二分市场结构中的条件风险度量

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英文标题：
《Conditional risk measures in a bipartite market structure》
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作者：
Oliver Kley and Claudia Kl\\\"uppelberg and Gesine Reinert
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper we study the effect of network structure between agents and objects on measures for systemic risk. We model the influence of sharing large exogeneous losses to the financial or (re)insuance market by a bipartite graph. Using Pareto-tailed losses and multivariate regular variation we obtain asymptotic results for systemic conditional risk measures based on the Value-at-Risk and the Conditional Tail Expectation. These results allow us to assess the influence of an individual institution on the systemic or market risk and vice versa through a collection of conditional systemic risk measures. For large markets Poisson approximations of the relevant constants are provided in the example of an insurance market. The example of an underlying homogeneous random graph is analysed in detail, and the results are illustrated through simulations.
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中文摘要：
本文研究了主体与客体之间的网络结构对系统性风险度量的影响。我们通过一个二部图模拟了分担巨额外部损失对金融或（再）抵抗市场的影响。利用Pareto尾损失和多元正则变分，我们得到了基于风险值和条件尾期望的系统条件风险度量的渐近结果。这些结果允许我们通过一系列有条件的系统性风险度量来评估单个机构对系统性或市场风险的影响，反之亦然。对于大型市场，在保险市场的例子中提供了相关常数的泊松近似。详细分析了底层齐次随机图的例子，并通过仿真说明了结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Conditional_risk_measures_in_a_bipartite_market_structure.pdf (867.31 KB)

2022-5-9 06:09:48 上传

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关键词：市场结构 风险度量 分市场 风险度 Applications

二分市场结构中的条件风险度量Oliver Kley*克劳迪娅·克鲁佩尔伯格*Gesine Reinert+2018年9月23日摘要在本文中，我们研究了代理和对象之间的网络结构对系统风险度量的影响。我们通过一个二分图模拟了分担巨额外源性损失对金融或（再）抵抗市场的影响。利用帕累托尾损失和多元正则变分，我们得到了基于风险值和条件尾期望的系统条件风险度量的渐近结果。这些结果允许我们通过一系列有条件的系统性风险度量来评估单个机构对系统性或市场风险的影响，反之亦然。对于大型市场，保险市场的例子中提供了相关常数的近似值。详细分析了底层齐次随机图的例子，并通过仿真说明了结果。MSC2010受试者分类：主要：90B15次要：91B30、60G70、62P05、62E20关键词：二部网络、多元规则变化、风险价值、条件尾部预期、预期短缺、系统风险度量、条件风险度量、泊松近似。1简介财务风险和（再）保险风险的定量评估必须考虑到代理人和业务关系的交织关系，以便捕捉系统性风险现象。在考虑这一复杂的代理系统的同时，测量此类风险是一个正在进行的研究领域，例如[2,8,10,11,13,16]。本文通过采用基于与经典风险测度相似的渐近参数的条件系统风险测度加入讨论。

利用[15]中得出的结果，我们结合重尾损失分布，在代理对象市场结构的无分图模型上说明了这些风险度量。*德国玻尔兹曼大街3号加兴85748号蒙城理工大学数学科学中心，电子邮件：奥利弗。kley@tum.de, cklu@tum.de+英国牛津大学南帕克斯路1号牛津大学统计系OX1 3TG，电子邮件：reinert@stats.ox.ac.ukThe本文中的条件系统性风险度量是在1级置信水平为随机变量X定义的风险价值（VaR）的条件版本- γasVaR1-γ（X）：=inf{t≥ 0:P（X>t）≤ γ}, γ ∈ （0,1）和条件尾部预期（CoTE），也被称为预期短缺，在密度级别1- γ、 根据相应的VaR，asCoTE1-γ（X）：=E[X | X>VaR1-γ（X）]，γ∈ (0, 1). （1.1）对于系统性风险方法，不仅要量化单个代理人的风险，还要量化与监管机构高度相关的市场风险。此外，基于总的市场风险调查代理人的风险是很自然的；参见[20]中的定理2.4。因此，我们将研究条件系统性风险度量，其中条件事件涉及整个市场风险及其对一个特定代理的影响。同样，在一个代理人面临高额损失的情况下，评估市场风险也是有意义的。这些想法导致了表1.1中有条件系统性风险度量的分类（由[9]推动），定义1.1将对其进行定义。

