状态约束下具有奇异性的粘性特性

值得注意的是，如果最大值（或最小值）（T- T*, 十、*, R*) 是全球性的和/或严格的（有关更多详细信息，请参见Barles（20 1 3））。此外，我们可以假设世界劳工组织。g、 那v（T- T*, 十、*, R*) = ~n（T）- T*, 十、*, R*), 因为我们可以使用定义为ψ（T）的函数ψ-t、 x，r）：=~n（t-t、 x，r）+v（t-T*, 十、*, R*)-~n（T）- T*, 十、*, R*). 函数φ称为v的测试函数。以下结果证明了这一概念的引入。定理2.14。va l ue函数V是初始条件（2.12）下Hamilton-Jaco-bi-Bellman方程（2.11）的粘度解。2.4.2。比较p-ri-nciples和唯一性结果。为了证明（2.11）在初始条件（2.12）下的唯一粘度解是（2.11），可以方便地在（2.11）中加载一个线性项。我们首先从定义转换方程（2.27）的经典解开始- Vt+βV+supξ∈RdLξV（T）- t、 x，r）=0，其中β<0和（t- t、 x，r）∈ ]0，T]×Rd×R定义2.15。A函数U（分别为V）∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）称为（2.27）的下解（分别，上解），如果U（分别，V）完全满足以下不等式：≤- Ut+βU+supξ∈RdLξU（T）- t、 x，r）分别。，0≥- Vt+βV+supξ∈RdLξV（T）- t、 x，r）适用于所有人（t、x、r）∈ [0，T[×Rd×R.下一个引理表明，我们可以考虑这种有用形式的HJB方程的w.l.o.g.引理2.16.假设U（resp.，V）∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）是（2.11）的下解（分别为上解）。然后，U（T）- t、 x，r）：=exp（β（t）- t） ）U（t- t、 x，r）（分别为V（t）-t、 x，r）：=exp（β（t）- t） V（t）- t、 x，r）是（2.27）的底土解（分别是上解）。证据通过简单的计算。备注2.17。

在经典的情况下，常见的论点，包括惩罚超级解，然后朝着相反的方向努力（例如，参见Pham（2009）f或多项式的情况），似乎不起作用。如果我们同意前面提到的工作的想法，我们将寻找一个函数，使得f或每个ε>0，U次解和v超解应保持（2.28）lim | x |，r|→∞sup[0，T[（U- Vε）（T）- t、 x，r）≤ 0表示所有ε>0，其中Vε=ε+V是上解。然而，（Vε）rhas必须严格为正，才能使Vε成为一个上解，这似乎很难（甚至不可能）在（2.28）i估计时获得（还记得施加在U和V上的增长条件以及初始条件中的奇点）。2.4.3. 粘度溶液的强比较。由于我们的值函数是连续的，我们可以将关联比较原则限制为连续函数（即，我们这里不讨论下半连续函数或上半连续函数的定义）。注意，无界粘度溶液有几个比较原则；例如，Koike和Ley（2011）的非线性退化抛物方程的比较原理。然而，由于inKoike和Ley（2011）的第（13）、（14）和（15）条要求在我们的案例中未得到满足，因此该方法不能在这里应用。为了在我们的框架中证明强比较原理，我们首先需要在主题和超级喷射的帮助下引入粘度溶液的等效定义（例如，参见Pham（2009））。定义2.18。设U是[0，T]×Rd×R上的连续函数。

