关于多资产Black-Scholes模型的解：相关性，

在这种情况下，位于∑和立方体之间的区域具有负行列式。就其对角线形式而言，∑内或∑外的ρ矩阵，其中detρ6=0，为λ（x，y，z）00λ（x，y，z）00λ（x，y，z）（38）其中当~r=（x，y，z）时，三个特征值λ6=0，λ6=0和λ6=0/∈ Σ.在Kummer上，∑+，ρ矩阵的对角形式为λ+（x，y）00λ+（x，y）00（39）式中λ+（x，y）=+q1+8xy+8xy- 十、- y+1（40）和λ+（x，y）=-q1+8xy+8xy- 十、- y+1（41）图（4）给出了特征值λ+（x，y）和λ+（x，y）作为x和y的函数。图4：（a）λ+（x，y），（b）λ+（x，y）为Kummer次表层∑-, ρ矩阵的对角线形式是λ-（x，y）0 00λ-（x，y）00（42）式中λ-（x，y）=+q1+8xy- 8xypxy- 十、- y+1（43）和λ-（x，y）=-q1+8xy- 8xypxy- 十、- y+1（44）图（5）给出了特征值λ-（x，y）和λ-（x，y）作为x和y的函数。注意特征值λ+（x，y）和λ-（x，y）总是大于零，但λ+（x，y）和λ-（x，y）对于相关参数x=±1和y=±1的极值为零。图（6）显示了特征值λ+（x，y）和λ-（x，y）在同一个图中。我们可以清楚地看到，λ（x，y）真值仅在极端相关值情况下变为零~r=（1，1，1），~r=（1，-1.-1） ，~r=(-1, 1, -1） ，~r=(-1.-1,1）（45）是图（3）中Kummer∑次表面的顶点或图（6）中的四个基点。因此，根据向量r=（x，y，z）位于三维立方体的哪个区域，相关矩阵ρ有两个零特征值，一个零特征值，或者可以是可逆的。

因此，当~r沿库默曲面移动时，ρ矩阵的秩发生变化。图5：（a）λ-（x，y），（b）λ-（x，y）图6：作为（x，y）5定价函数的λ特征值、魏诺曼定理、传播子和∑KWe现在通过考虑第3节中分析的相关ρ矩阵的几何特性来解决多资产期权∏的定价问题。要做到这一点，首先需要解方程（23）。为此，我们应用韦-诺曼定理[23]、[24]、[25]、[26]，在我们的例子中，该定理证明（23）的解可以写成ψ（~ζ，t）=U（t，0）ψ（~ζ，0）（46），其中U（t，0）=∏Nk=1eak（t）Lk#（47），其中ak（t）=^tλk（~r）dt=λk（~r）t（48）和Lk=ζk（49）即ψ（~ζ，t）=∏Nk=1eλk（~r）tζk#ψ（~ζ，0）（50）通过插入N个一维狄拉克三角洲，可以将上述方程写成ψ（~ζ，t）=∏Nk=1eλk（~r）tζk#πNm=1^dζmδ（ζm- ζm）ψ（~ζ，0）（51）或作为ψ（~ζ，t）=^Kψ（~ζ，t|ζ0）ψ（~ζ，0）d~ζ（52），其中传播子Kψ由Kψ（~ζ，t|ζ0）=∏Nk=1e定义λk（~r）tζk#δ（N）（~ζ）-~ζ)（53）带δ（N）（~ζ）-~ζ） N维狄拉克三角洲。现在使用傅里叶展开式δ（N）（~ζ-~ζ） =^d~p（2π）Nei~p·（~ζ）-~ζ） （54）传播子最终可以写成乘积kψ（~ζ，t | ~ζ0）=∏Nk=1“^dpk2πe-λk（~r）tpk+ipk（ζk）-ζk）#（55）5.1∑内的传播子当~r在∑内时，所有本征值λk（~r）都是正的，因此（55）中的N积分可以得到[27]，[28]kψ（~ζ，t | ~ζ0）=∏Nk=1“√2πλkte-（ζk）-ζk）2λkt#（56）orKψ（~ζ，t | ~ζ0）=p（2πt）Nλλ··λNePNk=1-（ζk）-ζk）2λkt（57）通过使用变换（15）、（16）、（17）和（18），可以在（~S，τ）空间asK∏（~S，τ| ~ST）=exp中为期权价格∏（~S，τ）编写传播子(-r（T）- τ）p（2π（T）- τ） ）无损检测（ρ）∑∑·∑NSS···SNe-（~αtρ）-1~α）2（T-τ)（58）带~αi=~αi（Si，Si）=ln（SiSi）+（r）-σi）（T- τ）σi（59），这是S空间中传播子的常见形式（参见示例[3]，[7]）。

