关于多资产Black-Scholes模型的解：相关性，

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《On the Solution of the Multi-asset Black-Scholes model: Correlations,
  Eigenvalues and Geometry》
---
作者：
Mauricio Contreras, Alejandro Llanquihu\\\'en and Marcelo Villena
---
最新提交年份：
2015
---
英文摘要：
  In this paper, we study the multi-asset Black-Scholes model in terms of the importance that the correlation parameter space (equivalent to an $N$ dimensional hypercube) has in the solution of the pricing problem. We show that inside of this hypercube there is a surface, called the Kummer surface $\\Sigma_K$, where the determinant of the correlation matrix $\\rho$ is zero, so the usual formula for the propagator of the $N$ asset Black-Scholes equation is no longer valid. Worse than that, in some regions outside this surface, the determinant of $\\rho$ becomes negative, so the usual propagator becomes complex and divergent. Thus the option pricing model is not well defined for these regions outside $\\Sigma_K$. On the Kummer surface instead, the rank of the $\\rho$ matrix is a variable number. By using the Wei-Norman theorem, we compute the propagator over the variable rank surface $\\Sigma_K$ for the general $N$ asset case. We also study in detail the three assets case and its implied geometry along the Kummer surface.
---
中文摘要：
本文从相关参数空间（相当于一个N维超立方体）在定价问题求解中的重要性出发，研究了多资产Black-Scholes模型。我们证明，在这个超立方体内部有一个曲面，叫做Kummer曲面$\\Sigma_K$，其中相关矩阵$\\rho$的行列式为零，因此，$N$asset Black-Scholes方程的传播子的常用公式不再有效。更糟糕的是，在这个表面之外的一些区域，$\\rho$的行列式变为负，所以通常的传播子变得复杂和发散。因此，在$\\Sigma_K$之外的这些地区，期权定价模型没有得到很好的定义。相反，在Kummer曲面上，$\\rho$矩阵的秩是一个可变数。利用Wei-Norman定理，我们计算了一般$N$资产情况下变秩曲面$\\Sigma_K$上的传播子。我们还详细研究了三资产情况及其沿Kummer曲面的隐含几何。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> On_the_Solution_of_the_Multi-asset_Black-Scholes_model:_Correlations,_Eigenvalue.pdf (2.99 MB)

2022-5-9 06:54:07 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：SCHOLES choles Holes Black lack

关于多资产Black Scholes模型的解：相关性、特征值和几何。孔特雷拉斯+，A.兰基胡恩*和M.Villena+2015年10月12日关键字：多资产Black-Scholes方程，Wei-Norman定理，相关矩阵特征值，Kummer曲面，传播子。本文从相关参数空间（相当于N维超立方体）在定价问题求解中的重要性出发，研究了多资产Black-Scholes模型。我们证明了在这个超立方体内部有一个称为Kummer曲面∑K的曲面，其中相关矩阵ρ的行列式为零，因此N asset Black-Scholes方程的传播子的常用公式不再有效。更糟糕的是，在这个表面之外的一些区域，ρ的行列式变为负值，所以通常的传播子变得复杂而发散。因此，对于∑K以外的区域，期权定价模型没有很好的定义。相反，在Kummer曲面上，ρ矩阵的秩是一个变量。利用Wei-Norman定理，计算了一般N资产情形下变秩曲面∑k上的传播算子。我们还详细研究了Three assets情形及其沿Kummer曲面的隐含几何。1简介自Black、Scholes和Merton关于期权定价的开创性工作（见[1]和[2]）以来，已经制定了一项重要的研究议程。这项研究主要集中在将基本的Black和Scholes模型扩展到众所周知的经验规律，希望提高著名公式的预测能力，例如参见[3]、[4]、[5]、[6]。一个有趣的扩展是许多基础资产的建模，这被称为多资产Black-Scholes模型[3]，[7]。在这种情况下，期权价格满足一个包含许多相关资产的扩散方程。