U在点（t）处的第二阶超喷射*, 十、*, R*) ∈ [0，T[×Rd×R是集合J2，+U（T- T*, 十、*, R*) 元素的数量（\'q，\'p，\'s，\'m）∈ R×Rd×R×R满足u（T- t、 x，r）≤ U（T）- T*, 十、*, R*) + \'q（t- T*) + p·（x）- 十、*) + \'s（r- R*)+\'m（r）- R*)+ o（| t）- T*| + |十、- 十、*| + |R- R*|). （2.29）类似地，我们可以定义连续函数V的二阶主语，定义在[0，T]×Rd×R，在点（T）处*, 十、*, R*) ∈ [0，T[×Rd×R:这是一组元素（\'q，\'p，\'s，\'m）∈R×Rd×R×R满足v（T- t、 x，r）≥ V（T）- T*, 十、*, R*) + \'q（t- T*) + p·（x）- 十、*) + \'s（r- R*)+\'m（r）- R*)+ o（| t）- T*| + |十、- 十、*| + |R- R*|). （2.30）我们用J2表示该集合，-V（T）- T*, 十、*, R*).备注2.19。让我们*, 十、*, R*) ∈ [0，T[×Rd×R]是（V）的局部极小值- ν）（T）- t、 x，r），其中∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）。然后，给出了φyieldsV（T）的二阶泰勒展开式- t、 x，r）≥ V（T）- T*, 十、*, R*) - ~n（T）- T*, 十、*, R*) + ~n（T）- t、 x，r）=V（t- T*, 十、*, R*) - νt（t）- T*, 十、*, R*)（t）- T*) + x k（T）- T*, 十、*, R*)（十）- 十、*)+νr（T）- T*, 十、*, R*)（r）- R*) +νrr（T）- T*, 十、*, R*)（r）- R*)+o（| t）- T*| + |十、- 十、*| + |R- R*|), （2.31）这意味着（2.32）(-~nt，xаx，аr，аrr）（T- T*, 十、*, R*) ∈ J2，-V（T）- T*, 十、*, R*).同样，对于U，我们考虑（t*, 十、*, R*) ∈ [0，T[×Rd×R是（U）的局部最大化R-ν）（T）-t、 x，r）。然后，U（T）- t、 x，r）≤ U（T）- T*, 十、*, R*) + ~n（T）- t、 x，r）- ~n（T）- T*, 十、*, R*)= U（T）- T*, 十、*, R*) - νt（t）- T*, 十、*, R*)（t）- T*) + x^1（T- T*, 十、*, R*)（十）- 十、*)+νr（T）- T*, 十、*, R*)（r）- R*) +νrr（T）- T*, 十、*, R*)（r）- R*)+o（| t）- T*| + |十、- 十、*| + |R- R*|), （2.33）暗示（2.34）(-~nt，xаx，аr，аrr）（T- T*, 十、*, R*) ∈ J2，+U（T）- T*, 十、*, R*).实际上，逆属性也成立：对于任意（q，p，s，m）∈ J2，+U（T）- T*, 十、*, R*), 存在∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）使得(-~nt，xаx，аr，аrr）（T- T*, 十、*, R*) = （q，p，s，m）。参见引理4.1 Incoming和Soner（2006），了解这样一个φ的构造。

下一个引理提供了方程（2.27）粘度解的另一个特征。引理2.20。设v是[0，T]×Rd×R上的一个连续函数。（i）那么，v是[0，T]×Rd×R上（2.27）的粘性子解，当且仅当所有（T，x，R）∈ [0，T[×Rd×R和all（q，p，s，m）∈ J2，+v（T）- t、 我们有（2.35）0≤ q+βv（T- t、 x，r）+x∑xm+b·xs+supξ∈研发部ξP- sf（ξ）.（ii）v分别是[0，T]×Rd×R上的（2.27）粘性上解，当a且仅当forall（T，x，R）∈ [0，T[×Rd×R和dall（q，p，s，m）∈ J2，-v（T）- t、 我们有（2.36）0≥ q+βv（T- t、 x，r）+x∑xm+b·xs+supξ∈研发部ξP- sf（ξ）.有了这一点，就可以建立以下强比较原则。下一节给出的第一部分证明将类似于inPham（2009）中的证明，由于增长和边界条件，需要进行一些修改。此外，由于我们使用粘性解的局部定义，并且考虑的函数是经济连续的，所以我们不需要惩罚上解。特别是，我们不需要在证明的最后一部分使用Crandall-Ishii引理：事实上，在我们的HJB方程中，二阶导数项只是一维的，因此我们只需要应用泰勒公式，分别找到U和V的子和超喷射的足够元素，以实现一个相互作用。定理2.21。假设U（分别，V）是（2.27）的连续粘度亚溶液（分别，连续粘度上溶液），定义为[0，T]×Rd×R，满足生长条件（2.37）V（T，x，R）≤ v（t，x，r）≤ V（t，x，r）代表所有（t，x，r）∈ ]0，T]×Rd×R（其中v可以选择为U或v）。

