二分市场结构中的条件风险度量

如果代理人i在其投资组合中共享一些对象，则该损失将对代理人i的损失产生影响。它们共享的对象越多，τ（i，k）就越大。无条件VaR阈值1- γiat，其中P（Fi>t）=γih应调整为1-γγkτ（i，k）如果τ（i，k）6=0。τ（i，k）越大，则1越大- γγkτ（i，k），因此对试剂i的要求越严格。在（4.15）中，网络对试剂i的影响表明对τ（i）的依赖性，随试剂i的连接数量增加而增加。同样，τ（i）越大，对试剂i的要求越严格。即使在（4.14）中，也存在网络结构的依赖性，这反映在κ（i）和Ciind中。5网络效应的近似和说明在本节中，我们仅限于以下情况：，他在情感上是独立的。5.1在二部图模型中未涵盖的损失，取决于代理选择各种对象的随机机制，可能会发生某些对象未被任何代理选择的情况。在例2.1的（再）保险上下文中，这意味着某些重大损失可能未投保。例如，在某些自然灾害，如地震，国家或国际社会可能负有责任时，就会发生这种情况，有关更多信息和具体数字，请参见[17,19]。在本小节中，我们对未承保的重大损失的概率进行了近似，并将wede finen=dXj=11（deg（j）=0）作为未承保损失的（随机）数量。提议5.1。假设渐近独立的物体V，我们有（2.1）中给出的paretoail。然后dXj=11（deg（j）=0）Vj>t~ T-αdXl=1KlP（deg（l）=0）。证据

我们以所有可能的未承保损失W为条件，并计算EPdXj=11（deg（j）=0）Vj>t=dXw=1P（N=w）PdXj=11（deg（j）=0）Vj>t | N=w=dXw=1P（N=w）XW:| w |=wPXl码∈WVl>tP（deg（j）=0，j∈ W | N=W）~ T-αdXw=1P（N=w）XW:|w |=wXl∈WKlP（度（j）=0，j∈ W | N=W）作为t→ ∞, 将其用于渐近独立区域（参见[15]中的引理2.3，PXl码∈WVl>t~ T-αXl∈WKl，t→ ∞.因此，交换求和顺序并使用全概率定律，PdXj=11（deg（j）=0）Vj>t~ T-αdXw=1P（N=w）dXl=1KlXW:|w |=w1（l）∈ W） P（deg（j）=0，j∈ W | N=W）=t-αdXl=1KlP（deg（l）=0）。例5.2。假设，如果非保险损失的数量为N=w，则为0≤ W≤ d、 所有这些w索赔都有相同的概率不被涵盖。然后，命题5.1采用了一种特别简单的形式。在该设置中，P（deg（l）=0 | N=w）=每l的w/d∈ {1，…，d}，和P（deg（l）=0）=dXw=1P（N=w）P（deg（l）=0 | N=w）=ddXw=1wp（N=w）=dEN。亨塞普dXj=11（deg（j）=0）Vj>t~ T-αENddXl=1Kl。此外，如果所有边都是独立的，且概率p相同∈ [0,1]出现时，n=Pdw=1P（deg（l）=0）=d（1- p） q.在这种情况下，大型非保险损失的概率可以近似为pdXj=11（deg（j）=0）Vj>t~ T-α(1 - p） qdXl=1kg，t→ ∞.5.2独立二部图模型：条件系统性风险度量在本节中，我们举例说明了基于二部网络模型的结果，其中所有边都是独立的，加权邻接矩阵a如例2.1所示，参考了大型索赔保险市场的情况。因此，Aij=1（i~j） deg（j），其中{1（i）~ j） ，1≤ 我≤ d、 一,≤ J≤ q} 是具有E1（i）的独立伯努利随机变量~ j） =皮杰。5.2.1泊松近似如果d和q较大，我们可以提供数量CSind、Ciind、EAijkAejkα的泊松近似-1，EAα-1ijkAejk和EAα-第4.1条提案中所列的建议。