Margrabe（1978）在文献中首次提出了这个问题，见[11]。保证金公式考虑了一种交换期权，其所有者有权（而非义务）在特定时间点将一种资产的b单位交换为另一种资产的b单位。具体而言，Margrabe通过将一项基础资产作为计分法，然后应用Black和Scholes标准，推导出了期权的封闭式表达式*智利安德烈斯贝洛大学科学研究院+智利阿道夫·伊瓦涅斯大学工程与科学研究院。后来，Stulz[12]发现了欧洲看跌期权和看涨期权的解析公式，即两种风险资产的最小值或最大值。在这种特殊情况下，解用二元累积标准正态分布表示，当期权的执行价格为零时，该值降低为边际定价。在这篇文献中，其他有趣的论文有[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]。对于具有三种以上资产的模型，多资产Black-Scholes模型解的数值实现越来越困难，例如参见[8]、[9]、[10]。文献中忽略的一个重要点是，在上面提到的所有多资产Black-Scholes模型中，资产之间的关系是由它们的相关性建模的，因此隐式地假设，为了得到有效的解，必须存在行为良好的多变量高斯分布。本文从关联参数空间（相当于N维超立方体）在期权定价问题求解中的重要性出发，研究了多资产Black-Scholes模型。

我们证明了在这个超立方体内部有一个曲面，称为Kummer曲面∑K[19]，[20]，[21]，[22]，其中相关矩阵ρ的行列式为零，因此在∑K上，N资产Black-Scholes方程的传播子的常用公式不再有效。更糟糕的是，在这个曲面之外，ρ的行列式变为负值，所以通常的传播子变得复杂而发散。因此，对于∑K以外的一些地区，期权定价模型没有很好地定义。在∑K上，ρ矩阵的秩是一个可变数，取决于相关参数所在的Kummer曲面的哪个扇区。利用Wei-Norman定理[23]、[24]、[25]、[26]，我们发现了N种情况下Kummer曲面∑K上的传播子。无论ρ矩阵秩在∑K上的值是什么，我们的表达式都是有效的。第2节介绍了传统的多资产Black Scholes模型。在第3节中，问题被表述为一个N维扩散方程。第四节分析了相关矩阵空间的隐含几何，特别是当其行列式为零时，它与代数几何中的Kummer曲面重合。第4.1节针对三种资产的特殊情况，对Kummer曲面及其几何结构进行了审查。在第五节中，利用魏诺曼定理，计算了一般N资产的变秩曲面∑k上的传播子。最后，第6.2节给出了一些结论和未来的研究。多资产Black-Scholes模型考虑了由一个期权和N个标的资产组成的投资组合。

让我们了解资产的价格过程；i=1。。。N其中，每项资产满足通常的动态Si=αiSidτ+σiSidWi（1）i=1。。。N和N个维纳过程根据widwj=ρijdτ（2）进行关联，其中ρ是对称矩阵ρ=1ρρ··ρ1Nρ1ρρ··ρ2N。。。。。。。。。。。。ρ1Nρ2Nρ3Nρ4N··1（3） 所以我们有dSdSj=σiσjSiSjρijdτ（4）如果期权的价格过程是∏=∏（S，S2，…Sn，τ），那么投资组合的价值V由V=给出-xiiSi（5）在哪里i计算投资组合中每项资产的份额。自我融资的投资组合条件确保了RestHatdv=d∏-xiidSi（6）及其在∏one-getsdV引理中的应用=Πτdτ+XiΠSidSi+Xi，jΠ硅SjdSidSj-xidSi（7）根据[3]，对于N个资产的自由套利集，投资组合的回报率isdV=rVdτ（8），并且从等式（7）和（8）中得出：Πτdτ+XiΠSi（αiSidτ+σiSidWi）+Xi，jΠ硅SjσiσjSiSjρijdτ-xii（αiSidτ+σiSidWi）=r∏-xiiSi！dτ（9）在上述等式中收集dτ和dwiterm，得到：Πτ+XiΠSiαiSi+Xi，jΠ硅SjσiσjSiSjρij-xiiαiSi- RΠ -XjjSj= 0（10）和xiΠSiσiSi- iσiSi方程（11）中的dWi=0（11），考虑到Wi的独立性，我们可以说对于i=1。。。NΠSiσiSi- iσiSi=0（12）或等效值我=ΠSi（13）得出了多资产Black-Scholes方程Πτ+Xi，jΠ硅SjσiσjSiSjρij+rXjSjΠSj- Π= 对于常数r，αi，σi和简单的未定权益Φ，0（14）必须与最终条件∏（~S，T）=Φ（~S）相结合。3多资产Black-Scholes方程作为一个N维扩散方程，这里发展了一些变换，将多资产期权定价方程映射到更简单的扩散方程中。

