统一条件下两个系统间粒子转移的分析

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英文标题：
《Analysis of the particle transfer between two systems under unification》
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作者：
I.A. Molotkov, A.I. Osin
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We investigate unification of two systems of identical elements having different dimensions which may be of interest for both physics and economics. Characteristic parameters as well as explicit formulae for the temperature (in economics - capital turnover) and dimension of the united system are obtained as functions of parameters of the initial systems. Expressions also found for the entropies of initial and united system. The process of unification is accompanied by the transfer of particles (money) between the systems and explicit expression is obtained for the transferred number of particles (size of the capital). A relation between parameters of the initial systems also found which defines the regime with zero particle transfer.
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中文摘要：
我们研究具有不同维度的相同元素的两个系统的统一，这可能对物理学和经济学都有意义。作为初始系统参数的函数，得到了联合系统的特征参数以及温度（在经济学-资本周转中）和维数的显式公式。还发现了初始系统和联合系统的熵表达式。统一的过程伴随着粒子（货币）在系统之间的转移，并得到了转移粒子数（资本大小）的显式表达式。还发现了初始系统参数之间的关系，它定义了零粒子转移的区域。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Analysis_of_the_particle_transfer_between_two_systems_under_unification.pdf (136.02 KB)

2022-5-9 06:13:35 上传

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关键词：Quantitative Applications Econophysics unification Statistical

Unificationi下两个系统之间的粒子转移分析。A.莫洛特科夫，A.I.地磁研究所，电离层和无线电波传播（IZMIRAN），莫斯科，俄罗斯特洛伊茨克电子邮件：iamolotkov@yandex.ru, osin@izmiran.ruJune2021年12月15日摘要我们研究了两个相同元素的系统的统一，这两个系统具有不同的维度，这可能对物理学和经济学都有意义。作为初始系统参数的函数，得到了特征参数以及单位系统的温度（在经济学-资本周转中）和维数的显式公式。还发现了初始系统和联合系统的熵的表达式。统一的过程伴随着系统之间的粒子（货币）转移，并获得了转移粒子数（资本大小）的显式表达式。还发现了初始系统参数之间的关系，确定了零粒子转移的状态。关键词：氏族统计；熵可加性；分形维数；化学势1介绍物理粒子系统和经济系统的热力学和统计性质之间的现象学相似性目前是众所周知的[1]-[3]。经济学中相同物理粒子的类似物是具有相同价值的钞票，物理系统的温度与经济学中的周转率有关。由相同元素组成的两个系统在结合时的相互作用问题对物理学和经济学都非常重要。下面的讨论将包括物理学和经济学对这个问题的思考。

经济学中关于两个系统相互作用的问题的解决方案，使得预测相应合作的结果成为可能。作为一个模型，我们考虑了两个具有不同分形维数和D的等元素系统（粒子或纸币）。处理半维离子α=D/2 a并假设α<α很方便。每个系统都以温度T、总能量E、熵S和粒子数k为特征。对于这两个初始系统，我们用下标1和2来标记这些参数。联合国系统的类似参数未标记。在经济学中，熵被定义为具有有限或可数个微观状态的状态的不确定性程度。换言之，系统的熵是衡量系统可能微状态多样性的一个指标。鉴于系统1和2的初始状态，我们旨在描述和分析美国系统的最终状态。我们不分析统一过程中的非平衡过程，同时考虑物理和经济问题。显然，在统一的情况下，系统之间存在粒子（纸币）的转移，正是出于这个原因，我们假设系统中的粒子分布是准统计的，由氏族统计[4]-[5]描述。在可能的维度中，有一个重要的b oundα=1，此时λ型相变发生，见[6]-[8]。在λ型相变下，既不发生熵的跳跃式变化（第一类相变下为a s），也不发生熵对温度导数的跳跃（第二类相变下为a s）。在α=1时，温度与熵的关系图有一个反射点（见[3]，Ch。

1).因此，有两种重要情况：1<α<α≤（1） 其中，α和α均位于束缚α=1的同一侧，且≤ α< 1 < α≤（2） 其中α和α被这个界分开。案例（1）对应于相对紧密系统的统一。在第（2）种情况下，系统不同，因此得出的公式更复杂。这项工作的第一部分的简要概述已发表在[9]中。2联合系统的温度和维度考虑中的粒子系统的准统计性质使得应用马斯洛夫的准统计定理成为可能[10]-[12]，系统参数之间的渐近关系的确定基于此。这些关系包含小的准统计参数b=T-1，即它们对温度T的大值有效。这些关系的形式取决于系统的分形维数。对于1<α≤（3） 最重要的关系是（见[8,12,13]）E=f（α）T1+α，（4）S=f（α）tα。（5） 其中f（α）=αΓ（α）ζ（1+α）（6）Γ（x）是伽马函数，ζ（x）是黎曼-泽塔函数。在假期≤ α ≤（7） 函数f（α）是单调递增的。在≤ 总能量的α<1（8）表达式（4）仍然有效，但熵的表达式变得更复杂。根据量子统计的方法，将熵计算为所有可能情况的对数，我们得到熵的三项之和表示，见[8,12,13]。对于尺寸α的不同变化范围，结果表明，这个总和的不同术语占主导地位。利用[8]中的公式，我们可以得出结论，在区间（8）中，我们有s=g（α）T1+α。（9） 对于α=1时熵的连续性，要求g（1）=f（1）=ζ（2）=π/6。