我们定义了byX~ 泊松（λ）平均值λ>0的泊松分布随机变量X。我们将使用以下泊松变量；Xi，kj~ Pois（λi，kj），其中λi，kj=qXl=1，l6=i，kpli，Xij~ 具有λij=qXl=1、l6=ipli和xj的poi（λij）~ Pois（λj），λj=qXk=1pkj。[15]中的命题4.1给出了EAαij- 皮杰（1+Xij）-α≤ pijmin{1，（λij）-1} Xk=1，。。。，Qk6=ipkj=：B（i，j），（5.1）和，对于一些r的r-范数≥ 1.EkAejkα- E1{Xj≥ 1} （1+Xj）α（1/r）-1)≤ min{1，（λj）-1} qXk=1pkj=：B（j）。（5.2）我们还将使用b（i，j，k）：=min{1，（λi，kj）-1} X`=1，。。。，q`6=ip`j.（5.3）以下引理是（2.6）、（5.1）和（5.2）的直接结果。引理5.3。使用上面的符号Ciind-dXj=1KjpijE（1+Xij）-α≤dXj=1KjB（i，j）。(5.4)发现-dXj=1KjE1{Xj≥ 1} （1+Xj）-αr-1r≤dXj=1KjB（j）。（5.5）与引理5.3类似，我们可以从命题4.1推导出极限量的泊松近似，如下所示。提议5.4。假设Aij=1（i~j） deg（j），其中{1（i）~ j） ，1≤ 我≤ d、 一,≤ J≤ q} 具有E1（i）的独立伯努利随机变量~ j） =皮杰。定义=最小值κCiind，CSind, M=minCiind，κCSind, M=minκCiind，Ckind.

（5.6）那么对于r≥ 1.对于条件风险值度量的极限表达式，E minnkAejkαCSind，κAαijCiindo- pi，jE minn（1+Xij）-α+αrCSind，κ（1+Xij）-αCiindo≤ MB（i，j），（5.7）E minnκkAejkαCSind，AαijCiindo- pi，jE minnκ（1+Xij）-α+αrCSind（1+Xij）-αCiindo≤ MB（i，j），（5.8）和对于i6=k，E minnκAαijCiind，AαkjCkindo- 皮杰姆（2+Xi，kj）-α≤ pijpkjMB（i，j，k），（5.9），其中B（i，j）在（5.1）中给出，B（j）在（5.2）中给出，B（i，j，k）在（5.3）中给出。此外，对于条件尾部期望的极限表达式，如果α>1，则EAijkAejkα-1.- 皮耶1+Xij-α（r）-1） +1r≤ B（i，j），（5.10）EAα-1ijkAejk- 皮耶1+XijR-α≤ B（i，j），（5.11）和对于i6=k，EAα-1kjAij- 皮杰2+Xi，千焦α≤ pijpkjmin{1，（λi，kj）-1} X`=1，。。。，q`6=ip`j.（5.12）证明。我们计算条件概率KaeJkα中的常数=qXk=11（k~ j） 度（j）rαr=度（j）r-1.αr1（deg（j）>0）。（5.13）和（5.13），最小kAejkαCSind，κAαijCiind= 1（i）~ j） 最低温度（摄氏度（j）-α+αrCSind，κdeg（j）-αCiind=1（i）~ j） 最小值（1+Pk6=i1（k~ j） )-α+αrCSind，κ（1+Pk6=i1（k~ j） )-αCiind）和碱液minkAejkαCSind，κAαijCiind= pijE min（（1+Pk6=i1（k~ j） )-α+αrCSind，κ（1+Pk6=i1（k~ j） )-αCiind）。（5.14）现在考虑函数k（x）=min（1+x）-α+αrCSind，κ（1+x）-αCiind. 如果发现≥ 1或κCiind≥ 1 thenk（x）∈ [0, 1]. 一般来说，0≤ k（x）≤ 闵CSind，κCiind= mWhith Mas in（5.6）。亨塞特（x）=M-1k（x）=最大值CSind，Ciindκk（x）∈ [0, 1].现在，我们使用Stein-Chen方法的结果来评估总变异距离中泊松分布的距离，等式（1.23），第8页，来自[3]。这个结果表明，如果W是n个独立的伯努利随机变量的和，成功概率为pInd EW=λ=Pni=1和Z~ Pois（λ），然后suph:Z+→[0,1]|埃克（西）- Ek（Z）|≤ 最小（1，λ）-1） nXi=1pi。（5.15）将（5.15）应用于函数t（x）并牢记（5.14）会产生（5.7）。