此外，假设U和V满足边界条件lim supt→0U（t，x，r）- V（t，x，r）≤ 0表示固定的x，r∈ Rd×R.（2.38）然后U≤ V在[0，T]×Rd×R上。下面的唯一性结果直接来自上述定理。推论2.22。（2.1）中定义的价值函数是（2.11）在初始条件（2.12）下的唯一vis Costity解。备注2.23。在一维框架中，添加ε>0的εVxxin方程（2.27）形式的项，不会改变前面定理的结论：事实上，我们可以一步一步地应用与定理2证明中相同的参数。21.获得强对比结果的类似结论。这使我们能够通过非简并抛物线方程来近似我们的简并抛物线方程，这将产生一个强大的比较结果。在我们的最优控制问题中，相应的设置是通过设置：dXt=-ξt+εdWt，其中（Wt）是与（Bt）无关的布朗运动。有了这个，我们可以导出相应的非退化HJB方程-Vt+XσVrr+εVxx+b·X Vr+supξ∈Rd（ξ·十五- f（ξ）Vr）。在d维框架中，情况可能会变得更加复杂，我们必须使用Crandall Ishii引理等来找到与s二阶项相关的相应子和超射流，以证明非退化抛物方程的比较结果。3.证明。1.理论证明2。8.我们把证据分成两个命题。提议3.1。让V∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）是最大化问题（2.1）的v值函数。

nv是（2.11）的上解，即V完全满足不等式（3.1）- Vt+supξ∈RdLξV（t，x，r）≤ 0代表所有（t、x、r）∈ ]0，T]×Rd×R。在证明上述命题之前，我们将简要描述（2.11）的一个易于构造的超解。引理3.2。设V，eV是（2.11）和dε的两个上解≥ 那么V+εeV又是（2.11）的一个解。证据我们写作-（V+εeV）t+X∑X（V+εeV）rr+b·X（V+εeV）r+supξ∈研发部ξ · x（V+εeV）- f（ξ）（Vt+εeV）r≤ -Vt+X∑XVrr+b·xvr+supξ∈Rd（ξ·十五- f（ξ）Vr）+εeVt+X∑XeVrr+b·XeVr+supξ∈研发部ξ · xeV- f（ξ）eVr≤ 0，其中第一个不等式之后是求和的上确界。提案证明3.1。在下面的证明中，我们使用了经典论证（例如，见Crandall等人（1992））。然而，由于stra t egiesξ的燃料约束条件以及V的爆破初始条件，需要进行一些调整。为此，让（t，x，r）∈ [0，T[×Rd×Rd，η]∈ 和ε>0，使得t+ε<t。我们定义ξ∈˙XA（[t，t]，x）作为ξs:=（η，如果s∈ [t，t+ε[,，-十、-εηT-（t+ε），如果s∈ [t+ε，t]，并考虑相应的过程（Xξs，Rξs）来验证Xξt=X，Rξt=R∈ n足够大，我们引入了停止时间τk:=infs>t|（s）- t、 Xξs- x、 Rξs- r）/∈ [0，1/k[×B（0，α）×]- α; α[,其中B（0，α）表示半径α>0且以原点为中心的球。应用定理2。6产量0≥ EV（T）- τk，Xξτk，Rξτk）- V（T）- t、 x，r）= E-ZτktVt（T- s、 Xξs，Rξs）ds+ZτktVr（T- s、 Xξs，Rξs）dRξs+ZτktxV（T）- s、 Xξs，Rξs）dXξs+ZτktVrr（T- s、 Xξs，Rξs）dhRξ是= EZτkt- Vt（T- s、 Xξs，Rξs）+LξV（T）- s、 Xξs，Rξs）ds+EZτkt（Xξs）σVr（T）- s、 Xξs，Rξs）dBs,再加上它^o代表穆拉。

由于τk的定义，最后的期望值消失（Doob的可选抽样定理），由此我们推断（3.2）EZτkt- Vt（T- s、 Xξs，Rξs）+LξV（T）- s、 Xξs，Rξs）ds≤ 0.由于被积函数s的a.s.连续性，对于足够大的k，我们有τk=t+1/k。因此，利用中值定理，我们得到（3.3）kZτkt- Vt（T- s、 Xξs，Rξs）+LξV（T）- s、 Xξs，Rξs）DSA.s.收敛到（3.4）- Vt（T- t、 x，r）+LηV（t- t、 x，r），当k到单位时。此外，（3.3）在k中是一致有界的。事实上，由于τk的定义，过程Xξ和Rξ是有界的，相关积分中的Vt、vr和LξV也是有界的，因为它们在前面的两个量中都是连续的（并且因为我们可以找到δ>0，因此对于足够小的k，我们有τk<T）-δ) . 因此，我们可以使用最小收敛定理来获得kZτkt- Vt（T- s、 Xξs，Rξs）+LξV（T）- s、 Xξs，Rξs）ds-→K→∞-Vt（T- t、 x，r）+LηV（t- t、 x，r）。再加上不平等（3.2），我们最终得到（3.5）- Vt（T- t、 x，r）+LηV（t- t、 x，r）≤ 0.由于我们任意选择η，由于η的连续性，我们现在可以取最后一个不等式左侧的上确界-→ LηV，这是证明的结论。提议3.3。让V∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）是最大化问题（2.1）的v值函数。nV是（2.11）的一个子解，也就是说，V完全是不等式（3.6）- Vt+supξ∈RdLξV（t，x，r）≥ 0代表所有（t、x、r）∈ ]0，T]×Rd×R.证明。我们遵循图兹（20-13）的观点，主张3.5。我们假设存在（t，x，r），这样-Vt（T- t、 x，r）+supη∈RdLηV（T）- t、 x，r）<0，并使用ε-最大化子扭转矛盾。

