xk，k=1，q} 在这个命题的假设下，P（g（F）>VaR1-γκ（g（F））|h（F）>VaR1-γ（h（F）））→dXj=1E minnhα（AK1/αej）Chind，κgα（AK1/αej）Cgindo，γ→ 0.（4.7）为了显示这个一般结果，我们设置了VaR1-γκ（g（F））=t和VaR1-γ（h（F））=ut。

现在回想一下引理2.3VaR1-γ（Fi）~ （Ciind）1/αγ-1/α和VaR1-γ（kF-k）~ （CSind）1/αγ-1/α, γ → 0.这意味着u=VaR1-γ（h（F））VaR1-γκ（g（F））=（Chind）1/αγ-1/α（Cgind）1/α（γκ）-1/α（1+o（1）），γ→ 0使得uα=ChindCgindγκγ（1+o（1））=ChindCgindκ（1+o（1）），γ→ 我们得出结论，（4.7）通过推论3.5成立。条件尾部期望的类似表达式紧随推论3.7。备注4.2。以下是从监管机构的角度对（4.1）的解释。假设市场情况与正常情况不同，例如，kF k>δVaR1-γ（kF k）对于某些δ>1，则通过（3.7）在（4.1）中极限处的因子κ变成δακ。为了便于论证，我们将（4.1）右侧总和的第一个贡献称为系统常数，将第二个贡献称为个体贡献。考虑一下这种情况，在以前的市场条件下，个人供款已经达到了最低水平。然后，市场的变化导致κ变为Δακ，对于某些δ>1的情况，可能会导致两种情况。在第一种情况下，由个人贡献假设的最低isstill，即使它增加了系数Δα。如果系统变化如此巨大，以至于个体贡献大于系统常数，那么（4.1）右侧的极限将成为系统常数。如果监管机构实施的策略是，在所有市场条件下，限制条件概率保持不变，那么它将首先要求在正常市场条件下，minnkAejkαCSind，κaαijCiindo=κE[aαij]Ciind。如果市场处于压力之下，那么监管机构将提高机构的风险价值，只要个人捐款仍然达到最低水平。

然而，系统常数取最小值的情况表明，单个资本储备的调整无法再吸收紧张的市场状况。因此，必须采取政治措施。其他极限关系也有类似的解释。对于命题4.1中的每个极限表达式，κ的极限行为→ 0是线性的，这在下一个命题中是精确的。我们假设存在常数w，w>0，使得0<w≤ 权重系数≤ 存在常数b，b，使得0<b≤ 卡伊克≤ B.例如，如果Wij=deg（j）-11（i）~ j） 然后我们可以取w=1+w=1。我们设置κ=κ（i）=bαCSindCiindWα，κ=κ（i）=CSindCiindbαWα，以及κ=κ（i，k）=CiindCkindwαWα。（4.8）此外，我们定义了τ（i）=dXj=1KjE1（i~ j） kAejkαcsindadτ（i，k）=dXj=1KjE1（k~ j） AαijCiind；（4.9）并注意τ（i）≤ 1和τ（i，k）≤ 1分别通过CSindand和Ciind的定义。如果i和k不共享一个对象，则τ（i，k）=0。定理4.3。假设命题4.1的条件成立，且存在不变常数w，w>0，使得0<w≤ 权重系数≤ 以及有限常数b，b，使得0<b≤ 卡伊克≤ B.（a）对于κ≤ κ、 dXj=1KjE minnkAejkαCSind，κAαijCiindo=κdXj=1KjEAαijCiind= κ. （4.10）（b）对于κ≤ κ（i），dXj=1kjenminκkAejkαCSind，AαijCiindo=κτ（i）。（4.11）（c）对于κ≤ κ（i，k），dXj=1KjE minnκAαijCiind，AαkjCkindo=κτ（i，k）。（4.12）证据。为了展示（4.10），我们从（4.1）开始。考虑表达minnkaejkαCSind，κAαijCiindo=1（i~ j） minnkAejkαCSind，κWαijCiindo。如果我6~ 那么最小值是0，如果我~ 然后我们可以选择κ<kAejkαCSindCiindWαij。（4.13）虽然这种表达是随机的，但κ不是随机的，对于κ≤ κ、 （4.13）满足网络的任何实现。HenceE minnkAejkαCSind，κAαijCiindo=κEn1（i~ j） WαijCiindo。求和j=1。