界限（5.8）也类似。最后，敏κAαijcind，αkjcind= 闵κ1（i）~j） deg（j）αCiind，1（k~j） deg（j）αCkind= M1（i）~ j） 1（k）~ j）2+X`6=i，k1（`~ j）-α。作为正函数k（x）=（2+x）-α以1为界，asP`=1，。。。，q`6=i，k1（`~ j） 是独立伯努利变量的asum，可以应用（5.15），下面是（5.9）。对于条件尾部预期，用（5.13）表示，AijkAejkα-1=度（j）r-1.α-1r1（i）~ j） 度数（j）=1（i）~ j） 度数（j）α（r）-1） +1r=Aα（r-1） +1rij。因此（5.1）适用，并产生（5.10）。类似地，对于（5.13），Aα-1ijkAejk=1（i~ j） deg（j）α-1.度（j）r-1.r=Aα-瑞吉。同样（5.1）适用，收益率（5.11）。在最后一部分中，我们模仿了[15]中命题4.1的证明。由于TheEdge的独立性[Aα-1kjAij= Eh1（i）~ j） 1（k）~ j） deg（j）αi=pijpkjEh2+X`=1，。。。，q`6=i，k1（`~ j）-αi.同样（5.15）可以应用，并且界限（5.12）如下。备注5.5。使用（5.4）和（5.5）常数M、M和M，以及命题5.4左侧的表达式，如果需要，可以通过直接但繁琐的计算进一步限定。备注5.6。命题5.4给出了泊松距离的精确界；不建议出现无症状的情况。因此，它可以在不同的渐近状态下进行解释。如果对象的数量d增加，而代理的数量q为q=o（d），并且代理将连接到的对象的数量保持不变，那么~Cd对于固定的c，则B（j）和B（i，j，k）的顺序为qd-2，B（i，j）是有序的-3.只要q=o（d），泊松近似将是合适的。类似地，如果代理的数量q增加，对象的数量D只增加aso（q），如果pij~对于固定c，泊松近似是合适的。

5.2.2齐次独立二部图模型：插图为了描述我们的结果，我们考虑了二部图的最基本情况，即边不仅是独立的，而且具有同等的可能性；用p表示边缘概率∈ [0, 1]. 我们还将边缘概率称为连通性参数，因为它与网络的密度成正比。在这个网络模型中，所有代理的行为都是可交换的。对于该模型，市场范围从完全没有活动的市场（p=0）到完整的图表（p=1）。请注意，在[15]中已经对此类网络的无条件风险度量进行了研究。在这里，我们感兴趣的是命题4.1以及定理4.4中给出的关于尾部依赖度、条件尾部期望和条件风险值的渐近表达式，它们被视为边缘概率p的函数，以及κ的函数（如适用）。在所有情况下，为了说明的简单性，我们将重点放在给定系统压力的一种药剂的相互作用上，反之亦然。我们分别使用以下缩写表示（4.5）和（4.4）中条件系统性风险度量的右手渐近表达式：（AS对应于系统超过其阈值时代理的风险超过其阈值，SA对应于特定系统超过其阈值时系统的风险超过其阈值）：casid=casid（i）=αα- 1（CSind）1/α-1dXj=1KjE[AijkAejkα-1]γ-1/α，CSAind=CSAind（i）=α- 1（Ciind）1/α-1dXj=1KjE[Aα-1ijkAejk]γ-1/α.依赖于p的绘图从p=0.01开始。在图2中，当尾指数α=5时，这两个量都被绘制为不同（准）范数的边缘概率p的函数。左边的图显示了外壳的曲线。

随着参数p的增加，网络中的连通性增加，这有两个影响：首先，更多的对象被保险，因此，代理承担更大的风险负载。第二，共同为一个对象投保的代理人之间的风险分担增加。然后，我们可以清楚地认识到，r>1的范数有利于多样化，从而导致曲线as0的非单调行为。0.1 0.2 0.3固定a=5和差异（准）标准。1 0.3 0.5 0.7 0.9 110510.50.20.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0固定a=5和差异（准）标准。1 0.3 0.5 0.7 0.9 110510.90.8图2：α=5（右）的风险常数Casin（左）和Csain（右）作为不同形式和准规范的p的函数。曲线图以p=0.01开始。左：对于r>1，曲线是非单调的。当r≤ 1是单调递增的。右图：对于考虑的所有r值，曲线都是非单调的。更大的风险负荷和积极的分散效应这两个引人注目的特征的结果，而在准常态情况下，分散受到惩罚，并加强了更大风险负荷的影响。右图显示了Csain的曲线。由于我们考虑了由某些（准）范数聚合的市场损失，即使是完整市场的损失也取决于范数参数r，这是与左图的一个主要区别。我们还认识到，即使对于拟范数和和范数，也会出现非单调曲线。在准常态情况下，存在一个（相对较高）的p值，在该值下，风险常数Csaha为局部最小值。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0固定范数r=1和不同的aptail dep系数。0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 10.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0固定a=5和不同（准）标准尾差系数。0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 15310.80.5图3：κ=1时（4.1）的尾部依赖系数。