注意，只有当det（ρ）>0时，传播子的这种形式才有效。因此，我们可以在封闭的次表面∑或∑和超立方体内部之间的某个区域内应用（58），该区域验证det（ρ）>0，并且只有正特征值。5.2 Kummer曲面的传播子∑KIn本节我们得到了Kummer曲面上传播子∑K的表达式。我们假设我们位于一个区域∑KNBof∑K，该区域具有纳米零特征值，且NB=N- 纳努尔特征值。由于我们在∑k曲面上，等式（26）意味着~r向量的一个坐标由另一个M决定-1坐标。我们称之为独立坐标x，x，xM-1.因此，在本节中，向量~r是一个依赖于M的M维向量- 1独立坐标。在这种情况下，（55）中的传播子给出skψ（~ζ，t | ~ζ0）=“πNAk=1^dpk2πe-λk（~r）tpk+ipk（ζk）-ζk）#“πNBj=1^dpj2πeipj（ζj-ζj）#（60）通过执行积分，我们得到kψ（~ζ，t | ~ζ0）=ePNAk=1-（ζk）-ζk）2λktp（2πt）NAλλ·λ·λ·NA∏NBj=1δ（ζj）- ζj）（61）如果我们把N维向量ζ分成两部分，作为ζ=ζ...ζNAζNA+1。。。ζN=ζ...ζNAζ...ζNB=~ζA~ζB！（62）上述传播子可以用更紧凑的形式写成asKψ（~ζ，t | ~ζ0）=p（2πt）NAdet（DA）e（~ζa）-~ζA）tD-1A（~ζA）-~ζA）2tδ（NB）（~ζB）-~ζB）（63）其中=λ0 ··· 00 λ··· 0...... ···...0 0··λNA（64）是Kummer曲面∑K上的约化对角ρ矩阵。

如果将A和B分量中的向量~χ分离为~χ=~χA~χB（65）然后关系式（20）诱导了~ζA~ζB=U-1AAU-1ABU-1包-1BB~χA~χB（66）你在哪里-1AA，U-1AB，U-1BAand U-1将U剖切得到的矩阵去掉-1分为A和B两部分。指数（61）中的二次项可以用χA和χb分量表示为（~ζA）-~ζA）tD-1A（~ζA）-~ζA）=（~χA）-~χA）t[U-1AA]tD-1AU-1AA（~χA）-~χA）+（χB-~χB）t[U-1AB]tD-1AU-1AA（~χA）-~χA）+（χA）-~χA）t[U-1AA]tD-1AU-1AB（~χB）-~χB）+（χB-~χB）t[U-1AB]tD-1AU-1AB（~χB）-~χB）+（67）现在，从（66）我们有（~ζB）-~ζB）=U-1BA（~χA-~χA）+U-1BB（~χB-~χB）（68）（63）中的狄拉克δ表示0=U-1BA（~χA-~χA）+U-1BB（~χB-~χB）（69）上述等式允许写入向量（~χB）-~χB）在（~χA）方面-~χA）as（~χB）-~χB）=-乌布-1BA（~χA-~χA）（70）替换（67）中的二次项可以写成（~ζA）-~ζA）tD-1A（~ζA）-~ζA）=（~χA）-~χA）tρ-1∑K（~χA）-~χA）（71）式中ρ-1∑由ρ定义的Kis-1∑K=[U-1AA]tD-1AU-1AA+[U]-1布布-1BA]tD-1AU-1AA+[U]-1AA]tD-1AU-1布布-1BA+[U]-1布布-1BA]tD-1AU-1布布-1BA（72）从（66）中，我们注意到d~ζ=d~ζAd~ζB=d~χAd~χB=d~χ（73）使用（68）和（71）在（52）中，期权价格可以写成ψ（~χA，~χB，t）=e（~χA）-~χA）tρ-1∑K（~χA）-~χA）2t√（2πt）NAdet（DA）δ（NB）（U）-1BA（~χA-~χA）+U-1BB（~χB-~χB）ψ（~χA，~χB，0）d~χAd~χB（74）在d~χB上积分ψ（~r）（~χA，~χB，t）=^e（~χA）-~χA）tρ-1∑K（~χA）-~χA）2tp（2πt）NAdet（DA）det（U）-1BB）ψ（~χA，~χB，0）d~χA（75），其中~χB必须根据~χ带（~χA）从（70）开始计算-~χA）as~χB=~χB+γ（~χA）-~χA）（76）其中矩形NB×NAmatrixγ由γ=UBBU定义-1BA（77）必须注意的是-1，特征值λi和矩形矩阵γ是位于零曲面∑K上的向量~r的函数。因此，期权价格也是~r的函数。