如果对变量sxi=ln（Si）进行更改-（r）-σi）τ（15）在（14）中，我们可以把这个方程映射到Πτ+Xi，jσiσjρijΠxixj- r∏=0至少如果一个人将ψ定义为∏（~x，τ）=e-r（T）-τ） ψ（~x，τ）（16）则ψ满足方程Ψτ+Xi，jσiσjρijΨxixj=0现在，通过定义变量χi=xiσi（17），上述方程可以写成Ψτ+Xi，jρijΨχiχj=0，最后，通过定义向前时间坐标=T- τ（18）一个到达Ψt=Xi，jρijΨχiχj（19）现在执行转换~ζ=U-1~χ（20）可以将χk变量更改为ζk坐标，从而使ρ矩阵xd=U对角化-1ρU（21），其中d=diag（λ，λ，…λN）（22），U是变化基矩阵，其中U-1=Ut，det（U）=1。（x，y，z）变量的U-matrixin项的显式形式非常复杂，我们没有显式地编写它。在这个对角线坐标系中，扩散方程的读数为Ψt=NXi=1λiΨζi（23）现在我们根据特征值λi的行为来研究这个方程。4ρ矩阵的几何结构（3）中的ρ矩阵可以完全表征为M=N（N-1） 维向量r=（ρ，ρ，ρ，…，ρ（N）-1） N）- 1.≤ ρij≤ 1（24）位于以原点为中心的M维超立方体内部，长度为2。因此，ρ矩阵是~r的函数：ρ=ρ（~r）。注意，对于超立方体内部的某个点~r，ρ矩阵的确定值消失。例如，对于顶点~r=（1，1，1，…1）=> det（ρ）=0（25）实际上，在超立方体内部存在一个完整的曲面，其中ρ的行列式消失。

该曲面称为Kummer曲面∑Kin代数几何[19]、[20]、[21]、[22]，由方程~r定义∈ Σ<=> 德特1ρρ··ρ1Nρ1ρρ··ρ2N。。。。。。。。。。。。ρ1Nρ2Nρ3Nρ4N··1= detρ（~r）=0（26）事实上，我们可以将超立方体视为点或曲面子集∑Cof常数C行列式值：~r的不交并∈ ∑C<=> 德特1ρρ··ρ1Nρ1ρρ··ρ2N。。。。。。。。。。。。ρ1Nρ2Nρ3Nρ4N··1= detρ（~r）=C（27）Let~r是RMand中的任意向量，Letφ（~r）是ρ在每个点上的行列式，即φ（~r）=det（ρ（~r））。注意，φ（~r）是关于~r坐标的多项式函数。由M维梯度η给出的向量η=~rφ（~r）垂直于水平面，∑c给出了函数φ（~r）更大增长的方向。还要注意，这个向量的分量也是~r坐标的多项式函数，所以~η=~η（~r）是一个连续的向量函数。现在考虑一点~r∈ ∑K，也就是φ（~r）=0。由于φ和η是连续的，~ron∑K有一个高差，因此 > 0向量~r+=~r+~η ∈ ∑C>0，其中向量~r-= ~R- ~η ∈ ∑cw，C<0，因为φ函数沿~η方向增长。因此，Kummer曲面∑k将具有正ρ行列式的空间区域与具有负ρ行列式的空间区域分开。在对角线形式下，等式（26）为~r∈ ∑K<=> 德特λ0 0 0 ··· 00 λ0 0 ··· 0............0 0··λN= 0（28），其中λi=λi（~r），即~r∈ ∑K<=> φ（~r）=λ（~r）λ（~r）·λn（~r）=0（29）注意，等式（29）意味着在整个Kummer曲面上至少有一个特征值为零。但在∑Kother上，特征值也可以为零。