左：固定和范数（r=1）和不同的附加指数α；对于较小的α，尾相关系数几乎是线性的，而对于较大的α值，曲线是非单调的。右图：尾部指数α=5固定和不同（准）标准。尾部依赖系数在急剧增加之前几乎是恒定的。在这两个图中，峰值只出现在诺曼和准范数之和。图3显示了对称尾依赖系数，κ=1时为（4.1）；i、 e.，P（Fi>VaR1-γ（Fi）|kF k>VaR1-γ（kF-k））→dXj=1KjE minnkAejkαCSind，Aαijciindo作为边缘概率p的函数。在左边的图中，我们观察到，对于较小的α，网络连通性参数p的尾相关系数几乎是线性的，但对于较大的α值，行为变得非单调，存在局部最优连接参数p。作为最小函数的影响，我们在曲线上看到小峰值。在右图中，fixingα=5，当网络几乎是一个完整的图时，尾部依赖系数在急剧增加之前几乎是恒定的。此外，通过最小函数出现的峰值仅出现在和范数和拟范数中。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0固定范数r=1，a=5，不同的kpagent给定系统0。1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 14210.80.30.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0固定范数r=1，a=5，不同的KPI系统给定agent0。1 0.3 0.5 0.7 0.9 14210.80.3图4：命题4.1中不同κ值的尾部依赖的不对称概率，α=5，取和范数。左：代理给定系统。作为p→ 0时，所有曲线都会收敛到相同的值0.2。作为p→ 1，对于κ≥ 1曲线合并成一条曲线，对于κ<1，曲线收敛到κ。右：系统给定代理。对于小p，曲线很好地分开。

为了p→ 1曲线趋向于tomin（1，κ）。考虑到命题4.1中尾部依赖系数的不对称性，通过可能与0不同的值κ，我们说明了与系统困境条件下的代理行为相关的结果版本，反之亦然；i、 例如，（4.1）（agentgiven系统）和（4.7）（系统给定的代理）中的右侧，其读数为asP（Fi>VaR1）-γκ（Fi）|kF k>VaR1-γ（kF-k））→dXj=1KjE minnkAejkαCSind，κAαijCiindo，γ→ 0，P（kF-k>VaR1）-κγ（kF k）|Fi>VaR1-γ（Fi））→dXj=1KjE minnκkAejkαCSind，AαijCiindo，γ→ 0.图4显示了这两个量作为边缘概率p的函数，例如tailindexα=5和总和范数。在左侧绘图代理给定的系统中，所有曲线明显会聚到与p相同的点→ 在我们的例子中接近0.2。因此，随着网络连接的减少，κ的影响减弱。当我们走向完整的网络；i、 e.福普→ 1.所有κ≥ 1，从公式中可以清楚地看出，曲线收敛到一条曲线，在κ<1的情况下，曲线收敛到κ，这可以被认为是最小函数的功。与左图相反，在右图系统中，给定代理连接较少的网络的值；i、 例如，p的小值彼此相距很远。这一观察结果可以解释如下：对于小p来说，看到一些Aij=0并不罕见，看到A=0的空网络也不太令人惊讶。F的范数为正的概率大于单个爆炸Fi的相应概率，因此，κ乘以非零概率较大的因子。

在这两张照片中，与对称情况下的κ=1相比，当κ>1和κ<1时，κ6=1的曲线分别向左和向右扩张；在左边和右边的图中，扩张的方向是不同的。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0固定范数r=1，a=5，不同的PK系统给定代理1 5 9 13 18 23 33 38 4810.90.70.50.30.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0固定范数r=1，a=5，不同的PK系统给定代理1 4 7 11 15 19 23 31 35 39 43 4710.90.50.3图5：不同边缘概率值的非对称尾部依赖性p.左：代理给定系统。这些曲线是分段线性的，收敛到一个接近顶部的值κ→ ∞. 右：系统给定代理。对于足够大的κ，曲线在1级水平。0.00 0.04 0.08固定范数r=1，a=5，不同的pkagent给定系统0。01 0.03 0.05 0.07 0.0910.90.70.50.30.000 0.004 0.008固定范数r=1，a=5，不同的PK系统给定agent0。001 0.004 0.007 0.0110.90.70.50.3图6：不同边缘概率p值的命题4.1中尾部依赖的不对称概率。该图分别以κ=0.001和κ=0.0001开始。左：代理给定系统。对于κ足够小的曲线，所有曲线的斜率均为1。右：系统给定代理。所有斜率都不同，且接近各自的p。图5研究了相同的量，但现在是κ的函数，其中有一些p的示例值。由于采用了预期值，结果曲线是分段线性的。对于确定性矩阵，在水平旋转之前，只能看到一条具有特定斜率的直线。