解构低体积异常

6首个收益率（高收益率）与最后一个收益率（低收益率）的平均收益率之比。如图所示，两种股票的除息日回报率大致相同：根据地理区域/市场的不同，该比率非常分散，平均为0.9。随着回报计算时间的增加，与防守对手相比，高容量股票的形式越来越少。这与我们在前面几段中概述的综合效果是一致的。然而，这种影响还不足以单独解释低体积异常的表现。即使没有股息偏见，所有十分位数在一天内的平均回报率大致相同这一事实已经被CAPM所证实，因为人们预计高成交量股票可以弥补风险。在CAPM中，所有股票的风险调整后回报率都应该相似，并进行经验观察——再次参见上面的表5和图4。综上所述，虽然复合效应确实在低成交量异常现象中起到了一定作用，但它只是解释的一部分：与股息偏好完全不同，高波动性股票经调整后的回报率风险已经非常低。1 10组合期n（天）0.50.60.70.80.9各区域组合的平均值图6：第一个十分位（高容量）股票平均价格除名收益除以相应的最后一个十分位（防御）平均价格收益，在不同时间尺度n=1、5、10、20天，在所有区域平均，或作为一个总投资组合。

在这两种情况下，我们看到复合效应对高容量股票是有害的。6事实集数据和机构基金偏见我们现在转向另一个数据来源，以寻找低交易量异常的合理解释，即“FactSet股权”数据库，该数据库总结了本文研究的一些地理区域（美国、日本、英国、欧洲（英国除外）、澳大利亚）的“机构、共同基金、利益相关者和与股票相关的股权信息”（即大型非杠杆机构参与者）的资产。我们已将这些资产按公司名称汇总，并根据公司市值或各基金的总持有量，对共同基金持有的总金额进行标准化，以衡量其对某一特定名称的整体扣留率。nor和malisations都会得出类似的结论，因此我们将重点放在第一个结论上。我们数据中的基金平均持有SPX中每家公司约36%的股份，其总持有量在该值附近有大约10%的相当大的标准差。日本的TOPIX、英国的富时100指数和我们在欧洲（英国除外）的综合指数的细分率分别为6%、23%和10%。我们每6个月对共同基金的投资组合进行一次抽样，并通过将其累积头寸与各种经典因素预测因子相关联来调查其可能的偏差。美国的结果如图7所示，其他地区的表现非常相似。对许多标准因素的偏见尚不清楚，但其中有两个比较突出：机构基金平均而言是低成交量和长期中小企业，即它们对高成交量、小盘股的权重过高。尽管这一分析本身显然不足以解释高成交量股票被高估的原因，但我们的结果似乎与上述行为/机构偏见一致，即。

大型市场参与者/机构寻求高波动性股票，是因为它们提供的嵌入式杠杆，或是因为经理获得更好奖金的可能性增加（被视为对基金业绩的一种欧洲看涨期权），或是因为分析师长期以来对高收益公司的乐观态度强于低收益公司。时间-0.4-0.20.20.40.6低交易量UMDBPSEPSROA图7：共同基金头寸与标准因子（低交易量、SMB、UMD、BPS、EPS和ROA）的1年运行平均值的相关性。我们清楚地看到，这些资金被过度配置在小型、高交易量的股票上。类似的结果适用于所有地理区域，日本机构投资者也在参考文献[13]中报告过。随着我们的第二次常态化，即除以每只基金的总持有量，中小企业的偏见更加强烈。这是意料之中的，因为小型基金可能会对低资本、流动性差的股票施加更大的压力。7结论在本文中，我们剖析了几种所谓的低容量和低β策略。我们已经确定了一些关于这些策略的“程式化”事实，其中一些已经有很好的记录（例如不同地理区域的影响的强度和普遍性），其他一些在之前的文献中没有明确讨论（例如对低成交量股票的强烈股息偏好）。我们最重要的一点是，低体积通常是两个相当独立的结构效应的结果，但强度相似。一个是低波动率和高股息收益率之间的强烈相关性，因此，现金流中的股息在很大程度上共同贡献了低波动率策略的表现。第二个事实是，除息收益本身在每日时间尺度上独立于波动性水平，从而为低成交量股票带来更好的风险调整收益。