因此，Kummer曲面是可变的ρ秩曲面。当φ（~r）等于λ（~r）λ（~r）·λn（~r）时，向量η可以写成η（~r）=[~rλ（~r）]λ（~r）·λn（~r）+λ（~r）[~rλ（~r）··λn（~r）+λ（~r）λ（~r）·[~rλn（~r）]（30）假设λ是整个Kummer曲面上的零特征值。然后在∑K上，向量η由η（~r）=[~rλ（~r）]λ（~r）·λn（~r）（31）如果∑Knis是∑Kover的子区域，其中有n>1个零特征值，那么由（31）~η（~r）=0 ~R∈ ∑Kn（32）因此，Kummer曲面的高阶秩子区域∑kno的特征是~η向量在其上消失。现在考虑原点~rO=（0，0，·，0），其中φ（~rO）=1。很容易证明，对于靠近原点的点~r，函数φ变成φ（~r）≈ 1.- k~RK通过在原点周围展开泰勒级数中的φ，并在展开式中保持最小阶项。原点附近的~η向量则~η=-2~r是一个向内的径向向量。所以在原点附近，常数行列式曲面∑Care由M维球体和φ向原点向内生长。设Γ是一条从原点开始的曲线，它垂直于所有∑C曲面，也就是说，它的切向量平行于-~η每个点的向量。因为，在向量的原点附近-~ηisradial，使用这样的曲线可以到达从原点开始的空间的任何点。沿外方向移动长Γ，φ函数总是从其初始值1开始减小。因此，在某个点~rinΓ，φ函数消失。因此，这意味着Kummer曲面∑Kmust包含一个封闭的次表层∑，它封闭了原点。那么在这个封闭的次表层∑内部，ρ矩阵的行列式必须是正的，∑外部，有一些点，相关矩阵的行列式必然是负的。

请注意，∑可以完全包含在超立方体的一侧，也可以分别将其切割到具有正或负行列式值的不同区域。因此，在λ∑之外至少有一个λ∑行列式。在∑内，但是λλ···λN>0（34），这意味着特征值对可以是负的。但在∑内，特征值不能是有益的。为了证明这一点，考虑原点~row，这里所有的特征值λi=λi（~rO）都等于一。当~r沿着从原点开始的曲线Γ向外移动时，每个特征值λi=λi（~r）将改变其初始正值1的值，但不能变为负值。如果λi=λi（~r）<0，则在∑的Γ内的某些点~r，则在λi=0的地方存在一个点~r。这意味着向量~r将穿过曲面∑，但这是不可能的，因为~r位于∑的内部，其中detρ>0。然后在曲面内，∑相关矩阵的所有特征值都是正的。为了掌握上述观点，我们将在下一小节详细研究三种资产的情况。4.1 N=3资产情况的几何形状对于三资产情况，ρ矩阵等于ρ=1 ρρρ1 ρρρ=1 x yx 1 zy z 1（35）我们把向量r=（ρ，ρ，ρ）写成~r=（x，y，z）。对于这种参数化，ρ矩阵的确定量为et（ρ）=2xyz-十、- Y- 图1显示了超立方体内部的常数行列式∑C曲面det（ρ（~r））=C，其中一些正值介于0<C<1之间。

相反，在图2中，一些C值为负值的曲面显示为-3<C<0。图1：（a）C=0.9，（b）C=0.7，（C）C=0.5，（d）C=0.3，（e）C=0.1图2：（a）C=-0.1，（b）C=-0.5，（c）c=-1，（d）C=-2，（e）C=-3 Kummer∑k曲面由条件detρ（~r）=0给出，即2xyz-十、- Y- z+1=0（36）从（36）中我们发现超立方体内部的Kummer∑次表层由参数方程sz=z±（x，y）=xy±pxy给出- 十、- y+1（37）图（3）显示了由z=z+（x，y）给出的Kummer上亚表层∑+，Kummer图3：（a）Kummer上亚表层∑+：z+=xy+pxy- 十、- y+1，（b）Kummerin次表层∑-: Z-= xy-pxy- 十、- y+1，（c）完全Kummer∑。请注意，Kummer次表面∑是闭合的，在这种情况下，它完全位于超立方体内部。因此，对于三资产系统，∑和超立方体之间的区域具有负ρ行列式。下亚表层∑-由z=z给出-（x，y）和完整的Kummer∑。因为∑将detρ>0的区域与detρ<0的区域分开，并且由于原点~r=（0，0，0），行列式是一，那么在∑的内部，ρ矩阵的行列式必须是正的，这与图1一致。