从现在到现在，我们称之为Covariste[1]。边际风险度量机构|机构机构|系统系统|机构Var MCoVaR ICoVaR SCoVaRCoTE MCoTE ICoTE ScotteTable 1.1：对有条件的系统性风险度量进行分类：“M”代表相互表示一个机构在另一个机构中的高风险的风险度量；“I”代表个人，表示在高市场风险条件下某个机构的风险；“S”代表系统，表示机构高风险下的系统风险。[8]、[10]和[16]提出了系统性风险的公理框架。该一般框架假设多变量风险X=（X，…，Xn）的条件系统性风险度量ρ可以表示为具有聚合函数∧：Rn的单变量（单因素）风险度量ρ的组合→ Rn，所以ρ=ρo Λ. 这里，ρ通常被认为是凸的、单调的和正1-齐次的。虽然∧的条件不同，但一致认为∧应该是正1-齐次的，因此∧（ax）=a∧（x）表示a>0。我们与[8]的不同之处在于，我们不假设∧（（1，…，1）>）=n。这种聚合函数的例子是∧（x）=kxk=（Pni=1 | xi | r）r，这是r的范数≥ 1和aquasi范数，0<r<1，∧（x）=xi，一个坐标上的投影。我们不需要∧（（1，…，1）>）=n的事实对系统大小有影响：假设ρ是单调的，不等式n<k（1，…，1）kr0<r<1，以及n>k（1，…，1）kr1<r≤ ∞ 持有因此，与系统性风险相比，在异常聚合函数方面，随着个体风险数量的增加，系统性风险可能增加得更快，也可能增加得更慢。

这种影响可能是现实的，因为一个较大的市场可能不会因风险平衡而对较小的市场产生相应的风险，这是众所周知的保险投资组合。此外，我们认为，在一个小而高风险的市场中，监管者很可能会争取比风险总和更多的风险资本。此外，来自不同机构的道德风险也是众所周知的，监管机构可以通过选择一个条件系统风险度量来防范这种风险，该度量值大于准标准所暗示的市场中单个风险的总和。无论选择哪种类型的聚合函数，在实践中这都是一个经济决策。我们的框架为聚合函数的选择提供了相当大的可变性。在本文中，我们在多变量规则变化的数学框架中，将市场风险与个人风险联系起来。该框架允许我们以精确的方式渐进评估表1.1所示的条件系统性风险度量。定义1.1。[条件系统性风险度量]设F=（F，…，Fq）为随机暴露向量，k·k为范数或拟范数。

对于γi，γ∈ （0,1）分别参考代理和市场，表1.1中的条件性系统风险度量定义如下：（a）单个条件性风险价值1-γi，γ（Fi | h（F））：=inf{t≥ 0:P（Fi>t | h（F）>VaR1-γ（h（F）））≤ γi}，（b）系统条件风险价值Var1-γ、 γi（h（F）|Fi）：=inf{t≥ 0:P（h（F）>t | Fi>VaR1-γ（Fi））≤ γ} ，（c）共同条件风险价值MCOVAR1-γi，γk（Fi | Fk）：=inf{t≥ 0:P（Fi>t | Fk>VaR1）-γk（Fk））≤ γi}，（d）个体条件尾期望Icote1-γ（Fi | h（F））：=E[Fi | h（F）>VaR1-γ（h（F））]，（e）系统性条件尾部期望scote1-γ（h（F）| Fi）：=E[h（F）|Fi>VaR1-γ（Fi）]，（f）相互条件尾部期望mCote1-γ（Fi | Fk）：=E[Fi | Fk>VaR1-γ（Fk）]。对于风险度量（d）-（f），需要基本随机变量的初始时刻。为了模拟经济主体和对象之间的复杂相互作用，我们使用了一个二部作品，见图1。该网络可通过给定的随机q×DW加权邻接矩阵a总结为byAij=Wij1（i~ j） ，式中：=0，（1.2），其中Wijare正权重可能取决于基础网络。例如，作为对冲基金的投资组合，或作为（再）保险的灾难性索赔，这些对象可能会产生巨大损失。在第5节中，我们将看到，网络对于条件系统性风险度量的同情行为具有相当重要的意义。我们的论文组织如下。在第二节中，我们详细阐述了二部图模型，并给出了激励示例。第3节总结了A1A2A3A4A5O1O2O3O4的必要结果。图1：作为二部图的市场层次结构。有规律的变化。这里我们也给出了条件概率和条件期望的渐近结果。

虽然我们在具有任意依赖结构的正则变分的一般背景下给出了我们的结果，但我们挑出了损失变量的两种情况：渐近独立和渐近完全依赖。在第4节中，我们讨论了网络模型中条件系统性风险度量的渐近行为。在引入条件系统性风险度量时，对于市场中每个代理人的个人风险，我们关注暴露向量的一维预测，并将范数和准范数作为适当的聚合函数。最后，在第5节中，我们还讨论了并非所有索赔都可能投保或并非所有资产都可能找到投资者这一事实的后果。我们进一步提出了齐次模型，它正好具有这一特点。计算决定条件系统性风险度量渐近行为的网络相关量并不总是向前；因此，我们为模型的一些标准规范提供了泊松近似，总变化距离有界。齐次模型的模拟结果说明了这一点。2.二部图模型我们假设大型索赔或损失的对象有一个由随机变量vjj=1，d具有帕累托尾，使得对于可能不同的Kj>0和尾指数α>0，P（Vj>t）~ Kjt-α、 t→ ∞. （2.1）（对于两个函数f和g，我们写f（t）~ g（t）as t→ ∞ 如果限制→∞f（t）/g（t）=1。）我们总结了向量V=（V，…，Vd）>中的所有对象，并假设V独立于随机图构造，而V。