这种影响通过复合作用进一步放大。我们还表明，低vol异常不局限于极端进化性十分位数，也不来自部门偏差。这也不是由于短期反转，因为波动率估计可能滞后一个月或更长时间，而不会降低异常强度。此外，我们还发现，低vol策略的总体偏斜度略为正，与以负偏斜度为特征的标准风险溢价策略存在差异[26]。事实上，很难凭直觉解释为什么投资低波动、高股息的股票会带来一个必须补偿的特定风险因素！出于实际目的，强劲的股息偏好以及由此产生的与其他估值指标（如E/P或HML）的相关性确实在一定程度上使低成交量策略变得多余，至少对股票而言是如此。这并不意味着这些策略应该被排除在“量化因素”投资组合的构建之外，因为它们提供了增加多元化和降低运营风险的替代实施。最后，股票市场上低交易量异常的根本原因大体上仍不清楚。尽管前面提到的行为/制度故事很有说服力，并且与共同基金持有量的差异相比较，但没有实证研究。我们自己倾向于相信一种通用的“彩票”或嵌入式期权机制，这种机制对机构投资者（可能通过奖金期权性）和私人投资者产生同等的影响，导致他们过度关注潜在的有利因素，放弃规模小得多但意义重大的常规股息。但这仍然是一个悬而未决的问题。致谢：我们感谢F.阿尔塔雷利、L.德利奥、A.兰迪埃、D.塞斯马和P.-A。

Reigner继续发表许多有见地的评论，并认真阅读手稿。附录A：股票池此处考虑的股票池主要是特定日期标准指数的组成，更准确地说：o澳大利亚：标准普尔/澳大利亚证券交易所200支股票o英国：富时100指数100支股票o欧洲：600支流动性最强（以欧元计）的股票，主要属于SBF250（法国）、CDAX（德国）、OMX（瑞典）、SMI（瑞士）、IBEX（西班牙），AEX（荷兰）、FTSEMIB（意大利）指数，还有一些股票来自芬兰、挪威、比利时和丹麦指数日本：所有股票中流动性最强的500只TOPIX指数o韩国：200只KOSPI指数o香港：大约450只恒生综合指数o加拿大：标准普尔/TSX指数的所有股票o巴西：BOVESPA指数的所有股票（理论上50只股票，但这个数字在时间上是可变的——2015年为64只）标准普尔500指数和罗素3000指数：属于这两个指数的股票美国小盘股：美国股票按其流动性排名，一个池由排名在1 501和2000之间的股票组成。请注意，当一只股票离开指数时，其在投资组合中的头寸将在第二天收盘价时被清算。附录B：市场中立性与美元中立性本附录的目标是了解bi的起源，如lowvol策略。净（1，1，….1）向量与净向量乘以波动率的标量积接近95%，因此至少在原则上应间接控制净市值（NMV）。然而，下面的玩具模型显示，这是不够的。在无成本的Markowitz设置中，我们希望最大化xipi- uXi，jxiσiCijxjσjj其中Xi是美元日终头寸，Pi是预测因子，u是通常的风险规避拉格朗日参数，σi是股票i的波动率，Cij是归一化相关矩阵。

马科维茨解readsxi=2μσiXjC-1ij（pj/σj）我们现在选择了一个低vol预测值作为pi=a/σi，其中a是一个可预测性量表。我们感兴趣的是在相关矩阵有一个（大）市场特征值λ（0）的发达国家计算NMV和总市值（GMV）~ N>> 1–光谱的其余部分是围绕一个小特征值ε的狄拉克质量。因此：Cij=Xαλ（α）v（α）iv（α）j≈ λ（0）P（0）ij+εN-1Xα=1P（α）ij，我们在特征向量P（α）ij=v（α）iv（α）j上引入了投影仪。因此，这个矩阵的逆e由c给出-1ij=λ（0）P（0）ij+εN-1Xα=1P（α）ij相关矩阵上的跟踪条件为Tr C=N，表示1/ε=（N- 1） /（N）- λ(0)). 通过使用完全生成规则δij=PN-1α=0P（α）ij我们最终得到c-1ij1.- λ（0）/Nδij-1.-λ(0)P（0）ij将其插入马科维茨溶液中会产生toxi=a2u1- λ（0）/Nσ-3i-1.-λ(0)v（0）iσ-1iXjv（0）jσ-2j然后，净市值为NMV=Pixind，取决于前置因子a/u。这个前置因子在NMV/GMV的比值中并不重要，但我们可以通过使用r=XijxiσiCijxjσj来消除它a2u1.-λ（0）N-1Nhσ-4i- hσ-2i这导致toNMV=Rp（N- λ（0））（hσ-4i- hσ-2i）Nhσ-3i-1.-λ(0)Xiv（0）iσ-1iXjv（0）jσ-2j我们现在使用λ（0）>> 假设v（0）i≈ 1/√N.然后是NMV≈ RNs（N）- λ（0））hyi- 海伊菲伊- 在这里，我们引入了yi=1/σi，并在这里我们重申h··i代表股票的跨区间平均值。作为检验，我们可以计算市场模式下的风险敞口：R（0）=pλ（0）Xixiσiv（0）i≈Rpλ（0）（1）- λ（0）/N）hyiphyi- hyiwhich对于大λ（0）具有正确的行为。同样的计算可以得到GMV=Pi | xi |和NMV RNs（N）- λ（0））hy | y- hyi | iphyi- hyiSo净与总的比率为NMVGMV=hyi- hyhyhyhy | y- hyi | i，表明该比率与横截面曲率分布的高阶矩有关，并且是先验i非零。