，并回顾Ciindgives的定义（4.10）。对于（4.11），我们从（4.7）开始；争论也同样直截了当。考虑表达minnκkAejkαCSind，AαijCiindo=1（i~ j） minnκkAejkαCSind，WαijCiindo。如果κ≤WαijCiindCSindkAejkα，然后1（i~ j） minnκkAejkαCSind，WαijCiindo=1（i~ j） κkAejkαCSind。特别是，这个方程适用于κ≤ κ和κ在（4.8）中给出。再次总结所有jgives（4.11）。为了说明（4.12），我们使用（4.3）考虑表达minnκAαijCiind，AαkjCkindo=1（i~ j） 1（k）~ j） minnκWαIJCIND，WαkjCkindo。对于κ≤ κ（i，k），1（i~ j） 1（k）~ j） minnκWαijCiind，WαkjCkindo=1（k~ j） κWαijCiind=κ1（k~ j） Aα>0时的αijciind。对j求和得到断言（4.12）。继（4.10）、（4.11）和（4.12）之后，我们现在可以从定义1.1中评估CoVar、SCoVaR和MCoVaR的极限行为，具体为聚集函数h（F）=kF k，其中F=（F，…，Fq）是随机暴露向量。对于γi，γ∈ （0,1）关于代理人i和市场，我们分别考虑以下有条件的系统风险度量：（a）个人有条件的风险价值1-γi，γ（Fi | kF k）：=inf{t≥ 0:P（Fi>t | kF k>VaR1）-γ（kF-k））≤ γi}，（b）系统条件风险价值Var1-γ、 γi（kF k | Fi）：=inf{t≥ 0:P（kF k>t | Fi>VaR1-γ（Fi））≤ γ} ，（c）共同条件风险价值MCOVAR1-γi，γk（Fi | Fk）：=inf{t≥ 0:P（Fi>t | Fk>VaR1）-γk（Fk））≤ γi}。定理4.4。假设存在常数w，w>0，使得0<w≤ 权重系数≤ 有一个上界a<∞ 这样kAejk≤ A.

将（4.8）和（4.9）（a）中的常数记为γ→ 0代表γi≤ κ（i），ICoVaR1-γi，γ（Fi | kF k）~ VaR1-γiγ（Fi）~ （Ciind）α（γiγ）-α; （4.14）（b）作为γi→ 0表示γ≤ κ（i）τ（i），SCoVaR1-γ、 γi（kF k | Fi）~ V aR1-γiγτ（i）（kF k）~ （CSind）αγiγτ（i）-α; （4.15）（c）如果τ（i，k）6=0，则为γk→ 0代表γi≤ κ（i，k）τ（i，k），我们有MCOVAR1-γi，γk（Fi | Fk）~ V aR1-γiγkτ（i，k）（Fi）~ （Ciind）αγiγkτ（i，k）-α; （4.16）如果τ（i，k）=0，则为γi→ 0，MCoVaR1-γi，γk（Fi | Fk）~ V aR1-γi（Fi）~ （Ciind）αγ-αi.证据。首先，从（4.1）到（4.10），对于κ≤ κ=κ（i），如γ→ 0，P（Fi>VaR1）-γκ（Fi）|kF k>VaR1-γ（kF-k））→dXj=1KjE minnkAejkαCSind，κAαijCiindo=κ。因此γi≤ κ, γ → 0，P（Fi>VaR1）-γγi（Fi）|kF k>VaR1-γ（kF-k））~ γi.1.1-γi，γ（Fi | kF k）~ VaR1-γiγ（Fi）。VaR的渐近性遵循引理2.3，得出（4.14）。对于（4.15），（4.7）和（4.11），给出γ的表达式→ 0和κ>κ=κ（i），P（kF-k>VaR1-κγ（kF k）|Fi>VaR1-γ（Fi））→dXj=1KjE minnκkAejkαCSind，AαijCiindo=κτ（i）。特别是，一个简单的重定标给出了sp（kF k>VaR1）-κγi（kF k）|Fi>VaR1-γi（Fi））→ κτ（i），γi→ 0.让γ=κτ（i）得到γ的值≤ κτ（i）PkF k>VaR1-γiγτ（i）（kF k）|Fi>VaR1-γi（Fi）→ γ、 γi→ 0.现在（4.15）如下所示。对于（4.16），（4.3）和（4.12），给出γ的表达式→ 0和κ≤ κ（i，k），P（Fi>VaR1）-γκ（Fi）|Fk>VaR1-γ（Fk））→dXj=1KjE minnκAαijCiind，AαkjCkindo=κτ（i，k）。改变变量会得到P（Fi>VaR1-γkκ（Fi）|Fk>VaR1-γk（Fk））→ κτ（i，k），γk→ 0.设置γ=κτ（i，k）并要求γ≤ 当τ（i，k）6=0时，κ（i，k）τ（i，k）给出（4.16）。最后一个断言来自这样一个事实：如果fi和fk不共享对象，它们是独立的。备注4.5。定理4.4通过以极端事件为条件的超越概率来评估风险度量的渐近行为。例如，在（4.16）中，特工khas已经遭受了巨大的损失。