，VD可能不是相互独立的。每个代理可以覆盖一个对象的随机数量或比例，由随机权重矩阵W建模：Ohm → 满足可积条件E[kW kα+δ]<∞ 对于一些矩阵范数k·k和一些δ>0。我们假设Wij>0表示所有（i，j），因此~ j、 随机变量1（i）~ j） 当代理i与对象j有契约关系时等于1，否则等于0。影响因素i的物体j的比例由Wij1（i）表示~ j） 。那么Fi:=Pdj=1Wij1（i~ j） 表示代理人i的风险敞口，F=（F，…，Fq）>是代理人在市场上的联合风险敞口的向量。因此，加权邻接矩阵：Ohm → 表示市场结构的Rq×dre由aij=Wij1（i）给出~ j） ，式中：=0。（2.2）因此，代理人风险敞口的向量F是矩阵向量productF=AV。（2.3）例2.1。【大额再保险风险，[15]]在本例中，代理人是再保险公司，对象是大额索赔。在简化的假设下，即索赔在所有保险该风险的代理人之间被分成相等的比例，市场矩阵A isAij=1（i~ j） deg（j），（2.4），其中deg（j）表示投保对象j的代理人数量。例2.2。【高风险资产的组合组合，[12]]在本例中，代理人是投资者，目标是投资机会。每个经纪人我都有一定数量的资本投资，比如Ci>0。同样为了简单起见，我们假设他将自己的钱分成与他选择投资的所有资产相等的部分。这导致市场矩阵a由Aij=Ci1（i）给出~ j） deg（i）（2.5），其中deg（i）表示我投资的不同资产的数量。我们考虑F=AV的风险度量，其中随机矩阵A模拟了市场的网络结构。

我们不是将风险指标归因于代理人的风险敞口或市场风险敞口，而是简写代理人的风险或市场风险。[15]中表明，在定期变化的暴露向量的假设下，VaR和CoTE的交感行为可以使用constantsCiind=Ciind（A）：=dXj=1KjEAαij，i=1，q、 CSind=CSind（A）=dXj=1KjEkAejkα，（2.6）以及asCidep=Cidep（A）：=E（AK1/α1）αi，i=1，q、 CSdep=CSdep（A）=EkAK1/α1kα，（2.7），其中1是d-条目均为1且K1/α=diag（K1/α，…，K1/αd）的维向量是d×d对角矩阵。这里的下标ind和dep分别指的是Vj的渐近独立或渐近完全依赖分量。引理2.3（推论[15]中的3.6和3.7]）。设α>0和F=（F，…，Fq）>代理暴露的向量。（a） 代理人i的个人价值风险∈ {1，…，q}显示了Var1的渐近行为-γ（Fi）~ C1/αγ-1/α, γ → 0，（2.8），C=Ciindor C=Cidepin情况V，它们是渐近独立的或完全依赖的。聚合向量kF KSatiesvar1的市场价值——风险价值-γ（kF-k）~ C1/αγ-1/α, γ → 0，（2.9），C=CSindor C=Cstepin情况V，它们是渐近独立的或完全依赖的。（b） 让α>1。agent i的个体条件尾部期望∈ {1，…，n}表现出交感神经行为-γ（Fi）~αα - 1VaR1-γ（Fi）~αα - 1C1/αγ-1/α, γ → 0，C=CSindor C=CSdepin情况V，它们是渐近独立的或完全依赖的。聚合向量kF k满足系数1的市场条件尾部预期-γ（kF-k）~αα - 1VaR1-γ（kF-k）~αα - 1C1/αγ-1/α, γ → 0，C=CSindor C=CSdepin情况V。

它们是渐近独立的或完全依赖的。对于风险值和条件尾部预期的渐近行为，基础网络模型仅通过常数（2.6）和（2.7）输入。许多底层网络，甚至是邻接矩阵具有确定性的网络，都可能因此产生相同的渐近行为。当帕累托尾损失独立时，上标i的常数（2.6）表示代理i的个体设置，而S表示系统设置。我们将其与完全依赖的情况进行对比；（2.7）中给出了相应的数量。一般来说，小常数更可取，表明风险较小。完全依赖对象的情况相当于有一个单一的风险源，但损失在代理之间分布不均。如[15]所示，这两种极端依赖情况会产生风险边界（参见[14]），风险边界是使用（2.6）和（2.7）中给出的常数确定的。3多元正则变量的渐近结果在更一般的框架下，从定义1.1中获得条件系统风险度量的引理2.3中的渐近结果，我们首先将正则变量的经典结果推广到连续1-齐次函数。这种连续1-齐次函数的例子是向量F=（F，…，Fq）>在第i坐标Fi上的投影，以及向量F的范数或准范数，这与第2节有关。我们的框架将是风险敞口F的随机向量的规则变化，它遵循帕累托尾部索赔和二部图引入的依赖结构；参考[15]。多元规则变化有几个等价的定义；参见[18]的定理6.1和[4]的第2.1章。