我们可以假设挥发分分布是逆伽马分布，并计算上述数值，或者直接从数据中估算这些矩。平均值在30-40%的范围内，因此比天真的认为要高得多。因此，净美元敞口在处理低交易量投资组合时是一个真正的问题。附录C：低成交量/低β相关性低成交量和低β之间的相关性并不完全令人惊讶，因为β和波动性都被认为是与agiven股票相关的风险指标。另一方面，使用股票的市场敞口给出的策略与其波动性几乎完全相同，这一事实需要一个解释。在这里，我们展示了一个简化的理论框架，让我们能够捕捉这种情况的原因。我们从一个标准的单因素模型ri=βiΦ+εi（2）开始，为了简单起见，将市场因素Φ定义为等加权平均股票收益率：Φ=Piri/N，即Piβi=N。我们假设Φ和εiare0。0.5 1.0 1.5 2.0 2.5σ/<σ>0.00.51.01.52.0β0.00.40.81.21.62.02.42.83.2Log密度图8：简单预测公式5与1971年至2011年2000个美国股票数据的比较。黑线对应于模型，而紫色线对应于各点的运行平均值。颜色代码表示数据点的密度。不相关（但不一定独立）。风险敞口βi由线性回归计算得出，可以写成βi=ρi，ΦσiσΦ，（3）ρi，Φ是市场收益率和股票收益率i之间的相关性。我们现在假设，在第一个近似值中，所有对相关性都等于给定的ρ，即相关矩阵的形式为ρi，j=δi，j+ρ（1）- δi，j）。这种情况忽略了行业影响，但并非完全有效。

经过1/N修正后，市场波动率可以简单地用σΦ=ρσav表示。，在哪里=Piσi/N是横截面波动率平均值。同样，可以计算股票/市场的相关性，最多1/N的修正值，a s:ρi，Φ=hriNPjrjiσiσΦ≈ρσiσav。σi√ρσav=√ρ. （4） 因此，在这个高度示意性的框架内，我们发现了简单的关系：βi=√ρσiσΦ≡σiσav。，（5） 这可以通过对称性来猜测。这一结果之所以有趣，有几个原因：（i）它依赖于对相关的简化假设，但不要求已知平均相关ρ，也不要求随时间保持恒定；（ii）它提出了一种在查看大型、异构数据集时应该使用的自然比例，最后，（iii）它表明β和σ只是彼此成比例，因此低vol和低-β必然高度相关。如图8所示，我们的简单预测确实得到了数据的支持：我们将该模型与1971年至2011年获得的2000只美国股票的数据进行比较，其中每个点对应一对σi，βi。该模型无法解释β饱和σ大的情况，需要更复杂的假设。然而，正如点的密度所示，这个区域只代表了数据集的一小部分。注意，在同一框架内，我们发现特殊波动率hεii由以下公式给出：hεii=σi- βiσΦ=βi[1- ρ] σav。，（6） 表明独特的ncratic波动性也与β密切相关。参考文献[1]F.Black，《限制借贷的资本市场均衡》，商业期刊，45444-455（1972）。[2] R.A.Haugen，A.J.Heins，关于支持资本市场存在风险溢价的证据，工作文件，未出版（1972年）。[3] R.A.豪根，A.J。

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