使用（15）、（16）、（17）和（18）可以将（~S，τ）空间中的期权价格写成∏（~r）（~S，τ），由∏（~r）（~SA，~SB，τ）=^e（~αA）tρ给出-1∑K（~αA）2（T）-τ） p（2π（T）- τ） ）NAdet（DA）e-r（T）-τ） det（美国）-1BB）ψ（~SA，~SB，T）σ··σNAd~SAS··SNA（78），其中α的分量由αjA=ln（SjASjA）+（r）给出-σj）（T- τ）σjj=1，··，NA（79）和向量~sb的分量根据~SA，~SAand~sb给出πNAj=1斯贾斯卡σiσjγijE（r）-σi）+PNAj=1σiσjγij（r）-σj）（T）-τ）i=1，··，NB（80），其中γij是矩形矩阵γγij=[UBBU]的分量-1BA]iji=1，···，NB，j=1，···，NA（81）当~r在Kummer曲面∑K上移动时，ρ矩阵的秩可以改变，因此NA和NB=N的维数- Na也会发生变化，但等式（78）始终有效。5.3∑外的传播子当向量~r位于Kummer次表层∑外时，存在相关矩阵行列式为负的区域。这意味着（58）中给出的传播子变得复杂。但是，更糟糕的是，在这种情况下，一个特征值λkis为负，因此（57）中给出的传播函数在相关的ζk坐标中产生指数增长。（52）中的卷积没有很好的定义。因此，不能在Kummer次表层∑以外具有负ρ行列式的区域对期权定价。6结论和进一步研究在本研究中，我们详细分析了多资产BlackScholes模型解的存在性。我们指出，等价于n维超立方体的相关参数空间限制了多资产Black-Scholes模型有效解的存在性。

特别地，我们证明了在这个超立方体内部有一个称为Kummersurface∑K的曲面，其中相关矩阵ρ的行列式为零，因此N asset Black-Scholes方程的传播子的常用公式不再有效。我们还详细研究了当相关矩阵的行列式为零时，三种资产及其隐含几何的情况。最后，利用Wei-Norman定理，我们计算了一般N-asset情形下变秩曲面∑k上的传播子，它适用于所有Kummer曲面，无论ρ矩阵的秩是什么。这个公式修正了这个问题及其扩展的过去的解决方案。作为未来的研究，与多资产Black-Scholes模型相关的大多数论文必须根据我们的结果进行访问，以及其他隐含假设必须存在良好行为的多元高斯分布的论文，如随机波动率家族的情况（参见例如[29]，[30]）。参考文献[1]F.Black，M.Scholes，《期权定价与公司负债》，政治经济杂志8（31）637-654，（1973）。[2] R.C.默顿，《理性期权定价理论》，贝尔经济与管理科学杂志4（1）141-183，（1973）。[3] 威尔莫特·保罗，《保罗·威尔莫特论定量金融》，W伊利（2000年）。[4] Gatheral Jim，《波动表面》，W iley（2006）。[5] 约翰·赫尔和艾伦·怀特，《具有随机波动性资产的期权定价》，金融杂志，第42卷第2期。

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