我们定义了~n（T- t、 x，r）=V（t- t、 x，r）+δ|（x，r）- （x，r）|。因为我们有- ν）（T）- t、 x，r=0，x（V）- ν）（T）- t、 x，r=0，（V）- ν）r（T）- t、 x，r=0，（V）- ν）t（t）- t、 x，r=0，（V）- ν）rr（T）- t、 x，r）=-δ、 自从地图（x，r）-→ - infξ∈Rd（x·ξ）- f(-ξ） r）=rf*xr在Rd×]0上是连续的，∞[，它跟在H（t，x，r）后面：=-νt（t）- t、 x，r）+supξ∈RdLξ（T）- t、 对于足够小的δ，x，r）<0。对于η>0的小区，我们定义了以下社区η=（t，x，r）|（t- t、 x- x、 r- r）∈ ] - η、 η[×B（0，η）×]- η、 η[和h（t，x，r）<0of（T）- t、 x，r）。此外，我们设定（3.7）ε=min（T-t、 x，r）∈Nη（η）- V）=δminNη|（T）- t、 x，r）- （T）- t、 引入以下停止时间τ：=inf{s>t|（s，xξs，rξs）/∈ Nη}，带ξ∈X2A（[t，t]，X）。由于相应状态过程的路径连续性，我们有（T- τ、 Xξτ，Rξτ）∈ Nη，所以- V）（T）- τ、 Xξτ，Rξτ）≥ ε、 P-a.s.，使用（3.7）。因此，应用It^o公式，我们得到了EHVT- τ、 Xξτ，Rξτ- V（T）- t、 x，r）i=EhVT- τ、 Xξτ，Rξτ- φT- τ、 Xξτ，Rξτ+ φT- τ、 Xξτ，Rξτ- ~n（T）- t、 x，r）i≤ -ε+Eh~nT- τ、 Xξτ，Rξτ- ~n（T）- t、 x，r）i=-ε+EZτt- νt（t）- s、 Xξs，Rξs）+Lξφ（T）- s、 Xξs，Rξs）ds+ EZτt（Xξs）σаr（T）- s、 Xξs，Rξs）dBs.由于被积函数在随机区间[t，τ]上的有界性，最后的期望值消失。而且- ηt+Lξ（s，Xξs，Rξs）≤ 在[t，τ]上，我们使用了上述不等式：V（t- t、 x，r）≥ ε+E五、T- τ、 Xξτ，Rξτ-Zτt- νt（t）- s、 Xξs，Rξs）+LξνT- s、 Xξs，Rξsds≥ ε+E五、T- τ、 Xξτ，Rξτ.现在取右边ξ的上确界，并使用定理2。6，我们推断（因为ε不依赖于nξ）V（t- t、 x，r）≥ ε+supξ∈X2A（[t，t]，X）E五、T- τ、 Xξτ，Rξτ= ε+V（T）- t、 x，r），这与ε>0是矛盾的。因此，断言如下。3.2. 理论证明2。9.证据。