远离点α=1，即1/2<α<1- δ，δ>0，由[5]thatg（α）的关系式得出=Z∞十、-前任- 1.dxα1/α~=(α1 - α)1/α. （10） 区间（7）上的关系（5）和（9）决定了熵是温度的单调递增函数，这是必然的。此外，如上所述，S（T）曲线确实在α=1处有一个反射点。我们现在开始研究联合国系统的特点。韦伯从更简单的情况（1）开始，在系统和关系（4）和（5）的统一下使用能量和熵的可加性。E和S的可加性给出了sf（α）T1+α+f（α）T1+α=2f（α）T1+α，（11）f（α）Tα+f（α）Tα=2f（α）Tα。（12） 在这些关系中，产生的半维α以及温度是未知的。（11）和（12）中的乘法器2使α=α和T=T的等式a lso成为可能。在（11）和（12）的基础上，我们得到f（α）f（α）=TαTα·T- TT- T.（13）由于函数f（α）是单调递增的，且（11）的左边是正的，因此，在T、T和T之间所有可能的关系中，唯一可能的关系是isT>T>T。（14）所有其他情况都与（13）相矛盾。类似地，从关系式（10）-（13）可以得出α<α<α。（15） 因此，就初始系统的相应参数而言，联合系统的温度和实际尺寸都是中间的。另一个重要结论是，维度越小，系统的温度越高，换句话说，维度越小的经济系统的特点是资本周转率越高。根据L和权威[14]，温度较高（尺寸较小）的系统具有更高的对称性。

在经济学中，更高的对称性可能会导致更高水平的经济多元化。与不等式（14）和（15）一起，可以得到联合系统的特征st和α的精确值。在（11）的基础上，经过繁琐（尽管是基本的）计算，我们得出=（T+T）。（16） 类似地，使用（12）和（16），我们得到α=（α+α）。（17） 在情况（1）中，联合系统的温度T等于系统1和2温度的算术平均值，联合系统的维数α等于初始维数的算术平均值。3.系统尺寸被相变点分隔的情况。联合系统的熵我们继续案例（2）。描述能量可加性的关系式（11）仍然有效。表示熵可加性的关系为α1 - ααT1+αα+f（α）Tα=h（α）Tα。（18） 这里函数h（α）和量α，T，t1和t2是未知的，只需要估计联合系统的参数T和α。首先，我们需要得到情况（1）和算术平均值（T+T）/2=τ之间的广义关系（16）。（18）中最重要的是温度功率项。还应注意的是，α>1+1/α不可能是真的，因为它随后会出现α>2，但这与（2）相矛盾。对于α<1+α（19），考虑到（18），我们得到了高t量级的结果α1 - α1.-ατ1+α=h（α）Tα。（20） 由此得出t=τ1+αα（21）和h（α）=α1 + α1.-α. （22）As（1+α）/ααα<1，则T<τ。从（21）中得出一个估计值- τ ≈ -1+αlnτ<0（23），定义了最终温度（周转率）与初始温度算术平均值的偏差。因此，不等式（14）在情况（1）和情况（2）中都成立。

因此，联合系统的最终温度低于系统1和2的算术平均温度。类似于上面执行的转换也证明了等式的有效性（15）。以类似的方式，我们得出结论，联合系统的维数高于初始系统维数的算术平均值。得到的公式定义了联合系统和初始系统的熵。初始系统1和2的熵由等式（18）的左侧表示。联合系统的熵等于方程（18）的右边，其中h（α）由（22）给出。等式（18）表明，系统1和系统2对联合系统熵的贡献是相当不同的。当α<1时，更复杂的系统（根据L.D.Landau理论）给出了主要贡献1。它允许更多的微观状态，这意味着这个系统的熵更高。4颗粒和资本转移——由于不确定性，上述装置还可以定量估计统一条件下颗粒和货币的位移。假设条件（1）成立。通过类比关系式（4）和（5），我们可以得出关系式（见[8]）kκ=T[（α- 1） lnk+αlnκ]（24）介于粒子数、温度和化学势u之间=-κ, κ > 0 .在经济学中，化学势（“名义利率”）是指在微小干预后，系统中货币量的微小增长与该干预的价值之比。（24）的左侧代表吉布斯势G=ku=-kκ，与oppo位点标志一起拍摄。因此，方程（24）可以改写如下：|G |=T（αln | G |- ln k）。（25）使用（24）的主要困难在于，κ对α的普遍依赖性未知。[9]中考虑了特殊情况α=3/2。

对于酪蛋白[15]，第2章，我们发现，κ=T ln T+O（T）（26）关系（26）使得[9]中的化学势得以消除，并将（24）转化为α=3/2的粒子数和温度之间的关系。在这种特殊情况下，高维系统中的粒子数在分离后减少，这意味着资本从该系统流入低维系统。为了在更一般的情况下估计粒子和资本转移，我们现在考虑两个系统1和2的统一性，满足（1），并且尺寸和温度相近。假设T，α，k，κ是统一前系统1的参数。统一后，在系统1域中，根据（14）-（17）我们得到=T- Θ, α = α+  = α- k=k+λ，κ=κ+ξ这里是一个附加项Θ，, λ、 ξ的绝对值很小，Θ>0， > 0，λ和ξ的符号未知。温度的微小变化如何依赖于分形维数的微小变化，早在[8]中就已经确定了：- T）α=（α- α） Tq，（27）q≡f′（α）f（α）+lnt.（28）函数f（α）由（6）定义，并在（1）中单调增加。从（24）中我们得到了kκ=Tln（kκ）αk，（29）kκ+λκ+ξk=（T- Θ）ln（kκ+λκ+ξk）α+k+λ。（30）通过从（30）中减去（28），所有不包括小系数的项相互抵消，并在考虑（27）后，结果的形式为λH+ξH=H.在哪里≡KkκT- (α- 1), H≡κkκT- α),H≡1.-α- 1αqlnk+（1）- q） lnκ或λ=H - HξH（31）λ=k的符号- K指向资金或资本转移的方向。（31）分子中的两项表示两个系统统一过程中的两个同向流过程。温度随着尺寸的减小而升高，见（27），用术语H描述, 导致粒子数（大写）增加。

相比之下，化学势的降低会减少粒子的数量。当分子（31）等于零时，粒子数不变，转移不存在。5颗粒转移的最终公式。转移资本的大小我们现在可以尝试确定粒子转移消失的条件。根据（31），当kT-ακξ = - Qα- 1αlnk+lnκ. （32）在（32）中，考虑到q=f′（α）/f（α）+ln远大于由f（α）计算得出的单位。从（13）和（27）可以看出，尺寸变化和温度之间的关系qdα=αTdT（33）。利用吉布斯势Gwe可以将（32）改写为| G |- αTκdκ=- （αln | G |- lnk）dT。（34）为了进一步简化（34），我们可以使用熵、焓和吉布斯势的著名热力学关系式[6,14]。联合系统（在联合过程的最后阶段）可以被认为是封闭的、非平衡的，因此其温度和压力是恒定的，焓是最小的。在这种情况下，焓可以忽略，因此我们得到吉布斯-杜汉方程。dG=-Tds（35）使用（5）、（33）并考虑S是T和α的函数，我们发现dS=2α-1dTandG=-kdk=-2αSdT（36）当温度降低（因此，尺寸增加）时，κ也降低。比较（34）和（36），并考虑到ST=kκ，我们得到：2αS- 2α=ln k- αln（TS）As S=f（α）Tα比α大得多，也比ln和ln大得多。对于最高阶，消失转移的关系采用简单形式αf（α）Tα=ln k。（37）条件（37）是参数α和k之间的特殊关系。（31）λ=k- k=0。

还应该注意到，如果α满足（1），那么，如数值分析所示≤ αf（α）≤ 3，4如果αf（α）Tα>ln k（38）（例如，由于温度T的升高），而不是（37），那么λ>0，k>s系统1中的粒子数（资本大小），这是以系统2的更大尺寸为代价的单一化增加的结果。很明显，T（资本周转率）的增加增加了sy stem 1在合并后资本额外增长的机会。从（38）中可以清楚地看出，如果符号变为相反的符号，则粒子的转移方向相反——系统1中的粒子数减少，而系统2获得这些粒子。现在，我们可以继续计算因该大学而产生的资本转移规模。让我们假设（38）成立。使用（31）我们得到=-qTα-1αlnk+lnκdα+κ（|G |- αT）dκk（|G |- (α- 1） T）连接dk、dα和dκ。我们在DK到达=-αln | G |- lnk+2αS- 2αk（TS）- (α- 1） T）dT。（39）我们现在再次考虑Sis远大于α，lnt，lns。经过一些简单的转换和初等积分，我们得到了最高阶的K- k=k（T）- T）2αf（α）Tα+（α- 1） ln-kf（α）Tα+1。这里是k-k> 0-系统1中颗粒数量（资本大小）的增加，T是联合系统的温度。从这里开始-T>0。利用资本剩余k的无量纲比率- 对于初始值k，（40）acq有一个更清晰的形式。变换后，使用（5）、（24）和（35）k- kk=T- TT（2α+1）（α- 1） lnk+2αlnκ（α- 1） lnk+αlnκ>2αT- TT。