为了证明（i），让ξ∈X2A（T，X），T∈ ]0，T[，和τkbe定义如下：τk:=infs>0，| wrT- s、 Xξs，Rξs| > K∧ t、 注意τk-→ t、 a.s.，当k-→ ∞. 这是o的公式，然后yieldsw（T- τk，Xξτk，Rξτk）- w（T，X，R）=Zτk- wt（T）- s、 Xξs，Rξs）+Lξw（T- s、 Xξs，Rξs）ds+Zτk（Xξs）σwr（T）- s、 Xξs，Rξs）dBs，其中最后一项是真鞅（由于Xξ的τ和可积性的定义）。因此，通过对双方的期望，我们可以实现w（T）- τk，Xξτk，Rξτk）- w（T，X，R）=EZτk- wt（T）- s、 Xξs，Rξs）+Lξw（T- s、 Xξs，Rξs）ds.方程（2.15）则意味着（3.8）Ehw（T- τk，Xξτk，Rξτk）i≤ w（T，X，R）。为了将k发送到左侧的完整性，我们需要建立序列（w（t））的一致可积性- τk，Xξτk，Rξτk）。由于w是从上方有界的，因此有必要证明序列（w）的有界性-（T）- L中的τk，Xξτk，Rξτk(Ohm, F、 P）。为此，我们写W-（T）- τk，Xξτk，Rξτk）≤V（T）- τk，Xξτk，Rξτk）≤ E经验(-ARξT）|Fτk≤ E经验(-2ARξT）| Fτk,其中，第一个不等式跟在（2.14）后面，第二个不等式跟在引理2.1后面，最后一个不等式跟在詹森不等式后面。自∈˙X2A（T，X），因此E经验(-2ARξT）| Fτk= E经验(-2ARξT）]≤ ξ先生*T（2A2）+1，因此（（w-（T）-τk，Xξτk，Rξτk）在L中有界(Ohm, F、 P）。序列（w（T-因此，τk，Xξτk，Rξτk）是一致可积的，利用Vitali的收敛定理，我们得到了（3.9）limk→∞Ew（T）- τk，Xξτk，Rξτk）= Ew（T）- t、 Xξt，Rξt）≤ w（T，X，R）。现在我们不能把t从下面送到t。为此，我们考虑以下的稳定时间序列σk:=infnt≥ 0（T）- t） fXξtT- T≥ 击倒取胜∧ T.注意σk-→ T、 a.s.，当k进入实体时。我们想展示（3.10）Ew（T）- σk，Xξσk，Rξσk）{σk<T}-→K→∞0.从（2.14）我们得到了Ew（T）- σk，Xξσk，Rξσk）{σk<T}在E和E之间V（T）- σk，Xξσk，Rξσk）{σk<T}还有EV（T）- σk，Xξσk，Rξσk）{σk<T}.

因此，有必要证明（3.11）EVi（T）- σk，Xξσk，Rξσk）{σk<T}-→ 0.现在引理2.1意味着Vi（T）- σk，Xξσk，Rξσk）{σk<T}≤ E[E]经验(-空气ξT）| Fσk{σk<T}= E经验(-空气ξT）{σk<T}.利用勒贝格控制的收敛定理，我们得到经验(-空气ξT）{σk<T}-→ 0k→∞,这证明了（3.11）。另一方面，我们有w（T）- σk，Xξσk，Rξσk）{σk=T}= Ew（0，0，Rξσk）{σk=T}≥ Eu（Rξσk）{σk=T}= EURξT,我们在不等式中使用（2.16）。因此，（3.9）意味着（RξT）{σk=T}i+Ew（T）- σk，Xξσk，Rξσk）{σk<T}≤ w（T，X，R），并将k发送到工厂u（RξT）≤ w（T，X，R）。在最后一步中，取ξ的上确界∈X2A（T，X）我们推断（T，X，R）≤ w（T，X，R），这证明了（i）。现在我们来证明（ii）。多亏了Remark2。7，结合假设（2.19），我们可以重写（2.17）如下=- wt+x∑xwrr+b·x wr+wrf*xwwr（T）- t、 x，r）。然后，Rockafellar（1997）中的定理26.5（注意TF具有超线性增长，严格凸，并且在Rd上连续可差）暗示(f）-1= F*被定义为一个完整的概念。因此，设置bξ（t，x，r）：=F*xw（t，x，r）wr（t，x，r）我们得到t hatbξ在t、x、r和ful fill（2.21）中也是连续的，这证明了（ii）中的（a）部分。为了证明（b）部分，假设SDE（3.12）存在一个强解（X，R）dRt=（Xt）σdBt+b·Xtdt- f(-bξ（t，Xt，Rt））dt，dXt=-bξ（t，Xt，Rt）dt，R | t=0=Rand X | t=0=X。设置τkas之前，我们用它推断出^o的公式（t- τk，Xτk，Rτk）- w（T，X，R）=Zτk- wt（T）- s、 Xs，Rs）+Lbξw（T- s、 Xs，Rs）ds+Zτk（Xs）σwr（T）- s、 Xs，Rs）dBs，其中最后一项是真鞅（见上述论证）。